第7-5节(隐函数的求导法则、偏导数的几

= 0.
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例 7 求曲线 x 2 + y 2 + z 2 = 6 ， x + y + z = 0 在 点(1,−2, 1)处的切线及法平面方程.
解1
直接利用公式;
解 2 将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
dz ⎧ dy y + z = −x ⎪ dx dx ⇒ ⎨ ⎪ dy + dz = −1 ⎩ dx dx
解1
直接代入公式；
解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对 x 求导并移项
⎧ ∂u ⎪ x ∂x − ⎨ ⎪ y ∂u + ⎩ ∂x ∂v y = −u ∂x , ∂v x = −v ∂x
x −y = x2 + y2 , J= y x
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在 J ≠ 0 的条件下，
−u − y ∂u − v x xu + yv ∂v = = =− 2 , 2 x −y ∂x ∂x x +y y x x −u y − v = yu − xv , x2 + y2 x −y y x
⎧ F ( x, y, z ) = 0 2.空间曲线方程为 ⎨ , ⎩G ( x , y , z ) = 0
x − x0 y − y0 z − z0 = = , 切线方程为 Fy Fz Fz Fx Fx Fy Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程为
Fy Gy Fz Fz ( x − x0 ) + Gz 0 Gz Fx Fx ( y − y0 ) + Gx Gx 0 Fy ( z − z0 ) Gy 0
∂F ∂F ∂( F , G ) ∂u ∂v J= = ∂(u, v ) ∂G ∂G ∂u ∂v
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在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 不等于零，则方程组 F ( x , y , u, v ) = 0 、 G ( x , y , u, v ) = 0 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数 u = u( x , y ) ， v = v ( x , y ) ，它们满足条件 u0 = u( x0 , y0 ) , v0 = v ( x0 , y0 ) ，并有
∂z Fx =− ， ∂x Fz
Fy ∂z =− . ∂y Fz
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∂ z 例 3 设 x + y + z − 4 z = 0，求 2 . ∂x
2
2
2
2
F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4z, 解 令
则 Fx = 2x , Fz = 2 z − 4,
F ( 0,1) = 0,
2 2
Fy (0,1) = 2 ≠ 0,
依定理知方程 x + y − 1 = 0 在点( 0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且 x = 0 时 y = 1的 函数 y = f ( x )．
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函数的一阶和二阶导数为
x dy Fx =− , =− y dx Fy
例6
求曲线 Γ : x = ∫0 e cos udu ， y = 2 sin t
u
3t
t
+ cos t , z = 1 + e 在 t = 0处的切线和法平面方程.
解 当 t = 0时， x = 0, y = 1, z = 2,
′ = e t cos t , y′ = 2 cos t − sin t , z′ = 3e 3t , x
⇒ x′(0) = 1,
y ′ ( 0 ) = 2, z ′ ( 0 ) = 3,
x −0 y −1 z − 2 切线方程 = = , 1 2 3 法平面方程 x + 2( y − 1) + 3( z − 2) = 0,
即 x + 2 y + 3 z − 8 = 0.
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特殊地：
⎧ y = φ ( x) , 1.空间曲线方程为 ⎨ ⎩z = ψ ( x)
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t = t0 ;
z
•
•
M′
M ′ ( x 0 + ∆ x , y0 + ∆ y , z 0 + ∆ z ) 对应于 t = t0 + ∆t .
x
o
M
y
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割线 MM ′ 的方程为
z
•
•
M′
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = ∆x ∆y ∆z
∂x ∂x 0 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xz + yz ), ∂y ∂y
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整理得
∂x f u + xzf v =− , f u + yzf v ∂y
把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得
∂y ∂y 1 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xy + xz ), ∂z ∂z
Fv Gv
Fu
Fv
Gu Gv
,
Fu Fy 1 ∂(F ,G ) ∂v =− =− Gu G y ∂y J ∂ ( u, y )
Fu Fv . Gu Gv
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例5
设 xu − yv = 0， yu + xv = 1，
∂u ∂u ∂v ∂v 求 ， ， 和 . ∂ x ∂ y ∂x ∂ y
隐函数存在定理 2 设函数 F ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 ，则方程 F ( x , y , z ) = 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连 续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) ，它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y0 ) ， 并有
dy z − x = , dx y − z
dz x − y = , dx y − z
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⇒
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量
r T = {1, 0,−1},
x −1 y + 2 z −1 = = , 所求切线方程为 1 0 −1
dy Fx =− . dx Fy
隐函数的求导公式
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例１ 验证方程 x + y − 1 = 0 在点( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x = 0 时 y = 1 的隐函数 y = f ( x )，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x = 0 的值.
2 2
解
F ( x, y) = x 2 + y 2 − 1 令 则 Fx = 2x , F y = 2 y ,
M
x
o
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 ∆t ,
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = , ∆z ∆x ∆y ∆t ∆t ∆t
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当M ′ → M ,即∆t → 0时 ,
曲线在M处的切线方程
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = . φ ′( t 0 ) ψ ′( t 0 ) ω ′ ( t 0 )
Fx Fv G x Gv ∂u 1 ∂(F ,G ) =− =− , Fu Fv J ∂( x, v ) ∂x Gu Gv
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Fu Fx ∂v 1 ∂(F ,G ) =− =− Gu G x ∂x J ∂ ( u, x )
Fu Fv Gu Gv
Fy 1 ∂(F ,G ) ∂u =− =− Gy J ∂( y, v ) ∂y
法平面方程为 ( x − 1) + 0 ⋅ ( y + 2) − ( z − 1) = 0,
⇒
x−z=0
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四、小 结
1、隐函数的求导法则 （分以下几种情况）
(1) F ( x , y ) = 0
⎧ F ( x , y , u, v ) = 0 ( 3) ⎨ ⎩G ( x , y , u, v ) = 0
整理得
∂y 1 − f u − xyf v = . f u + xzf v ∂z
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二、方程组的情形
⎧ F ( x , y , u, v ) = 0 ⎨ ⎩G ( x , y , u, v ) = 0
隐函数存在定理 3 设 F ( x, y, u, v )、G( x, y, u, v )在 点 P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且 F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0,G( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0， 且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
则 z = f ( u, v ),
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把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得
∂z ∂z ∂z = f u ⋅ (1 + ) + f v ⋅ ( yz + xy ), ∂x ∂x ∂x ∂z f u + yzf v = , 整理得 ∂x 1 − f u − xyf v
把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得
∂z Fx x =− = , ∂x Fz 2 − z
x ∂z (2 − z ) + x ⋅ 2 (2 − z ) + x ∂ z 2− z ∂x = 2 = ∂x ( 2 − z )2 ( 2 − z )2
( 2 − z )2 + x 2 = . 3 (2 − z )
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∂z ∂x ∂y 例 4 设 z = f ( x + y + z , xyz)，求 ， ， . ∂x ∂y ∂z ∂z 思路：把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得 ， ∂x ∂x 把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得 ， ∂y ∂y 把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得 . ∂z 解 令 u = x + y + z , v = xyz ,
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu = 2 , 2 ∂y x + y ∂v xu + yv =− 2 . 2 x +y ∂y
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三、偏导数的几何应用之 空间曲线的切线与法平面
⎧ x = φ (t ) ⎪ 设空间曲线的方程 ⎨ y = ψ ( t ) ⎪ z = ω (t ) ⎩ (1)
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
切线方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = , 1 φ ′ ( x 0 ) ψ ′( x 0 )
法平面方程为
( x − x0 ) + φ ′( x0 )( y − y0 ) + ψ ′( x0 )( z − z0 ) = 0.
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y 解 令 F ( x , y ) = ln x + y − arctan , x x+ y y− x , Fy ( x , y ) = 2 , 则 Fx ( x , y ) = 2 2 2 x +y x +y x+ y Fx dy =− . =− y− x dx Fy
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2. F ( x , y , z ) = 0
dy = 0, dx x = 0
⎛ y − x⎜ − 2 d y y − xy ′ ⎝ =− =− 2 2 dx y y2
d2y = −1. 2 dx x = 0
x⎞ ⎟ y⎠
1 =− 3, y
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例2
dy y 已知 ln x + y = arctan ，求 . x dx
2 2
2 2
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第 五 节
隐函数的求导法则
偏导数的几何应用(一)
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一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) = 0
隐函数存在定理 1 设函数 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) = 0 ， F y ( x0 , y0 ) ≠ 0 ，则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 )的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f ( x )，它满足条件 y0 = f ( x0 )，并 有
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
r T = {φ ′( t 0 ),ψ ′( t 0 ),ω ′( t 0 )}
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
φ ′( t 0 )( x − x0 ) + ψ ′( t 0 )( y − y0 ) + ω ′( t 0 )( z − z0 ) = 0
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