一一个方程所确定的隐函数和其导数
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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
d y ψ ′( t ) ψ ′( t ) dx , 即 , = 所以 dy = ϕ ′( t ) d x ϕ ′( t ) dy dy dt 或者 = . 参数方程的求导公式. 参数方程的求导公式. dx dx dt
14
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
π x = a ( t − sin t ) 在t = 处的切线方程 . 例 求摆线 2 y = a (1 − cos t ) dy dy dt a sin t = = 解 dx a − a cos t y dx a a dt sin t a a , = 2πa x πa O 1 − cos t π sin dy 2 = 1. 当 t = π 时, x = a ( π − 1), 所以 π = 2 dx t = 2 1 − cos π y = a. 2 2 π 所求切线方程为 y − a = x − a ( − 1) 2 π 即 y = x + a ( 2 − ). 2 15
隐函数 设函数y=f (x)由方程 xy + 2 ln x = y 4所确定, 设函数 由方程 所确定 则曲线y=f (x)在点 则曲线 在点(1,1)处的切线方程是 x − y = 0). 处的切线方程是( 在点 处的切线方程是 解 将方程两边求微分 得 将方程两边求微分, 2 ydx + xdy + dx = 4 y 3dy x dy =1 再将点(1,1)代入上方程 得 代入上方程, 再将点 代入上方程 d x ( 1 ,1 ) 切线方程为 即
隐函数求导法则
利用函数的微分法则 将方程两边求微分. 利用函数的微分法则, 将方程两边求微分 函数的微分法则
求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数 y 例
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
3 3
解
视 y y( x ) , 方程两边对 x 求导, 得 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy,
y
3 3 ( , ) 2 2
y x2 2 y x
3 3 ( , ) 2 2
1.
3 3 于是，所求切线方程为 y ( x ) , 即 x y 3 0 . 2 2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例7 解
设 y x
sin x
( x 0), 求y.
ln y sin x ln x
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求 由 方 程 xy e x e y 0 所 确 定 的 隐 函 数y y( x )
dy dy 的导数 , x 0 . dx dx 解 视 y y( x), 方程两边对 x 求导 , 得
2 2 3 12x 2 y xy 12 y ( y ) 4 y y 0, 2
代入 x 0、 y 1 及
y x 0
y 1
1 得 4
y x 0
y 1
1 . 16
四、对数求导法
观察函数 方法:
( x 1)3 x 1 y , 2 x ( x 4) e
注意 y = y (x)
解得
dy 1 dy x cos y 0 dx 2 dx dy 2 dx 2 cos y
上式两边在对 x 求导，得
解
视 y y( x ) , 方程两边对 x 求导, 得 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy,
y
3 3 ( , ) 2 2
y x2 2 y x
3 3 ( , ) 2 2
1.
3 3 于是，所求切线方程为 y ( x ) , 即 x y 3 0 . 2 2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例7 解
设 y x
sin x
( x 0), 求y.
ln y sin x ln x
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求 由 方 程 xy e x e y 0 所 确 定 的 隐 函 数y y( x )
dy dy 的导数 , x 0 . dx dx 解 视 y y( x), 方程两边对 x 求导 , 得
2 2 3 12x 2 y xy 12 y ( y ) 4 y y 0, 2
代入 x 0、 y 1 及
y x 0
y 1
1 得 4
y x 0
y 1
1 . 16
四、对数求导法
观察函数 方法:
( x 1)3 x 1 y , 2 x ( x 4) e
注意 y = y (x)
解得
dy 1 dy x cos y 0 dx 2 dx dy 2 dx 2 cos y
上式两边在对 x 求导，得
一一个方程所确定的隐函数及其导数
)F2Fra bibliotek(y z2
)
z F2 x F1 y F2
故
dz
z dx x
z dy y
z x F1
y
F2
(F1dxzx
F2dFFyxz )
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
在一定条件下方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0能 确定一对二元函数uu(x, y), vv(x, y).
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主讲人： 苏本堂
第五节隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组的情形
山东农业大学
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主讲人： 苏本堂
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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两边对 x 求导
主讲人： 苏本堂
则
在
的某邻域内 Fy 0
dy Fx dx Fy
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例1 验证方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯
一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并
主讲人： 苏本堂
例2. 已知方程 确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 求
dy dx
x0
,
d2y dx2
高等数学2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
例 7 设有一深为 18cm，顶部直径为 12 cm 的正圆锥 形漏斗装满水，下面接一直径为 10 cm 的圆柱形水桶， 水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为 12 cm，水面下降 速度为 1 cm /s 时，求桶中水面上升的速度．
解： 设在时刻 t 漏斗中水面高度为 h h(t) ， 漏斗在高为 h(t) 处的截面圆的半径为 r(t) ，
桶中水面的高度为 H H (t) ．
（1）建立变量 h 与 H 之间的关系
由于在任何时刻 t ，漏斗中的水量与水桶中的水量之
和应等于开始时装满漏斗的总水量，设水的密度为 1，则有
π r2 (t)h(t) 52 πH (t) 1 62 π 18
1 h2 (t) dh(t) 25 dH (t) 0
9
dt
dt
（3）从中解出要求的变化率．
1 h2 (t) dh(t) 25 dH (t) 0
9
dt
dt
由(2)可得 dH (t) 1 h2 (t) dh(t)
dt
9 25
dt
由已知， h(t) 12 cm 时， dh(t) 1（cm /s）， dt
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ lnb ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y y
理学求导法则续课隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
解法二：方程两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数
得： 1 3y2 dy 0 dx
即：
dy 1 dx 3y2
由此可以看出，不管是否化为显函数，求 导结果都是一样的.
5
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例2 求由方程 ex e y xy3 (1 e) 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dx
dy dx
2t 3t
t3 t3
在t
0
处的切线方程和法线方程
解：
dy dy dt 3(1 t2 ) 3 (1 t)
dx dx 2(1 t) 2
dt
dy dx
t0
3 (1 0) 2
3 2
29
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当t 0时, x 0, y 0.
所求切线方程为
y 0 3 (x 0)
2
即
y3x 2
返回
二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d 2 y ： dx 2
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
25
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例9.
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
2-10隐函数和参数方程所确定的函数的导数091018-PPT精品文档
d(lny) d(lny) d y 1 y
dx
dy dx y
1 y h(x), y
yyh(x).
(2) 适用范围
1)幂指 :y函 [u(x)数 v](x)的情 . 形
取对数得 lnyvln u
两边求导：
1 y
y vln u u v , u
yuv(vlnuuv) u
13y2(x)y(x)
13y2 (x )y(x )0
从而 y(x)3y2 1(x)1 3(1x)3 2.
2. 隐函数求导法则 用复合函数求导法则，直接对方程两边求导，
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导 d F(x, y) 0 dx
将方程中y视 的为x 的函数 y(x)(隐函数 )
( 含导数 y 的方程 )
例2 求由方程 exeyxy0所确定的隐函数 y
的导数
dy及dy dx dx
x0.
解 方程两边对 x 求导,
e
x
e
y
d d
y x
(y xdy) dx
0， 解得
dy dx
ex y xe y
.
由原方程知 x0 时 ,y0,
dy dx x0
2°若y 隐 y ( x ) ( x 函 D ) 可 F 数 ( x ,y 由 ) 0 中
解出，则称此隐函数可显化；
如： 方x程 y310确定了一个隐函数：y = y不易 甚显 至化 不， 能. 显化
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
确定的函数 y[1(x)]可导， 且
dy dx
dy dt dt dx
d d
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
第二章 导数与积分
例4
1
求由方程 + sin=0所确定的隐函数的二阶导数
2
解
方程两边对求导, 得 1 − ′ + 2 cos ·′ = 0.
1
2
∴ ′ =
.
2 − cos
上式两端再对求导, 得
−2sin · ′
=
∴ ′′=
(2 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
d
=
∵
=
=
d
d
− cos 1 − cos
d
∴
d2
d 2
=
d
d
sin
sin
d
d
d
d
1
−
cos
1
−
cos
=
·
=
d
d
d
d
1
1
cos (1 − cos ) − sin · sin
·
=−
=
(1 − cos )
1 − cos
(1 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
2
.
第二章 导数与积分
四、相关变化率
设 = ()及 = ()都是可导函数,
与之间存在某种关系
d d
与 之间也存在一定关系
d
d
称为相关变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
例7 已知椭圆的参数方程 ቊ = sin , 求椭圆在 = 相应点处的
4
切线方程 .
第11讲 3-3 隐函数与由参数方程所确定的函数的导数
再设函数 x (t ), y (t ) 都可导，且 (t ) 0，
由复合函数及反函数的求导法则得
dy 1 ( t ) d y d y dt . dt d x d x dt d x ( t ) dt
dy d y dt dx dx dt
10/12
y f x 在 x 0 处的导数 y | x 0 .
5/12
高等 微积分 数学
第三章 导数与微分
2 x2 y 例 2 求双曲线 2 2 1在 P0 x0 , y0 处的切线方程. a b
6/12
高等 微积分 数学
第三章 导数与微分
例4 设 y x x ( x 0), 求y.
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
（1）明确函数关系
（2）标明自变量的位置
（3）逐一求导解方程
4/12
高等 微积分 数学
第三章 导数与微分
dy 例 1 求由方程 e xy e 0所确定的隐函数的导数 . dx
y
练习 1 求由方程 y 5 2y x 3x 7 0 所确定的隐函数
第11讲 隐函数与由参数方程
所确定的函数的导数
如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎。 ——欧拉
高等 微积分 数学
第三章 导数与微分
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数
2/12
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第三章 导数与微分
一、隐函数的导数
隐函数： 由方程F x, y =0所确定的函数 y y( x ). 显函数： y f ( x ) 形式的函数. 隐函数的显化： F ( x , y ) 0
确定 y 与 x 之间的函数关系，称此函数关系为由参 数方微积分 数学
隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
y2
x a x ,
[( x )ln x 1ln x x
x
x 1
] x
xx
x
ax
x a ). ( a x ln a ln x x
( x 1) 3 x 1 , 求 y . 6. 设 y ( x 4)2e x
( x 1) 3 x 1
( x 4)2 e x
, 求 y .
x 3 t t 3, dx 求 . 7. 设 dy 2 y 3 t , x t 2 2 t (0 1) 8. 设由方程 2 t y sin y 1 dy y y ( x ), . 确定函数 求 dx
v u y u ( v ln u ) u
v
按指数函数求导公式
（二）由参数方程所确定的函数的导数 x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系: y (t )
y y( x), 则称此函数为由参数方 程所确定的函数 .
2 x x 故 y 1 x. y t 2 ( )2 4 2 2 问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何 求函数的导数?
四、同步练习解答
1.
x 2 x y (sin x )tan x ln x 3 , 求 y . 2 (2 x) x y1 y2 分别用对数求导法求 y1 , y2 . y y1 y2 (sin x)tan x (sec2 x lnsin x 1)
ln x 3
x x ln x 1
故
[( x )ln x 1ln x x y1
x
x 1
] x
xx
x a 1 x x y a ln a ln x , ln y2 a ln x , 2 x y2 x x a a x ( a x ln a ln x ) 所以 y 2 x y y1 y2
隐函数及由参数方程所确定的函数
院 数 理 系
y x x ln y x ln x 1 y ln x 1 y x x (ln x 1) y
2021/4/22
用性质 用对数
11
高
等 数
y u(x)x y u(x)x ln（u x） x（u x）x1u（ x）
学 电 子
u(x)x[ln u(x) x u(x)] u(x)
武
汉 科
对于幂指函数或连乘除形式函数的求导,先取对数再取
技
学 院
导数,比用通常方法计算简单.
数
理
系
2021/4/22
3
高
等 例3 求幂指数函数 y = uv(u>0) 的导数，其中u, v是x的函
数 学
数,且都在点x处可导.
电 分析: 先取对数
子 教
ln y v ln u (ln y v ln u) 1 y vln u v u
y (x) (x)[(x) (x) (x) (x) ln (x)]
1
2 (x) (x)
6
高 等 例6 试用比较简单的方法求下列函数的导数
数
学
1,y x(x 1)(x 2); 2, y 3(1 2x)3; 3, y 5x2 3x x ;
电
x
子 教 案
4, y ln a bx ; a bx
子 教
设函数的参数式为x=φ(t), y=ψ(t),
dy (t ) dx (t )
案
则它们的二阶导数
d 2 y d [ (t) ] d [ (t) ] dt dx 2 dx (t) dt (t) dx
武
汉 科
(t) (t) (t) (t) 1
技
[ (t)]2
2.7隐函数、由参数方程所确定的函数的导数
3
17
韶 关 学 院
例10 求由方程
dy
x a cos t 表示的函数的二阶导数 3 y a sin t
3
.
解
dt dx dx 3 a cos dt
2
dy
3 a sin
2
2
t cos t
t ( sin t )
tan t
d y dx
2
d
(
dy
)
( tan t ) ( a cos
1 2( x 1)
所 以 y
x 3 1 ( x 1)( 3 x 4 )( x 1) 2 x 1 2( 3 x 4 ) 2( x 1)
2
8
韶 关 学 院
例5 设 y
( x 1)3 x 1 ( x 4) e
2 x
, 求 y .
y
y
x ( x 0， y 0 ) .
2
三 、用 对数 求导 法则 求下列 函数 的导 数： 1、 y x 2、 y 3、 y
x
；
4
x 2(3 x ) ( x 1) x sin x
5
；
x
1 e
.
21
韶 关 学 院
四 、求 下列 参数 方程 所确定 的函 数的 二阶导 数
dy 即 dt dx dx dt
13
dy
韶 关 学 院
例8 求摆线
x a ( t sin t ) 的导数 y a (1 cos t )
dy dx
.
dy
解
dt dx dx dt
dy
17
韶 关 学 院
例10 求由方程
dy
x a cos t 表示的函数的二阶导数 3 y a sin t
3
.
解
dt dx dx 3 a cos dt
2
dy
3 a sin
2
2
t cos t
t ( sin t )
tan t
d y dx
2
d
(
dy
)
( tan t ) ( a cos
1 2( x 1)
所 以 y
x 3 1 ( x 1)( 3 x 4 )( x 1) 2 x 1 2( 3 x 4 ) 2( x 1)
2
8
韶 关 学 院
例5 设 y
( x 1)3 x 1 ( x 4) e
2 x
, 求 y .
y
y
x ( x 0， y 0 ) .
2
三 、用 对数 求导 法则 求下列 函数 的导 数： 1、 y x 2、 y 3、 y
x
；
4
x 2(3 x ) ( x 1) x sin x
5
；
x
1 e
.
21
韶 关 学 院
四 、求 下列 参数 方程 所确定 的函 数的 二阶导 数
dy 即 dt dx dx dt
13
dy
韶 关 学 院
例8 求摆线
x a ( t sin t ) 的导数 y a (1 cos t )
dy dx
.
dy
解
dt dx dx dt
dy
经济数学微积分隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
代入 x 0, y 1, y x 0
y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
★ 对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. ——对数求导法 适用范围:
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
※二、由参数方程所确定的函数的导数 (differentiation of functions represented parametrically)
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数. x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例5 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
方程 .
解
dy a sin t sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt π sin dy 2 1. π dx t π 2 1 cos 2
2.4隐函数及由参数方程确定的函数的导数
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
练习题
一、 填空题：
1、 设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确 定 了 y 是 x 的 函
数 ， 则 dy =________， d 2 y ________.
22
y x2 y2 x
( 3,3 ) 1. 22
所求切线方程为
y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
例4
设
y 2 x ( x y) ln( x
y) ，
求
d2y dx 2
解
两边求导：
y'2 (1 y') ln( x y) ( x
dx 2
对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
,
y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导
方法求出导数. --------对数求导法
适用范围:
(1)幂指函数y u( x)v( x)的情形.
(2)多个函数相乘: y f1( x) f2 ( x) fn ( x)的情形.
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知
x
0,
y
0,
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例2
设 arctan y ln
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
隐函数求导
z x x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
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解法2 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z
则
Fx 2 x , Fz 2z 4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对 x 求偏导
2z x2
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解法2 微分法. 对方程两边求微分:
F1
d(
x) z
F2
d(
y) z
0
F1
(
zd
x z2
xdz)
F2
(
zd
y z2
ydz)
0
xF1 yF2 z2
dz
F1dx F2 dy z
dz
x
F1
z
y
F2
(F1dx
F2d y)
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例4.【研】设
解出 dx : dx
f1 xz f2 dy 1 f1 xy f2 dz
f1 yz f2
由d y, d z 的系数即可得 x f1 xz f2 y f1 y z f
x. z
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(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
并有
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则 两边对 x 求导
在
d y Fx d x Fy
的某邻域内Fy 0
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有
二阶导数 :
d2y dx2
隐函数及由参数方程所确定函数的导数
d2 y d x2
d dx
(dy) dx
d dt
(dy) dx
ddtx ddxt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t )
(t
)
(t) (t) 3 (t )
(t)
注意 : 已知
对谁求导?
?
例6
{ xt2 1
求曲线 yt t 3 在t =1处的切线方程
3.4 隐函数及由参数方程所确定的 函数的导数
一、隐函数的导数
二、由参数方程所 确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
例5 设y ( x2 1)(3x 4)( x 1),求y
解： 将函数取自然对数得
ln y 1 ln( x 2 1) 1 ln( 3x 4) 1 ln( x 1)
2
2
2
两边对x求导得
1 y x 3 1 y x 2 1 2(3x 4) 2( x 1)
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例3 设y arctan( x 2 y),求 dy dx
解： 两边对x求导得
y
1
(1 2 y)
1 (x 2y)2
解出y, 得
y
1
(x 2y)2 1
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u y
yu xv x2 y2
故有
u 1 x J
u v
y x
xu x2
yv y2
v 1 x J
xv x2
yu y2
v y
xu x2
yv y2
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主讲人： 苏本堂
例6. 设
是由方程
和
所确定的函数 , 求 (99考研)
解 分别在各方程两端对 x 求导, 得
(1 y)
dz dx
x
Fv Gv
v x v x
0 0
这是关于 u , v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内
x x
系数行列式 J Fu Fv 0, 故得 Gu Gv
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二元线性代数方程组解的公式
aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
解: x 1 c1 b1 a1 b1 c2 b2 a2 b2
Fx ex y, Fy cos y x
d y Fx
dx
Fy
ex y cos y x
dy dx
x0
ex y cos y x
x 0, y 0
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d2y dx2
x0
d ( ex y ) dx cos y x
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( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)
例如, 方程xu-yv=0和yuxv=1可以确定两个二元函数
事实上,
u
x2
y
y2
v
x x2
y2
xuyv0
v
x y
u
yu x
x y
u 1 u
x2
y
y2
v
x y
x2
y
y2
x2
x
y2
能否根据原方程组求uu(x, y), vv(x, y)的偏导数？
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隐函数存在定理3 设 F ( x, y, u,v) G( x, y, u,v) 在
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例5. 设
xu yv 0,
y u x v 1,
求
u , u , v , v . x y x y
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
x u y v u x x
y u x v v x x
练习:
求
u y
,
v y
答案:
由题设 J x y x2 y2 0 yx
x f f xf Fy Fx x f 1 Fy Fz
( f x f )Fy x f Fx Fy x f Fz
(Fy x f Fz 0)
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作业：p-89 习题9-5
2, 3 , 6， 7 , 8 , 10(1); (2)
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例3. 设 解法1
x2 y2 z2 4z
利用隐函数求导
0
,
求
2 x
z
2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
z x x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
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解法2 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
)
F2
(
y z2
)
z F1 x F1 y F2
z
F2
1 z
y
F1
(
x z2
)
F2
(
y z2
)
z F2 x F1 y F2
故
dz
z dx x
z y
dy
x
z F1
y
F2
(F1dxzx
F2dFFyxz )
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
在一定条件下方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0能 确定一对二元函数uu(x, y), vv(x, y).
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy
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第五节隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组的情形
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本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
解 设F(x, y)x2y21,则
Fx2x, Fy2y, F(0, 1)0, Fy(0, 1)20. 由隐函数存在定理, 方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域 内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数
yf(x).
ddyydyFFxxFxxxx ddxxdx FFyyFy yy y
ddyydy 000 ddxxdxxx00x0
u 1 (F,G) x J ( x, v )
1 Fu Fv
Fx Fv Gx Gv
(P34-P35)
Gu Gv
u 1 (F,G) 1
Fy Fv
y J ( y, v )
Fu Fv Gy Gv
Gu Gv
v 1 (F,G) x J (u, x)
1 Fu Fv
Fu Fx Gu Gx
定理证明略.
F(x, y, u, v) 0, G (x, y, u,v) 0 在点(x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u(x0 , y0 ),
v0 v(x0 , y0 )的单值连续函数 u u(x, y), v v(x, y),
且有偏导数公式 :
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dddx2d2yx22yddx22yyyy2xyy2xyy2xyy13y13 y1d3ddxd2 2yx22yddxx2x02y0x011 1
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例2. 已知方程 确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 求
dy dx
x0
,
d2y dx2
x0
解: 令 F(x, y) sin y ex xy 1, 则
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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两边对 x 求导
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则
在
的某邻域内 Fy 0
dy Fx dx Fy
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例1 验证方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯
一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并
求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对 x 求偏导
2z x2
x
( 2
x
) z
(2
z)2 (2 z)3
x
2
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例4. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程
解 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z x
F1
1 z
F1
(
x z2
( cos y x )2
3
x0
y0 y 1
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定理2 .若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,满足
点P( x0, y0, u0,v0) 的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且 F( x0, y0,u0,v0) = 0, G( x0, y0, u0,v0) = 0 且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
在点 P ( x0, y0, u0, v0)不等于零，则方程组
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F(x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
z x
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
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Gu Gv
仅推导偏导 v 1 (F,G) 数公式如下： y J (u, y )
1 Fu Fv
Fu Fy Gu Gy
Gu Gv
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