高等数学隐函数的求导公式
高等数学9_6隐函数求导
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0
ex cos
y y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
x 0 3
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定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
化简得
x f dy
F2 dy 消去d y 可得 dz .
dx
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第六节 隐函数的求导方法
一、由一个方程所确定的隐函数 的求(偏)导公式
二、由方程组所确定的隐函数组 的求(偏)导法则
三、全微分法
本节讨论 :
1) 方程（组）在什么条件下才能确定隐函数 . 2) 在方程（组）能确定隐函数时,研究其连续 性、可微性及求(偏)导方法问题 .
一、由一个方程所确定的隐函数的求导公式
dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y cos y x
d2y dx2 x 0
d ( ex y ) dx cos y x
x 0, y 0
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)
南京航空航天大学高等数学隐函数的求导公式
=
∂u ∂r
cos θ
+
∂u
∂θ
⎜⎛ − ⎝
sin θ
r
⎟⎞ ⎠
∂u = ∂u ∂r + ∂u ∂θ ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂x
=
∂u ∂r
sinθ
∴ 在(0,0)的某个邻域内 , 确定一个单值 连续函数且有连续的导 数。
y'(0) =
−
F F
x y
(0, (0,
0) 0)
=
− −1
1 − ε cos
y
(0,0)
=
1
1−ε
例1：验证方程x2 + y2 − 1 = 0在(0,1)的某邻域内确定
一个单值可导且x = 0,y = 1的隐函数y = f (x),
∂x J ∂( x, v)
Fu Fv
Gu Gv
∂v = − 1 ∂(F ,G) = − Fu Fx Fu Fv ∂x J ∂(u, x) Gu Gx Gu Gv ∂u = − 1 ∂(F ,G) = − Fy Fv Fu Fv , ∂y J ∂( y,v) Gy Gv Gu Gv ∂v = − 1 ∂(F ,G) = − Fu Fy Fu Fv . ∂y J ∂(u, y) Gu Gy Gu Gv
(6)一般确定 u(x, y), v(x, y);
讨论在什么条件下 , 方程组确定 (隐)函数关系 这些函数有什么性质 ?
定理 3
设 : (1)F (x, y, u, v ),G(x, y, u, v )在点M 0 (x0 , ) y0 , u0 , v0
的某一邻域内具连续的 一阶偏导数 (对各个变量 ).
(4uv
−
2v
+
高等数学求导公式
高等数学求导公式高等数学中的求导公式主要包括常数函数的求导、幂函数的求导、指数函数的求导、对数函数的求导、三角函数的求导、反三角函数的求导、双曲函数的求导、双曲函数的求导、复合函数的求导、隐函数的求导以及参数方程的求导等。
1.常数函数的求导：若f(x)=C，其中C是常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的求导：若f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=n*x^(n-1)。
3.指数函数的求导：若 f(x) = a^x ，其中 a 是正实数(a ≠ 1)，则 f'(x) = a^x * ln(a)。
4.对数函数的求导：若 f(x) = loga(x) ，其中 a 是正实数(a ≠ 1)，则 f'(x) =1/(x*ln(a))。
5.三角函数的求导：若 f(x) = sin(x) ，则 f'(x) = cos(x)。
若 f(x) = cos(x) ，则 f'(x) = -sin(x)。
若 f(x) = tan(x) ，则 f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的求导：若 f(x) = arcsin(x) ，则 f'(x) = 1/sqrt(1-x^2)。
若 f(x) = arccos(x) ，则 f'(x) = -1/sqrt(1-x^2)。
若 f(x) = arctan(x) ，则 f'(x) = 1/(1+x^2)。
7.双曲函数的求导：若 f(x) = sinh(x) ，则 f'(x) = cosh(x)。
若 f(x) = cosh(x) ，则 f'(x) = sinh(x)。
若 f(x) = tanh(x) ，则 f'(x) = sech^2(x)。
8.反双曲函数的求导：若 f(x) = arcsinh(x) ，则 f'(x) = 1/sqrt(x^2+1)。
若 f(x) = arccosh(x) ，则 f'(x) = 1/sqrt(x^2-1) (x > 1)。
隐函数的求导法则
隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。
具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。
在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。
假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。
如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。
我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。
现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。
现在我们来看几个例子。
例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。
假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。
我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。
假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。
我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。
我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。
我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。
高等数学第九章第五节 隐函数的求导公式
例5 设 xu yv 0， yu xv 1， 求 u，u，v 和v . x y x y
作业
P89. 1,2,3,10(1,2)
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0, dx x0
d2y dx 2
y
xy y2
y x
y2
x y
1 y3
,
d2y dx2
x0
1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
2. F( x, y, z) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在点 P( x0 ,
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导
数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0的值.
确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
u u( x, y)，v v( x, y)，它们满足条件
u0 u( x0 , y0 ),v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
大一高数知识点总结隐函数
大一高数知识点总结隐函数高等数学是大学教育中非常重要的一门基础课程，其中的隐函数是一个非常重要的知识点。
本文将对大一高数的隐函数进行总结和概述。
一、隐函数的概念在数学中，如果一个方程中含有两个变量，并且求解其中一个变量的显式函数比较困难或者无法求解，就可以考虑将其转化成一个含有一个变量的方程，即隐函数。
隐函数是通过将方程中的一个变量用另一个变量表示的函数。
二、隐函数的定义和判定1. 隐函数的定义设 F(x, y) = 0 是平面上的一个方程，如果存在 u(x) 使得 F(x,u(x)) = 0，在 u(x) 的定义域上关于 x 具有一阶连续导数，那么 u(x) 就是函数 y = f(x) 的一个隐函数。
2. 隐函数的判定隐函数的存在和唯一性可以通过隐函数定理来判定。
具体而言，如果方程 F(x, y) = 0 在点 (x0, y0) 处满足以下条件：- F(x0, y0) = 0- ∂F/∂y ≠ 0- F(x, y) 在点 (x0, y0) 的某个邻域内连续，且∂F/∂y 在该邻域内连续那么就存在一个以点 (x0, y0) 为中心的开区域上的隐函数 y =f(x)，并且该隐函数在点 x0 处的导数为 -∂F/∂x / ∂F/∂y。
三、隐函数的求导对于给定的隐函数 y = f(x)，我们常常需要求解其导数。
具体而言，对于方程 F(x, y) = 0，令 F(x, f(x)) = 0，两边对 x 进行求导，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0整理可得：dy/dx = -∂F/∂x / ∂F/∂y四、隐函数的应用隐函数在物理、经济等领域都有很多应用。
例如，在物理力学中，隐函数常常用于描述物体运动的轨迹；在经济学中，隐函数则可以用于描述供需关系等经济指标。
五、隐函数的例题分析1. 例题一已知方程 x^2 + y^2 = 1，求该方程确定的隐函数的导数。
解：根据前述的隐函数求导公式，我们可以求解该问题。
高等数学 第八章 第4节 隐函数的求导公式
求导， 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y
∂v xu + yv . =− 2 2 x +y ∂y
18
x + y + z = 0 du 例6 u = sin xy , 且 2 2 2 , 求 . dz x + y + z = 1
解 : 方程组对 求导 方程组对z
1(1)(3),2,3,4
B组 组
1,3
思考题
x y 为可微函数， 已知 = ϕ ( ) ，其中ϕ 为可微函数， z z ∂z ∂z 求x + y =? ∂x ∂y
22
思考题解答
1 则 Fx = ， z −x y (− y ) y 1 Fy = −ϕ ′( ) ⋅ , Fz = 2 − ϕ ′( ) ⋅ 2 , z z z z z y − zϕ ′ ( ) Fy ∂z ∂z Fx z z , =− = , =− = Fz x − yϕ ′( y ) Fz x − yϕ ′( y ) ∂y ∂x z z
F ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 ∴ G ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 方程组对x 方程组对 求偏导
∂u ∂v Fx + Fu ∂x + Fv ∂x = 0 G + G ∂u + G ∂v = 0 u v x ∂x ∂x
19
三、小结
（分以下几种情况） 隐函数的求导法则 分以下几种情况）
(1) F ( x , y ) = 0
( 2) F ( x , y , z ) = 0
高等数学隐函数求导
一、填空题：
练习题
1、设 x 3 2x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函
数，则dy =________. dx (1,1)
2、曲线 x 3 y 3 xy 7在点（1，2）处的切线方程 是___________.
3、曲线
x y
t t
cos t sin t
在t
2
处的法线方程________.
4、已知
x
et
cos
t
,则 dy
=______；dy
=______.
y e t sin t dx
dx
t
3
5、设 xy e x y,则dy =________. dx
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二、求下列方程所确定的隐函数y
的二阶导数d 2 dx
y
2
：
1、 x2 y2 1 ；
例7. 设
xf(t) y tf(t)f(t), 且
f(t)0,求
d d
2
x
y
2
.
解:
d d
y x
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1 f (t)
练习:
x
1 2
t
2
y 1t
,
求d y dx
,
d2y dx2
.
解: d y dx
1; t
d2 y d x2
1 t2
t
1 t3
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dx dx
dy dx
15y421x26
因x=0时y=0,
故
dy dx
x
0
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3
隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数 F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数;
(2) F ( x0 , y0 ) 0; (3)Fy ( x0, y0 ) 0, 则方程 F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
9
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
求 z , z 及 2z . x y xy
解
令 F(x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
则
Fx
2x a2
,
2y Fy b2 ,
2z Fz c2
z2
c2[
x ( a2z2
c2 y b2z
)]
c4 xy a2b2z3
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
11
隐函数的求导公式
例
设有隐函数
F(
x z
,
y z
)
0
,其中F的偏导数连续,
求 z , z . x y
u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )
0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)
00时, 它可能确定两个 一元函数,
现假定它确定 u u( x),v v( x),且两个函数都
1991年研究生考题,填空,3分
设函数f ( x, y)是由方程xyz x2 y2 z2 2
确定的,则z在点(1,0,1)处的全微分dz ( ).
解 法一 用公式
dx 2dy
设 F( x, y, z) xyz x2 y2 z2 2
F
2x
yz
,
x
2 x2 y2 z2
F xz
2y
,
y
2 x2 y2 z2
F xy
2z
.
z
2 x2 y2 z2
z
1,
x (1,0,1)
z 2,
y (1,0,1)
dz dx 2dy (1, 0 , 1)
15
隐函数的求导公式
xyz x2 y2 z2 2
y, y,
z) z)
0 0
下面讨论如何由隐函数方程 求偏导数.
2
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
1. F ( x, y) 0
在一元函数微分学中, 曾介绍过隐函数
F(x, y) 0
(1)
的求导法.
现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1)
的求导公式, 并指出:
隐函数存在的一个充分条件.
(3) Fy (0,0) 1 0, 由隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 当x 0时y 0的隐函数 y f ( x),且
dy dx
Fx Fy
y ex x ey
.
6
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
y)) y))
0 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:
F x
F u
u x
F v
v x
0
G x
G u
u x
G v
v x
0
解这个以 u , v 为未知量的线性方程组, x x
20
隐函数的求导公式
当系数行列式不为零时, 即 F F
x ,
0
fu
(x y
1)
fv ( xz
yz x), y
y
17
隐函数的求导公式
z f ( x y z, xyz)
整理得 x fu xzfv ,
y fu yzfv
3.
把y看成x,
z的函数对z求偏导数,得
y z
,
1
y
fu (z 1)
函数 z f ( x, y),它满足条件 z0 f ( x0 , y0 ),
F(x, y, f (x, y)) 0, 并有 z Fx , z Fy .
x Fz y Fz
8
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.
设
是方程
所确定的隐
函数,则
将恒等式 F ( x, y,f ( x, y)) 0
请看课本第34页, 隐函数存在定理3.
19
隐函数的求导公式
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
求 u , u , v , v . x y x y
将恒等式
F ( x, G( x,
y, u( x, y, u( x,
y),v( x, y),v( x,
F F F F
解得
u x
x G
v G
x v
u G
v G
1 (F,G), J (x,v)
u v
F F
v x
u G
x G
F F
u GΒιβλιοθήκη G1 J
(F ,G) (u, x)
.
u x u v
21
隐函数的求导公式
解
1.
把z看成x,
y的函数对x求偏导数,得
z x
,
令 u x y z, v xyz, 则 z f (u,v).
z x
f
u
(1
z x
)
fv ( yz
xy z ), x
整理得 z fu yzfv
x 1 fu xyfv
2. 把x看成y, z的函数对y求偏导数,得
解 令F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
则 Fx ( x, y)
x x2
y y2 ,
Fy( x, y)
y x x2 y2 ,
dy dx
Fx Fy
x y
y. x
7
隐函数的求导公式
2. 由三元方程 F ( x, y, z) 0确定二元隐函数 z f ( x, y),求 z , z .
F
x G
x
F u G u
u x u x
F v G v
v x v x
0 0
J (F ,G) u v 0. 雅可比行列式
(u, v )
G G u v Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851
z2
ydz
0
故 dz zF1dx zF2dy xF1 yF2
从而 z zF1 , z zF2 . x xF1 yF2 y xF1 yF2
13
隐函数的求导公式
法三 将方程两边求导.
对x求偏导:
F u F v 0
u x v x
F(x , y) 0 zz
y f ( x),它满足条件 y0 f ( x0 ), F(x, f (x)) 0,并有
dy Fx ( x, y) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x, y)
(证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x, f ( x)) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得 4
隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式
( implicit function )
一个方程的情形 方程组的情形 小结
1
第八章 多元函数微分法及其应用
隐函数的求导公式
隐函数在实际问题中是常见的. 如 平面曲线方程 F( x, y) 0
空间曲面方程 F( x, y, z) 0
空间曲线方程
F ( x, G( x,
F v G v
v y v y
0 0
F F F F
u y
y G
v G
u G
v G
1 J
(F ,G) , ( y,v)
y v u v
F F F F
v y
u G
y G
u G
v G
1 J
(F ,G) . (u, y)
fv ( xy
xz y), z
整理得
y
1
fu
xyfv
.
z fu xzfv
18
隐函数的求导公式
二、方程组的情形(隐函数组)
下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的 求导方法. 故由方程组
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0 确定两个二元函数 u u( x, y), v v( x, y). 求 u , u , v , v . x y x y
法二 用全微分
yzdx xzdy xydz 2xdx 2 ydy 2zdz 0 2 x2 y2 z2