隐函数与参数式函数的求导
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隐函数与参数式函数的求导法则
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升t分后其高度为h ,仰角为 ,
则 tan h
500 两边对 t 求导
h
500
sec2 d 1 d h
d t 500 d t
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m时,tan 1 ,sec2 2 ,
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
§4.3 隐函数与参数式函数的求导法则
一、隐函数求导法则 二、由参数方程确定的函数的求导法则 三、极坐标式求导 四、相关变化率问题
一、隐函数求导法则
若由方程 函数为隐函数 .
可确定y是x的函数 , 则称此
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
F(x, y) 0
y f (x) 隐函数的显化
y
3 2
3
3 4
法线斜率为
故切线方程为 y即3 3 3 (x 2)
2
4
法线方程为 即
处的
解:解法1 应用隐函数的求导方法，得
（4.15）
于是 上式两边再对x求导，得
解法2 由(4.15)两边再对x求导，得
联合（4.15）解得
例5. 求
的导数 .
解:解法1 两边取对数 , 化为隐式
隐函数与参数方程求导法则
值得注意的是，有些二元方程 确定的隐函数 并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
§3.4 隐函数及参数方程表示的函数的导数
f ( x y) 1 1 y 1 f ( x y) 1 f ( x y)
y d 1 1 dx 1 f ( x y )
f ( x y ) f ( x y )(1 y) 2 1 f ( x y) 3 1 f ( x y)
解
dy 1 1 dy dt 1 t2 1 t 2t 2 dx dx 1 t2 dt
d 2 y d dy ( ) 2 dx dx dx
1 1 t2 2 2t 4t 1 t2
8.529
10
5
tatan ( t)
0 5
2
4
6
8.529 10 0 ln 1t
2
1 代入 x 0, y 1, y(0) 得 4
1 y( 0) . 16
f 例4 设f ( x )二次可微，且 ( x ) 1, y y( x )由y f ( x y) 确定，求 . y
解
由y f ( x y)两边对 求导得 x
y f ( x y)(1 y)
（ln y)
例7 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x x
d y d ( y ) dt [ t ] 1 x 2 dx dx dt [ f ( t )] f ( t )
2
x a cos 3 t 表示的函数的二阶导数. 例4 求由方程 3 y a sin t dy dy dt 1 解 1 dx dx dt 3a sin 2 t cos t 3 ( sin( t) ) 2 1 0 3a cos t ( sin t ) tan t
y d 1 1 dx 1 f ( x y )
f ( x y ) f ( x y )(1 y) 2 1 f ( x y) 3 1 f ( x y)
解
dy 1 1 dy dt 1 t2 1 t 2t 2 dx dx 1 t2 dt
d 2 y d dy ( ) 2 dx dx dx
1 1 t2 2 2t 4t 1 t2
8.529
10
5
tatan ( t)
0 5
2
4
6
8.529 10 0 ln 1t
2
1 代入 x 0, y 1, y(0) 得 4
1 y( 0) . 16
f 例4 设f ( x )二次可微，且 ( x ) 1, y y( x )由y f ( x y) 确定，求 . y
解
由y f ( x y)两边对 求导得 x
y f ( x y)(1 y)
（ln y)
例7 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x x
d y d ( y ) dt [ t ] 1 x 2 dx dx dt [ f ( t )] f ( t )
2
x a cos 3 t 表示的函数的二阶导数. 例4 求由方程 3 y a sin t dy dy dt 1 解 1 dx dx dt 3a sin 2 t cos t 3 ( sin( t) ) 2 1 0 3a cos t ( sin t ) tan t
23隐函数、参数式求导
r h , 从而 r 1 h .
6 18
3
因漏斗中溶液体积 V0
1 (12)2 32
18
216 (cm)3
，根据题意可知
V0
1 r 2h 3
(10)2 2
H
，
即
H 216 1 h3 ，
25 675
课堂练习
1.
用对数求导法则求函数
y
x
x
1 x
变量 y 有确定的值与之对应，． 把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化 不能显化的隐函数，如果可导应该如何求导？下面，我们将通过具体的例子来介绍一种方
法 例1 求由下列方程所确定的函数的导数. y sin x cos(x y) 0
例 2 方程 xy e y e 确定函数 y y(x) ，求 y0 ．
比如 y x sin x x 0 ，幂指函数既不是幂函数也不是指数函数
如果 u(x),v(x) 都可导，则幂指函数 y uxvx 可导．求幂指函数 y uxvx 的导数，幂函
数或指数函数的求导法则在此均不适合．我们可以通过把方程两端取对数之后，化幂指函数为隐 函数，然后利用隐函数求导法则求出幂指函数 y uxvx 的导数．这种求导方法称为对数求导 法 (logarithm derivation)．
程为
x
y
v0t cos v0t sin
1 2
gt 2
，
求炮弹在时刻 t0 的运动方向与速率．
例 12
椭圆的参数方程为
x
y
a b
cos t (0
sin t
隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x (t ), y (t ),
t [ , ]为参数 .
若x (t )与y (t )都可导，且 (t ) 0. 又x (t )存在
反函数 t 1 ( x)，则y为x的复合函数 y ( 1 ( x)) ，即
y (t )，t 1 ( x).
Yunnan University
7
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
由复合函数与反函数的 求导法则，有
dy dy dy dt (t ) dt 1 (t ) ( ( x)) . dx dt dx (t ) dx dt
这即是参数方程所表示 函数的求导法，从而导 函数的
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 一、隐函数求导法
设二元方程 F ( x, y) 0
确定了唯一的单值可导函数y f ( x)，求 dy . dx
例如: F ( x, y) x 2 y 2 R2 0可确定隐函数
y R 2 x 2，x [ R, R]，y [0, R]; 和 y R 2 x 2，x [ R, R]，y [ R,0].
4
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x2 y2 例3. 求 垂 直 于 直 线 l : 2 x 4 y 3 0并 与 双 曲 线 1 2 7 相切的直线方程。
解： 设双曲线上一点 ( x, y)的切线斜率为 k，则由隐函数求
导法，有
2x 2 y 7x y 0， 即 k y . 2 7 2y
即
y y( x) x x . y ( x) y
方 法I : 对 于 由 方 程 F ( x, y) 0确 定 的 隐 函 数 ， 只 需 用 应复 合 函 数 的 求 导 法 ， 对 恒 等 式方 或程 两 端 关 于 x求 导 数 ， 即 可 得 隐 函 数的导数（注意 y是x的 函 数 ） .
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数式函数的导数解析
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
,
即
dy (t) dx (t)
dt
注意 这里的导数是通过参数表达出来的．
例8
设
x y
1 t
t t
2 3
，
求
dy .
dx
dy
解
dy dx
dt dx
(t t3 ) (1 t 2 )
1 3t 2
2t
dt
讨论分析
讨论分析
例9
求曲线
x
y
sin t, cos 2t
讨论分析
例7 求函数 y ( x 1)3 x 2 的导数．
x4
解 函数两边同时取对数，得
ln y 3ln( x 1) 1 ln( x 2) ln( x 4)
2
两边同时对 x 求导，得
1 y
y
3 x1
1 2
1 x2
1 x 4
于是
y ( x 1)3
x x
2 4
3 x1
1 2
求导的方程中解出 y (所得的表达式中一般同时含有
x 和 y, 这与显函数求导式中不含 y 相异).
对数求导法 注意使用类型；
参数式函数的求导法
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
讨论分析
二、对数求导法 对数求导法则
主要用于解决两类函数的求导问题： （1） 一类是幂指函数，即 y [u( x)]v( x)
（2） 一类是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所 构成的函数. 对数求导法——在等式两边先取对数，将显函数 化成隐函数，然后用隐函数的求导法则求出导数．
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
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y 2 xesin x (2x 1)(3x 4)
16
例7 设 y x x ( x 0), 求 y .
解 等式两边取对数得
ln y ln xx x ln x
上式两边对x求导得 y ln x 1 , y
对数恒等式 f ( x) eln f ( x )
y y(ln x 1) x x (ln x 1) .
18
例9 设 x y y x , 求 dy . dx
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y ,
方程两边关于 x 求导,得
yln x y ln y x y ,
x
y
(ln x x ) y ln y y
y
x
y
xy ln y xy ln x
(t)
.
dx2 (t) 勿丢
dt
21
例10
设
x y
ln(1 t 2 ) t arctant
，求
d d
y x
d2 y ,
dx2
.
解
dy
y
(x 1)3 x 1 (x 4)2 ex
x
1 1
1 3(x 1)
x
2
4
1
13
例6 设 y
xesin x
, 求 y .
(2x 1)(3x 4)
解 等式两边取对数,化简
ln y ln
xesin x
1 ln
xesin x
(2x 1)(3x 4) 2 (2x 1)(3x 4)
ey(x) y(x) ex y(x) xy(x) 0.
(ey(x)
x) y(x)
ex
y(x)
y( x)
ex y(x) ey(x) x
.
4
例1 设 y y(x) 是由方程 ey ex xy 0 所确定的 隐函数,求 dy .
dx
解 上述过程亦可如下表述：
y2 x2
.
19
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t) (t)
确定了y与x间的函数关系
,
则称此函数为由参数方程确定的参数式函数.
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t 1(x),
则 y [ 1(x)].
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得
2(1 sin y) 2x cos y 2x
1 sin y
(1 sin y)2
2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
隐函数,求 d2 y dx2
方程两边关于x求导，注意y是x的函数
ey ex xy 0.
ey y ex y xy 0.
(ey x) y ex y
y
ex ey
y x
.
5
隐函数求导法则
思想: 在方程 F(x, y) 0 中,将 y 视作 x 的函数,
3
例1 设 y y(x) 是由方程 ey ex xy 0 所确定的 隐函数,求 dy .
dx 解 Q y y(x) 是方程 ey ex xy 0 确定的隐函数
ey(x) ex xy(x) 0.
上述方程两边关于x求导，得
ey(x) ex xy(x) 0.
应用复合函数求导法则直接对方程关于x进行求导 ，
从中解出 y 即可.
例2
求由方程 x2 y cos y 0确定的隐函数的导数 dy dx
x1 .
y0
解 方程两边关于x求导（注意y是x的函数)，得
2x y sin y y 0
解得
y 2x ， dy 1 sin y dx
,
y y
ln
(2x
xesin x 1)(3x
4)
...
2、虽然进行了化简,但没有化简到最简单,比就原急式着更求繁导..
ln y 1 [ln xesin x ln(2x 1)(3x 4)] 2
y 1 [(xesin x ) (2x 1)(3x 4) ] ....
由复合函数及反函数的求导法则可得
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
，
即
dy dx
dt dx
dt
dt 20
x y
(t) (t)
,
dy
dy dx
dt dx
(t) (t)
，
dt
若函数x (t) , y (t)二阶可导, 则有
y0
2 y |x1 cos 0 ( y |x1 )2 sin 0 y |x1 0 y |x1 2.
y0
y0
y0
y0 9
二、对数求导法
方法：先对函数两边取对数,利用对数性质化简,然后 应用隐函数求导的方法求得导数. 回顾对数性质：
log a (MN ) loga M loga N ;
ln[(x 1) 3 x 1] ln[(x 4)2 ex ]
ln(x 1) ln 3 x 1 ln(x 4)2 ln ex
1
ln(x 1) ln(x 1)3 ln(x 4)2 ln ex
1
ln(x 1) ln(x 1) 2ln(x 4) x
1 [ln xesin x ln(2x 1)(3x 4)] 2
1 [ln x ln esin x ln(2x 1) ln(3x 4)] 2
1 [ln x sin x ln(2x 1) ln(3x 4)]
2 14
例5 设 y
xesin x
x1 y0
2x 1 sin
y
x1 2.
y0
6
例3 求椭圆 x2 y2 1 在点 P(1, 4 2 ) 处的切线方程.
94
3
解 方程两边关于x求导，得
2x 2y y 0， y 4x ，
94
9y
k y P
2， 6
所以所求切线方程为：
y 4 2 2 (x 1) ， 即 x 3 2 y 9 0 .
, 求 y .
(2x 1)(3x 4)
解 等式两边取对数,化简
ln y 1 [ln x sin x ln(2x 1) ln(3x 4)] 2
上式两边对 x求导得
勿丢
y 1 [1 cos x 2 3 ]
y 2x
2x 1 3x 4
y 1
xesin x
[1 cos x 2 3 ].
2 (2x 1)(3x 4) x
2x 1 3x 4
注意：需把 y 换回成原来表达式.
15
例6 设 y
xesin x
, 求 y .
(2x 1)(3x 4)
本题常见问题：1、为取对数而取对数,没有任何化简.
ln y ln
xesin x (2x 1)(3x 4)
第四节 隐函数及由参数方程所确定函数的导数 一、隐函数的求导法则
1、隐函数的定义
函数 y f (x) 刻画了变量 y 与 x 的对应关系.
这种对应关系可以有多种表示方式. 常见的表示方式为
y sin x, y ln(x x2 a2 ), .....
上述函数称为显式函数.
此外, y 与 x 的对应关系还可以通过方程 F(x, y) 0 来
Kepler方程：y x sin y 0 (0 1).
方程：ey ex xy 0.
问题: 如何求隐函数的导数？ （这里假设隐函数存在且可导，至于隐函数存在且 可导所需的条件，下学期学习.）
情形1: 隐函数可以显化, 显化后求导即可.
情形2: 隐函数无法显化, 应用隐函数求导法则求导.
注：并不是所有的方程都可以确定隐函数的. 一个方程能确定隐函数是需要满足一定条件的.
例如 方程 x2 y2 1在实数域内不存在隐函数.
2
部分隐函数可以显化，即从方程中解出 y(x) 的表达式.
显化
x3 y3 1 y 3 1 x3 .
但许多隐函数不易或者不能显化. 例如：
另解 ( x x ) (eln xx ) (e xln x ) e xln x ( x ln x) e xln x (ln x 1) x x (ln x 1) .
17
例8 设 y (tan x)sin x (tan x 0), 求 y .
16
例7 设 y x x ( x 0), 求 y .
解 等式两边取对数得
ln y ln xx x ln x
上式两边对x求导得 y ln x 1 , y
对数恒等式 f ( x) eln f ( x )
y y(ln x 1) x x (ln x 1) .
18
例9 设 x y y x , 求 dy . dx
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y ,
方程两边关于 x 求导,得
yln x y ln y x y ,
x
y
(ln x x ) y ln y y
y
x
y
xy ln y xy ln x
(t)
.
dx2 (t) 勿丢
dt
21
例10
设
x y
ln(1 t 2 ) t arctant
，求
d d
y x
d2 y ,
dx2
.
解
dy
y
(x 1)3 x 1 (x 4)2 ex
x
1 1
1 3(x 1)
x
2
4
1
13
例6 设 y
xesin x
, 求 y .
(2x 1)(3x 4)
解 等式两边取对数,化简
ln y ln
xesin x
1 ln
xesin x
(2x 1)(3x 4) 2 (2x 1)(3x 4)
ey(x) y(x) ex y(x) xy(x) 0.
(ey(x)
x) y(x)
ex
y(x)
y( x)
ex y(x) ey(x) x
.
4
例1 设 y y(x) 是由方程 ey ex xy 0 所确定的 隐函数,求 dy .
dx
解 上述过程亦可如下表述：
y2 x2
.
19
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t) (t)
确定了y与x间的函数关系
,
则称此函数为由参数方程确定的参数式函数.
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t 1(x),
则 y [ 1(x)].
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得
2(1 sin y) 2x cos y 2x
1 sin y
(1 sin y)2
2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
隐函数,求 d2 y dx2
方程两边关于x求导，注意y是x的函数
ey ex xy 0.
ey y ex y xy 0.
(ey x) y ex y
y
ex ey
y x
.
5
隐函数求导法则
思想: 在方程 F(x, y) 0 中,将 y 视作 x 的函数,
3
例1 设 y y(x) 是由方程 ey ex xy 0 所确定的 隐函数,求 dy .
dx 解 Q y y(x) 是方程 ey ex xy 0 确定的隐函数
ey(x) ex xy(x) 0.
上述方程两边关于x求导，得
ey(x) ex xy(x) 0.
应用复合函数求导法则直接对方程关于x进行求导 ，
从中解出 y 即可.
例2
求由方程 x2 y cos y 0确定的隐函数的导数 dy dx
x1 .
y0
解 方程两边关于x求导（注意y是x的函数)，得
2x y sin y y 0
解得
y 2x ， dy 1 sin y dx
,
y y
ln
(2x
xesin x 1)(3x
4)
...
2、虽然进行了化简,但没有化简到最简单,比就原急式着更求繁导..
ln y 1 [ln xesin x ln(2x 1)(3x 4)] 2
y 1 [(xesin x ) (2x 1)(3x 4) ] ....
由复合函数及反函数的求导法则可得
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
，
即
dy dx
dt dx
dt
dt 20
x y
(t) (t)
,
dy
dy dx
dt dx
(t) (t)
，
dt
若函数x (t) , y (t)二阶可导, 则有
y0
2 y |x1 cos 0 ( y |x1 )2 sin 0 y |x1 0 y |x1 2.
y0
y0
y0
y0 9
二、对数求导法
方法：先对函数两边取对数,利用对数性质化简,然后 应用隐函数求导的方法求得导数. 回顾对数性质：
log a (MN ) loga M loga N ;
ln[(x 1) 3 x 1] ln[(x 4)2 ex ]
ln(x 1) ln 3 x 1 ln(x 4)2 ln ex
1
ln(x 1) ln(x 1)3 ln(x 4)2 ln ex
1
ln(x 1) ln(x 1) 2ln(x 4) x
1 [ln xesin x ln(2x 1)(3x 4)] 2
1 [ln x ln esin x ln(2x 1) ln(3x 4)] 2
1 [ln x sin x ln(2x 1) ln(3x 4)]
2 14
例5 设 y
xesin x
x1 y0
2x 1 sin
y
x1 2.
y0
6
例3 求椭圆 x2 y2 1 在点 P(1, 4 2 ) 处的切线方程.
94
3
解 方程两边关于x求导，得
2x 2y y 0， y 4x ，
94
9y
k y P
2， 6
所以所求切线方程为：
y 4 2 2 (x 1) ， 即 x 3 2 y 9 0 .
, 求 y .
(2x 1)(3x 4)
解 等式两边取对数,化简
ln y 1 [ln x sin x ln(2x 1) ln(3x 4)] 2
上式两边对 x求导得
勿丢
y 1 [1 cos x 2 3 ]
y 2x
2x 1 3x 4
y 1
xesin x
[1 cos x 2 3 ].
2 (2x 1)(3x 4) x
2x 1 3x 4
注意：需把 y 换回成原来表达式.
15
例6 设 y
xesin x
, 求 y .
(2x 1)(3x 4)
本题常见问题：1、为取对数而取对数,没有任何化简.
ln y ln
xesin x (2x 1)(3x 4)
第四节 隐函数及由参数方程所确定函数的导数 一、隐函数的求导法则
1、隐函数的定义
函数 y f (x) 刻画了变量 y 与 x 的对应关系.
这种对应关系可以有多种表示方式. 常见的表示方式为
y sin x, y ln(x x2 a2 ), .....
上述函数称为显式函数.
此外, y 与 x 的对应关系还可以通过方程 F(x, y) 0 来
Kepler方程：y x sin y 0 (0 1).
方程：ey ex xy 0.
问题: 如何求隐函数的导数？ （这里假设隐函数存在且可导，至于隐函数存在且 可导所需的条件，下学期学习.）
情形1: 隐函数可以显化, 显化后求导即可.
情形2: 隐函数无法显化, 应用隐函数求导法则求导.
注：并不是所有的方程都可以确定隐函数的. 一个方程能确定隐函数是需要满足一定条件的.
例如 方程 x2 y2 1在实数域内不存在隐函数.
2
部分隐函数可以显化，即从方程中解出 y(x) 的表达式.
显化
x3 y3 1 y 3 1 x3 .
但许多隐函数不易或者不能显化. 例如：
另解 ( x x ) (eln xx ) (e xln x ) e xln x ( x ln x) e xln x (ln x 1) x x (ln x 1) .
17
例8 设 y (tan x)sin x (tan x 0), 求 y .