(完整版)隐函数的求导方法总结

河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪2016年05月27日摘要 (3)一．隐函数的概念 (3)二．隐函数求偏导 (3)1.隐函数存在定理1 (3)2.隐函数存在定理2 (4)3.隐函数存在定理3 (4)三. 隐函数求偏导的方法 (6)1.公式法 (6)2.直接法 (6)3.全微分法 (6)参考文献 (8)摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数 偏导数 方法一．隐函数的概念一般地，如果变量满足方程，在一定条件下，当取某区间的任y x 和()0,=y x F x 一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，那么就说方程在该区间内y ()0,=y x F 确定了一个隐函数。

例如，方程表示一个函数，因为当变量在013=-+y x x 内取值时，变量有确定的值与其对应。

如。

()∞+∞-，y 等时时321,10=-===y x y x 二．隐函数求偏导1.隐函数存在定理1 设函数在P （x 。

，y 。

）在某一领域内具有连续偏导数，0),(=y x F 且，，则方程在点（x 。

，y 。

）的某一领域内恒能0),(= y x F 0),(≠ y x F y 0),(=y x F 唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有)(x f y =)( x f y =。

yxy F F d d x -=例1:验证方程-=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=12x 2y 时y=1的隐函数y=，并求该函数的导数在x=1处的值。

)(x fdxdy解令=-,则),(y x F 2x 2y=2x ，=-2y ，=0，=-2≠0x F y F )1,1(F )1,1(y F由定理1可知，方程-=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函2x 2y 数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有===dx dy y x F F-y x 22yx 故==11=x dxdy)1,(!yx2.隐函数存在定理2设函数在点的某一邻域内具有连续()z y x F,,）（ z y x P ,,偏导数，且=0，，则方程在点的某一邻）（ z y x F ,,0,,≠）（ z y x F z ()0,,=z y x F () z y x ,,域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件()y x f z ,=并有。

() y x f z ,=zy z x F F y zF F x z -=∂∂-=∂∂,例2：设函数由方程所确定，求()y x z z ,=z y x z xy ++=2yz∂∂解：设()zy x z xy z y x F ---=2,,则（将x ，y 当常数，对z 求偏导）012≠-=xy F z （将x ，y 当做常数，对y 求偏导）12-=xyz F z 根据定理2：22112112xy xyz xy xyz F F y z z y --=---=-=∂∂ 3.隐函数存在定理3 设、在点的某一邻域()v u y x F ,,,()v u y x G ,,,()0000,,,v u y x P 内具有对各个变量的连续偏导数，又，且偏导数()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F 所组成的函数行列式（或称雅可比(Jacobi)）()()v F vG u F u G v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=,,在点不等于零，则方程组在点()0000,,,v u y x P ()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数()0000,,,v u y x ),(),,(y x v v y x u u ==,它们满足条件),(000y x u u =，),(000y x v v =，并有Gv Gu Fv Fu Gv Gx Fv Fx v x G F J u -=∂∂-=∂∂),(),(1x GvGu Fv Fu Gx Gu Fx Fu x u G F J v -=∂∂-=∂∂),(),(1xGv Gu Fv Fu Gv Gy FvFyv y G F J u -=∂∂-=∂∂),(),(1y GvGu Fv Fu Gy Gu FyFuy u G F J v -=∂∂-=∂∂),(),(1y 例3：设，求1,0=+=-xv yu yv xu .,,,yv x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂解：⎩⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧−−−−−→−-=∂∂⋅-∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂⋅=⋅∂∂-∂∂⋅+=∂∂⋅++∂∂⋅=-=+u xvy x u x v x v x x u y y x v x u x u x v x v x u y x yv xu xv yu 0001求导方程两边对由定理3可求 022≠+===-∂∂∂∂∂∂∂∂J y x J y xx y v F vG u F uG 且则22y x yv xu xu y xx y y x u v +=-==∂∂----22y x xv yu xv y xx y u v x y +-==∂∂---{⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−→−=∂∂⋅-∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅--∂∂⋅=∂∂⋅+∂∂⋅+=-=+v y vy y u x uyv x y u y yv y v y u x y v x y u y u yv xu xv yu 00y 01求导方程两边对 同上可求得22y x yuxv y u +-=∂∂22y x yu xv y v +--=∂∂三. 隐函数求偏导的方法1.公式法：即将方程中所有非零项移到等式一边，并将其设为函数F,注意应将x,y,z 看作独立变量，对F(x,y,z)=0分别求导，利用公式-,-。

=xzZ X F F =y z z y F F 类型条件公式()0,=y x F ()00≠≠x y F F 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x y yx F F dx dyF F dx dy或类型条件公式≠x F xz x y F Fz x F F y x -=∂∂-=∂∂,0≠y F yz y x F F z y F F x y -=∂∂-=∂∂,()0,,=z y x F≠z F zy z x F F y z F F x z-=∂∂-=∂∂,()(){,,,0,,,==v u y x F v u y x G ()(),≠=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂v F vG u F u G v u G F J ，，()()v x G F J x u ,,1∂∂-=∂∂()()x u G F J xv,,1∂∂-=∂∂，()()v y G F J y u ,,1∂∂-=∂∂()()y u G F J y v ,,1∂∂-=∂∂2.直接法：分别将F(x,y,z)=0两边同时对x,y 看作独立变量，z 是x,y 的函数，得到含的两个方程，解方程可求出.yz x z ,y z x z ,3.全微分法：利用微分形式的不变性，对所给方程两边求微分，整理成则的系数便是，在求全微分时，应看做自变量.,),,(),,(dy z y x v dx z y x u dz +=dy dx ,yz x z ,z 例1.已知，求.xy y x arctan ln 22=+22dx y d 解. 方法一：令-22ln ),(y x y x F +=)ln(21arctan22y x x y +=xyarctan -则2222),(,),(y x xy y x F y x y x y x F yx +-=++=所以=dx dy =-y x F F xy y x -+-上式再对x 求导得3222'22)()(2)(22y x y x y x y xy dx y d -+=--= 方法二：方程两端分别对x 求导得,0arctanln22=-+xyy x22'y x yy x ++022'=+--y x yxyyx y x dx dy -+=3222'22)()(2)(22y x y x y x y xy dx y d -+=--= 方法三：方程，两端分别求微分得xyy x arctanln22=+ )(arctan )(ln 22xyd y x d =+利用全微分不定性，上式化为x yd xy y x dy dx 2222221121+=++ 由全微分运算法则计算并化简得3222'22)()(2)(22)()(y x y x y x y xy dx y d xy y x dx dy dx y x dy y x -+=--=-+=+=-参考文献【1】同济大学数学系.高等数学第七版下册【M】北京：高等教育出版社，2014.7【2】段生贵，曹南斌.高等数学学习指导【M】成都：电子科技大学出版社，2014.8【3】邵燕南.高等数学【M】北京：高等教育出版社，2014.7【4】王顺风，吴亚娟.高等数学【M】南京：东南大学出版社，2014.5【5】陈纪修，於崇华，金路.数学分析【M】北京：高等教育出版社，2004.4。