2.1-2.2 经典集合论简介

则称g为( X , )到(Y , )的同态映射. 记为( X , ) ~ (Y , )
如果g是全射, 则称g为满同态映射.
如果g是一对一的, 则称g为单值的同态映射.
单值的满同态映射称为 同构映射 .
如果( X ,)与(Y , )之间存在同构映射, 则称 ( X ,)与(Y , )同构, 记为( X ,) (Y , ).
则称( X， 1 , 2 , 3 )与(Y， 1 , 2 , 3 )同构, 记为
( X， 1 ,2 ,3 ) (Y， 1 , 2 , 3 )
例：设U为论域, 在P (U )上定义 、 、C，CH (U )
为U上特征函数全体，在CH (U )上定义 、 、C , 则( P (U ),,, C ) (CH (U ), ,, C ) 证： 设g : P (U ) CH (U )
记为( L, , , ), 或( , , )。
完全格：若格( L, )中, 对A L， sup A及 inf A,
则称( L, )为完全格(或完备格)。
分配格: 格( L, , , )满足 分配律： x ( y z ) ( x y ) ( x z ) x ( y z) ( x y) ( x z) 有补格： 在格( L, , , )中, 若存在最大元1及最
(3)f 为双射： f 既是满射，又是单射.
二、逆映射 若f为双射, 则由y f ( x )确定Y到X的映射
记为f 1 : Y X
三、合成映射
f : X Y , g :Y Z h : X Z h( x ) g( f ( x )), x X
记为h g f , 显然, ( h g ) f h ( g f ).
A( u) B( u) A B C AB ( u) minA( u), B( u) A( u) B( u) Ac C A ( u) 1 A( u)
c
五、代数运算与代数系
映射f : X Y Z , 称为X Y到Z的代数运算
当X Y Z时,
四、特征函数
设U为论域, A P (U )
映射： C A : U 0,1 u A 1 C A (u) uA 0
C
1
CA
o
A
U
称C A为A的特征函数(隶属函数). 子集就是特征函数：A C A ( u)或A A( u)
例如, U为自然数，A {1,2,3}
1 A(u) 0
映射f : X X X ,
称为X上的二元运算
代数系: 定义了代数运算的集X与运算f 的统称
记为( X , f )
六、同态、同构
若( X , ), (Y , )是两个代数系, g : X Y , x1 , x2 X , 有
g( x1 x2 ) g( x1 ) g( x2 )
②
③ ④
对称关系R
反对称关系R 传递关系R
等价关系R: 半序关系R:
R同时满足①、②、④. R同时满足①、②、③. 记成“”
集合 x y xRy, 称 x 为x的等价类。
半序集: 具有某个半序关系“ ”的集X .记成( X , )
全序集: 若( X , )是半序集, x , y X x y或y x .
若两代数系上分别定义了若干种代数运算
例如( X， 1 , 2 , 3 ), (Y， 1 , 2 , 3 )其间存在着关于
1 , 2 , 3 和 1 , 2 , 3的同构映射. g : X Y ,即
g( x1 1 x2 ) g( x1 ) 2 g( x2 ) g( x1 2 x2 ) g( x1 ) 2 g( x2 ) g( x1 3 x2 ) g( x1 ) 3 g( x2 )
四、集合的运算
并集
A B x x A x B A B x x A x B
交集
补集
Ac x xA
差集 ①
②
A B x x A xB
五、集合运算律
幂等律：
交换律：
A A A, A A A A B B A, A B B A
Fra Baidu bibliotek
┓P
表示P不成立.
三、与集合相关的概念 空集: 不包含任何元素的集. 记为
全集（论域）：所论对象的全体.记为U 子集：
x A x B记为A B
相等： (( A B ) ( B A)) ( A B )
真子集： A B A B 幂集:
设U是论域，由U的所有子集构成的新集 合.记为P(U).
( A B )c Ac B c ( A B) A B ,
c c c
A Ac U , A Ac AU U, AU A A A, A
并、交运算推广有限个、无穷多个集合
设A1 , A2 ,, An是n个集合
并集
Ak A1 A2 An
③ 结合律： ( A B ) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ④ 吸收律： A ( A B ) A, A ( A B ) A ⑤ 分配律： A ( B C ) ( A B ) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C ) ( Ac )c A ⑥ 复原律: ⑦ 对偶律: ⑧ 互补律: ⑨ 零壹律:
小元0，且对x L, y L, 使 x y 1, x y0 则称( L, )为有补格, 并称y为x的补元, 记为x .
布尔格（Boole代数）： ( L, )为有补格和分配格。 格 在布尔格中，对每个元素来说，只有一个补元。
设S {a , b, c }, 则 例2 P ( S ) { ,{a },{b},{c},{a , c},{a , b},{b, c},{a , b, c}}
g( Ac ) Ac ( u) 1 A( u) 1 g( A) ( g( A))c
( P (U ),,,C ) (CH (U ), , ,C )
§3 关系与格
一、关系
设X ,Y是两集合, 直积X Y的一个子集R( R X Y )
称为X与Y之间的一个二元关系。 若( x , y ) R, 则称“x对y具有关系R”记作xRy . , 若( x , y )R则记作x R y .
x , y P , sup{ x , y }(inf{ x , y })存在，记为x y ( x y )。
格:
在半序集（L， )中， x，y L，若x y , x y均存在， 则称( L, )为格。
在格（L, )中, ( x y ) ( x y y ) ( x y x )。 , 作为L上的二元运算, 有如下性质 :
模糊数学及应用
主讲：郭运瑞
第二章 经典集合论简介
§1 集合及其运算 §2 映射 §3 关系与格
§1 集合及其运算
一、集合的概念
集合: 元素: 具有某种特定性质的事物的总体. 记为A、B、C… 组成这个集合的每一个事物. 记为a,b,c…
集合与元素的关系:
a A,
或
aA,
有限集: 有限个元素构成的集合. 无限集: 无限个元素构成的集合.
则称( X , )的全序集“”为X上的全序。 ,
最大(小)元: 设（P , )是半序集,
x a (或a x )。
a P , x P
则称a为P的最大（小）元。
上限，下限： 设（P , )是半序集 A P .a P , x A x a( a ), 则称a为A的上界(下界). 上界中的最小元素称为A的上限, 记为sup A. 记为inf A. 下界中的最大元素称为A的下限,
f : X Y,
y=f(x)其中y称为元素x（在映射f下）的像，而元 素x称为元素y（在映射f下）的一个原像. f的定义域 : X
f的值域 : f ( X ) f ( x ) x X Y
(1) f为满射：f ( X ) Y ( 2) f为单射 : x x f ( x ) f ( x )
设A1 , A2 ,, An是n个集合, 则称 A1 A2 An {( x1 , x2 ,, xn ) xi Ai , i 1,2,, n}
为A1 , A2 ,, An的直积.
§2 映射
一 、映射概念
定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一 个法则f，使得对X中每个元素x，在Y中有唯 一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的 映射，记作
基数：
一个集合的元素个数.
二、常用的逻辑符号
x A x A
表示集合A中的任一元素x
表示集合A中存在一元素x ：全称量词 : 存在量词 设P,Q是两个命题：
P Q PQ
PQ P Q
表示P成立并且Q成立. 表示P成立或Q成立. 表示P成立，则Q成立. 表示当且仅当P成立时Q成立.
A A( u), A P (U ).
g是1 - 1映射。
A，B P (U ), g( A) A( u), g( B ) B( u)
g( A B ) ( A B )(u) A( u) B( u) g( A) g( B ) g( A B ) ( A B )(u) A( u) B( u) g( A) g( B )
显然， P ( S )在包含关系 下构成半序集 ( P ( S ), )。
在( P ( S ), )上定义二元运算 与 。
{a , b, c }
A, B P ( S )
A B A B A B A B

k 1
n
x 在A1 , A2 ,, An中至少有一个 Ak 含x
交集
Ak A1 A2 An
k 1
n
x x Ak , k 1,2,, n
六、集合的直积
设A, B为任意两集, 若x A, y B , 将元素x , y 都配成元素对 x , y , 称 x , y 为x与y的序偶.一般 x , y y , x .而所有的序偶( x , y )构成的集合称为 A与B的直积集(或笛卡儿乘积).记为 A B x , y x A, y B
u 1,2,3 u为其它自然数
A, B P (U ), A A( u), B B( u) B A B( u) A( u), u U B A B( u) A( u), u U
A B C AB ( u) max A( u), B( u)
① 交换律： ② 结合律：
x y y x, x y y x
( x y) z x ( y z) ( x y) z x ( y z)
③ 吸收律： x ( x y ) x , x ( x y ) x 格(L, )是具有“”、“”两种运算的代数系统 。
若R X X , 称R为X上的一个二元关系.
若R X X X , 称R为X上的n元关系。
二、 集合X上的几个重要的二元关系
① 自反关系R
x X , 但有xRx .
若xRy , 则yRx . 若xRy , 且yRx , 则x y . 若xRy , 且yRz , 则xRz .