隐函数与参数式函数的求导

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隐函数与参数式函数的求导法则

视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升t分后其高度为h ,仰角为 ,
则 tan h
500 两边对 t 求导
h

500
sec2 d 1 d h
d t 500 d t
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m时,tan 1 ,sec2 2 ,
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
§4.3 隐函数与参数式函数的求导法则
一、隐函数求导法则二、由参数方程确定的函数的求导法则三、极坐标式求导四、相关变化率问题
一、隐函数求导法则
若由方程函数为隐函数 .
可确定y是x的函数 , 则称此
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
F(x, y) 0
y f (x) 隐函数的显化
y

3 2

3
3 4
法线斜率为
故切线方程为 y即3 3 3 (x 2)
2
4
法线方程为即
处的
解:解法1 应用隐函数的求导方法，得
（4.15）
于是上式两边再对x求导，得
解法2 由(4.15)两边再对x求导，得
联合（4.15）解得
例5. 求
的导数 .
解:解法1 两边取对数 , 化为隐式

隐函数与参数方程求导法则

值得注意的是，有些二元方程确定的隐函数并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。
由于二元方程确定的隐函数，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间的弹道曲线的参数方程是
其中是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻弹头的运动方向与地面的夹角为，有
或
， .
解得 .在点的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当时，有 .过双曲线上点的切线方程是，也满足（1）式.
例4证明抛物线上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点，即 .求抛物线在点的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个，则称此对应关系（或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（，）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此，，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，

§3.4 隐函数及参数方程表示的函数的导数

f ( x y) 1 1 y 1 f ( x y) 1 f ( x y)
y d 1 1 dx 1 f ( x y )
f ( x y ) f ( x y )(1 y) 2 1 f ( x y) 3 1 f ( x y)
解
dy 1 1 dy dt 1 t2 1 t 2t 2 dx dx 1 t2 dt
d 2 y d dy ( ) 2 dx dx dx
1 1 t2 2 2t 4t 1 t2
8.529
10
5
tatan ( t)
0 5
2
4
6
8.529 10 0 ln 1t
2
1 代入 x 0, y 1, y(0) 得 4
1 y( 0) . 16
f 例4 设f ( x )二次可微，且 ( x ) 1, y y( x )由y f ( x y) 确定，求 . y
解
由y f ( x y)两边对求导得 x
y f ( x y)(1 y)
（ln y)
例7 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x x
d y d ( y ) dt [ t ] 1 x 2 dx dx dt [ f ( t )] f ( t )
2
x a cos 3 t 表示的函数的二阶导数. 例4 求由方程 3 y a sin t dy dy dt 1 解 1 dx dx dt 3a sin 2 t cos t 3 ( sin( t) ) 2 1 0 3a cos t ( sin t ) tan t

23隐函数、参数式求导

r h , 从而 r 1 h .
6 18
3
因漏斗中溶液体积 V0

1 (12)2 32
18

216 (cm)3
，根据题意可知
V0

1 r 2h 3

(10)2 2
H
，
即
H 216 1 h3 ，
25 675
课堂练习
1.
用对数求导法则求函数
y

x
x
1 x
变量 y 有确定的值与之对应，．把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化不能显化的隐函数，如果可导应该如何求导？下面，我们将通过具体的例子来介绍一种方
法例1 求由下列方程所确定的函数的导数. y sin x cos(x y) 0
例 2 方程 xy e y e 确定函数 y y(x) ，求 y0 ．
比如 y x sin x x 0 ，幂指函数既不是幂函数也不是指数函数
如果 u(x),v(x) 都可导，则幂指函数 y uxvx 可导．求幂指函数 y uxvx 的导数，幂函
数或指数函数的求导法则在此均不适合．我们可以通过把方程两端取对数之后，化幂指函数为隐函数，然后利用隐函数求导法则求出幂指函数 y uxvx 的导数．这种求导方法称为对数求导法 (logarithm derivation)．
程为
x

y

v0t cos v0t sin
1 2
gt 2
，
求炮弹在时刻 t0 的运动方向与速率．
例 12
椭圆的参数方程为
x

y

a b
cos t (0
sin t

隐函数及参数方程所表示函数的求导法

x (t ), y (t ),
t [ , ]为参数 .
若x (t )与y (t )都可导，且 (t ) 0. 又x (t )存在
反函数 t 1 ( x)，则y为x的复合函数 y ( 1 ( x)) ，即
y (t )，t 1 ( x).
Yunnan University
7
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
由复合函数与反函数的求导法则，有
dy dy dy dt (t ) dt 1 (t ) ( ( x)) . dx dt dx (t ) dx dt
这即是参数方程所表示函数的求导法，从而导函数的
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法一、隐函数求导法
设二元方程 F ( x, y) 0
确定了唯一的单值可导函数y f ( x)，求 dy . dx
例如: F ( x, y) x 2 y 2 R2 0可确定隐函数
y R 2 x 2，x [ R, R]，y [0, R]; 和 y R 2 x 2，x [ R, R]，y [ R,0].
4
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x2 y2 例3. 求垂直于直线 l : 2 x 4 y 3 0并与双曲线 1 2 7 相切的直线方程。
解：设双曲线上一点 ( x, y)的切线斜率为 k，则由隐函数求
导法，有
2x 2 y 7x y 0，即 k y . 2 7 2y
即
y y( x) x x . y ( x) y
方法I : 对于由方程 F ( x, y) 0确定的隐函数，只需用应复合函数的求导法，对恒等式方或程两端关于 x求导数，即可得隐函数的导数（注意 y是x的函数） .

隐函数及参数方程求导

隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。

在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。

1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。

设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。

要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。

2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。

1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。

根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。

将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。

2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。

参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。

2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。

设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。

1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。

2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。

2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。

隐函数和参数式函数的导数解析

dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
,
即
dy (t) dx (t)
dt
注意这里的导数是通过参数表达出来的．
例8
设
x y
1 t
t t
2 3
，
求
dy .
dx
dy
解
dy dx
dt dx
(t t3 ) (1 t 2 )
1 3t 2
2t
dt
讨论分析
讨论分析
例9
求曲线
x
y
sin t, cos 2t
讨论分析
例7 求函数 y ( x 1)3 x 2 的导数．
x4
解函数两边同时取对数，得
ln y 3ln( x 1) 1 ln( x 2) ln( x 4)
2
两边同时对 x 求导，得
1 y
y
3 x1
1 2
1 x2
1 x 4
于是
y ( x 1)3
x x
2 4
3 x1
1 2
求导的方程中解出 y (所得的表达式中一般同时含有
x 和 y, 这与显函数求导式中不含 y 相异).
对数求导法注意使用类型；
参数式函数的求导法
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
讨论分析
二、对数求导法对数求导法则
主要用于解决两类函数的求导问题：（1）一类是幂指函数，即 y [u( x)]v( x)
（2）一类是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数. 对数求导法——在等式两边先取对数，将显函数化成隐函数，然后用隐函数的求导法则求出导数．

隐函数和参数方程求导

隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。

常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。

考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。

首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。

然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。

最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。

参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。

参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。

假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。

首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。

通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。

在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。

隐函数与参数方程的求导法则

隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。

当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。

但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。

一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。

在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。

2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。

3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。

4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。

举个例子来进行说明。

假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。

如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。

首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。

将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。

然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。

这就是所求的切线斜率。

二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。

求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。

2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。

接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。

假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。

我们想求解在该参数方程下的切线斜率。

首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。

隐函数与参数方程确定函数的求导方法

隐函数与参数方程确定函数的求导方法在微积分中，隐函数与参数方程是两种特殊的表示函数的方法。

隐函数是指在一个方程中，变量的关系是通过隐含的方式给出的，即不能直接通过解方程得到一个明确的公式。

参数方程则是将自变量通过一个参数来表示，从而将函数的定义域与值域分开描述。

在使用这些方法确定函数时，我们需要了解如何对这些函数进行求导。

隐函数是指在一个方程中，变量的关系是通过隐含的方式给出的，即不能直接通过解方程得到一个明确的公式。

为了对隐函数进行求导，我们可以利用隐函数求导的基本原理，即根据隐函数给出的方程，使用链式法则和隐函数公式进行推导。

首先，我们假设有一个隐函数方程 F(x, y) = 0，其中 y 表示 x 的函数。

我们要求的是 y 对 x 的导数 dy/dx。

步骤如下：1.对方程两边同时对x求导，应用链式法则。

2. 用 dy/dx 表示 dy/dx 与 dx/dx 的商：dy/dx = -F_x(x, y) /F_y(x, y)。

3. 将 dy/dx 表示为关于 x 和 y 的表达式。

其中，F_x(x,y)为F(x,y)对x的偏导数，F_y(x,y)为F(x,y)对y的偏导数。

通过这种方法，我们可以求得隐函数的导数。

这种方法在解决隐函数问题时非常有用，因为它能够处理一些无法用显式函数表达的关系。

参数方程是将自变量通过一个参数来表示，从而将函数的定义域与值域分开描述。

在求参数方程确定的函数的导数时，我们需要使用参数方程求导公式。

假设有一组参数方程x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于t的函数。

步骤如下：1. 分别对 x 和 y 关于 t 求导，得到 dx/dt 和 dy/dt。

2. 将 dx/dt 和 dy/dt 表示为关于 t 的函数。

3. 计算 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。

在计算 dy/dt 和 dx/dt 的时候，可以使用求导的基本规则。

然后，将 dy/dt 和 dx/dt 的表达式代入 dy/dx 的公式中，就可以求得参数方程确定的函数的导数。

隐函数及参数方程所确定的函数的求导法

谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如，从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导，便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数．解方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数．解这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx，两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t），确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t）存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求导法则，得

5.3隐函数与参数方程求导法则

即
3x + 4 y − 8 3 = 0
例3 求由方程 e
函数 y′( x ) 。
解对方程
x + y − xy − e = 0 确定的隐函数 y = y ( x) 的导
e x + y − xy − e = 0
的两边关于 x 求导，注意到 y 是 x 的函数，由复合函数的求导法则
(e x + y − xy − e)′ = (e x + y )( x + y )′ − ( xy )′
x = v1t 例8 抛射体运动轨迹的参数方程为 2 y = v2 t − 1 g t 2 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解先求速度大小:
dx dy = v1 , 垂直分量为 = v2 − g t , 速度的水平分量为 dt dt
dx 2 d y 2 2 2 v = ( ) + ( ) = v + ( v − gt ) 故抛射体速度大小 1 2 dt dt
F ( x , y1 ) = F ( x , a 2 − x 2 ) ≡ 0
y2 = − a 2 − x 2 ∈ B = ( −∞, 0], F ( x , y2 ) = F ( x , − a 2 − x 2 ) ≡ 0
例如方程 e xy + x 2 y − 1 = 0 所决定的隐函数就无法将它化成显函数 y = f ( x ) 形式。
由此解得
= e x + y (1 + y ′) − y − xy ′ = 0 ，
y′ =
ex+ y − x
y − ex+ y
例4
例5
a a b x 例如, y = ( x > 0, a > 0 , b > 0 , ≠ 1 ) b b x a

隐函数和参数方程求导法

隐函数和参数方程求导法1.隐函数求导法隐函数求导法用于求解包含隐函数的导数。

一般来说，我们可以将隐函数表示为两个变量之间的关系式，例如y=f(x)。

在一些情况下，这个关系式无法直接解出y关于x的显式表达式。

这时，我们可以使用隐函数求导法来找到y关于x的导数。

假设有一个含有两个变量x和y的隐函数关系式F(x,y)=0。

要求这个隐函数关于x的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：对关系式两边同时求导，并得到导数关系式dF/dx = 0；步骤2：根据导数关系式，将dF/dx中的y'用y和x表示出来；步骤3：解出y'，即为所求的导数。

举例说明：假设有一个隐函数关系式x^2+y^2=1、我们要求这个隐函数关于x的导数。

按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：对关系式两边同时求导，得到2x + 2yy' = 0；步骤2：将dF/dx中的y'用y和x表示出来，得到y' = -x/y；步骤3：解出y'，即为所求的导数。

通过以上计算，我们得到了这个隐函数关于x的导数为y'=-x/y。

参数方程求导法用于求解包含参数方程的导数。

参数方程是用参数表示的轨迹方程，常用形式为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于参数t 的函数。

要求参数方程的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt和dy/dt；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到y关于x的导数dy/dx；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数。

举例说明：假设有一个参数方程x=2t，y=t^2、我们要求这个参数方程的导数。

按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt = 2 和dy/dt = 2t；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt) = (2t)/(2) = t；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数，例如二阶导数d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = d(t)/dx = 0。

隐函数与参数方程确定函数的求导方法

x2 求椭圆
4
y2 3
1上点
(1,
3 2
)
处的切线方程.
解在方程两边同时对 x 求导，有 x 2yy 0 ，
23
解得 y 3x 。从而椭圆 x2 y2 1在点(1, 3 ) 处的切线
4y
43
2
斜率为 k 3x 1 ，故所求切线方程为
4y
x1 y3
2
2
y 3 1 x 1 ，即 x 2 y 4 。
2
sin y ( 1 )
1 cos y (1 cos y)2
sin y (1 cos y)3
。
18-8
方法二在等式1+ dy cos y dy 0 两边同时对 x 求导，
dx
dx
得
0
d2 y dx2
sin
y
dy dx
dy dx
cos
y
d2 y dx2
0，
解得
d2 y dx2
sin y (dy )2 dx
(y
0)
。
18-13
如果不能从中消去参数，问如何求其导数？
设(t), (t) 均可导，且 x (t) 在 t 的某个区间内单
调，则由反函数存在定理知，存在连续、可导的反函数
t 1(x) ，这样 y (t) 与 t 1(x) 就构成了复合函数
y [ 1(x)]。则
dy
dy dx
dy dt
22
18-6
例 3.4.4 设 y y(x) 是由方程 x2 xy 1 ey 所确定的
隐函数，则 dy dx x0
解在方程两边同时对
x
0。
求导，得
2x

隐函数和参数式函数的求导法课件

对x2 2 y2 8两边关于x求导得 :
2x 4 y y 0, y (2,
2)
1. 2
再对x2 2 2 y两边关于x求导得 :
2 x 2 2 y, y (2, 2) 2. 即证.
二、对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍
对数求导法,
它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
x
4
2 a, 2
y
4
2 a
2
四、相关变化率
x x(t ) , y y(t )为两可导函数
x , y 之间有联系
相关变化率解法三步骤
dx , d y 之间也有联系
dt dt 称为相关变化率
(1) 找出相关变量的关系式
F(x, y) 0
对t 求导
(2) 相关变化率
dx 和d y 之间的关系式 dt dt
y 3 (x 3)
2
2
即 x y 3 0.
法线方程
y 3 x 3 即 y x, 通过原点.
2
2
利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题.
如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,
称这两条曲线是
正交的.
如果一个曲线族中的每条曲线与另一个曲线族
中的所有与它相交的曲线均正交,
称这两个曲线族
(1) tan h F ( , h) 0
(2)
500
两边对 t求导得 sec2
d
1
dh 500
(3)
dh 140米 / 秒, dt
dt 500 dt
当 h 500时, tan 1, sec2 2
d 1 1 140 0.14(弧度 / 分)

第二章第四讲---隐函数求导和参数式求导

第四讲隐函数的导数和参数式求导一、隐函数的导数若由方程可确定y 是x的函数,则称此函数为隐函数.若能由这种形式表示的函数, 称为显函数.例如,可确定显函数可确定y 是x的函数,但此隐函数不能显化.问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导方法:用复合函数求导法直接由方程两边对x求导.y(含导数的方程)解0=+-+dxdy e e dx dy x y y x 解得：,yxex ye dx dy +-=,,00==y x 000===+-=∴y x yxx ex y e dxdy .1=方程两边对求导：x例1 求由方程所确定的隐函数的导数0=+-yxe e xy .,0=x dxdy dx dy y1)对幂指函数)()(x v x u y =可用对数求导法求导:uv y ln ln =y y '1u v ln '=uv u '+)ln (uv u u v u y v'+'='隐函数求导的这种方法需要说明以下几点:例2. 求的导数.解: 两边取对数：两边对x 求导xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=')1sin ln (cos x x x x y y ⋅+⋅='∴)sin ln (cos sin xx x x x x+⋅=2) 有些显函数用对数求导法求导很方便.再如,两边取对数=y ln 再当作隐函数求导，两边对x 求导='yy b a ln x a -x b ++bax ln +-]ln ln [x b a ]ln ln [a x b -二、参数式求导例如参数方程⎩⎨⎧==,,22t y tx 2x t =222)(x t y ==42x =xy 21='∴消去参数问题: 消参困难或无法消参如何求导?t 若参数方程确定y 与x 间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数。

()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩则0≠')(t ϕ时,有=x y d d x t t y d d d d ⋅tx t y d d d d 1⋅=)()(t t ϕψ''=可导, 且其中若参数方程可确定一个y 与x 间的函数关系，()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩函数具有单调连续的反函数，这个反函数与()x t ϕ=1()t t ϕ-=()y t ψ=构成了复合函数，1[()]y t ψϕ-=复合函数求导法则反函数求导法则)()(t t ψϕ''=0≠')(t ψ时,有=y x d d y t t x d d d d ⋅ty t x d d d d 1⋅=(此时x 看成是y 的函数)若上述参数方程中二阶可导,)()(d d t t x y ϕψ''=)(t x ϕ=且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得)(22dx dy dx d dxy d =dx dt t t dt d ))()((ϕ'ψ'=)(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=.)()()()()(t t t t t 3ϕϕψϕψ''''-'''=d ()d ()y t x t ψϕ'='()()()d t dx t ψϕ'='1()()()d t dx dt t dtψϕ'='tt t a tt a t t x y cot cos sin sin cos )()(d d -=-=''=2233ϕψ解:)(dx dydx d dx y d =22(cot )ddtt dt dx =-2213csc sin cos t a t t =ta tcos sec 34=例3求由参数方程所确定的函数的二阶导数。