空间向量立体几何知识点集锦

空间向量立体几何知识点集锦
一、空间向量的加法和减法：
()1求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取
一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．
()2求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点O 为起点的两个已
知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与
b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． 二、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．
三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
四、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a ，()
0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=． 五、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
六、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB+A ；或对空间任一定点O ，有x y C O P=O A +A B +A
；
或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA +OB +O ++=． 七、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A =，b OB =，则∠A O B 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两
个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 八、对于两个非零向量a 和b ，若,2
a b π
〈〉=
，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．
九、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．
十、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 十一、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉； ()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()
()
a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨
-⎪⎩
与同向与反向，2
a a a ⋅=，a a a =⋅；
()4cos ,a b a b a b
⋅〈〉=
；()5a b a b ⋅≤．
十二、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得
p xa yb zc =++．
十三、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{}
,,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{}
,,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
十四、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得
123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1
e
，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p
的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．
十五、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．
()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=．
()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．()7222111a a a x y z =⋅=++． ()81212122222221
1
1
2
2
2
cos ,x x y y z z a b a b a b
x y z x y z
++⋅〈〉=
=
++⋅++．
()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-．
十六、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线
l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．
十七、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y 使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的
位置．
十八、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 十九、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔
()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．
二十、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．
二十一、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔ a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．
二十二、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a b
θϕ⋅==
．
二十三、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有
sin cos l n l n
θϕ⋅==
．
二十四、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212
cos n n n n θ⋅=
．
二十五、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为
cos ,n d n n
PA⋅=PA 〈PA 〉=
．
二十六、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．
二十七、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为
cos ,n d n n
PA⋅=PA 〈PA 〉=
名称符号面积S 体积V 正方体a——边长S=6a^2 V=a^3
长方体a——长
b——宽
c——高
S=2(ab+ac+bc) V=abc
棱柱S底——底面积
h——高
S=S侧+2S底V=Sh
棱锥S——底面积
h——高
V=Sh/3
棱台S1和S2——上、下底面积
h——高
V=h[S1+S2+√（S1S2）]/3
拟柱体S1——上底面积
S2——下底面积
S0——中截面积
h——高
V=h（S1+S2+4S0）/6
圆柱r——底半径
h——高
C——底面周长C=2πr
S底——底面积
S侧——侧面积
S表——表面积
S底=πR^2
S侧=Ch
S表=Ch+2S底
V=S底h=πr^2h
空心圆柱R——外圆半径
r——内圆半径
h——高
V=πh(R^2-r^2)
直圆锥r——底半径
h------高
l ——母线
S=πr(r+l) V=πr^2h/3
圆台r——上底半径
R——下底半径
h——高
l-------母线
S=π(r2+R2+rl+Rl）V=πh(R^2+Rr+r^2)/3
球r——半径
d——直径
S=4πr^2; V=4/3πr^3=πd^3/6
球缺h——球缺高
r——球半径
a——球缺底半径
a^2=h(2r-h)
V=πh(3a^2+h^2)/6 =πh2(3r-h)/3
球台r1和r2——球台上、下底
半径
h——高
V=πh[3(r1ˆ2+r2ˆ2)+hˆ2]/6
圆环体R——环体半径
D——环体直径
r——环体截面半径
d——环体截面直径
V=2π^2Rr^2 =π^2Dd^2/4
桶状体D——桶腹直径V=πh(2D^2+d2^)/12 （母线是圆弧形，圆心是桶
d——桶底直径h——桶高的中心）
V=πh(2D^2+Dd+3d^2/4)/15 （母线是抛物线形）。