高一数学讲义 函数的应用

幂函数和零点及函数的应用

要求层次

重点

难点

函数的 零点

B

①理解函数零点的概念 ②掌握函数零点的性质

①明确零点是一个“值”，而非一个点的坐标

②会利用函数的零点探索二次方程根的分布问题 二分法 A 了解二分法的原理

了解二分法的原理

函数模型的应用

C

①能够应用函数的性质解决有关数学问题，能够应用函数知识解决一些简单的实际问题；

②培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力

掌握建立函数模型的数学思想

板块一：函数的零点 (一) 主要知识：

函数的应用是学习函数的主要目的之一.本讲内容重点放在函数在数学内部的应用，使函数的学习构成一个完整的有机体，同时本模块的结构也给我们呈现了研究一个问题完整的思路和方法.本节内容不但揭示函数、方程、不等式等内容的横向联系，又体现螺旋上升的学习函数的纵向联系.在二分法求函数零点近似解的过程中渗透的算法思想，为模块3学习算法作了必要的准备，另外，也为进入大学学习介值定理、区间套定理，体会极限的思想等起到基础性的作用.函数与方程的学习，对学生进一步理解函数的概念和性质，树立数学应用的意识，形成正确的世界观起到重要的作用.

一、零点的概念：

对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点.

二、函数零点的意义：

高考要求

第7讲 函数的应用

知识精讲

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.即方程f(x)=0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.

三、零点存在性判定定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.

【说明】这样得到方程f(x)=0在区间(a,b)内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值.

(二)典例分析：

【例1】画出函数3

=-+的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)内()231

f x x x

有无零点，并判断零点的个数.

【例2】求函数32

=--+的零点，并画出它的图象.

22

y x x x

【例3】已知m∈R，函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点，求实数a的取值范围，()

f x是奇函数？

【例4】 若关于x 的方程2

lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一的实根，求实数a 的取值范围.

用函数的思想看方程的解

函数在方程中的应用主要是构造函数，确定方程的实根的个数、讨论方程的实根的存在性和唯一性问题以及讨论方程的实根的范围问题.主要方法是构造各种函数，利用数形结合，观察函数图象的交点等等.

【例5】 试判断方程22

x

x -+=

【例6】 试判断方程2

|9|2x a -=+实根的个数.

板块二：函数性质应用

注：⑴“周期性”中的“周期”在本表中不一定是最小正周期；

⑵可以用“内偶则偶，内奇则外”和“相同则增，不同则减”记忆奇偶性和单调性．

2．函数的四则运算结果的周期性

一般来说，设函数()f x 和函数()g x 的周期分别是1T 和2T ，如果存在T ，使得12T mT nT ==(m 、n 为非零整数)，则T 是函数()f x 和函数()g x 的和、差、积以及商的周期．

【例7】 设21()(,,Z)ax f x a b c bx c

+=∈+是奇函数，且有(1)2f =，2(2)3f <<成立．

⑴ 求,,a b c 的值；

⑵ 用定义证明()f x 在(1,0)-上是减函数．

【例8】 已知x ，y 为实数，且满足3

3

(1)2007(1)1

(1)2007(1)1

x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩，求x y +的值．

【例9】 判断下列函数的奇偶性并说明理由：

⑴ 221()1x

x

a f x a +=-(0a >且1)a ≠；

⑵ ()f x = ⑶ 2()5||f x x x =+．

【例10】 已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．

【例11】 已知函数()f x ，当,R x y ∈时恒有()()()f x y f x f y +=+．

⑴求证：函数()f x 是奇函数； ⑵ 若(3)f a -=，试用a 表示(24)f ．

【例12】 定义在R 上的偶函数()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，如果这个函数在[1,2]上是增函数，则在

[1,0]-上函数()f x 是( )

A ．增函数

B ．在1[1,]2--是减函数，在1

[,0]2-上是增函数

C ．减函数

D ．在1[1,]2--是增函数，在1

[,0]2

-上是减函数

【例13】 已知函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有两个不相等

的实数根，那么这两根之和等于_____

【例14】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，成中心对称图形，且满足

3()2f x f x ⎛

⎫=-+ ⎪⎝

⎭，(1)1f -=，(0)2f =-．那么，(1)(2)(2006)f f f +++的值是( )

A ．1

B ．2

C ．1-

D ．2-

板块三：函数实际应用

本讲涉及函数在数学内部的应用.大纲教材讲函数应用主要是讲函数在解决实际问题中的应用，而未涉及数学内部的应用.课标这样处理对于学生完整地理解函数的应用，掌握分析、研究问题的方法大有好处.函数与方程安排在这个位置也是恰当的，前面学习的函数性质和相关知识，为函数的应用提供了必要的准备，反过来通过本节的学习可以更好的认识和巩固前面的知识，温故知新.

(一) 主要知识：

1.函数定义域、图象、单调性质等知识；

2.函数的值域、最值等知识.

3.具体函数模型的性质和图象知识.

(二)主要方法：

一. 解答应用问题时，首先应进行严密地思考和深刻的分析综合，再将问题中的数量关系找出来，并联系实际问题建立相应的数学模型，转化为数学问题来 解决，注意实际问题中对自变量取值范围的限制.

二. 解决应用性问题的一般步骤为：()1审题；()2建模；()3求解；()4作答． 我们可以用示意图表示为：