作业11隐函数与参数方程求导

1、填空题

1）设函数()x y y =由方程()

x y x y x sin ln 3

2

+=+确定，则()=

'0y 1

2）设()()⎩⎨⎧-=-=13t

e f y t f x π，其中()t f 可导，且()00≠'f ，则=

=0

t dx dy

3

3）设()0,0>>⎪

⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a a x x b a b y b

a

x

，则=dx

dy

()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---1ln a b x

a b x b

a x a

b a b a b x a b a b 2、求下列方程所确定的隐函数()x y 的导数 1）xy

x y e +=

解：方程两边关于x 求导得：()1

11xy xy

xy

ye y e y xy y xe -'''+=+⇒=-。

2）()tan cos y x x y =+

解：方程两边关于x 求导得：()()2

tan sec 1sin y x y x y x y ''+=-++⇒。

()()2sin sec sin tan x y y x

y x y x

-+-'=++

3

()0a =>上任意一点处的切线在坐标轴上的截距和为常数

a 。

证明：方程两边关于x

0y y ''+=⇒=()00,x y 为曲线上

任意一点，此点处切线方程为)00y y x x -=-，其对应截距式方程为

1=

a ==

4、求下列函数的导数dx

dy

1）

y xe

=

解：方法一、

22cos 1x x e x y e

xe -'=

方法二、y xe

=

()21

ln ln ln sin 12

y x x x =++-

两边关于x 求导得：()()

22

cos 111

1sin 1x x y y x x -'=+

+- ()()2

2

cos 111sin 1x x y xe x x ⎫-'⎪=++⎪-⎭

2）()()x

y

y x sin cos =

解：()()x

y

y x sin cos =两边取对数得：

y x x y sin ln cos ln =

两边关于x 求导得：y y x y x y x y '⋅+=-'cot sin ln tan cos ln

y

x x y

x y y cot cos ln sin ln tan -+=

'

5、求下列参数方程所确定函数的导数

dx

dy 1）()32

ln 1x t t y t t

⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩

解：

()

()()()()322323211ln 111t t dy t t

t t dx

t t t

'++===++'-+-+ 2）()⎩⎨

⎧=-=θ

θθθcos sin 1y x

解：()()()θ

θθθθθθθθθcos sin 1sin cos sin 1cos ---='-'=dx dy 6、求三叶玫瑰线()()03sin >=a a r θ上对应于4

π

θ=点处的切线方程（直角坐标形式）。

解：⎩⎨

⎧====θ

θθθθθsin 3sin sin cos 3sin cos a r y a r x ，θθθθθ

θθθsin 3sin cos 3cos 3cos 3sin sin 3cos 3a a a a dx dy -+=

当4

π

θ=

时，2,2a y a x ==

，21

212321

234

=--+

-

==

π

θdx

dy

切线方程为：⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-

2212a x a y 。 7、在摆线的一拱()()

()sin ,021cos x a t t t y a t π=-⎧⎪≤≤⎨

=-⎪⎩上求一点，使该点处切线与直线1y x =-平行，并写出切线方程。

解：因为()()()()

1cos sin 1sin a t dy t dx cocst a t t '-==-'

-，由

sin 1sin cos 1sin 1cos 4t t t t t π⎛⎫

=-⇒-=-⇒-= ⎪-⎝⎭

所以32t π=

，或2t π=（舍去函数在此点不可导），当32t π=时，31,2x a y a π⎛⎫

=+=

⎪⎝⎭

对应切线方程为：312y a x a π⎛⎫

⎛⎫-=--+

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。