隐函数及其求导方法
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隐函数及其求导方法
2013--1--23
案例导出
案例： 由方程x3+y3=6xy所确定的函数y=y(x)对 应的平面曲线一般称为笛卡尔叶形线。 请求出笛卡尔叶形线在点（3，3）处的 切线方程。
案例分析
根据导数的几何意义，要求笛卡尔叶形线在点（3，3） 处的切线方程，只要求出切线的斜率y'（3），但由方 程x3+y3=6xy所确定的函数y=y(x)与我们前面所遇到的 函数有所不同，前面我们遇到的不管是一元函数还是 二元函数，都是因变量可由含有自变量的数学表达式 直接表示出来的函数形式，如y=sinx ,y=√1-x2 等，我 们称这样的函数为显式函数。但是，有些时候函数的 因变量与自变量之间的表达式却不是这样直接的，如 方程x+y-10=0和z-x-y=0,换句话说，将因变量与自变量 之间的函数关系隐藏在方程里，这种函数我们称为隐 函数。案例中的函数就是隐函数。将隐函数化为显式 函数，叫做隐函数的显式化。但案例中的函数无法显 式化，求这种函数的导数或偏导数就称为隐函数求导。
例题五：
Leabharlann Baidu
设z=f(x,y)由方程x2z+2y2z2+y=0确定，求 dz/dx ,dz/dy.
解：两边同时求对x的偏导数，y看成常数，有 2xz+x2z'x+2y2.2z.z'x=0 于是 z'x=-2xz/x2+4y2z 同样，两边同时求对y的偏导数，x看成常数，有 z'y=-(4yz2+1)/ x2+4y2z
用公式法解本题试试？
例题六：
设y=f(x)由方程y=xlny确定，求y' 解： 令 F(x,y)=y-xlny, 则 F'x=-lny F'y=1-x/y, 于是 y'=lny/(1-x/y)=ylny/(y-x) (y-x≠0)
随堂练习
1.设x2+2xy-y2=a2求y'x 2.设cos2x+cos2y+cos2z=1求z'x,z'y 3.设xy=yx求y'x 4.设x2/a2+y2/b2+z2/c2=1求z'x,z'y 5.设y=xx求y'x
典型例题
例题1 设x2+2xy-ln(x+y)=0,求dy/dx. 解：设F(x,y)=x2+2xy-ln(x+y) F'x=2x+2y-1/x+y F'y=2x-1/x+y 所以dy/dx=-F'x/F'y=1-2(x+y)2/2x(x+y)-1
例题2 设ez=xyz,求dz/dx,dz/dy. 例题3 求出案例中笛卡尔叶形线在点（3,3）处 的切线方程 例题4 求y=(1+x2)sinx的导数.
课后作业
1.求下列方程所确定的隐函数y的导数 (1).x2-y2=16 (2).xey-yex=x (3).ysinx=cos(x+y) 2.求下列函数的导数 (1).y=x√x (2).y=x2e2/(1+x)√x+2 3.求曲线y3=1+xey在与y轴交点处的切线 方程与法线方程 4.设z是由方程lnz=xyz所确定的隐函数， 求z'x,z'y
相关知识
一般地，如果变量x,y之间的函数关系由 方程F(x,y)=0所确定，这样的函数称为由 方程F(x,y)=0确定的一元隐函数。类似地， 由方程F(x,y,z)=0确定的二元函数z=f(x,y) 称为二元隐函数。
隐函数的解法
㈠.对确定的隐函数的方程两边关于自变 量求导 ㈡.公式法求隐函数的导数
方法一：等式两边关于自变量求导
我们知道，一元隐函数y=f(x)由方程 F(x,y)=0确定，对方程两边同时关于自变 量x求导，注意到y是x的函数，利用复合 函数求导方法，可以得到一个含有y'的方 程，解出y'即找到了一元隐函数的导数。
方法二：公式法求隐函数的导数
(1).方程F(x,y)=0,可以确定一个一元隐函 数，如y=y(x),可以得到一元隐函数的求 导公式dy/dx=-F'x/F'y. (2).方程F(x,y,z)=0,可以确定一个二元隐 函数，如z=z(x,y),也可类似地得到二元隐 函数的求导公式dz/dx=-F'x/F'z,dz/dy=F'y/F'z.
2013--1--23
案例导出
案例： 由方程x3+y3=6xy所确定的函数y=y(x)对 应的平面曲线一般称为笛卡尔叶形线。 请求出笛卡尔叶形线在点（3，3）处的 切线方程。
案例分析
根据导数的几何意义，要求笛卡尔叶形线在点（3，3） 处的切线方程，只要求出切线的斜率y'（3），但由方 程x3+y3=6xy所确定的函数y=y(x)与我们前面所遇到的 函数有所不同，前面我们遇到的不管是一元函数还是 二元函数，都是因变量可由含有自变量的数学表达式 直接表示出来的函数形式，如y=sinx ,y=√1-x2 等，我 们称这样的函数为显式函数。但是，有些时候函数的 因变量与自变量之间的表达式却不是这样直接的，如 方程x+y-10=0和z-x-y=0,换句话说，将因变量与自变量 之间的函数关系隐藏在方程里，这种函数我们称为隐 函数。案例中的函数就是隐函数。将隐函数化为显式 函数，叫做隐函数的显式化。但案例中的函数无法显 式化，求这种函数的导数或偏导数就称为隐函数求导。
例题五：
Leabharlann Baidu
设z=f(x,y)由方程x2z+2y2z2+y=0确定，求 dz/dx ,dz/dy.
解：两边同时求对x的偏导数，y看成常数，有 2xz+x2z'x+2y2.2z.z'x=0 于是 z'x=-2xz/x2+4y2z 同样，两边同时求对y的偏导数，x看成常数，有 z'y=-(4yz2+1)/ x2+4y2z
用公式法解本题试试？
例题六：
设y=f(x)由方程y=xlny确定，求y' 解： 令 F(x,y)=y-xlny, 则 F'x=-lny F'y=1-x/y, 于是 y'=lny/(1-x/y)=ylny/(y-x) (y-x≠0)
随堂练习
1.设x2+2xy-y2=a2求y'x 2.设cos2x+cos2y+cos2z=1求z'x,z'y 3.设xy=yx求y'x 4.设x2/a2+y2/b2+z2/c2=1求z'x,z'y 5.设y=xx求y'x
典型例题
例题1 设x2+2xy-ln(x+y)=0,求dy/dx. 解：设F(x,y)=x2+2xy-ln(x+y) F'x=2x+2y-1/x+y F'y=2x-1/x+y 所以dy/dx=-F'x/F'y=1-2(x+y)2/2x(x+y)-1
例题2 设ez=xyz,求dz/dx,dz/dy. 例题3 求出案例中笛卡尔叶形线在点（3,3）处 的切线方程 例题4 求y=(1+x2)sinx的导数.
课后作业
1.求下列方程所确定的隐函数y的导数 (1).x2-y2=16 (2).xey-yex=x (3).ysinx=cos(x+y) 2.求下列函数的导数 (1).y=x√x (2).y=x2e2/(1+x)√x+2 3.求曲线y3=1+xey在与y轴交点处的切线 方程与法线方程 4.设z是由方程lnz=xyz所确定的隐函数， 求z'x,z'y
相关知识
一般地，如果变量x,y之间的函数关系由 方程F(x,y)=0所确定，这样的函数称为由 方程F(x,y)=0确定的一元隐函数。类似地， 由方程F(x,y,z)=0确定的二元函数z=f(x,y) 称为二元隐函数。
隐函数的解法
㈠.对确定的隐函数的方程两边关于自变 量求导 ㈡.公式法求隐函数的导数
方法一：等式两边关于自变量求导
我们知道，一元隐函数y=f(x)由方程 F(x,y)=0确定，对方程两边同时关于自变 量x求导，注意到y是x的函数，利用复合 函数求导方法，可以得到一个含有y'的方 程，解出y'即找到了一元隐函数的导数。
方法二：公式法求隐函数的导数
(1).方程F(x,y)=0,可以确定一个一元隐函 数，如y=y(x),可以得到一元隐函数的求 导公式dy/dx=-F'x/F'y. (2).方程F(x,y,z)=0,可以确定一个二元隐 函数，如z=z(x,y),也可类似地得到二元隐 函数的求导公式dz/dx=-F'x/F'z,dz/dy=F'y/F'z.