-隐函数求导公式
微积分课件第5节隐函数的求导公式
z z dx dy. dz xz ( x z) y
2
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法 x z ex2.设 ln , 求dz. z y
解2 （全微分法） x z 原式两边微分得: d ( ) d (ln ) z y zdx xdz y ydz zdy 即 2 z z y2 z z 整理得dz ( dx dy) xz y z z2 dx dy. xz ( x z) y
sin y x cos y y ye x ye x 0
sin y ye 所以, 得 y . x x cos y e
x
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法
这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性， 并利用多元复合函数求导的链式法则建立隐函数 的求导公式, 给出用偏导数来求隐函数的导数的
F F ( x , f ( x )) F F ( x , y ), y f ( x )
连 续函 数 y f ( x ), 且y0 f ( x0 ); Fx dy (2)有连续导数 （一元隐函数的求导公式） . dx Fy 注意: (1) 证明从略, 求导公式推导如下: x 将函数 y f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) 0 得 F dy F[ x, f ( x )] 0, 即Fx Fy 0, y dx 上式两端对x求导，由复合函数求导链式法则，得
Method3.也可先求偏导再代入全微分公式得所求.
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法
z x y 例 4 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
z 思路：把 z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得 ， x x 把 x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得 ， y y 把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得 . z 解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
隐函数的求导公式
当Fz cos z xy 0时，有
例 5 设 z f ( x, y ) 是由方程
z z , . 求 x y .
sinz xyz 所确定的隐函数，
得恒等式F ( x, f ( x)) 0
F F dy 求其全导数 0 x y dx
由于F y 连续且F y ( x0 , y0 ) 0, 所以存在( x0 , y0 ) 的一个邻域，在此邻域 内F y 0
F Fx dy x 于是 F dx Fy y
Fx dy dx Fy
把复合函数 z f [ u( x , y ), x , y ] 中 中的u 及 y 看作不 的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对 x 的偏导数
3、复合高阶偏导数
复合一阶偏导： z f (u, v ) u u( x, y), v v( x, y)
z z u z v z z u z v ， x u x v x y u y v y
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得 z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x
例１ 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0 的值. F ( x, y) x 2 y 2 1
第五节 隐函数求导公式
24
隐函数的求导公式
u u v v F ( x , y , u, v ) 0 求 , , , . x y x y G ( x , y , u, v ) 0 F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 将恒等式 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:
F F u F v x u x v x 0
G G u G v 0 x u x v x
u v 解这个以 为未知量的线性方程组. , x x
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得
4
隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 所以存在 且Fy ( x0 , y0 ) 0， 由于Fy ( x, y)连续，
dz (1, 0, 1) dx 2dy
17
隐函数的求导公式
xyz x 2 y 2 z 2 2
法二 用全微分
yzdx xzdy xydz 2 xdx 2 ydy 2 zdz 0 2 x2 y2 z2 将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1, 0 , 1) dx 2dy
并有
Fy z Fx z . , Fz x Fz y
8
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.
隐函数的求导公式
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
第五节 隐函数的求导公式
等式两端同时对 x 求偏导, 得
F x 1 +F y 0 +Fz 0 + Fu
在Fu 0的条件下 解得 ,
u x
=0
u x
u z
Fx Fu
类似可得
u y
Fy Fu
Fz Fu
例题:见课本例2-5
Fy Gy Fv Gv
二、隐函数的求导法
下面，总假设隐函数存在且可导， 在此前提下来讨论
求隐函数的导数或偏导数的方法。 1、一个方程的情形 (1) F ( x , y ) 0 设该方程确定了函数: y y( x )即 F [ x , y( x )] 0 等式两端同时对 x 求导, 得
在F y 0的条件下 解得 ,
Fv Gv Fv Gv
Fu v x 1 ( F , G ) J ( u, x ) Gu Fu Gu
Fx Gx Fv Gv
Fy u y 1 ( F , G ) J ( y, v ) Gy Fu Gu
Fv Gv Fv Gv
(3)
Fu v y 1 ( F , G ) J ( u, y ) Gu Fu Gu
Fx 1 + F y
dy
+ Fz
dz
0
dx dz + Gz 0 dx
即 Fy dx
dy
+ Fz + Gz
dz dx dz dx
Fx
G dy y dx
Fy Gy Fz Gz
Gx
在
0的条件下 解得 ,
Fz Gz Fz Gz Fx Fz Gz Fz Gz
高等数学第九章第五节 隐函数的求导公式
例5 设 xu yv 0， yu xv 1， 求 u，u，v 和v . x y x y
作业
P89. 1,2,3,10(1,2)
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0, dx x0
d2y dx 2
y
xy y2
y x
y2
x y
1 y3
,
d2y dx2
x0
1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
2. F( x, y, z) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在点 P( x0 ,
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导
数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0的值.
确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
u u( x, y)，v v( x, y)，它们满足条件
u0 u( x0 , y0 ),v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式在数学的领域中，隐函数是一个十分重要的概念，而与之紧密相关的隐函数求导公式则是解决众多问题的有力工具。
首先，让我们来明确一下什么是隐函数。
简单来说，如果方程 F(x, y) ＝ 0 能确定 y 是 x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
比如说，方程 x^2 ＋ y^2 ＝ 1 就确定了一个隐函数。
那为什么我们需要隐函数求导呢？这是因为在很多实际问题中，函数关系并不是直接给出的，而是以隐函数的形式存在。
为了研究这些问题，就需要对隐函数进行求导。
接下来，咱们就来探讨隐函数求导的公式。
对于一个由方程 F(x, y) ＝ 0 所确定的隐函数 y ＝ y(x)，其求导公式为：dy/dx ＝ F_x ／ F_y这里的 F_x 表示 F 对 x 的偏导数，F_y 表示 F 对 y 的偏导数。
为了更好地理解这个公式，咱们通过一个具体的例子来看看。
假设我们有方程 x^2 ＋ y^2 4 ＝ 0，要求 y 对 x 的导数。
首先，我们对 F(x, y) ＝ x^2 ＋ y^2 4 分别求关于 x 和 y 的偏导数。
F_x ＝ 2x ，F_y ＝ 2y 。
然后，根据隐函数求导公式，dy/dx ＝ F_x ／ F_y ＝－2x ／ 2y ＝x ／ y 。
再来看一个稍微复杂一点的例子，方程 xy ＋ e^y ＝ 0 。
先求偏导数，F_x ＝ y ，F_y ＝ x ＋ e^y 。
所以，dy/dx ＝ F_x ／ F_y ＝ y ／（x ＋ e^y) 。
在运用隐函数求导公式时，有几个要点需要注意。
一是要准确求出偏导数，这就要求我们对常见的函数求导法则非常熟悉。
二是要注意符号的问题，确保计算过程中符号的正确性。
三是对于一些复杂的方程，可能需要多次运用求导法则和隐函数求导公式，要有耐心和细心。
隐函数求导公式在很多领域都有广泛的应用。
在物理学中，比如研究一些复杂的运动轨迹问题时，常常会遇到隐函数的形式，通过求导可以得到速度、加速度等重要物理量。
隐函数的求导公式
Fv Gv
Fv Gv
,
v y
1 (F ,G ) J (u, y )
Fu Gu
Fy Gy
Fu Gu
Fv Gv
.
例6
求
设 xu yv 0 ， yu xv 1 ，
u x
，
u y
，
v x
和
v y
.
解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对x求导并移项,得
则 方 程 组 两 边 对 x ( 或 y )求 导 ，
u v u v 解出 , (或 , ). x x y y
思考题
已知
x ( ) ，其中 为可微函数，求 z z y
x
z x
y
z y
?
思考题解答
( ), 则 F x ， z z z y 1 x y ( y ) F y ( ) , F z 2 ( ) , 2 z z z z z y z ( ) Fy z Fx z z z , , y y x Fz y Fz x y ( ) x y ( ) z z
并有
Fx u Gx Fu x J ( x,v) Gu 1 (F ,G )
Fv Gv , Fv Gv
v x
u y
1 (F ,G ) J (u, x )
1 (F ,G ) J ( y,v )
Fu Gu
Fy Gy
Fx Gx
Fv Gv
Fu Gu
Fu Gu
F x ( x , y , z ) f 1 ( 1)
F y ( x , y , z ) f 1 f 2 z
隐函数求导法则公式
隐函数求导法则公式隐函数求导法则是微积分中的一个重要概念，它用于求解含有隐式变量的函数的导数。
隐函数求导法则公式可以帮助我们更方便地求解这类函数的导数，从而在实际问题中更加灵活地应用微积分知识。
下面我们将详细介绍隐函数求导法则公式及其应用。
隐函数求导法则公式的表述如下：设有方程 F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数，即 y = f(x)，则 y 对 x 的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中∂F/∂x 表示对 F 进行偏导数运算，∂F/∂y 也是类似的意思。
这个公式是隐函数求导法则的核心，通过它我们可以求解含有隐式变量的函数的导数。
接下来我们将通过一个具体的例子来说明隐函数求导法则公式的应用。
假设有方程 x^2 + y^2 = 1，我们需要求解 y 对 x 的导数。
首先，我们将这个方程表示为 F(x, y) = 0 的形式，即 F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0。
然后，我们对 F(x, y) 分别对 x 和 y 求偏导数，得到∂F/∂x = 2x，∂F/∂y = 2y。
最后，代入隐函数求导法则公式，得到 dy/dx = - (2x) / (2y) = -x/y。
通过这个例子，我们可以看到隐函数求导法则公式的应用过程，它可以帮助我们求解含有隐式变量的函数的导数，从而更加灵活地应用微积分知识。
除了上述的基本公式，隐函数求导法则还有一些特殊情况的应用，比如当方程 F(x, y) = 0 不易直接求导时，我们可以先对 x或 y 求导，然后再应用隐函数求导法则公式。
此外，隐函数求导法则还可以应用于求解高阶导数、求解参数方程等问题。
总之，隐函数求导法则公式是微积分中的一个重要工具，它可以帮助我们更方便地求解含有隐式变量的函数的导数，从而在实际问题中更加灵活地应用微积分知识。
希望通过本文的介绍，读者能对隐函数求导法则有更加深入的理解，并能够灵活运用到实际问题中。
第5节 隐函数的求导公式
另解 : 对x求偏导
∂z ∂z 2 x + 2z −4 =0 ∂x ∂x
∂z x ∴ = , ∂x 2 − z
9
∂ z ∂ ∂z ∂ x = ( ) = ( ) 2 ∂x ∂x ∂x ∂x 2 − z
2
∂z x (2 − z ) + x (2 − z ) + x ⋅ 2− z ∂x = = 2 ( 2 − z )2 (2 − z )
解
令 F ( x, y) = x 2 + y 2 − 1 则 Fx = 2x , F y = 2 y ,
F (0,1) = 0,
2 2
Fy (0,1) = 2 ≠ 0,
依定理知方程 x + y − 1 = 0 在点 ( 0 ,1 ) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、 内能唯一确定一个单值可导 、 且 x = 0 时 y = 1 的 函数 y = f ( x ) ．
第四节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
dy 1. F ( x , y ) = 0 ⇒ y = y( x ) 如何求 ? dx 隐函数存在定理 1 设函数 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) = 0 ， 某一邻域内具有连续的偏导数， Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 ，则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的
隐 函 数 存 在 定 理 2 设 函 数 F ( x , y , z )在 点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的 某 一 邻 域 内 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且 F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 ， Fz ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 ， 则 方 程 F ( x , y , z ) = 0 在 点 P ( x0 , y0 , z0 )的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y )， 它 满 足 条 件 z0 = f ( x0 , y0 )， 并有
隐函数求导公式
多元函数微分法及其应用
第五节 隐函数求导公式
第五节
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、内容小节
返回
一、一个方程的情形
设二元方程 F ( x , y ) 0 一元隐函数 y y( x ) 则有恒等式 F x , y ( x ) 0
F F dy 上式对 x 求全导数 0 x y dx
则二元方程F ( x , y ) 0 在P0点的邻域内总能唯一 确定一个一元隐函数 y y( x ) ，且有
设 F ( x , y ) 0 满足以下三个条件：
i ii
y y( x ) 单值连续，且 y0 y( x0 ) ； y y( x ) 具有连续导数；
一元隐函数 导数公式
z 例 2 设z z( x , y )由方程 x y z yf ( ) y
2 2 2
z z 确定，其中f 可微，求 ， . x y
例 3 设 x y z 4z 0 ，求
2
2
2
z x
2
2
.
二、方程组的情形
F ( x , y , u, v ) 0 若方程组 ，确定两个二元函数 G ( x , y , u, v ) 0 u u( x , y ) ，均可偏导，求 u x ， uy ， vx ， vy . v v ( x , y )
F dy 解得 x F dx y F 要求 y 0
隐函数存在定理1
i F ( x , y )在点P0 ( x0 , y0 )某邻域内有连续偏导数 ； ii F ( x0 , y0 ) 0 ； iii Fy ( x0 , y0 ) 0 .
隐函数的求导公式
① 在点
② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ,
的某邻域内具有连续偏导数 ;
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数 Fx z , x Fz
Fy z y Fz
②
§ 2.8 隐函数的求导公式
注意 J 0, 从方程组②解得
x 1 v u 1 1y , x J 0 y J v v
x u x v 1 , ①式两边对 同理 求导, 可得 u x v y x ② u 1 x y u y , v v 1 x 0 v v x y J u u y x J
G G
§ 2.8 隐函数的求导公式
u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) u v 0, G ) Fx Fu v Fv 1 (F x x y J ( u , y ) Gx Gu u Gv v 0 x x
§ 2.8 隐函数的求导公式
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
x y d( ) 0 F1 d( ) F2 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) )0 F ( 2 2 2 z z dy F1d x F2 xF1 y F2 d z z z2 z d y) dz (F1d x F2 x F1 y F2
第二章 函数微分学 § 2.8 隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式在数学的领域中，隐函数是一个十分重要的概念，而对于隐函数的求导，则有一套特定的公式和方法。
这不仅是数学分析中的重要内容，也在众多实际问题的解决中发挥着关键作用。
首先，咱们来理解一下什么是隐函数。
简单来说，隐函数并不是像常见的函数那样，直接用一个表达式明确地写出因变量和自变量之间的关系，比如常见的\（y ＝ f(x)＼）。
隐函数通常是以一个方程的形式给出，比如\（F(x,y) ＝ 0\），在这个方程中，＼（x\）和\（y\）的关系不是那么直接能看出来的。
那为什么我们要研究隐函数的求导呢？这是因为在很多实际问题中，变量之间的关系并不是那么直观地就能写成显函数的形式，但我们又需要知道它们之间的变化率，也就是导数。
接下来，咱们就来具体讲讲隐函数的求导公式。
假设我们有一个隐函数方程\（F(x,y) ＝ 0\），要对\（x\）求导。
那么，我们需要使用到一个重要的方法——复合函数求导法则。
我们对\（F(x,y)＼）分别对\（x\）和\（y\）求偏导数，记为\（F_x\）和\（F_y\）。
然后，根据隐函数求导公式，＼（＼frac{dy}｛dx} ＝＼frac{F_x}｛F_y}＼）。
为了更好地理解这个公式，咱们来看一个具体的例子。
比如，方程\（x^2 ＋ y^2 1 ＝ 0\）表示一个单位圆。
我们来求\（y\）对\（x\）的导数。
首先，对\（F(x,y) ＝ x^2 ＋ y^2 1\）分别求偏导数。
＼（F_x ＝2x\），＼（F_y ＝ 2y\）。
然后，根据隐函数求导公式，＼（＼frac{dy}｛dx} ＝＼frac{2x}｛2y} ＝＼frac{x}｛y}＼）。
这里需要注意的是，当\（y ＝ 0\）时，导数不存在，这在几何意义上也很好理解，因为在圆的水平直径上，切线是垂直的，斜率不存在。
再来看一个稍微复杂一点的例子，方程\（e^y ＋ xy 1 ＝ 0\）。
对\（F(x,y) ＝ e^y ＋ xy 1\）求偏导数，＼（F_x ＝ y\），＼（F_y＝ e^y ＋ x\）。
隐函数求导
xy ln y − y . ∴ y′ = 2 xy ln x − x
2
作业： 作业：
P130 习题 习题3.5 1.(5)(6)(7)(8) 2.(2)(4) 3.(1)(2)(3)(4)
练习： 练习：求 y = (1 + 2 x ) ( x > 0)的导数 .
y 解： ′ = (1 + 2 x ) [ln(1 + 2 x ) ]′
例5
( x + 1) 3 x − 1 , 求y ′. 设 y= 2 x ( x + 4) e
1 解 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3 上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
的导数. 例1 求由方程 x 2 + y 2 = a 2 所确定的隐函数 y = y( x ) 的导数.
解
求导( 的函数), ),得 方程两边关于 x 求导(将 y 视为 x 的函数),得
2 x + 2 y ⋅ y′ = 0 ， 解得
x y′ = − . y
比较： 显化后, 比较： 显化后, y = a 2 − x 2 , 1 y′ = ⋅ (a 2 − x 2 )′ 2 a2 − x2 x 1 −x =− ； = ⋅ ( −2 x ) = y 2 a2 − x2 a2 − x2 x x 2 2 ′= 另一分支: 另一分支: y = − a − x , y =− . y a2 − x2
′ x −1 1 f ′( x ) = 2 ln x 2 − 1 − ln x − ln 2 x + 1 2x + x 2
隐函数求导公式(2)
z Fx , z Fy . x Fz y Fz
隐函数求导公式 11
➢推导
xx
复合关系图 F
y z
y
注
在 z Fx 中
x
Fz
Fx和Fz分别表示F对x和对z 求偏导 分子和分母不要颠倒 不要丢掉负号
例2
设
x2 y2 z2 4z 0,
求
2z x2 .
例3 设 (u,v) 具有连续偏导数,证明由方程
14
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u, v) 0
u u(x, y)
v
v(
x,
y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
➢研究问题
显函数
x y (x, y) z
隐函数 (二元)隐函数
在什么条件下,方程能够确定隐函数. 连续性?
方程确定的隐函数有什么性质 可导性? …
对方程确定的隐函数如何求导.
4
➢隐函数组概念
隐 函 数
u u(x, y) v v(x, y)
组 的 显 化
F (x, y,u, v) 0 G(x, y,u, v) 0
7
定理1 设函数
在点
的某一邻域内满足:
① 具有连续的偏导数; ② F (x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0 则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个函数y=f(x) y=f(x)具有如下性质:
①
② 在x0的上述邻域内连续 ③ 在x0的上述邻域内连续可导,且有
第6讲隐函数的求导公式
证明: x z y z z xy. x y
西南财经大学天府学院
练习题答案
一、1、 x y ； x y
2、 z x ln z ； xz x1 y z ln y
3、
zy z1
.
xz x1 y z ln y
四、 2 z xy
z( z 4
2 xyz 2 x 2 (z 2 xy)3
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx 2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3
,
d2y dx2
1.
x0
西南财经大学天府学院
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
解 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
y) z
1 z
z Fx x Fz x
,
z
y
Fz ( y) ,
x z2
z y
( y)
z Fy
Fz
( y)
z2
,
z
(
y
)
z
x y ( y
)
,
z
z
于是x z y z z . x y
西南财经大学天府学院
练习题
一、填空题: 1、设ln x 2 y 2 arctan y ,则 x dy ___________________________. dx 2、设z x y z ,则 z ___________________________, x z ___________________________. y
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第5节：隐函数的求导公式教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。
教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。
教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。
教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容：一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 yx F F dx dy-= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。
现仅就公式(2)作如下推导。
将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F ,其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得,0=∂∂+∂∂dxdy y F x F 由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得.yx F F dx dy-= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得dx dy F F y F F x dx y d y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=22.232222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y xyz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=例1 验证方程0122=-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。
解 设=),(y x F 122-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此由定理1可知，方程0122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。
下面求这函数的一阶和二阶导数yx F F dx dy-==y x -，00==x dx dy ;22dx y d =,1)(332222y y x y y y xx y y y x y -=+-=---='--1022-==x dx y d 。
隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程F (z y x ,,)=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数F (z y x ,,)的性质来断定由方程F (z y x ,,)=0所确定的二元函数z =),(y x 的存在，以及这个函数的性质。
这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数F (z y x ,,)在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠z y x F z ，则方程F (z y x ,,)=0在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有x z∂∂=z x F F -,y z ∂∂=zy F F -. (4)这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导. 由于 F (y x ,, f ),(y x )≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导，应用复合函数求导法则得 x F +zF xz∂∂=0, y F +z F y z ∂∂=0。
因为z F 连续，且0),,(000≠z y x F z ,所以存在点),,(000z y x 的一个邻域，在这个邻域内z F ≠0，于是得x z∂∂=z x F F -,y z ∂∂=zy F F -。
例2 设04222=-++z z y x ，求.22xz∂∂解 设F (z y x ,,) =z z y x 4222-++，则x F =2x , z F =42-z .应用公式(4)，得x z ∂∂=zx -2。
再一次x 对求偏导数，得22xz∂∂2)2()2(z x z x z -∂∂+-=.)2()2()2(2)2(3222z x z z z x x z -+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-+-= 二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。
我们不仅增加方程中变量的个数。
而且增加方程的个数，例如，考虑方程组 ⎩⎨⎧==.0),,,(,0),,,(z u y x G v u y x F (5)这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。
在这种情形下，我们可以由函数F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。
我们有下面的定理。
隐函数存在定理3 设函数),,,(v u y x F 、),,,(v u y x G 在点),,,(00000v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),,,(0000=v u y x F ，0),,,(0000=v u y x G ,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):=J ),(),(v u G F ∂∂=vG u Gv F uF∂∂∂∂∂∂∂∂ 在点),,,(00000v u y x P 不等于零，则方程组0),,,(=v u y x F ，0),,,(=v u y x G 在点),,,(0000v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==，它满足条件),(),,(000000u x v v y x u u ==，并有xu∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂-=,v u vu v x v xG G F F G G F Fxv ∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂-=,vuv u x u x uG G F F G G F F (6)y u ∂∂-=),(),(1v y G F J ∂∂-=,v v v uv y v yG G F F G G F Fy v ∂∂-=J 1),(),(y u G F ∂∂-=.vuv u u uG G F F G G F F y y这个定理我们不证.与前两个定理类似，下面仅就公式(6)作如下推导。
由于 F [y x ,,u ),(y x ,v ),(y x ]≡0, G [y x ,,u ),(y x ,v ),(y x ]≡0, 将恒等式两边分别对x 求导，应用复合函数求导法则得⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x vG x u G G x v F x u F F v u x v u x这是关于x u ∂∂, xv∂∂的线性方程组，由假设可知在点),,,(00000v u y x P 的一个邻域内，系数行列式=J vuvuG G F F ,0≠ 从而可解出x u ∂∂, xv ∂∂，得 x u ∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂, xv ∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂.同理，可得y u ∂∂-=),(),(1v y G F J ∂∂, y v ∂∂-=J 1),(),(y u G F ∂∂. 例3 设1,0=+=-xv yu yv xu ，求x u ∂∂,y u ∂∂,x v ∂∂和yv∂∂. 解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。
下面我们利用后一种方法来做。
将所给方程的两边对x 求导并移项，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂.,v x v x xu y u x v y x ux 在022≠+=-=y x xyy x J 的条件下，.,2222y x xv yu xy y x v y ux x v y x yv xu xy y x x v yu x u +-=---=∂∂++-=----=∂∂将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在022≠+=y x J 的条件下可得,22y x yu xv y u +-=∂∂ .22yx yv xu y v ++-=∂∂ 例4 设函数),(),,(v u y y v u x x ==在点(v u ,)的某一邻域内连续且具有连续偏导数，又.0),(),(≠∂∂v u y x(1)证明方程组 ⎩⎨⎧==),(),,(v u y v u x x (7)在点),,,(v u y x 的某一邻域内唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的反函数),(),,(y x v v y x u u ==。
(2)求反函数),(),,(y x v v y x u u ==对y x ,的偏导数。
解 (1)将方程组(7)改写成下面的形式 ⎩⎨⎧=-≡=-≡.0),(),,,(,0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x x u y x F则按假设 =∂∂=),(),(v u G F J .0),(),(≠∂∂v u y x由隐函数存在定理3，即得所要证的结论。
(2)将方程组(7)所确定的反函数),(),,(y x v v y x u u ==代入（7），即得 ⎩⎨⎧≡≡)].,(),,([)],,(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂∂+∂∂•∂∂=∂∂∂∂+∂∂•∂∂=.0,1x v v y x u u y x v v x x u u x由于J ≠0，故可解得,1v y J x u ∂∂=∂∂ .1uy J x v ∂∂-=∂∂ 同理，可得,1v x J y u ∂∂-=∂∂ .1ux J y v ∂∂=∂∂小结：本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一个方程或方程组确定的隐函数的导数。
作业：89P 习题9-5 1、4、10（2）（4）、11．。