-隐函数求导公式

第5节：隐函数的求导公式

教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。 教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容：

一、一个方程的情形

在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.

隐函数存在定理1 设函数),(y x F 在点

),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 y

x F F dx dy

-= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式

这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F ,

其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得

,0=∂∂+∂∂dx

dy y F x F 由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得

.y

x F F dx dy

-= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得

dx dy F F y F F x dx y d y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-

∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=22

.

23

2

222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y x

yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-----=

例1 验证方程012

2

=-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导

数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。

解 设=),(y x F 12

2-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此由

定理1可知，方程012

2

=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、

当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。

下面求这函数的一阶和二阶导数

y

x F F dx dy

-==y x -，

00

==x dx dy ;

22

dx y d =,1)(332222y y x y y y x

x y y y x y -=+-=---='--

10

2

2-==x dx y d 。

隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程

F (z y x ,,)=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1一样，我们同样可以由三元函数F (z y x ,,)的性质来断定由方程F (z y x ,,)=0所确定的二元函数z =),(y x 的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数F (z y x ,,)在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠z y x F z ，则方程F (z y x ,,)=0在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件

),(000y x f z =，并有

x z

∂∂=z x F F -,y z ∂∂=z

y F F -. (4)

这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导. 由于 F (y x ,, f ),(y x )≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导，应用复合函数求导法则得 x F +z

F x

z

∂∂=0, y F +z F y z ∂∂=0。

因为z F 连续，且0),,(000≠z y x F z ,所以存在点),,(000z y x 的一个邻域，在这个邻域内z F ≠0，于是得

x z

∂∂=z x F F -,y z ∂∂=z

y F F -。

例2 设042

2

2

=-++z z y x ，求.22x

z

∂∂

解 设F (z y x ,,) =z z y x 42

2

2

-++，则x F =2x , z F =42-z .应用公式(4)，得

x z ∂∂=z

x -2。 再一次x 对求偏导数，得

2

2

x

z

∂∂2

)

2()2(z x z x z -∂∂+-=

.)

2()2()2(2)2(3

222z x z z z x x z -+-=-⎪

⎭⎫

⎝⎛-+-= 二、方程组的情形

下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组 ⎩⎨

⎧==.

0),,,(,

0),,,(z u y x G v u y x F (5)

这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。

隐函数存在定理3 设函数),,,(v u y x F 、),,,(v u y x G 在点),,,(00000v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),,,(0000=v u y x F ，0),,,(0000=v u y x G ,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):

=J ),(),(v u G F ∂∂=

v

G u G

v F u

F

∂∂∂∂∂∂∂∂ 在点),,,(00000v u y x P 不等于零，则方程组0),,,(=v u y x F ，0),,,(=v u y x G 在点

),,,(0000v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数

),(),,(y x v v y x u u ==，它满足条件),(),,(000000u x v v y x u u ==，并有

x

u

∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂-=,v u v

u v x v x

G G F F G G F F

x

v ∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂-=,v

u

v u x u x u

G G F F G G F F (6)