高等数学隐函数的求导公式

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高等数学9_6隐函数求导

导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0
ex cos
y y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
x 0 3
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定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
化简得
x f dy
F2 dy 消去d y 可得 dz .
dx
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第六节隐函数的求导方法
一、由一个方程所确定的隐函数的求(偏)导公式
二、由方程组所确定的隐函数组的求(偏)导法则
三、全微分法
本节讨论 :
1) 方程（组）在什么条件下才能确定隐函数 . 2) 在方程（组）能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求(偏)导方法问题 .
一、由一个方程所确定的隐函数的求导公式
dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y cos y x
d2y dx2 x 0
d ( ex y ) dx cos y x
x 0, y 0
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)

南京航空航天大学高等数学隐函数的求导公式

=
∂u ∂r
cos θ
+
∂u
∂θ
⎜⎛ − ⎝
sin θ
r
⎟⎞ ⎠
∂u = ∂u ∂r + ∂u ∂θ ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂x
=
∂u ∂r
sinθ
∴ 在(0,0)的某个邻域内 , 确定一个单值连续函数且有连续的导数。
y'(0) =
−
F F
x y
(0, (0,
0) 0)
=
− −1
1 − ε cos
y
(0,0)
=
1
1−ε
例1：验证方程x2 + y2 − 1 = 0在(0,1)的某邻域内确定
一个单值可导且x = 0,y = 1的隐函数y = f (x),
∂x J ∂( x, v)
Fu Fv
Gu Gv
∂v = − 1 ∂(F ,G) = − Fu Fx Fu Fv ∂x J ∂(u, x) Gu Gx Gu Gv ∂u = − 1 ∂(F ,G) = − Fy Fv Fu Fv , ∂y J ∂( y,v) Gy Gv Gu Gv ∂v = − 1 ∂(F ,G) = − Fu Fy Fu Fv . ∂y J ∂(u, y) Gu Gy Gu Gv
(6)一般确定 u(x, y), v(x, y);
讨论在什么条件下 , 方程组确定 (隐)函数关系这些函数有什么性质 ?
定理 3
设 : (1)F (x, y, u, v ),G(x, y, u, v )在点M 0 (x0 , ) y0 , u0 , v0
的某一邻域内具连续的一阶偏导数 (对各个变量 ).
(4uv
−
2v
+

高等数学求导公式

高等数学求导公式高等数学中的求导公式主要包括常数函数的求导、幂函数的求导、指数函数的求导、对数函数的求导、三角函数的求导、反三角函数的求导、双曲函数的求导、双曲函数的求导、复合函数的求导、隐函数的求导以及参数方程的求导等。

1.常数函数的求导：若f(x)=C，其中C是常数，则f'(x)=0。

2.幂函数的求导：若f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=n*x^(n-1)。

3.指数函数的求导：若 f(x) = a^x ，其中 a 是正实数(a ≠ 1)，则 f'(x) = a^x * ln(a)。

4.对数函数的求导：若 f(x) = loga(x) ，其中 a 是正实数(a ≠ 1)，则 f'(x) =1/(x*ln(a))。

5.三角函数的求导：若 f(x) = sin(x) ，则 f'(x) = cos(x)。

若 f(x) = cos(x) ，则 f'(x) = -sin(x)。

若 f(x) = tan(x) ，则 f'(x) = sec^2(x)。

6.反三角函数的求导：若 f(x) = arcsin(x) ，则 f'(x) = 1/sqrt(1-x^2)。

若 f(x) = arccos(x) ，则 f'(x) = -1/sqrt(1-x^2)。

若 f(x) = arctan(x) ，则 f'(x) = 1/(1+x^2)。

7.双曲函数的求导：若 f(x) = sinh(x) ，则 f'(x) = cosh(x)。

若 f(x) = cosh(x) ，则 f'(x) = sinh(x)。

若 f(x) = tanh(x) ，则 f'(x) = sech^2(x)。

8.反双曲函数的求导：若 f(x) = arcsinh(x) ，则 f'(x) = 1/sqrt(x^2+1)。

若 f(x) = arccosh(x) ，则 f'(x) = 1/sqrt(x^2-1) (x > 1)。

隐函数的求导法则

隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。

具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。

在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。

假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。

如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。

我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。

现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。

现在我们来看几个例子。

例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。

假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。

我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。

假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。

我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。

我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。

我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。

高等数学第九章第五节隐函数的求导公式

例5 设 xu yv 0， yu xv 1，求 u，u，v 和v . x y x y
作业
P89. 1,2,3,10(1,2)
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0, dx x0
d2y dx 2
y
xy y2
y x
y2
x y
1 y3
,
d2y dx2
x0
1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
2. F( x, y, z) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在点 P( x0 ,
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导
数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导数在 x 0的值.
确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
u u( x, y)，v v( x, y)，它们满足条件
u0 u( x0 , y0 ),v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv

大一高数知识点总结隐函数

大一高数知识点总结隐函数高等数学是大学教育中非常重要的一门基础课程，其中的隐函数是一个非常重要的知识点。

本文将对大一高数的隐函数进行总结和概述。

一、隐函数的概念在数学中，如果一个方程中含有两个变量，并且求解其中一个变量的显式函数比较困难或者无法求解，就可以考虑将其转化成一个含有一个变量的方程，即隐函数。

隐函数是通过将方程中的一个变量用另一个变量表示的函数。

二、隐函数的定义和判定1. 隐函数的定义设 F(x, y) = 0 是平面上的一个方程，如果存在 u(x) 使得 F(x,u(x)) = 0，在 u(x) 的定义域上关于 x 具有一阶连续导数，那么 u(x) 就是函数 y = f(x) 的一个隐函数。

2. 隐函数的判定隐函数的存在和唯一性可以通过隐函数定理来判定。

具体而言，如果方程 F(x, y) = 0 在点 (x0, y0) 处满足以下条件：- F(x0, y0) = 0- ∂F/∂y ≠ 0- F(x, y) 在点 (x0, y0) 的某个邻域内连续，且∂F/∂y 在该邻域内连续那么就存在一个以点 (x0, y0) 为中心的开区域上的隐函数 y =f(x)，并且该隐函数在点 x0 处的导数为 -∂F/∂x / ∂F/∂y。

三、隐函数的求导对于给定的隐函数 y = f(x)，我们常常需要求解其导数。

具体而言，对于方程 F(x, y) = 0，令 F(x, f(x)) = 0，两边对 x 进行求导，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0整理可得：dy/dx = -∂F/∂x / ∂F/∂y四、隐函数的应用隐函数在物理、经济等领域都有很多应用。

例如，在物理力学中，隐函数常常用于描述物体运动的轨迹；在经济学中，隐函数则可以用于描述供需关系等经济指标。

五、隐函数的例题分析1. 例题一已知方程 x^2 + y^2 = 1，求该方程确定的隐函数的导数。

解：根据前述的隐函数求导公式，我们可以求解该问题。

高等数学第八章第4节隐函数的求导公式

求导，将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y
∂v xu + yv . =− 2 2 x +y ∂y
18
x + y + z = 0 du 例6 u = sin xy , 且 2 2 2 , 求 . dz x + y + z = 1
解 : 方程组对求导方程组对z
1(1)(3),2,3,4
B组组
1,3

思考题
x y 为可微函数，已知 = ϕ ( ) ，其中ϕ 为可微函数， z z ∂z ∂z 求x + y =? ∂x ∂y
22
思考题解答
1 则 Fx = ， z −x y (− y ) y 1 Fy = −ϕ ′( ) ⋅ , Fz = 2 − ϕ ′( ) ⋅ 2 , z z z z z y − zϕ ′ ( ) Fy ∂z ∂z Fx z z , =− = , =− = Fz x − yϕ ′( y ) Fz x − yϕ ′( y ) ∂y ∂x z z
F ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 ∴ G ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 方程组对x 方程组对求偏导
∂u ∂v Fx + Fu ∂x + Fv ∂x = 0 G + G ∂u + G ∂v = 0 u v x ∂x ∂x
19
三、小结
（分以下几种情况）隐函数的求导法则分以下几种情况）
(1) F ( x , y ) = 0
( 2) F ( x , y , z ) = 0

高等数学隐函数求导

一、填空题：
练习题
1、设 x 3 2x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函
数，则dy =________. dx (1,1)
2、曲线 x 3 y 3 xy 7在点（1，2）处的切线方程是___________.
3、曲线
x y
t t
cos t sin t
在t
2
处的法线方程________.
4、已知
x
et
cos
t
,则 dy
=______；dy
=______.
y e t sin t dx
dx
t
3
5、设 xy e x y,则dy =________. dx
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二、求下列方程所确定的隐函数y
的二阶导数d 2 dx
y
2
：
1、 x2 y2 1 ；
例7. 设
xf(t) y tf(t)f(t), 且
f(t)0,求
d d
2
x
y
2
.
解:
d d
y x
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1 f (t)
练习:
x
1 2
t
2
y 1t
,
求d y dx
,
d2y dx2
.
解: d y dx
1; t
d2 y d x2
1 t2
t
1 t3
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dx dx
dy dx
15y421x26
因x=0时y=0,
故
dy dx
x
0

高数隐函数求导公式

高数隐函数求导公式好嘞，以下是为您生成的关于“高数隐函数求导公式”的文章：在咱们学习高等数学的这个大“战场”上，隐函数求导公式就像是一把神秘又厉害的武器。

我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这隐函数求导咋就这么难理解呢？”当时我就笑了，跟他说：“别着急，咱们一步步来，你会发现它其实也没那么可怕。

”咱们先来说说啥是隐函数。

比如说，方程$x^2 + y^2 = 1$，你没法直接把$y$写成关于$x$的显式表达式，但它确实确定了$x$和$y$之间的关系，这就是隐函数。

那隐函数求导公式到底是啥呢？假设我们有一个隐函数$F(x, y) = 0$，对$x$求导的时候，要记住$y$是$x$的函数。

就拿方程$x^2 + y^2 - 1 = 0$来说吧。

对$x$求导，左边就是$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$，然后就能解出$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。

在实际做题的时候，大家可别被那些复杂的式子给吓住。

比如说有个题是这样的：$e^{xy} + \sin(xy) = 0$，要求对$x$求导。

这看起来是不是有点让人头疼？但别慌，咱们一步步来。

先对左边求导，$e^{xy}$的导数要用链式法则，先对整体求导是$e^{xy}$，再乘以$y + x\frac{dy}{dx}$；$\sin(xy)$的导数是$\cos(xy)\times (y + x\frac{dy}{dx})$。

整理一下，就能得出$\frac{dy}{dx}$的表达式。

学习隐函数求导公式的时候，大家一定要多动手练。

就像学骑自行车，刚开始可能会摇摇晃晃，但练得多了，自然就熟练了。

我曾经有个学生，一开始做隐函数求导的题目总是出错，但是他不气馁，每天都找我要几道题回去练，没过多久，他就掌握得特别好了，考试的时候这部分的题目几乎都没丢分。

总之，隐函数求导公式虽然有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做练习，就一定能把它拿下。

高等数学第八章第5节隐函数的求导公式((中央财经大学))

一、一个方程的情形二、方程组的情形三、小结三、小结思考题思考题第五节第五节隐函数的求导公式隐函数的求导公式注意, 隐函数不一定都能显化.注意, 隐函数不一定都能显化.一. 一元函数的隐函数的求导法利用多元函数的偏导数求一元函数的隐函数导数的公式二. 由一个方程确定的隐函数的求导法由隐函数存在定理的条件及多元函数求导方法雅可比行列式设⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 确定函数,)(x z z =求,d d x y 。

xz d d ,)(x y y = 想想, 怎么做？想想, 怎么做？方程组,,1C G F ∈方程组中每个方程两边关于运用克莱满法则解此二元一次方程组运用克莱满法则解此二元一次方程组我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一).我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一).设⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 确定函数求方程组想想, 怎么做？想想, 怎么做？,),(y x u u =,),(y x v v =,x u ∂∂,y u ∂∂,x v ∂∂。

yv∂∂,,1C G F ∈利用问题 1 的结论 , 你可能已经知道应该怎么做了 .分别将x 或y 看成常数依葫芦画瓢哦！想想, 怎么做？想想, 怎么做？请自己动手做想想, 怎么做？想想, 怎么做？对方程组中的每个方程关于变量 x 求导, 然后解关于xv x u ∂∂∂∂ 和的二元一次方程组.将 y 看成常数将 y 看成常数将 y 看成常数将 y 看成常数, 0),(),( 时当≠∂∂v u G F),(),(),(),( v u G F v x G F xu ∂∂∂∂−=∂∂将 y 看成常数将 y 看成常数, 0),(),( 时当≠∂∂v u G F),(),(),(),( v u G F x u G F xv ∂∂∂∂−=∂∂将 x 看成常数将 x 看成常数对方程组中的每个方程关于变量 y 求导, 然后解关于yv y u ∂∂∂∂ 和的二元一次方程组.将 x 看成常数将 x 看成常数, 0),(),( 时当≠∂∂v u G F),(),(),(),( v u G F v y G F yu ∂∂∂∂−=∂∂将 x 看成常数将 x 看成常数, 0),(),( 时当≠∂∂v u G F),(),(),(),( v u G F y u G F yv ∂∂∂∂−=∂∂例4设{2=+−xvu确定函数−=∂∂xu14+uvv2141+=∂∂uv x v 141+=∂∂uv y u 142+=∂∂uv u y v建议!关于隐函数求导, 关键在于理解建立公式的过程, 而不是死记求导公式.谢谢大家！。

高等数学2. 5 隐函数的导数

y (t )j (t ) y (t )j (t ) 。 3 j (t )
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x a(t sin t ) 例 9．计算由摆线的参数方程所确定 y a(1 cos t ) 的函数yf(x)的二阶导数。
dy y (t ) [a (1 cos t )] a sin t 解： dx x (t ) [a (t sin t )] a (1 cos t ) sin t t cot (t2n，n 为整数)。 1 cos t 2 d 2 y d dy d t dt ( ) (cot ) 2 dx dx dt 2 dx dx 1 1 1 a (1 cos t ) a (1 cos t ) 2 2 t 2 sin 2 (t2n，n为整数)。
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对数求导法：此方法是先在yf(x)的两边取对数，然后用隐函数求导法求出 y 的导数。设yf(x)，两边取，得 1 y [ln f ( x)] ， y y f(x)[ln f(x)]。对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数。
方程 xy 10 能确定一个函数y f ( x) 3 1 x ，这种由方程确的函数称为隐函数。
3
把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
求隐函数的导数的方法：把方程两边分别对x求导数，然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出，求导时要注意y是x的函数。
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例5．求yx sin x (x>0)的导数。解：两边取对数，得ln ysin x ln x，上式两边对x 求导，得 1 1 y cos x ln x sin x ， y x 1 y y(cos x ln x sin x ) 于是 x sin x sin x x (cos x ln x )。 x 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求： ln yx sin xe sin x· x ，

高等数学隐函数

d2 y d x2
d (dy) dx dx
d (dy) d t dx
dx dt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t
)
(t) (t 3 (t)
)
(t)
且 (t) 0, (t )
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例8 已知椭圆的直角坐标方程为
(1) 写出椭圆的参数方程；
x2 a2
y2 b2
4sin y (2 cos y)3
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练：求由方程隐函数的导数
arctan y ln x
dy . dx
x2 y 2 所确定的
dy x y dx x y
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对数求导法：对幂指函数和某些复杂的根式或分式用此法
求导简便些.
1 x 1
1 x2
1 x3
1 x4
y 1 (x 1)(x 2) 1 1 1 1
2 (x 3)(x 4) x 1 x 2 x 3 x 4
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练习
设
y
3
(x 1)(x 2) (2x 1)2 e 2x1
,
求
dy . dx
解：两边取对数得
ln y 1 ln(x 1) ln(x 2) ln(2x 1)2 ln e2x1
例4. 求椭圆
x2 y 2 1 在点 16 9
解: 椭圆方程两边对 x 求导
( 2 , 3 3 ) 处的切线方程. 2
x 2 y y 0 89
y
x2
y
3 2
3
9 16
x y
x2
y
3 2

高数常用求导公式24个

高数常用求导公式24个引言在高等数学中，求导是一个重要的概念和技巧。

掌握常用的求导公式可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。

本文将介绍24个常用的求导公式，并通过例题加以说明。

1.导数的定义导数表示函数的变化率，可以形象地理解为函数在某一点的切线斜率。

函数y=f(x)在点x0处的导数定义如下：```f'(x0)=l im┬(Δx→0)⁡〖(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx〗```2.常数函数求导对于常数函数y=c，其中c为常数，则其导数恒为0。

3.幂函数求导对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则其导数为：```(y)'=n x^(n-1)```4.指数函数求导对于指数函数y=a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，则其导数为：```(y)'=a^x*l n(a)```5.对数函数求导对于对数函数y=lo gₐ(x)，其中a为常数且a>0，a≠1，则其导数为：```(y)'=1/(x*ln(a))```6.三角函数求导对于三角函数y=si n(x)，其导数为：```(y)'=c os(x)```对于三角函数y=co s(x)，其导数为：```(y)'=-si n(x)```对于三角函数y=ta n(x)，其导数为：```(y)'=s ec^2(x)```7.反三角函数求导对于反三角函数y=ar c si n(x)，其导数为：```(y)'=1/√(1-x^2)```对于反三角函数y=ar c co s(x)，其导数为：```(y)'=-1/√(1-x^2)```对于反三角函数y=ar c ta n(x)，其导数为：```(y)'=1/(1+x^2)```8.双曲函数求导对于双曲函数y=si nh(x)，其导数为：```(y)'=c os h(x)```对于双曲函数y=co sh(x)，其导数为：```(y)'=s in h(x)```对于双曲函数y=ta nh(x)，其导数为：```(y)'=1/c os h^2(x)```9.两个函数之和/差求导对于两个函数f(x)和g(x)，其和函数F(x)=f(x)+g(x)或差函数H(x)=f(x)-g(x)，其导数为：```(F(x))'=(f(x))'+(g(x))'(H(x))'=(f(x))'-(g(x))'```10.两个函数之积求导对于两个函数f(x)和g(x)，其积函数P(x)=f(x)g(x)，其导数为：```(P(x))'=f(x)(g(x))'+g(x)(f(x))'```11.两个函数之商求导对于两个函数f(x)和g(x)，其商函数Q(x)=f(x)/g(x)，其导数为：```(Q(x))'=(f(x)(g(x))'-g(x)(f(x))')/(g(x))^2```12.复合函数求导（链式法则）对于复合函数y=f(g(x))，其中y是g(x)的函数，f(u)是u的函数，则其导数为：```(y)'=(f'(u))(g(x))'=(f'(g(x)))(g(x))'```13.反函数求导对于函数y=f(x)的反函数x=g(y)，若f'(x0)≠0，则其导数为：```(x)'=1/(y)'```14.参数方程求导对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，则x对t的导数为：```(d x)/(dt)=(d f)/(d t)```y对t的导数为：```(d y)/(dt)=(d g)/(d t)```15.隐函数求导对于隐函数方程F(x,y)=0，则y对x的导数可以通过隐函数求导公式计算得到。

高等数学导数公式大全

高等数学导数公式大全一、基本导数公式1. 设常数a为导数常数，则有：（1）导数为零：d(ax)/dx = 0（2）导数为常数：d(ax)/dx = a2. 幂函数导数：（1）常数的幂函数导数：d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为正整数（2）自然指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x（3）指数函数的导数：d(a^x)/dx = ln(a)*a^x，其中a>0且a≠1（4）对数函数的导数：d(logₐx)/dx = 1/(xlna)，其中a>0且a≠1 3. 三角函数导数：（1）正弦函数的导数：d(sin x)/dx = cos x（2）余弦函数的导数：d(cos x)/dx = -sin x（3）正切函数的导数：d(tan x)/dx = sec^2 x（4）余切函数的导数：d(cot x)/dx = -csc^2 x（5）正割函数的导数：d(sec x)/dx = sec x * tan x（6）余割函数的导数：d(csc x)/dx = -csc x * cot x4. 反三角函数导数：（1）反正弦函数的导数：d(arcsin x)/dx = 1/√(1-x²)，(-1≤x≤1)（2）反余弦函数的导数：d(arccos x)/dx = -1/√(1-x²)，(-1≤x≤1)（3）反正切函数的导数：d(arctan x)/dx = 1/(1+x²)（4）反余切函数的导数：d(arccot x)/dx = -1/(1+x²)（5）反正割函数的导数：d(arcsec x)/dx = 1/(x√(x²-1))，(x>1或x<-1)（6）反余割函数的导数：d(arccsc x)/dx = -1/(x√(x²-1))，(x>1或x<-1)二、导数运算法则1. 基本导数运算法则：（1）和差法则：d(u±v)/dx = du/dx ± dv/dx（2）常数倍法则：d(cu)/dx = c * du/dx，其中c为常数（3）乘积法则：d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx（4）商法则：d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v²，其中v≠02. 复合函数的导数：若y=f(u)和u=g(x)是可导函数，则有：d(f(g(x)))/dx = d(f(u))/du * d(g(x))/dx3. 反函数的导数：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则有：d(g(y))/dy = 1 / d(f(x))/dx，其中d(f(x))/dx≠0三、高级导数公式1. 高阶导数：（1）二阶导数：d²y/dx² = d(dy/dx)/dx（2）三阶导数：d³y/dx³ = d(d²y/dx²)/dx = d²(dy/dx)/dx²2. 高阶导数公式：（1）幂函数的n阶导数：d^n(x^m)/dx^n = (m)(m-1)(m-2)...(m-n+1)x^(m-n)（2）指数函数的n阶导数：d^n(e^x)/dx^n = e^x（3）对数函数的n阶导数：d^n(logₐx)/dx^n = (-1)^(n-1)(n-1)!/x^n四、隐函数求导公式设x和y是关于变量t的函数，则有：dy/dx = dy/dt / dx/dt例如，对于方程x^2 + y^2 = R^2，其中R为常数，可得：dy/dx = -x/y以上是高等数学导数公式的大全，涵盖了基本导数公式、导数运算法则、高级导数公式和隐函数求导公式。

高等数学导数16个基本公式

高等数学导数16个基本公式在高等数学中，导数是一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点的变化率。

掌握导数的基本公式对于解题至关重要。

在本文中，我们将重点介绍高等数学中的16个导数的基本公式，以帮助读者更好地理解和运用导数的概念。

1. 导数的定义导数描述了函数在某一点的斜率，即函数在该点的瞬时变化率。

若函数f(f)在f0处可导，则其导数定义为:$$ f'(x_0)=\\lim_{{\\Delta x\\to 0}}\\frac{f(x_0+\\Delta x)-f(x_0)}{\\Delta x} $$其中f′(f0)表示f(f)在f0处的导数。

2. 常数函数导数对于常数函数f，其导数为0，即(f)′=0。

3. 幂函数导数对于幂函数f=f f，其中f为常数，则有(f f)′=ff f−1。

4. 指数函数导数对于指数函数f=f f，其中f为常数，则有$(a^x)'=a^x\\ln(a)$。

5. 对数函数导数对于对数函数$y=\\log_ax$，其中f为常数，则有$(\\log_ax)'=\\frac{1}{x\\ln(a)}$。

6. 三角函数导数•$\\sin'(x)=\\cos(x)$•$\\cos'(x)=-\\sin(x)$•$\\tan'(x)=\\sec^2(x)$•$\\csc'(x)=-\\csc(x)\\cot(x)$•$\\sec'(x)=\\sec(x)\\tan(x)$•$\\cot'(x)=-\\csc^2(x)$7. 反三角函数导数•$\\arcsin'(x)=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$•$\\arccos'(x)=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$•$\\arctan'(x)=\\frac{1}{1+x^2}$8. 和差积商导数法则•$(u\\pm v)'=u' \\pm v'$•(ff)′=f′f+ff′•$\\left(\\frac{u}{v}\\right)'=\\frac{u'v-uv'}{v^2}$9. 链式法则如果函数f=f(f(f))为复合函数，则有$y'=f'(g(x))\\cdot g'(x)$。

高等数学隐函数求导法则

高等数学隐函数求导法则
高等数学隐函数求导法则是指当被求导的函数中含有一个隐函数时，求函数和隐函数的导数。

这种情况下，不能像求常见函数的导数那样，使用常见的微积分中的微分法则来直接求解，而是要使用高等数学隐函数求导法则，使用更加复杂的求解方法。

高等数学隐函数求导法则的基本原理是：若函数f(x,y)
含有隐函数y=φ(x)，则y的导数可表示为
dy/dx=dy/dx+φ'(x)dx/dx，这里φ'(x)表示隐函数y=φ(x)
的导数。

这就是求解隐函数求导时， x 不变，只考虑 y 求导的原理，也是微积分中隐函数求解中常用到的法则，成为高等数学隐函数求导法则。

高等数学隐函数求导法则在求解函数和隐函数的导数时，都要求解隐函数的导数，这就需要考虑隐函数的定义域，即显函数的定义域这个问题，要严格遵守求解隐函数求导的基本原理。

例1.若f(x,y)=x+y，其中y=φ(x)=sin(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=x+cos(x)dx/dx=1+cos(x).
例2.若f(x,y)=2x+y，其中y=φ(x)=ln(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=2+1/x dx/dx = 2+1/x.
从上面几个例子来看，使用高等数学隐函数求导法则是一种既有系统又有效的方法，解决涉及到隐函数求导的问题。

最重要的是，要避免求导出现不对称或错误结果，就必须牢记求解隐函数求导的基本原理，严格按照高等数学隐函数求导法则进行求解。

高等数学B(下)ch6-5隐函数的求导公式

幂函数、指数函数和对数函数的导数
03
这些基本初等函数的导数可以通过其定义进行计算。
高阶导数的几何意义
二阶导数的几何意义
二阶导数表示函数图像在某一点的凹凸性，如果二阶导数大于0，则该点处函数图像向上凸；如果二阶导数小于0，则该点处函数图像向下凹。
高阶导数的几何意义
高阶导数可以描述函数图像在某一点的弯曲程度和变化趋势，对于理解函数的局部性质和进行近似计算具有重要的意义。
在隐函数中，如果函数是由参数方程确定的，可以通过由参数方程确定的函数的求导法
则进行求解，从而得到隐函数的导数。
03
反函数的求导法则
反函数的求导公式
反函数的求导公式
反函数的导数是原函数导数的倒数。设$y = f(x)$，其反函数为$x = g(y)$，则有 $frac{d}{dx}g(y) = frac{1}{frac{d}{dx}f(x)}$。
利用求导法则进行误差分析
在科学实验和工程实践中，误差分析是一个重要环节，利用隐函数的求导公式可以方便地分析误差的传播和影响。
在医学影像处理中，图像的重建算法通常以隐函数形式给出，通过求导可以分析误差对图像重建质量的影响。
例如，在气象学中，气象预报的精度通常受到多个因素的影响，通过求导可以分析各个因素对预报精度的影响程度。
VS
应用举例
对于函数$y = x^{2}$，其反函数为$x sqrt{y}$，根据反函数的求导公式，我们有 $frac{d}{dx}sqrt{y} = frac{1}{2sqrt{y}}$。
反函数的导数与原函数导数的关系
关系描述
应用举例
反函数的导数与原函数的导数互为倒数。即，如果$y = f(x)$在某点处的导数为$f'(x)$，则其反函数$x = g(y)$在该点处的导数为 $frac{1}{f'(x)}$。

隐函数求导公式

隐函数求导公式隐函数求导是数学分析学中十分重要的一个内容，它是指求取拓展又称多元函数在任意变量上导数的过程。

隐函数求导公式是数学分析学课程中经常提及的一个概念，它用来解释多元函数在任意变量上的导数，是多元函数求导学习中必不可少的。

隐函数求导公式是一类多元函数求导方法，可以有效地计算多元函数在任意变量上的导数。

它是由哥本哈根大学教授L.C.Young于1896年提出的，由此可以看出，隐函数求导的概念具有很长的历史。

隐函数求导的方法一共有四种：基本公式、偏导数法、极限法和高等切线法。

以下是基本隐函数求导公式：设y=f(x1,x2,...,xn)，则其在任意变量xk上的导数为：(y)/(xk)=(f(x1,x2,...,xn))/(xk)=f/xk由此可见，导数的运算规则极其简单：先对所有的变量求偏导数，即把其它变量看做常数，再把求出的偏导数累加起来，便可得到在任意变量上的导数。

这就是隐函数求导的基本原理。

除此之外，偏导数法是求取隐函数导数的重要方法之一。

它的思想是：假设其它变量都为常数，关于一个变量求取其偏导数，使用应用问题可以更加具体地解释偏导数的概念和意义。

例如，设y=x^2+2x，求x的偏导数：(y)/(x)=(x^2+2x)/(x)=2x+2从这里可以看出，偏导数即可以描述函数在某一特定点处的性质，也可以表示函数在任意点上的变化率。

极限法是另外一种重要的求取隐函数导数的方法。

它的意思是：把不同变量的变化率的极限纳入计算，从而得到在任意变量上的导数。

极限法的应用范围并不局限于求取隐函数导数，同样也能用来求取某一函数的极限。

例如：设f(x)=x^2+2x，求lim(x→1) f(x)lim(x→1) f(x)=lim(x→1) (x^2+2x)=1+2=3最后，高等切线法是一种求取隐函数导数的高等数学方法，它是由柯西公式发展而来的。

柯西公式是一种将变量从函数定义域扩展到实数域的一种切线法，其中每条切线也就是一个变量与另一变量的函数，而柯西公式的核心就是求取函数在其变量上的导数。