(完整版)隐函数的求导方法总结

河北地质大学

课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法

学院：信息工程学院

专业名称：电子信息类

小组成员：史秀丽

角子威

季小琪

2016年05月27日

摘要 (3)

一．隐函数的概念 (3)

二．隐函数求偏导 (3)

1.隐函数存在定理1 (3)

2.隐函数存在定理2 (4)

3.隐函数存在定理3 (4)

三. 隐函数求偏导的方法 (6)

1.公式法 (6)

2.直接法 (6)

3.全微分法 (6)

参考文献 (8)

摘要

本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的

方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数 偏导数 方法

一．隐函数的概念

一般地，如果变量满足方程，在一定条件下，当取某区间的任

y x 和()0,=y x F x 一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，那么就说方程在该区间内

y ()0,=y x F 确定了一个隐函数。例如，方程表示一个函数，因为当变量在

013

=-+y x x 内取值时，变量有确定的值与其对应。如。

()∞+∞-，y 等时时321,10=-===y x y x 二．隐函数求偏导

1.隐函数存在定理1 设函数在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数，

0),(=y x F 且，，则方程在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能0),(= y x F 0),(≠ y x F y 0),(=y x F 唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有

)(x f y =)( x f y =。

y

x

y F F d d x -

=例1:验证方程-=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1

2

x 2

y 时y=1的隐函数y=，并求该函数的导数

在x=1处的值。)(x f

dx

dy

解

令=-,则

),(y x F 2x 2

y

=2x ，=-2y ，=0，=-2≠0

x F y F )1,1(F )1,1(y F

由定理1可知，方程-=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函2x 2

y 数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有

===dx dy y x F F

-y x 22y

x 故

=

=11=x dx

dy

)1,(!y

x

2.隐函数存在定理2

设函数在点的某一邻域内具有连续

()z y x F

,,）（ z y x P ,,偏导数，且=0，，则方程在点的某一邻）（ z y x F ,,0,,≠）

（ z y x F z ()0,,=z y x F () z y x ,,域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件

()y x f z ,=并有。() y x f z ,=z

y z x F F y z

F F x z -=∂∂-=∂∂,例2：设函数由方程所确定，求

()y x z z ,=z y x z xy ++=2

y

z

∂∂解：设()z

y x z xy z y x F ---=2

,,则（将x ，y 当常数，对z 求偏导）

012

≠-=xy F z （将x ，y 当做常数，对y 求偏导）

12-=xyz F z 根据定理2：

2

2112112xy xyz xy xyz F F y z z y --=---=-=∂∂ 3.隐函数存在定理3 设、在点的某一邻域()v u y x F ,,,()v u y x G ,,,()0000,,,v u y x P 内具有对各个变量的连续偏导数，又，且偏导数()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F 所组成的函数行列式（或称雅可比

(Jacobi)）

()()

v F v

G u F u G v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=,,在点不等于零，则方程组在点

()0000,,,v u y x P ()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数

()0000,,,v u y x ),(),,(y x v v y x u u ==,它们满足条件),(000y x u u =，),(000y x v v =，并有

Gv Gu Fv Fu Gv Gx Fv Fx v x G F J u -

=∂∂-=∂∂)

,()

,(1x Gv

Gu Fv Fu Gx Gu Fx Fu x u G F J v -

=∂∂-=∂∂)

,()

,(1x

Gv Gu Fv Fu Gv Gy Fv

Fy

v y G F J u -

=∂∂-=∂∂)

,()

,(1y Gv

Gu Fv Fu Gy Gu Fy

Fu

y u G F J v -

=∂∂-=∂∂)

,()

,(1y 例3：设，求

1,0=+=-xv yu yv xu .,,,y

v x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂

解：⎩⎨⎧→⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧−−−−−→−-=∂∂⋅-∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂⋅=⋅∂∂-∂∂⋅+=∂∂⋅++∂∂⋅=-=+u x

v

y x u x v x v x x u y y x v x u x u x v x v x u y x yv xu xv yu 0001求导方程两边对

由定理3可求 0

22≠+==

=

-∂∂∂∂∂∂∂∂J y x J y x

x y v F v

G u F u

G 且

则2

2y x yv xu x

u y x

x y y x u v +=-

==∂∂----