高一数学讲义 函数的应用
函数的应用(知识梳理)-高一数学单元复习(人教A版必修1)

专题02函数的应用(知识梳理)第一节 函数与方程1.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y =f (x ),我们把使f (x )=0的实数x 叫做函数y =f (x )的零点. (2)几个等价关系方程f (x )=0有实数根⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y =f (x )有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a )·f (b )<0,那么,函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的根.2.二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0图象与x 轴的交点 (x 1,0),(x 2,0)(x 1,0) 无交点 零点个数 21[小题体验]1.函数f (x )=2x +3x 的零点所在的一个区间是( ) A .(-2,-1) B .(-1,0) C .(0,1) D .(1,2)答案:B2.(教材习题改编)函数f (x )=ln x +2x -6的零点个数是______. 答案:13.函数f (x )=kx +1在[1,2]上有零点,则k 的取值范围是________. 答案:⎣⎡⎦⎤-1,-121.函数f (x )的零点是一个实数,是方程f (x )=0的根,也是函数y =f (x )的图象与x 轴交点的横坐标.2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.[小题纠偏]1.(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义:当x≤2时,f(x)=-x2+2x;当x>2时,f(x)=12(x-2)2,则方程f(x)=12的所有实数根之和是()A.2 B.3 C.5 D.8解析:选C画出函数f(x)的图象,如图所示:结合图象x<2时,两根之和是2,x>2时,由12(x-2)2=12,解得x=3,故方程f(x)=12的所有实数根之和是5,故选C.2.给出下列命题:①函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0);②函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则一定有f(a)·f(b)<0;③二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点;④若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.其中正确的是________(填序号).答案:③④考点一函数零点所在区间的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1.已知实数a>1,0<b<1,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)解析:选B∵a>1,0<b<1,f(x)=a x+x-b,∴f(-1)=1a-1-b<0,f(0)=1-b>0,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.2.设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)解析:选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=ln x,h(x)=-x +2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数大致图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.3.函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点.解析:法一:∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)·f(8)<0,又f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]的图象是连续的,故f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.法二:令f(x)=0,得x2-3x-18=0,∴(x-6)(x+3)=0.∵x=6∈[1,8],x=-3∉[1,8],∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.答案:存在[谨记通法]确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法:使用零点存在性定理,函数y=f(x)必须在区间[a,b]上是连续的,当f(a)·f(b)<0时,函数在区间(a,b)内至少有一个零点,如“题组练透”第1题.(2)图象法:若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成,则可考虑用图象法求解,如f(x)=g(x)-h(x),作出y=g(x)和y=h(x)的图象,其交点的横坐标即为函数f(x)的零点,如“题组练透”第2题.考点二判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1.函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内的零点的个数为()A.0B.1C.2 D.3解析:选C 由题意可知f (x )的定义域为(0,+∞).在同一直角坐标系中画出函数y =|x -2|(x >0),y =ln x (x >0)的图象,如图所示:由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,log 2x ,x >0,则函数y =f (f (x ))+1的零点的个数是( )A .4B .3C .2D .1解析:选A 由f (f (x ))+1=0得f (f (x ))=-1, 由f (-2)=f ⎝⎛⎭⎫12=-1 得f (x )=-2或f (x )=12.若f (x )=-2,则x =-3或x =14;若f (x )=12,则x =-12或x = 2.综上可得函数y =f (f (x ))+1的零点的个数是4,故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法:令f (x )=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.[即时应用]1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x,x ≤1,log 13x ,x >1,则函数y =f (x )+x -4的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B 函数y =f (x )+x -4的零点,即函数y =-x +4与y =f (x )的交点的横坐标.如图所示,函数y =-x +4与y =f (x )的图象有两个交点,故函数y =f (x )+x -4的零点有2个.故选B.2.(2018·杭州模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,-1<x ≤1,f x -2+1,1<x ≤3,则函数g (x )=f (f (x ))-2在区间(-1,3]上的零点个数是( )A .1B .2C .3D .4解析:选C ∵函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,-1<x ≤1,f x -2+1,1<x ≤3,∴当-1<x ≤1时,12<f (x )≤2,当1<x ≤3时,-1<x -2≤1,f (x )=f (x -2)+1=2x -2+1∈⎝⎛⎦⎤32,3; 设h (x )=f (f (x )),①当-1<x ≤0时,h (x )=22x ,2<h (x )≤2, ∴g (x )=h (x )-2有一个零点x =0; ②当0<x ≤1时,h (x )=22x -2+1,32<h (x )≤2,∴g (x )=h (x )-2有一个零点x =1; ③当1<x ≤3时,h (x )=22x -2+1-2+1, 22+1<h (x )≤3,g (x )有一个零点; 综上,函数g (x )在区间(-1,3]上有3个零点,故选C. 考点三 函数零点的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=a |x -2|-a ,其中a >0,且为常数.若函数y =f (f (x ))有10个零点,则a 的取值范围是________.解析:当x ≥0时,令f (x )=0,得|x -2|=1, 即x =1或x =3.因为f (x )是定义在R 上的偶函数, 所以f (x )的零点为x =±1或x =±3. 令f (f (x ))=0, 则f (x )=±1或f (x )=±3.因为函数y =f (f (x ))有10个零点,所以函数y =f (x )的图象与直线y =±1和y =±3共有10个交点.由图可知1<a <3.答案:(1,3)[由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围 分离参数法 先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决数形结合法 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解[即时应用]1.若函数f (x )=4x -2x -a ,x ∈[-1,1]有零点,则实数a 的取值范围是________. 解析:∵函数f (x )=4x -2x -a ,x ∈[-1,1]有零点, ∴方程4x -2x -a =0在[-1,1]上有解, 即方程a =4x -2x 在[-1,1]上有解. 方程a =4x -2x 可变形为a =⎝⎛⎭⎫2x -122-14, ∵x ∈[-1,1],∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12,2, ∴⎝⎛⎭⎫2x -122-14∈⎣⎡⎦⎤-14,2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-14,2. 答案:⎣⎡⎦⎤-14,2 2.(2018·浙江名校高考研究联盟联考)方程x 2+3x -2=0的解可视为函数y =x +3的图象与函数y =2x的图象交点的横坐标.若方程x 4+ax -4=0的各个实根x 1,x 2,…,x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ,4x i (i =1,2,…,k )均在直线y =x 的同侧,则实数a 的取值范围是________. 解析:由题意知,方程x 4+ax -4=0的实根是曲线y =x 3+a 与曲线y =4x 的交点的横坐标,而曲线y =x 3+a 是由函数y =x 3的图象向上或向下平移|a |个单位长度得到的.若方程x 4+ax -4=0的各个实数根x 1,x 2,…,x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ,4x i(i =1,2,…,k )均在直线y =x 的同侧,如图,结合图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,-23+a >-2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0,23+a <2,解得a <-6或a >6,所以实数a 的取值范围是(-∞,-6)∪(6,+∞).答案:(-∞,-6)∪(6,+∞)第二节 函数模型及其应用1.几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )=ax +b (a ,b 为常数,a ≠0) 反比例函 数模型 f (x )=kx +b (k ,b 为常数且k ≠0) 二次函数模型f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0) 指数函数模型f (x )=ba x +c(a ,b ,c 为常数,b ≠0,a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )=b log a x +c(a ,b ,c 为常数,b ≠0,a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )=ax n +b (a ,b 为常数,a ≠0)函数 性质 y =a x (a >1) y =log a x (a >1) y =x n (n >0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化随x 的增大 逐渐表现为 随x 的增大 逐渐表现为随n 值变化 而各有不同与y轴平行与x轴平行值的比较存在一个x0,当x>x0时,有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的4步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的函数模型;(3)解模:求解函数模型,得出数学结论;(4)还原:将数学结论还原为实际意义的问题.以上过程用框图表示如下:[小题体验]1.(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()答案:B2.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=a log3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到________只.答案:2001.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以要正确理解题意,选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.[小题纠偏]1.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程S与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点答案:D2.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存车量为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是__________.答案:y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000)考点一二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段.已知跳水板AB长为2 m,跳水板距水面CD的高BC为3 m.为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m,规定:以CD为横轴,BC为纵轴建立直角坐标系.(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时h的取值范围.解:由题意,最高点为(2+h,4),(h≥1).设抛物线方程为y=a[x-(2+h)]2+4.(1)当h=1时,最高点为(3,4),方程为y=a(x-3)2+4.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a=-1.即所求抛物线的方程为y=-x2+6x-5.(2)将点A(2,3)代入y=a[x-(2+h)]2+4,得ah2=-1.由题意,方程a[x-(2+h)]2+4=0在区间[5,6]内有一解.令f (x )=a [x -(2+h )]2+4=-1h2[x -(2+h )]2+4,则⎩⎨⎧f 5=-1h 23-h 2+4≥0,f6=-1h24-h2+4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1,43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;(2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; (3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.[即时应用]A ,B 两城相距100 km ,在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ,B 两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍,若A 城供电量为每月20亿度,B 城供电量为每月10亿度.(1)求x 的取值范围;(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数;(3)核电站建在距A 城多远,才能使供电总费用y 最少? 解:(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]. (2)y =5x 2+52(100-x )2(10≤x ≤90).(3)因为y =5x 2+52(100-x )2=152x 2-500x +25 000=152⎝⎛⎭⎫x -10032+50 0003, 所以当x =1003时,y min =50 0003. 故核电站建在距A 城1003 km 处,能使供电总费用y 最少.考点二 函数y =x +ax模型的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位:万元)与隔热层厚度x (单位:cm)满足关系C (x )=k3x +5(0≤x ≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及f (x )的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f (x )达到最小,并求最小值.解:(1)由已知条件得C (0)=8,则k =40,因此f (x )=6x +20C (x )=6x +8003x +5(0≤x ≤10). (2)f (x )=6x +10+8003x +5-10≥2 6x +10·f(8003x +5)-10=70(万元), 当且仅当6x +10=8003x +5, 即x =5时等号成立.所以当隔热层厚度为5 cm 时,总费用f (x )达到最小值,最小值为70万元.[由题悟法]应用函数y =x +a x模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f (x )=ax 与反比例函数f (x )=b x叠加而成的. (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )=ax +b x的模型,有时可以将所列函数关系式转化为f (x )=ax +b x的形式. (3)利用模型f (x )=ax +b x求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最值时等号成立的条件. [即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题,近年来,某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元,为了缓解供水压力,决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备,安装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.2.为了保证正常用水,安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式.假设在此模式下,安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位:万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位:平方米)之间的函数关系是C (x )=k 50x +250(x ≥0,k 为常数).记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和.(1)试解释C (0)的实际意义,并建立y 关于x 的函数关系式并化简;(2)当x 为多少平方米时,y 取得最小值,最小值是多少万元?解:(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元,∵C (0)=k 250=4, ∴k =1 000,∴y=0.2x+1 00050x+250×4=0.2x+80x+5(x≥0).(2)y=0.2(x+5)+80x+5-1≥20.2×80-1=7,当x+5=20,即x=15时,y min=7,∴当x为15平方米时,y取得最小值7万元.考点三指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年解析:选B法一:设2015年后的第n年,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由130(1+12%)n>200,得 1.12n>2013,两边取常用对数,得n>lg 2-lg 1.3lg 1.12≈0.30-0.110.05=195,∴n≥4,∴从2019年开始,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.法二:根据题意,知每年投入的研发资金增长的百分率相同,所以从2015年起,每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n},其中,首项a1=130,公比q=1+12%=1.12,所以a n=130×1.12n-1.由130×1.12n-1>200,两边同时取常用对数,得n-1>lg 2-lg 1.3lg 1.12,又lg 2-lg 1.3lg 1.12≈0.3-0.110.05=3.8,则n>4.8,即a5开始超过200,所以2019年投入的研发资金开始超过200万元,故选B.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在两类模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型,与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题.[即时应用]某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t );(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.解:(1)由题图,设y =⎩⎪⎨⎪⎧ kt ,0≤t ≤1,⎝⎛⎭⎫12t -a ,t >1, 当t =1时,由y =4得k =4,由⎝⎛⎭⎫121-a =4得a =3.所以y =⎩⎪⎨⎪⎧4t ,0≤t ≤1,⎝⎛⎭⎫12t -3,t >1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤t ≤1,4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1,⎝⎛⎭⎫12t -3≥0.25,解得116≤t ≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5-116=7916(小时).。
高一上学期数学人教B版()必修第二册第四章4.6函数的应用-课件

归纳
f (3) a(1 r)2 a(1 r)2 r a(1 r)3,
一般
…… 因此 f (x) a(1 r)x , x N. 指数模型
由 f (x) 2a,可得 a(1 r)x 2a ,解得 x ln 2 .
ln(1 r)
设不小于
ln 2 ln(1 r)
的最小整数为
x0 , 则至少经过
(1)求等级为0 dB的声音的强度; (2)计算出90 dB的声音与60 dB的声音 强度之比.
x 10 lg 11012
0,
可得 x 11012 ,
函数值
方程思想
自变量的值
所以 等级为0 dB的声音的强度为 11012.
(2)设 f (x1) 90, f (x2 ) 60 ,
你能建立本息和与存期之间的函数关系吗?至少 经过多少期后本息和才能不小于本金的2倍?
本息和与最开始的本金、每期的利率及存期有关.
解:设最开始本金为 a 元,每期的利率为 r ,存 x
期后本息和为 f (x) ,则
f (1) a ar a(1 r),
特殊
f (2) a(1 r) a(1 r)r a(1 r)2,
函数的应用(2)
高一年级 数学
我们已经学习了哪些具体函数?它们之间有什么 联系?我们是按照什么思路研究这些函数的?
我们学习了指数函数、对数函数、幂函数,它们 都与指数运算有关. 我们按照研究一类函数的定义、 性质和图像的思路来研究具体函数.
这些函数在实际生活中有什么应用呢?
例1 有些银行存款是按复利的方式计算利息的,即把 上一期的利息与本金加在一起作为本金,再计算下一 期的利息. 本息和与哪些量有关?
x0
期后,本息和才能不小于本金的2倍.
高一上数学必修一第三章《3.3 函数的应用》知识点梳理

高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.3 函数的应用【学习目标】能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题.(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学道理,弄清题中出现的量及其数学含义.(2)能根据实际问题的具体背景,进行数学化设计,将实际问题转化为数学问题(即建立数学模型),并运用函数的相关性质解决问题。
(3)能处理有民生、经济、物里等方面的实际问题。
【重点】1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题,加深对函数概念的理解2.会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题3.了解数学知识来于生活,又服务于生活.【难点】1、增强运用函数思想理解和处理问题的意识,理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法。
【典型例题】例1 为了鼓励大家节约用水,自2013年以后,上海市实行了阶梯水价制度,其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。
解(1)不难看出,f(x)是一个分段函数,而且:当0<x≤220时,有f(x)=3.45x;当220<x≤300时,有f(x)=220×3.45+(x-220)×4.83=4.83x-303.6;当x>300时,有f(x)=220×3.45+(300-220)×4.83+(x-300)×5.83=5.83x-603.6.因此=3.45x,0<x≤220,f(x)=14.83x-303.6,220<x≤300,=5.83x-603.6,x>300.(2)因为220<260≤300,所以f(260)=4.83×260-303.6=952.2,因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元。
由例1可知,可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容.例2 城镇化是国家现代化的重要指标,据有关资料显示,1978-2013年,我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿。
函数的应用(一)+(教学课件)-高一数学必修第一册同步高效课堂(人教A版2019)

3.4 函数的应用(一)
人教A版2019必修第一册
学习目标
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律(重难点). 初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用.
目 录
25
31 920
5
(420 000,660 000]
30
52 920
6
(660 000,960 000]
35
85 920
7
(960 000,+∞)
45
181 920
(1) 设全年应纳税所得额为t, 应缴纳个税税额为y,求y f (t), 并画出图象.
应用新知
结合3.2.1例8的解析式③, 可得: 当0 ≤ x ≤146 700时, t 0, 所以y 0; 当146 700 x ≤191 700时, 0 t ≤ 36 000, 所以y t 3% 0.024x 3 520.8 当191 700 x ≤ 326 700时, 36 000 t ≤144 000, 所以y t 10% 2520 0.08x 14 256; 当326 700 x ≤ 521 700时, 144 000 t ≤ 300 000, 所以y t 20% 16 920 0.16x 40 392;
我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有 紧密联系.下面通过一些实例感受它们的广泛应用,体会利用函数模 型解决实际问题的过程与方法.
应用新知
例1 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他
扣除金额与3.1.2例8相同,全年综合所得收入额为x(单位:元), 应缴纳综合所得个税税额为y(单位:元). (1)求y关于x的函数解析式;
5.3 函数的应用(第1课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第一册)

(2)经过材料更新和技术改进后, A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍,总
1
质比变为原来的 ,若要使火箭的最大速度至少增加 300
2
改进前总质比的最小整数值.
(参考数据: ln 800 ≈ 6.7 , 2.718 < e < 2.719 .)
第五章 函数的概念、性质及应用
5.3 函数的应用(第1课时)
5.3.1 函数关系的建立(含指幂对函数)
【示例1】一次函数、二次函数、分段函数模型
例1 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元,每生产一台该仪器需要增加投入100
元,已知总收入满足函数:
400x − x 2 , 0 ≤ x ≤ 200, x ∈ ,
间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利
润是多少?
[思路点拨] 本题中平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)
是一个一次函数关系,虽然 x∈[50,55],x∈N,但仍可把问题看成一
次函数模型的应用问题;平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元
/箱)是一个二次函数关系,可看成是一个二次函数模型的应用题.
f x < 30 000 − 100 × 200 < 12 500 .
所以当 x = 150 时, f x 取最大值,最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时,利润最大,最大利润为12 500元.
跟踪训练1
我市某运输公司为积极响应国家节能减排的号召,年初以每台12 80
0元的价格购入一批风能发电机.经测算,每台发电机每年的发电收益约7 200元,
高一数学必修一函数的应用知识点总结

第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即:方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点.3、函数零点的求法:○1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; ○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.4、基本初等函数的零点:①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。
②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。
③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。
④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y .(1)△>0,方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.(2)△=0,方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)△<0,方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点.⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。
⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=,当0n >时,仅有一个零点0,当0n ≤时,没有零点。
5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数),函数先把()f x 转化成()0f x =,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y (基本初等函数),这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。
高一数学函数的应用知识点

高一数学函数的应用知识点数学是一门抽象而又具体的学科,而函数则是数学中的一个重要概念。
在高一学习数学时,函数的应用是必不可少的一部分。
通过函数的应用,我们可以解决现实生活中的实际问题,也可以更好地理解数学的抽象概念。
本文将重点介绍高一数学函数的应用知识点,并探讨它们的实际应用。
1. 直线方程和函数直线是我们生活中最常见的几何形状之一。
在高一数学中,我们会学习直线的方程和性质,以及如何使用直线方程解决问题。
直线方程一般是以函数的形式表示,即y = kx + b。
这里,k表示直线的斜率,b表示直线与y轴的交点。
通过直线方程,我们可以计算一个点的坐标,或者判断两条直线的位置关系,甚至可以用直线方程来表示实际问题中的变化规律。
例如,我们可以利用直线方程解决汽车行驶问题。
假设一辆汽车以每小时60公里的速度匀速行驶,那么可以根据直线方程y = 60x,计算车辆行驶t小时后的位置坐标(y, x)。
2. 复利函数复利是金融领域中一个重要的概念。
复利函数描述了一笔贷款或投资在一段时间内的增长情况。
复利函数的一般形式是A = P(1 + r/n)^(nt),其中A表示最终的金额,P表示初始金额,r表示年利率,n表示每年的复利次数,t表示时间。
通过复利函数,我们可以计算贷款或投资在未来的价值,也可以比较不同贷款或投资方案的优劣。
例如,假设你计划投资一笔资金,可以通过复利函数计算每年的收益,以帮助你做出最优的投资决策。
3. 幂函数幂函数也是高一数学中的一个重要知识点。
幂函数的一般形式是y = ax^b,其中a和b是常数,x是自变量。
幂函数描述了自变量和因变量之间的指数关系。
通过幂函数,我们可以研究各种增长或衰减问题,例如人口增长、细胞分裂等。
幂函数的特点是当b>1时,自变量的增加对应着因变量的急剧增加;当0<b<1时,自变量的增加对应着因变量的缓慢增加。
举个例子,假设某公司的年利润与年销售额之间存在一种幂函数关系,可以通过幂函数来预测公司未来的盈利情况。
07.高一寒假数学讲义:函数的奇偶性(应用)【讲师版】

高一寒假数学讲义“函数的奇偶性(应用)”学生姓名授课日期教师姓名授课时长函数的奇偶性在综合题中有相当多的应用,不仅要掌握基础的知识,而且要能灵活应用。
在各个考试中,都可能是出题的考查重点之一。
函数奇偶性1.偶函数如果对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数x,都有f(―x)=f(x),那么就把函数y=f(x)叫做偶函数。
并要向学生强调定义中的“定义域D中的任意实数x”一句话.从偶函数的定义中,指出一个函数是偶函数的必要条件:定义域关于原点对称。
偶函数的图象的性质:偶函数的图象关于轴对称的性质性质的证明要抓住四个要点:(1)a是y=f(x)定义域内的任意一个实数.(2)点A(a,f(a)),B(―a,f (―a))都是函数y=f(x)图象上的点.(3)因为f (―a)= f (a),所以B点坐标也为(―a,f (a)).(4)点(―a,f (a))与(a,f (a))关于y轴对称.2.奇函数如果对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数x,都有f(―x)= ―f(x),那么就把函数y=f(x)叫做奇函数。
由奇函数的定义得出奇函数的必要条件:定义域D关于原点对称。
3.关于奇偶函数的重要结论(1) f(x),g(x)设为定义域是D1,D2的奇函数,那么在D1∩D2上,f(x)+g(x)是奇函数,f(x)•g(x)是偶函数,类似的有:奇士奇=奇,奇奇=偶(课后练习),偶士偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇.(2)函数是奇函数⇔曲线y=f(x)关于原点对称,函数y=f(x)是偶函数⇔曲线y=f(x)关于y 轴对称.*(3)若y=f(x)是具有奇偶性的单调函数,则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。
(4)对于复合函数F (x)= f [g (x )],若g(x )为偶函数,则F (x)为偶函数;若g(x )为奇函数,f (x )为奇函数,则F()x 为奇函数;若g(x )为奇函数,)(x f 为偶函数,则F (x)为偶函数(自己证明).(5) f (x )既是奇函数又是偶函数的充要条件是f (x )=0 (定义域关于原点对称). (6)若函数f (x )的定义域关于原点对称,则f (x )可以表示成如下形式:)]()([21)]()([21)(x f x f x f x f x f --+-+=这个式子的特点是:右边是一个偶函数与一个奇函数的和【试题来源】【题目】求证:函数2432)(x x x f -=是偶函数。
高一数学函数的应用

高一数学第一学期授课讲义一、教学要求:结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;掌握零点存在的判定条件.二、教学重点:体会函数的零点与方程根之间的联系,掌握零点存在的判定条件.三、教学难点:恰当的使用信息工具,探讨函数零点个数.四、教学过程:(一)、复习准备:※★思考:一元二次方程2ax +bx+c=o(a ≠0)的根与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象之间有什么关系?(二)、讲授新课:1、探讨函数零点与方程的根的关系:① 探讨:方程x 2-2x-3=0 的根是什么?函数y= x 2-2x-3的图象与x 轴的交点?方程x 2-2x+1=0的根是什么?函数y= x 2-2x+1的图象与x 轴的交点?方程x 2-2x+3=0的根是什么?函数y= x 2-2x+3的图象与x 轴有几个交点?② 根据以上探讨,让学生自己归纳并发现得出结论: → 推广到y=f(x)呢?一元二次方程2ax +bx+c=o(a ≠0)的根就是相应二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交点横坐标.③ 定义零点:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点.④ 讨论:y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x 轴交点的横坐标的关系? ■结论:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x) 的图象与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点⑤ 练习:求下列函数的零点 244y x x =-+;243y x x =-+ →▲ 小结:二次函数零点情况(由一元二次次方程的判别式去确定)2、教学零点存在性定理及应用:①、观察下面函数)(x f y =的图象,在区间],[b a 上______(有/无)零点;)(a f ·)(b f _____0(<或>). 在区间],[c b 上______(有/无)零点;)(b f ·)(c f _____0(<或>). 在区间],[d c 上______(有/无)零点;)(c f ·)(d f _____0(<或>).②、◆定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b )内有零点,即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)=0的根.④ 应用:书本例题1:(P88)求函数f(x)=Lnx+2x-6的零点的个数.(注意:如何证明该函数是严格的单调递增函数?) (试讨论一些函数值→分别用代数法、几何法)⑤小结:函数零点的求法■★代数法:求方程()0f x =的实数根;■★几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.⑥ 练习:求函数23x y =-的零点所在区间.3、小结:零点概念;零点、与x 轴交点、方程的根的关系;零点存在性定理三、巩固练习:1. P88: 1题、2题 (教师计算机演示,学生回答)2. 求函数3222y x x x =--+的零点所在区间,并画出它的大致图象.3. 求下列函数的零点:① 、254y x x =--; ②、)13)(1(2+--=x x x y ;③、220y x x =-++; ④、22()(2)(32)f x x x x =--+.4. 已知2()2(1)421f x m x mx m =+++-:(1)m 为何值时,函数的图象与x 轴有两个零点;(2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求m 的值.5. 作业:P92, 2题;P93: 3题四、课堂教学巩固练习及学生作业:●1、判断方程在区间(12,8)上是否存在有实数解,并说明理由:log 2x +3x-2=0 ★解:∵f(12)<0,f(8)>0,且f(x)连续,则方程有实数解。
高一数学函数的应用举例知识精讲大全

高一数学函数的应用举例【本讲主要内容】函数的应用举例【知识掌握】【知识点精析】解函数应用问题的基本步骤:第一步:阅读理解,审清题意。
读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题。
第二步:引进数学符号,建立数学模型。
一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x、y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型。
第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果。
第四步:将所得结果再转译成具体问题的解答。
【解题方法指导】例 1. (1)一种产品的年产量原来是a件,在今后m年内,计划使年产量平均每年比上一年增加p%,写出年产量随经过年数变化的函数关系式。
(2)一种产品的成本原来是a元,在今后m年内,计划使成本平均每年比上一年降低p%,写出成本随经过年数变化的函数关系式。
解:(1)设年产量经过x年增加到y件,则)xpy x≤∈=且+a(*%)1(mxN(2)设成本经过x年降低到y元,则)apx∈-=且y x≤*N%)(1(mx特别提示:增长率问题是一重要的模型。
例2. “依法纳税是每个公民应尽的义务”。
国家征收个人所得税是分段计算的,总收入不超过800元,免征个人所得税,超过800元部分需征税,设全月纳税所得额为x,x=(1)若应纳税额为)(xf的计算公式;f,设用分段函数表示1~3级纳税额)(x(2)某人2000年10月份总收入3000元,试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元;(3)某人一月份应缴纳此项税款26.78元,则他当月工资总收入介于A. 800~900元B. 900~1200元C. 1200~1500元D. 1500~2800元(1)解:依税率表,有第一段:5000%5≤<⋅x x 。
高一数学必修一中的函数应用与实际问题解决

高一数学必修一中的函数应用与实际问题解决在我们高一数学必修一的学习中,函数这一概念占据着至关重要的地位。
它不仅仅是抽象的数学符号和公式,更是与我们的实际生活紧密相连,能够帮助我们解决许多现实中的问题。
函数,简单来说,就是两个变量之间的一种对应关系。
比如,我们去超市买苹果,苹果的单价是固定的,购买的数量和总价之间就存在着函数关系。
数量越多,总价就越高。
这种关系用数学语言表达出来,就是一个函数。
在实际问题解决中,函数有着广泛的应用。
让我们先来看一个常见的行程问题。
假设一辆汽车以恒定的速度行驶,速度为 v,行驶的时间为 t,那么行驶的路程 s 就可以表示为 s = vt 。
这里,路程 s 就是时间t 的函数。
如果我们知道了汽车的速度和行驶的时间,就能很容易地算出行驶的路程。
再比如,成本和利润的计算也离不开函数。
假设一个工厂生产某种产品,每件产品的成本是固定的,生产的数量为 x,总成本为 C ,那么 C = mx + b (其中 m 是每件产品的成本, b 是固定成本)。
而产品的销售价格为 p ,销售收入为 R = px 。
利润就是销售收入减去总成本,即 L = R C 。
通过这样的函数关系,厂家可以根据市场需求和成本情况,合理安排生产数量,以实现利润的最大化。
还有一个与我们生活息息相关的例子——水电费的计算。
在一些地区,水电费的收费标准是分段计费的。
比如,用水量在一定范围内,每吨水的价格是 a 元;超过这个范围,每吨水的价格可能就变成了 b 元。
设用水量为 x 吨,水费为 y 元,那么水费 y 就是用水量 x 的分段函数。
我们可以根据这样的函数关系,合理控制用水量,节省开支。
那么,如何运用函数来解决这些实际问题呢?首先,我们要认真分析问题,找出其中的变量和它们之间的关系。
然后,根据已知条件,建立合适的函数模型。
接下来,运用所学的函数知识,如函数的性质、图像等,对问题进行求解。
在建立函数模型时,我们要注意模型的合理性和准确性。
函数的应用-高一数学教材配套教学课件(人教A版必修第一册)

2.函数零点存在定理
【函数零点存在定理】 条件:①f(x)在[a,b]连续,②f (a)·f (b)<0 结论:函数f(x)在(a,b)内至少有1个零点.
①两个条件缺一不可; 若二缺一,则f(x)在(a,b)内可能有零点、也可能无零点. ②其逆定理不成立. 即:若f(x)在(a,b)内有零点,f(a)·f(b)<0不一定成立.
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
x -1 0 1 2 3 设f(x)=ex-(x+2)
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 f(-1)=0.37-1<0 x+2 1 2 3 4 5 f(0)=1-2<0
f(1)=2.72-3<0
f(2)=7.39-4>0 f(3)=20.09-5>0
一元二次方程 01 根的分布问题
一元二次方程根的分布问题①
设方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1, x2,
两根与0比较(a>0):
两根与0比较(a<0):
两个负根 两个正根 一正根一负根 两个负根 两个正根
一正根一负根
0
b 2a
0
f 0 0
0
x1
x2
b a
0
x1x2
开口系数±、△、
对称轴、临界点函数值±
0
b 2a
k0
ff (0k)00
0
b 2a
k0
ff(0k)00
f (k) 0 0
一元二次方程根的分布问题③
设方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1, x2,
两根在区间上的分布(a>0):
两根都在 两根仅有一根 一根在(m,n)内
高一数学函数的应用与实际问题解决方法

高一数学函数的应用与实际问题解决方法在高中数学课堂上,函数是一个非常重要的概念和工具。
数学函数的应用广泛,不仅可以帮助我们解决各种实际问题,而且可以在科学和工程领域发挥重要作用。
本文将介绍高一数学函数的应用以及解决实际问题的方法。
一、数学函数的基本概念和性质在介绍函数的应用之前,我们首先需要了解数学函数的基本概念和性质。
数学函数是一种特殊的关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用各种形式表示,常见的形式有解析式、图像、表格等。
数学函数还具有一些重要的性质,比如定义域、值域、单调性、奇偶性等,这些性质对于函数的应用非常重要。
二、函数在实际问题中的应用1. 数学模型的建立函数在实际问题中的应用首先体现在建立数学模型上。
数学模型是指将实际问题转化为数学问题的过程,通过建立数学模型,我们可以用数学函数描述实际问题,从而进行分析和求解。
比如在物理学中,我们可以用函数描述物体的运动规律;在经济学中,我们可以用函数描述供需关系;在生物学中,我们可以用函数描述生物种群的增长规律等。
2. 函数的图像分析函数的图像分析是解决实际问题的重要方法之一。
通过观察函数的图像,我们可以了解函数的特点,比如函数的增减性、最值点、拐点等。
这些特点可以帮助我们理解实际问题,并找到解决问题的方法。
例如,我们可以通过分析函数图像来确定最优化问题的最优解,或者通过函数的凹凸性分析来确定曲线的拐点。
3. 函数的方程求解函数的方程求解是解决实际问题的常用方法之一。
通过建立函数的方程,我们可以求出函数的零点、极值点等关键信息,从而解决实际问题。
例如,在物理学中,我们可以通过求解抛物线函数的方程来确定物体的运动轨迹;在经济学中,我们可以通过求解供需函数的方程来确定均衡点。
三、实际问题解决的方法在解决实际问题时,我们需要根据具体情况选择合适的方法。
以下是一些常见的解决实际问题的方法:1. 建立数学模型根据问题的特点,选择合适的数学函数建立数学模型,将实际问题转化为数学问题。
高一数学函数的应用1(PPT)5-1

x a-2x
x
名打击乐器,一面蒙牛皮,鼓框内膛呈喇叭形,上口径约一寸,发音脆亮,是戏曲乐队中的指挥乐器。 【板胡】名胡琴的一种,琴筒呈半球形,口上蒙着薄 板。发音高亢。 【板结】①动土壤因缺乏有机质,结构不良,灌水或降雨后地面变硬,不利于农作物生长,叫做板结。②形比喻呆板;不灵活;不会变通: 改革~的用人机制。 【板块】名①大地;翻译公司 https:/// 翻译公司 ;构造理论指地球上岩石圈的构造单元,由海岭、海沟等构造带分 割而成。全球共分为六大板块,即欧亚板块、太平洋板块、美洲板块、非洲板块、印澳板块和南极洲板块。大板块又可划分成小板块。②比喻具有某些共同 点或联系的各个部分的组合:晚会节目分为歌舞、戏曲、相声、小品几个~。 【板蓝根】名菘蓝或马蓝的根,可入。 【板栗】名栗子。 【板楼】名多层或 高层的略呈狭长板形的楼房(区别于“塔楼”)。 【板上钉钉】ī比喻事情已定,不能变更。 【板实】?〈方〉形①(土壤)硬而结实:地~,不长庄稼。② (书皮、衣物等)平整直挺:衣服叠得很~。③(身体)硬朗壮实:老人身子骨还~。 【板式】名戏曲唱腔的节拍形式,如京剧中的慢板、快板、二六、流 水等。 【板书】①动在黑板上写字:需要~的地方,在备课时都作了记号。②名在黑板上写的字:工整的~。 【板刷】名毛比较粗硬的刷子,板面较宽,没 有柄,多用来刷洗布衣、鞋子等。 【板瓦】名瓦的一种,瓦面较宽,弯曲的程度较小。 【板型】名样式;款式:服装~|~新颖。也作版型。 【板鸭】名 宰杀后煺毛,经盐渍并压成扁平状风干的鸭子。 【板牙】名①〈方〉切牙。②切削外螺纹的刀具。 【板烟】名压成块状或片状的烟丝。 【板眼】名①民族
高一数学必修一《函数的应用》课件

主讲人:于俊洁
1、范围固定时需加绝对引用 2、排序的方式要根据实际需求选择
IF( ) 判断函数
数值、表达式
主讲人:于俊洁
条件成立时 返回值
条件不成立时返回值
IF( )函数巩固练习
主讲人:于俊洁
田径比赛中判断选手是否获奖
函数比较
主讲人:于俊洁
函数
有无条件
数据类型
COUNT
COUNTIF
无 有
数字
Excel中函数的应用
主讲人:于俊洁
主讲:于俊洁 单位:青1、应用所学函数进行相应的计算 O、P、Q三列 2、小组讨论如何计算”最终得分”即Q 列
最终得分的计算
主讲人:于俊洁
授课内容
RANK ( ) IF( )
主讲人:于俊洁
排名函数 判断函数 计数函数 有条件计数函数
搜索相关知识,如何利用EXCEL
函数制作新年倒计时牌
测一测
主讲人:于俊洁
强化学生对函数功能的掌握
实战操作
主讲人:于俊洁
1、完成学生成绩表的数据统计(必做)
2、完成职业工工资表统计(选做)
课堂小结
RANK IF
主讲人:于俊洁
排名函数 绝对引用”$” 根据判断表达式 真假返回不同值 计数函数(数字) 有条件计数
COUNT COUNTIF
作业
主讲人:于俊洁
COUNT( )
COUNTIF( )
RANK( ) 排名函数
要排名的数
主讲人:于俊洁
Q3 Q$3 Q3:Q$21 Q21
范围 绝对引用$
升降序 0或省略:降序 非零值: 升序
RANK( )函数巩固练习
主讲人:于俊洁
高一上册数学函数应用知识点

高一上册数学函数应用知识点高一上册数学函数应用知识点在年少学习的日子里,大家对知识点应该都不陌生吧?知识点是知识中的最小单位,最具体的内容,有时候也叫“考点”。
那么,都有哪些知识点呢?以下是店铺整理的高一上册数学函数应用知识点,欢迎大家借鉴与参考,希望对大家有所帮助。
一次函数一、定义与定义式:自变量x和因变量y有如下关系:y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。
即:y=kx(k为常数,k≠0)二、一次函数的性质:1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2、当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质:1、作法与图形:通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。
(通常找函数图像与x 轴和y轴的交点)2、性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x 轴总是交于(—b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
3、k,b与函数图像所在象限:当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;当b=0时,直线通过原点当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式:已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。
函数的应用高一数学

函数的应用高一数学函数的应用高一数学函数的应用高一数学1函数的应用 (1)教学目标:了解指数函数,对数函数等函数模型的应用12.某种商品定价为每件60元,不加收附加税时,每年销售80万件,若政府征收附加税,每销售100元要征税p元,(即税率为p%),因此每年销售将削减万件。
(1)将政府每年对该商品征收的总税金(万元)表成p的函数,并求出定义域(2)要使政府在此项经营中每年征收税金不少于128万元,税率p%应怎样确定(3)在所收税金不少于128万元前提下,要让厂家获得最大销售金额,如何确定p值16.某客运公司购买了每辆价值为20万元的大客车投入运营,依据调查材料得知,每辆大客车每年客运收入约为10万元,且每辆客车第n年的油料费、修理费及其它各种管理费用总和与年数n成正比,又知第三年每辆客车以上费用是每年客运收入的48%(1)写出每辆客车运营的总利润(客运收入扣除总费用及成本)(万元)与n(n∈N)的函数关系式;(2)每辆客车运营多少年可使运营的年平均利润最大?并求出最大值。
17.某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比,经测试,当船速为10公里/小时,燃料费用是每小时20元,其余费用(不论速度如何)都是每小时320元,试问该船以每小时多少公里的速度航行时,航行每公里耗去的总费用最少,大约是多少?18.某工厂建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(如图)。
假如池外围圈周壁建筑单价为每米400元,中间两条隔墙建筑单价为每米248元,池底建筑单价为每平方米80元,池壁厚度不计。
(1)试设计水池的长宽,使总造价最低,并求最低造价;(2)若受地形限制,水池长宽都不得超过16米,求最低造价。
课堂练习:略小结:了解指数函数,对数函数等函数模型的应用函数的应用高一数学2一、内容及其解析(一)内容:指数函数的性质的应用。
(二)解析:通过进一步巩固指数函数的图象和性质,把握由指数函数和其他简洁函数组成的复合函数的性质:定义域、值域、单调性,最值等性质。
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幂函数和零点及函数的应用要求层次重点难点函数的 零点B①理解函数零点的概念 ②掌握函数零点的性质①明确零点是一个“值”,而非一个点的坐标②会利用函数的零点探索二次方程根的分布问题 二分法 A 了解二分法的原理了解二分法的原理函数模型的应用C①能够应用函数的性质解决有关数学问题,能够应用函数知识解决一些简单的实际问题;②培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力掌握建立函数模型的数学思想板块一:函数的零点 (一) 主要知识:函数的应用是学习函数的主要目的之一.本讲内容重点放在函数在数学内部的应用,使函数的学习构成一个完整的有机体,同时本模块的结构也给我们呈现了研究一个问题完整的思路和方法.本节内容不但揭示函数、方程、不等式等内容的横向联系,又体现螺旋上升的学习函数的纵向联系.在二分法求函数零点近似解的过程中渗透的算法思想,为模块3学习算法作了必要的准备,另外,也为进入大学学习介值定理、区间套定理,体会极限的思想等起到基础性的作用.函数与方程的学习,对学生进一步理解函数的概念和性质,树立数学应用的意识,形成正确的世界观起到重要的作用.一、零点的概念:对于函数y =f (x )(x ∈D ),把使f (x )=0成立的实数x 叫做函数y =f (x )(x ∈D )的零点.二、函数零点的意义:高考要求第7讲 函数的应用知识精讲函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根,亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.即方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.三、零点存在性判定定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.【说明】这样得到方程f(x)=0在区间(a,b)内必有根,由此只能判断根的存在,既不能判定有多少个实数根,也不能得出根的值.(二)典例分析:【例1】画出函数3=-+的图象,判断函数在以下区间(-1.5,-1),(0,0.5),(0.8,1.5)内()231f x x x有无零点,并判断零点的个数.【例2】求函数32=--+的零点,并画出它的图象.22y x x x【例3】已知m∈R,函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点,求实数a的取值范围,()f x是奇函数?【例4】 若关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一的实根,求实数a 的取值范围.用函数的思想看方程的解函数在方程中的应用主要是构造函数,确定方程的实根的个数、讨论方程的实根的存在性和唯一性问题以及讨论方程的实根的范围问题.主要方法是构造各种函数,利用数形结合,观察函数图象的交点等等.【例5】 试判断方程22xx -+=【例6】 试判断方程2|9|2x a -=+实根的个数.板块二:函数性质应用注:⑴“周期性”中的“周期”在本表中不一定是最小正周期;⑵可以用“内偶则偶,内奇则外”和“相同则增,不同则减”记忆奇偶性和单调性.2.函数的四则运算结果的周期性一般来说,设函数()f x 和函数()g x 的周期分别是1T 和2T ,如果存在T ,使得12T mT nT ==(m 、n 为非零整数),则T 是函数()f x 和函数()g x 的和、差、积以及商的周期.【例7】 设21()(,,Z)ax f x a b c bx c+=∈+是奇函数,且有(1)2f =,2(2)3f <<成立.⑴ 求,,a b c 的值;⑵ 用定义证明()f x 在(1,0)-上是减函数.【例8】 已知x ,y 为实数,且满足33(1)2007(1)1(1)2007(1)1x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩,求x y +的值.【例9】 判断下列函数的奇偶性并说明理由:⑴ 221()1xxa f x a +=-(0a >且1)a ≠;⑵ ()f x = ⑶ 2()5||f x x x =+.【例10】 已知函数()f x 为R 上的奇函数,且当0x >时()(1)f x x x =-.求函数()f x 的解析式.【例11】 已知函数()f x ,当,R x y ∈时恒有()()()f x y f x f y +=+.⑴求证:函数()f x 是奇函数; ⑵ 若(3)f a -=,试用a 表示(24)f .【例12】 定义在R 上的偶函数()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-,如果这个函数在[1,2]上是增函数,则在[1,0]-上函数()f x 是( )A .增函数B .在1[1,]2--是减函数,在1[,0]2-上是增函数C .减函数D .在1[1,]2--是增函数,在1[,0]2-上是减函数【例13】 已知函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-,如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根,那么这两根之和等于_____【例14】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭,成中心对称图形,且满足3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,(1)1f -=,(0)2f =-.那么,(1)(2)(2006)f f f +++的值是( )A .1B .2C .1-D .2-板块三:函数实际应用本讲涉及函数在数学内部的应用.大纲教材讲函数应用主要是讲函数在解决实际问题中的应用,而未涉及数学内部的应用.课标这样处理对于学生完整地理解函数的应用,掌握分析、研究问题的方法大有好处.函数与方程安排在这个位置也是恰当的,前面学习的函数性质和相关知识,为函数的应用提供了必要的准备,反过来通过本节的学习可以更好的认识和巩固前面的知识,温故知新.(一) 主要知识:1.函数定义域、图象、单调性质等知识;2.函数的值域、最值等知识.3.具体函数模型的性质和图象知识.(二)主要方法:一. 解答应用问题时,首先应进行严密地思考和深刻的分析综合,再将问题中的数量关系找出来,并联系实际问题建立相应的数学模型,转化为数学问题来 解决,注意实际问题中对自变量取值范围的限制.二. 解决应用性问题的一般步骤为:()1审题;()2建模;()3求解;()4作答. 我们可以用示意图表示为:(三)典例分析:1.基本函数模型问题【例15】 一个圆柱形容器的底面直径为d cm ,高度为h cm ,现以每秒3cm V 的速度向容器内注入一种溶液,求出容器内溶液高度y 与注入时间x (s )的函数关系及其定义域【例16】 某地区上年度电价为0.8元/kW ·h ,年用电荷量为a kW ·h ,本年度计划将电价降到0.55元/ kW ·h至0.75元/ kW ·h 之间,而用户期望电价为0.4元/ kW ·h .经测算,下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k ).该地区电力的成本价为0.3元/ kW ·h .(1)写出本年度电价下调后,电力部门的受益y 与实际电价x 的函数关系式;(2)设k =0.2a ,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增长20%(注:受益=实际用电量×(实际电价-成本价))?【例17】 某农场新开垦50亩土地,计划用20个劳动力耕种这片土地,所能种植的作物及产值如下表:问怎样安排作物的种植数量,才能使总产值最高?【例18】某商店将进货价每个10元的商品按每个18元出售时,每天可卖出60个,商店经理到市场上做了一番调查后发现,若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高一元,则日销量就减少5个;若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元,则日销量就增加10个.为了每日获得最大利润,此商品的售价应定为每个多少元?【例19】一批发兼零售的文具商店规定:凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算,而少于51支则按零售价计算,批发价每购60支比零售价60支少付1元.现有班长小王来购铅笔,若给全班每人买一支,则必须按零售价结算,需支付m元(m为整数),但若多买10支,则可按批发价结算,恰好也是支付m元,问该班有多少学生?【例20】(第五届北京高中数学知识应用竞赛)中国青年报2001年3月19日报道:中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”,这个:“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法.(1)“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t(月通话量是指一个月内每次通话用时之和,每次通话用时以分为单位取整计算,如某次通话时间为3分20秒,按4分钟计通话用时)的函数关系式;(2)取第4种收费方式,通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱;(3)据中国移动2000年公布的中期业绩,每户通话平均为每月320分钟,若一个用户的通话量恰好是这个平均值,那么选择哪种收费方式更合算,并说明理由.【例21】一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比,已知当航速为每小时a海里时,每小时所耗燃料费为b元;此外,该海轮航行中每小时的其它费用为c元(与航速无关),若该海轮匀速航行d海里,问航速应为每小时多少海里才能使航行的总费用最省?此时的总费用为多少?板块四:函数性质综合函数的综合运用(本部分内容对于新生可能较难,可以视情况而定)函数综合问题主要表现在以下几个方面: 1、 函数的概念、性质和方法的综合问题;2、 函数与其它代数知识,主要是方程、不等式、数列的综合问题;3、 函数与解析几何知识结合的问题【例22】 已知奇函数)(x f 满足)18(log ,2)(,)1,0(),()2(21f x f x x f x f x则时且=∈-=+的值为 。
【例23】 已知定义在R 上的函数)(x f 满足:2)1(,0)(,0),()()(-=<>+=+f x f x b f a f b a f 时且(1)求证:)(x f 是奇函数(2)求)(x f 在[-3,3]上的最大值和最小值。
【例24】 已知x x f 2log )(=,当点M(x,y)在函数)(x f y =的图象上运动时,点(x-2,ny)在函数)(x q y n =的图象上运动(n ∈N +)(1)求)(x q n 的表达式 (2)设),()()(;)21()(11)(x q x H x F x H x q n n -==求F(x)的表达式,判断其单调性,并给予证明.(3)求集合{A a =使方程12()(2)q x q x a =-+有实数根,}a R ∈【例25】 设函数)(1log 2*∈=N n xy n (1)n=1,2,3……时,把已知函数的图象和直线y=1的交点横坐标依次记为a 1,a 2,a 3,…a n , …,求证:a 1+a 2+a 3+…+a n <1;(2)对于每一个n 值,设A n ,B n 为已知函数图象上与x 轴距离为1的两点,求证:n 取任意一个正整数时,以A n B n 为直径的圆都与一条定直线相切,求出这条定直线和切点坐标.【例26】 解不等式|21|21x x -≤+习题1. 函数22()a x f x -=,则a 的取值范围是( ). A .10a -<≤或01a <≤ B .1a -≤或1a ≥C .0a >D .0a <习题2. 已知函数3()2f x x x =--.若1x 、2x 、3x ∈R 且120x x +>,230x x +>,310x x +>.则123()()()f x f x f x ++( ).A .大于零B .小于零C .等于零D .大于零或小于零家庭作业习题3. 已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数,且当*n ∈N 时,*()f n ∈N ,[()]3f f n n =,则(1)(2)f f += .习题4. 函数()f x 在R 上有定义,且满足① ()f x 是偶函数;② (0)2005f =;③ ()(1)g x f x =-是奇函数;求(2005)f 的值.习题5. 讨论幂函数a y x =(a 为有理数)的定义域.习题6. 定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=,且函数32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数.给出以下3个命题:①函数()f x 的周期是6;②函数()f x 的图象关于点302⎛⎫- ⎪⎝⎭,对称; ③函数()f x 的图象关于y 轴对称.其中,真命题的个数是( ).A .3B .2C .1D .0习题7. 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产品数据为依据,用一个函数模拟产品的月产量y 与月份数x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数x y ab c =+(其中a ,b ,c 为常数),已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由.习题1. 当,x y ∈R 时,函数221(,)()f x y x y y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的最小值为 .习题2. (1)设)(x f 是定义域为R 的任一函数,2)()()(,2)()()(x f x f x G x f x f x F --=-+=。