高一数学讲义 函数的应用

幂函数和零点及函数的应用要求层次重点难点函数的 零点B①理解函数零点的概念 ②掌握函数零点的性质①明确零点是一个“值”，而非一个点的坐标②会利用函数的零点探索二次方程根的分布问题 二分法 A 了解二分法的原理了解二分法的原理函数模型的应用C①能够应用函数的性质解决有关数学问题，能够应用函数知识解决一些简单的实际问题；②培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力掌握建立函数模型的数学思想板块一：函数的零点 (一) 主要知识：函数的应用是学习函数的主要目的之一.本讲内容重点放在函数在数学内部的应用，使函数的学习构成一个完整的有机体，同时本模块的结构也给我们呈现了研究一个问题完整的思路和方法.本节内容不但揭示函数、方程、不等式等内容的横向联系，又体现螺旋上升的学习函数的纵向联系.在二分法求函数零点近似解的过程中渗透的算法思想，为模块3学习算法作了必要的准备，另外，也为进入大学学习介值定理、区间套定理，体会极限的思想等起到基础性的作用.函数与方程的学习，对学生进一步理解函数的概念和性质，树立数学应用的意识，形成正确的世界观起到重要的作用.一、零点的概念：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点.二、函数零点的意义：高考要求第7讲 函数的应用知识精讲函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.即方程f(x)=0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.三、零点存在性判定定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.【说明】这样得到方程f(x)=0在区间(a,b)内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值.(二)典例分析：【例1】画出函数3=-+的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)内()231f x x x有无零点，并判断零点的个数.【例2】求函数32=--+的零点，并画出它的图象.22y x x x【例3】已知m∈R，函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点，求实数a的取值范围，()f x是奇函数？【例4】 若关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一的实根，求实数a 的取值范围.用函数的思想看方程的解函数在方程中的应用主要是构造函数，确定方程的实根的个数、讨论方程的实根的存在性和唯一性问题以及讨论方程的实根的范围问题.主要方法是构造各种函数，利用数形结合，观察函数图象的交点等等.【例5】 试判断方程22xx -+=【例6】 试判断方程2|9|2x a -=+实根的个数.板块二：函数性质应用注：⑴“周期性”中的“周期”在本表中不一定是最小正周期；⑵可以用“内偶则偶，内奇则外”和“相同则增，不同则减”记忆奇偶性和单调性．2．函数的四则运算结果的周期性一般来说，设函数()f x 和函数()g x 的周期分别是1T 和2T ，如果存在T ，使得12T mT nT ==(m 、n 为非零整数)，则T 是函数()f x 和函数()g x 的和、差、积以及商的周期．【例7】 设21()(,,Z)ax f x a b c bx c+=∈+是奇函数，且有(1)2f =，2(2)3f <<成立．⑴ 求,,a b c 的值；⑵ 用定义证明()f x 在(1,0)-上是减函数．【例8】 已知x ，y 为实数，且满足33(1)2007(1)1(1)2007(1)1x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩，求x y +的值．【例9】 判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴ 221()1xxa f x a +=-(0a >且1)a ≠；⑵ ()f x = ⑶ 2()5||f x x x =+．【例10】 已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．【例11】 已知函数()f x ，当,R x y ∈时恒有()()()f x y f x f y +=+．⑴求证：函数()f x 是奇函数； ⑵ 若(3)f a -=，试用a 表示(24)f ．【例12】 定义在R 上的偶函数()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，如果这个函数在[1,2]上是增函数，则在[1,0]-上函数()f x 是( )A ．增函数B ．在1[1,]2--是减函数，在1[,0]2-上是增函数C ．减函数D ．在1[1,]2--是增函数，在1[,0]2-上是减函数【例13】 已知函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_____【例14】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭，成中心对称图形，且满足3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(1)1f -=，(0)2f =-．那么，(1)(2)(2006)f f f +++的值是( )A ．1B ．2C ．1-D ．2-板块三：函数实际应用本讲涉及函数在数学内部的应用.大纲教材讲函数应用主要是讲函数在解决实际问题中的应用，而未涉及数学内部的应用.课标这样处理对于学生完整地理解函数的应用，掌握分析、研究问题的方法大有好处.函数与方程安排在这个位置也是恰当的，前面学习的函数性质和相关知识，为函数的应用提供了必要的准备，反过来通过本节的学习可以更好的认识和巩固前面的知识，温故知新.(一) 主要知识：1.函数定义域、图象、单调性质等知识；2.函数的值域、最值等知识.3.具体函数模型的性质和图象知识.(二)主要方法：一. 解答应用问题时，首先应进行严密地思考和深刻的分析综合，再将问题中的数量关系找出来，并联系实际问题建立相应的数学模型，转化为数学问题来 解决，注意实际问题中对自变量取值范围的限制.二. 解决应用性问题的一般步骤为：()1审题；()2建模；()3求解；()4作答． 我们可以用示意图表示为：(三)典例分析：1．基本函数模型问题【例15】 一个圆柱形容器的底面直径为d cm ，高度为h cm ，现以每秒3cm V 的速度向容器内注入一种溶液，求出容器内溶液高度y 与注入时间x (s )的函数关系及其定义域【例16】 某地区上年度电价为0.8元/kW ·h ，年用电荷量为a kW ·h ，本年度计划将电价降到0.55元/ kW ·h至0.75元/ kW ·h 之间，而用户期望电价为0.4元/ kW ·h .经测算，下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k ).该地区电力的成本价为0.3元/ kW ·h .(1)写出本年度电价下调后，电力部门的受益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k =0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增长20%(注：受益＝实际用电量×(实际电价－成本价))？【例17】 某农场新开垦50亩土地，计划用20个劳动力耕种这片土地，所能种植的作物及产值如下表：问怎样安排作物的种植数量，才能使总产值最高？【例18】某商店将进货价每个10元的商品按每个18元出售时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高一元，则日销量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销量就增加10个.为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？【例19】一批发兼零售的文具商店规定：凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算，而少于51支则按零售价计算，批发价每购60支比零售价60支少付1元.现有班长小王来购铅笔，若给全班每人买一支，则必须按零售价结算，需支付m元(m为整数)，但若多买10支，则可按批发价结算，恰好也是支付m元，问该班有多少学生？【例20】（第五届北京高中数学知识应用竞赛）中国青年报2001年3月19日报道：中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个：“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法.（1）“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；（3）据中国移动2000年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由.【例21】一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比，已知当航速为每小时a海里时，每小时所耗燃料费为b元；此外，该海轮航行中每小时的其它费用为c元(与航速无关)，若该海轮匀速航行d海里，问航速应为每小时多少海里才能使航行的总费用最省？此时的总费用为多少？板块四：函数性质综合函数的综合运用(本部分内容对于新生可能较难，可以视情况而定)函数综合问题主要表现在以下几个方面： 1、 函数的概念、性质和方法的综合问题；2、 函数与其它代数知识，主要是方程、不等式、数列的综合问题；3、 函数与解析几何知识结合的问题【例22】 已知奇函数)(x f 满足)18(log ,2)(,)1,0(),()2(21f x f x x f x f x则时且=∈-=+的值为 。

【例23】 已知定义在R 上的函数)(x f 满足：2)1(,0)(,0),()()(-=<>+=+f x f x b f a f b a f 时且（1）求证：)(x f 是奇函数（2）求)(x f 在[-3，3]上的最大值和最小值。

【例24】 已知x x f 2log )(=,当点M(x,y)在函数)(x f y =的图象上运动时,点(x-2,ny)在函数)(x q y n =的图象上运动(n ∈N +)(1)求)(x q n 的表达式 (2)设),()()(;)21()(11)(x q x H x F x H x q n n -==求F(x)的表达式,判断其单调性,并给予证明.(3)求集合{A a =使方程12()(2)q x q x a =-+有实数根，}a R ∈【例25】 设函数)(1log 2*∈=N n xy n （1）n=1,2,3……时,把已知函数的图象和直线y=1的交点横坐标依次记为a 1,a 2,a 3,…a n , …，求证：a 1+a 2+a 3+…+a n <1;（2）对于每一个n 值,设A n ,B n 为已知函数图象上与x 轴距离为1的两点,求证:n 取任意一个正整数时,以A n B n 为直径的圆都与一条定直线相切,求出这条定直线和切点坐标.【例26】 解不等式|21|21x x -≤+习题1. 函数22()a x f x -=，则a 的取值范围是( )． A ．10a -<≤或01a <≤ B ．1a -≤或1a ≥C ．0a >D ．0a <习题2. 已知函数3()2f x x x =--．若1x 、2x 、3x ∈R 且120x x +>，230x x +>，310x x +>．则123()()()f x f x f x ++( )．A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．大于零或小于零家庭作业习题3. 已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且当*n ∈N 时，*()f n ∈N ，[()]3f f n n =，则(1)(2)f f += ．习题4. 函数()f x 在R 上有定义，且满足① ()f x 是偶函数；② (0)2005f =；③ ()(1)g x f x =-是奇函数；求(2005)f 的值．习题5. 讨论幂函数a y x =(a 为有理数)的定义域.习题6. 定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=，且函数32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数．给出以下3个命题：①函数()f x 的周期是6；②函数()f x 的图象关于点302⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 的图象关于y 轴对称．其中，真命题的个数是( )．A ．3B ．2C ．1D ．0习题7. 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数x y ab c =+(其中a ，b ，c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.习题1. 当,x y ∈R 时，函数221(,)()f x y x y y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．习题2. （1）设)(x f 是定义域为R 的任一函数，2)()()(,2)()()(x f x f x G x f x f x F --=-+=。