第10讲_一元一次方程___奥数,学而思,超常班

未参加
X
X+8
一共
4X
4X‐16
根据“参加的是未参加的 2 倍”得方程：
3X‐24=2（X+8）
解得，X=40
总人数 4X=160（人）
答：六年级总人数 160 人。
超常 123 班学案 4：今年兄弟俩的年龄和是 55 岁，曾经有一年，哥哥的年 龄刚好是弟弟今年的年龄，而那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的 2 倍。兄弟俩今
方法二： X 2 +2X+1=100
X 2 +2X=99 X（X+2）=99 X 与 X+2 是两个相差二的自然数，乘积为 99，只能分解为 9×11 X=9,X+2=11
方法三：（完全平方公式） (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
( X +1)2 = X 2 +2X×1+12 = X 2 +2X+1
60
？
根据“当乙的年龄是丙的 2 倍时，甲是 31 岁”，列方程： 31‐X=2（53‐2X）
解，得 X=25 至此，表格信息已全，无论原题问什么都可求：
甲
乙
丙
年份 1
2X=50
X=25
22
年份 2
31
31‐X=6
53‐2X=3
年份 3
60
？=32
或由甲‐丙=2X‐22=28 直接列式：60‐28=32 答：当甲 60 岁时，丙是 32 岁。
例 7：一次数学竞赛，某校六年级学生参加的人数是未参加的 3 倍，如果六
年级人数学生减少 16 人，未参加的学生增加 8 人，那么参加的是未参加的 2 倍。
六年级总人数是多少？
解：根据“六年级学生参加的人数是未参加的 3 倍”，选择设未参加的人数
为 X，参加的为 3X。
变化前
变化后
参加
3X
4X‐16‐( X+8)=3X‐24
年分别多少岁？
解：根据“那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的 2 倍”设那时弟弟年龄为 X， 则那时哥哥年龄为 2X。隐含信息：年龄差为 X
哥哥
弟弟
曾经有一年
2X
X
今年
2X+X=3X（年龄差不变为 X） 2X（曾经有一年，哥哥的年龄刚
好是弟弟今年的年龄）
今年兄弟俩的年龄和是 55 岁，列方程
3X+2X=55
口诀：首平方，尾平方；二倍乘积在中央。】
补充两道小升初真题：
补充 1：大小两池都未注满水。若从小池抽水将大池注满，则小池还剩 5 吨 水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩 30 吨水。已知大池容量是小池的 1.5 倍，问：两池中共有多少吨水？
2011 春季班三年级超常班
学而思 侯晓琳
解：设两池中共有水 X 吨。 若从小池抽水将大池注满，则小池还剩 5 吨水，说明大池容量为 X‐5； 若从大池抽水将小池注满，则大池还剩 30 吨水，说明小池容量为 X‐30。
解：设王二小有 X 只鸭子。
根据“头数加只数，只数减头数，只数乘头数，只数除头数，把四个得数相加恰好是 100”。
列方程： X+X + X‐X + X×X + X÷X = 100
化简得， X 2 +2X+1=100
此方程为一元二次方程，一般看到都感觉不太会解。可以采用如下三种方法： 方法一：尝试法由于数字不太大，可以尝试得 X=9
解得 X=69 则较大数为 69+23=92 答：大数为 92，小数为 69。
例 6：（迎春杯真题）王二小放一群鸭子到池塘，邻居李大妈问二小一共有
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多少只鸭子。二小答道“头数加只数，只数减头数，只数乘头数，只数除头数， 把四个得数相加恰好是 100”。王二小一共有多少只鸭子?
解：设小李今年 X 岁，爷爷今年 5X
今年的年龄
12 年后的年龄
小李
X
X+12
爷爷
5X
5X+12
根据“12 年后，爷爷的年龄将是他的 3 倍，”
列得方程：5X+12=3（X+12）
解得 X=12
答：小李今年 12 岁。
注：表格助于分析整理条件，熟悉后可略去。
例 4：（盈亏问题）一个工人接到加工一批零件的任务，限期完成。如果每 天做 10 个，还差 3 个完成任务；如果每天做 11 个，就可以提前 1 天完成。他的 工作期限是多少天？
超常学案 1：①8X‐2（7+X）=4 解： 8X‐14‐2X=4（注意去括号要同时完成两个任务①乘法分配
律；②括号前是减号要变号 8X‐2X=4+14 6X=18 X=3
补充题：6（3‐X）‐5（X‐1）=1【X=2】 3X+2‐2（2X‐1）=0【X=4】
二、列方程解应用题
步骤：设、列、解、（检验）、答。
解得 X=11 哥哥今年：3X=33；弟弟今年：2X=22 答：哥哥今年 33 岁；弟弟今年 22 岁。
例 8：甲乙丙三人，当甲的年龄是乙的 2 倍时，丙是 22 岁；当乙的年龄是 丙的 2 倍时，甲是 31 岁；当甲 60 岁时，丙是多少岁？
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解：由“当甲的年龄是乙的 2 倍时，……”可知年龄：甲＞乙； 由“当乙的年龄是丙的 2 倍时，……”可知年龄：乙＞丙；
根据“大池容量是小池的 1.5 倍，”列方程： X‐5=1.5（X‐30）
解，得 X=80 答：两池中共有 80 吨水.
补充 2：一群学生进行篮球测验，每人投 10 次，按每人进球数统计的部分 情况如下表：
进球数
0
1
2
……
8
9
10
人数
7
5
4
……
3
4
1
还知道至少投进 3 个球的人平均投进 6 个球，投进球不到 8 个球的人平均投进 3 个球，问：共有多少人参加测验？
分析与答：
【平均数问题：总数=平均数×数量 本题乍一看毫无头绪，就是因为中间的信息不全，但从条件入手，就可以巧
妙的回避省略号处不全的信息。列方程解应用题一定要找到等量关系，同一个量，
用两种不同的表达方式把它表示出来，就得到方程。本题中：
投中的总球数，既等于进球数不到 3 个的人的进球数加上至少投进 3 个球的 人的进球数，也等于进球数不到 8 个的人的进球数加上至少投进 8 个球的人的进 球数。
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第十讲 一元一次方程
一、 一元一次方程的解法
相关概念： 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；
（2）等式两边同时乘以或除以（除数不为零）同一个数，等式 仍然成立。
方程：含有未知数的等式。 （两个注意：（1）含有未知数；（2）等式。）
元：未知数的个数（几种未知数就是几元）； 次：未知数最高次项的次数。
解，得 X=43 答：共有 43 人参加测验。
（二）间接设未知数
超常 123 学案 3：水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的 4 倍，如果每天卖 130 个西瓜和 36 个哈密瓜，那么哈密瓜买完后还剩下 70 个西瓜。问：水果店运 来的西瓜和哈密瓜共多少个？
解：设卖了 X 天。（由于两种水果卖的个数和天数紧密相关，故选择设天数
可见算术方法和方程是对应的。算术方法对应着解方程的过程。有的题目有 多种算术方法就可以列得多个不同的方程。如鸡兔同笼，有兴趣的同学可以试试， 有助于加深对方程的理解。】
例 5：（和差问题）把 161 分成两个数，使两数之和是两数之差的 7 倍，求 这两个数各是多少？
解：两数差为 161÷7=23，设较小数为 X，则大数为 X+23，根据两数和为 161 解方程 X+（X+23）=161
综上，甲＞乙＞丙
根据“当甲的年龄是乙的 2 倍时，丙是 22 岁”设这时乙 X 岁，则甲 2X。 隐含条件甲乙年龄差：甲‐乙=X；
甲丙年龄差：甲‐丙=2X‐22.
甲
乙
丙
年份 1
Hale Waihona Puke Baidu
2X
X
22
年份 2
31
31‐X
31‐（2X‐22）=53‐2X
（甲乙年龄差：甲‐乙=X）
（甲丙年龄差：甲‐丙=2X‐22）
年份 3
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为未知数）
卖
剩
共
西瓜
130X
70
130X+70
哈密瓜
36X
0
36X
根据“水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的 4 倍，”列方程： 130X+70=4×36X 解得 X=5
西瓜：130×5+70=720（个） 哈密瓜：36×5=180（个） 共 720+180=900（个） 答：水果店运来的西瓜和哈密瓜共 900 个。
解：设工作期限是 X 天。（根据总量相等列方程） 10X+3=11（X‐1）
解得，X=14 答：工作期限是 14 天。 【附：本题的算术解法：（11+3）÷（11‐10）=14（天）
而解方程的过程 10X+3=11（X‐1）
10X+3=11X‐11
11+3=11X‐10X X=（11+3）÷（11‐10）
解一元一次方程步骤： （1） 去括号（注意①乘法分配律；②括号前是减号要变号） （2） 移项（过桥变号） （3） 合并 （4） 求解 前两步易错。
例 1：①2X+12=4X‐12 解：12+12=4X‐2X（移项注意过桥变号；未知数放左边不够减就放右边） 24=2X（合并） X=12（求解；最后一步建议把 X 写左边） ②10（X+2）=4（2X+7） 解：10X+20=8X+28（去括号，注意乘法分配律） 10X‐8X=28‐20（移项，注意变号） 2X=8 X=4
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学而思 侯晓琳
我们学习方程工具以后，复杂的应用题不需要绕来绕去分析。直接根据题意 列方程求解即可。
设未知数有直接设未知数和间接设未知数。
（一）直接设未知数
例 2：（年龄问题）今年，爷爷的年龄是小李的 5 倍，小李发现，12 年后，
爷爷的年龄将是他的 3 倍，试求出今年小李的年龄。
原方程华为 ( X +1)2 =100
即 ( X +1)2 =102
X+1=10 X=9
答：王二小有 9 只鸭子。
【附：完全平方公式的证明： 如图所示：正方形边长为 a+b，
面积为 (a + b)2 ；
又可以如图分割：面积为 a2 + 2ab + b2
所以 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
设共有 X 人参加测验。 至少投进 3 个球的人数为（X‐7‐5‐4）人，已知至少投进 3 个球的人平均投进 6 个球，则至少投进 3 个球的人共投进 6×（X‐7‐5‐4）个球，则投中的总球数（等 于进球数不到 3 个的人的进球数加上至少投进 3 个球的人的进球数）为 0×7+1 ×5+2×4+6×（X‐7‐5‐4）=6X‐83； 投进不到不到 8 个球的人数为（X‐3‐4‐1）人，已知投进球不到 8 个球的人平 均投进 3 个球，则投进球不到 8 个球的人共投进 3×（X‐3‐4‐1）个球，则投球的 总数（等于进球数不到 8 个的人的进球数加上至少投进 8 个球的人的进球数）为 3×（X‐3‐4‐1）+8×3+9×4+10×1=3X+46； 列方程 6X‐83=3X+46】 解：设共有 X 人参加测验。 0×7+1×5+2×4+6×（X‐7‐5‐4）=3×（X‐3‐4‐1）+8×3+9×4+10×1