隐函数及其求导方法

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隐函数参数方程求导法则

1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4

1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
若参数方程关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
(t ) 0 时, 有
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 d x d x d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
4
因x=0时y=0, 故
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
第三章
第四节隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程函数为隐函数 . 由例如, 表示的函数 , 称为显函数 . 可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: 两边对 x 求导
x a cos t 确定函数例5. 设由方程（其中为参数） y b sin t
t
y y ( x) , 求
x 1-sin 例6. 设由方程（其中为参数）确定函数 y cos

隐函数及其求导法则

x 1 3 z

y
x 1 z 2 3 z y
x 2y 2 xy 2 3. 3z 3z 9z
( 2 z )2 x 2 . 3 (2 z )
设 z x y z , 求 dz . 例4
解令 F ( x, y, z ) z x y z . 因为
Fx z x lnz , Fy z y z 1 ,
xz x 1 y z ln y , Fz
导，得
z Fx Fz 0, x
z Fy Fz 0. y
因为Fz 0, 所以
Fy Fx z z , x Fz y Fz
这就是二元隐函数的求导公式.
z 例 3 设 x y z 4 z 0，求 2 . x
2
2 2 2
F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4z , 解令
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
x z 2 z ( 2 z ) x x ( 2 z ) x 2 z 2 2 x ( 2 z )2 (2 z )
第六节
隐函数及其求导法则
1. 一元隐函数的求导公式设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端对 x 求导，得
Fx Fy dy 0, dx
若 F y 0, 则
dy Fx . dx Fy
这就是一元隐函数的求导公式.
例1
dy . 设 x y 2x , 求 dx
2 2பைடு நூலகம்
x y y x 则 Fx ( x , y ) 2 , Fy ( x , y ) 2 , 2 2 x y x y

隐函数极其求导法则

隐函数极其求导法则隐函数及其求导法则我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.若函数y可以用含自变量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。

注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题！隐函数的求导若已知F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化为的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；b)：若方程F(x,y)=0，不能化为的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y看成x的函数，用复合函数求导法则进行。

例题：已知，求解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边对x进行求导，故=注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。

例题：求隐函数，在x=0处的导数解答：两边对x求导故当x=0时，y=0.故有些函数在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有没有一种比较直观的方法呢？下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法积分黎曼积分如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和σ(f；p,ζ):=Σ f(ζi)ΔXi叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中ΔXi=Xi-X(i-1)存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I-σ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。

第六节隐函数的求导公式

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若F( x, y )的二阶偏导数也都连续,则
Fx d2y Fx d y ( ) ( ) 2 d x x Fy y Fy d x
Fx Fy
x
y
x
x Fy Fx Fx F x F 2 ( 求二阶导数 y y d y x y 或 2 x 2 的通常方法 ) dx Fy dy dy ( Fxx Fxy )Fy Fx ( Fyx Fyy ) dx dx 2 d y F x Fy d x F 2 2 y Fxx Fy 2 Fxy FxFy Fyy Fx . 3 Fy 上页下页返回
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x y z x y z
x x
dy dz z xf ( x y ) y y( x ) 例5、设确定，求及 . y， z) 0 dx dx F ( x， z z( x )
解：将每个方程两边对 x求导得
z f xf (1 y )
2 FxFz Fx Fx z Fz Fzy z Fy Fz Fz z Fx Fy . 3 Fz 2 2 2 F F 2 F F F F F z Fx d y xx y xy x y yy x x Fz dx 2 Fy 3
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y
若F( x , y, z ) 的二阶偏导数也都连续,则
2 2 Fx x Fz 2Fx z Fx Fz Fz z Fx z . 2 3 x Fz 2 2 2 Fy y Fz 2Fy z Fy Fz Fz z Fy z . 2 3 y Fz 2

高等数学第九章第五节隐函数的求导公式

例5 设 xu yv 0， yu xv 1，求 u，u，v 和v . x y x y
作业
P89. 1,2,3,10(1,2)
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0, dx x0
d2y dx 2
y
xy y2
y x
y2
x y
1 y3
,
d2y dx2
x0
1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
2. F( x, y, z) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在点 P( x0 ,
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导
数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导数在 x 0的值.
确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
u u( x, y)，v v( x, y)，它们满足条件
u0 u( x0 , y0 ),v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv

隐函数求导法则

隐函数求导法则隐函数求导法则和复合函数求导相同。

由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y（e^xy-y0/x(2y-e^xy)。

求导法则对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。

在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

显函数与隐函数显函数解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。

显函数可以用y=f(x)来表示。

隐函数如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

隐函数与显函数的区别1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。

2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。

比如：y=2x+1。

隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。

3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。

关于隐函数的三种求导法

关于隐函数的三种求导法
隐函数的三种求导方法如下：
一、隐函数求导法则
隐函数求导法则和复合函数求导相同。

由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y ²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2ye^xy)。

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。

在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法
方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;
方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);
方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;
方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。

隐函数求导的基本步骤与方法

隐函数求导的基本步骤与⽅法
1、隐函数求导的基本原则
对于隐函数求导⼀般不赞成通过记忆公式的⽅式来求需要计算的导数，⼀般建议借助于求导的四则运算法则与复合函数求导的运算法则，采取对等式两边同时关于同⼀变量的求导数的⽅式来求解。

即⽤隐函数求导公式推导的⽅式求隐函数的导数。

这样的⽅式不管对于具体的函数表达式还是抽象函数描述形式都适⽤。

具体过程可以参见下⾯列出的课件！
2、多元复合函数求导数的基本步骤
（1）确定最终函数与最终变量。

（2）通过中间函数，或者通过引进中间函数符号，或通过序号标记中间函数复合过程函数，确定复合过程。

（3）关键：绘制变量关系图。

（4）链式法则：
分段⽤乘, 分叉⽤加, 单路全导, 叉路偏导。

从最终函数到最终变量有⼏条路径就有⼏项相加，每条路径上的分段数就是每项相乘的项数；依据这个法则，就可以直接⾮常准确地写出计算式。

（5）完成计算。

【注1】多元抽象复合函数的导数所具有的复合结构，与原来函数的复合结构⼀样。

【注2】如果要求导数的函数是复合函数，或与其他函数的四则运算表达式，⼀般先进⾏四则运算，对于其中的复合函数求导时，对于需要的计算结果再单独使⽤复合函数求导法则进⾏计算，将计算得到的结果代⼊原来四则运算的计算公式，然后得到最终需要的结果。

隐函数的求导方法

定理1. 设函数
在点(1) ຫໍສະໝຸດ 有连续的偏导数;的某一邻域内满足
则方程
(2) F (x0 , y0 ) 0;
(3) Fy (x0 , y0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
d y Fx (隐函数求导公式) dx Fy
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使得 y0 y y y0 . 从而 F ( x, y ) 0, F ( x, y ) 0.
由保号性，存在 x 的某邻域 ( x , x )
x0 , x0 , 使得x属于该邻域时,
F ( x, y ) 0, F ( x, y ) 0. 因此存在唯一的y,使得F ( x, y) 0, | y y | ,
由于右端是连续函数Fx ( x, y), Fy ( x, y)和f ( x)的
复合函数, 而且Fy ( x, y)在U(P0 )内不等于零,
所以
f '( x) lim y Fx ( x, y) x0 x Fy ( x, y)
且 f '( x)在 ( x0 , x0 )内连续.
因此,对每个固定的 x x0 , x0 ,
F x, y 作为 y 的一元函数,必定在
y0 , y0 上严格增且连续.
由 F( x0 , y0 ) 0可知,F x0 , y0 0,F x0 , y0 0
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注:
1. 定理中的条件仅仅是充分的. 例如 : y3 x3 0, 在点(0, 0)不满足(3),

第五节隐函数求导法则

第五节隐函数求导法则隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。

在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。

本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。

一、隐函数求导的基本方法首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。

对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。

但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。

假设我们有一个由关系式 F(x,y)=0 给出的隐函数，我们要求该隐函数关于 x 的导数 y'=dy/dx。

隐函数的求导可分为以下几个步骤：1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。

2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。

3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。

这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。

1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。

2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。

3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。

4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。

隐函数的求导公式(20)

5
它满足条件 y(0) 1, 且
y( x) Fx x .
Fy
y
y(
x)
d dx
(
x) y
y
xy y2
x
y x( )
y
1
y2
y3 ,
所以 y(0) 0, y(0) 1.
6
定理2 . 若函数 F( x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F ( x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
x
y
Fu d( z ) Fv d( z ) 0
F1(
z
d
x
z2
x
d
z
)
F2(
z
d
y
z2
y
d
z
)
0
xF1 yF2 z2
dz
F1d x F2 d y z
dz
z x F1
y F2 (F1d x
F2d y).
15
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
则
J (F ,G) Fu (u,v) Gu
Fv Gv
x y
y x
x2
y2, 0
(F ,G) Fx (x,v) Gx
Fv u Gv v
y
xu yv,
x
(F ,G) Fu
Fx x
u xv yu,
(u, x) Gu Gx y v
u x
1 J
(F ,G) (x,v)
xu x2
yv y2

隐函数求导问题的方法总结

隐函数求导问题的方法总结在微积分中，斜率是重要的概念。

它表明一个函数在某个点发生变化时，函数另一个参数的变化量。

在微积分中，求斜率就是求导，这是微积分中最常见的问题，也是学习微积分的基础。

求导的方法有很多种，但是在某些情况下可能出现隐函数的情况，而求解隐函数求导就比较困难，尤其是函数中有多个隐函数，一般情况下，很难一次性求出所有隐函数的导数。

首先，在求导之前，需要将隐函数显式化，从而简化计算。

比如，若有f（x）= y2+2xy-1，其中y是一个隐函数，那么可以将f （x）= (y+1)2-2，将f（x）显式化后，求y的导数则变得简单，可以用隐函数法求得。

其次，如果隐函数有多个，这样的情况就比较复杂。

一般情况下，推荐使用局部导数的方法，也就是把所有函数限制在某一个点，然后分别求各个函数的局部导数，直到求出所有隐函数的导数，局部导数法特别适用于多变量、多个隐函数的情况。

另外，对于非线性的隐函数求导，可以使用链式法则来进行求导。

这种方法要求对每个变量都求得一个导数，然后根据链式法则将这些导数进行组合，得到总的导数，链式法则很容易并且计算量不大，适用于各种多变量的情况。

最后，可以使用函数的分部展开的方法来求解隐函数求导。

这种方法要求将隐函数先转化为一个级数，然后求出各项系数，最后根据分部展开法则求出导数。

这样求出来的导数比较准确，所以使用分部展开的方法来求解隐函数求导是一个不错的选择。

总之，求隐函数求导的方法有很多，以上是其中的几种，选择正确的求导方法可以加快计算速度，提高计算精度，使求导过程更加顺利。

另外，学习微积分时，要多加练习，熟练掌握各种求导方法，才能使得解决问题更加轻松。

隐函数求导的方法与应用

隐函数求导的方法与应用隐函数求导是微积分中的重要内容之一，它在解决实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍隐函数求导的基本方法和一些常见的应用实例。

一、基本方法在解析函数、显式函数和隐函数的区别之前，我们先来了解一下隐函数的定义。

隐函数是指由两个或多个变量之间的方程所确定的函数，其中其中一个变量无法通过显式的表达式表示出来。

1. 隐函数的求导公式对于一个具有两个变量的隐函数 f(x, y) = 0，我们可以通过求导来计算隐函数的导数。

首先，我们将隐函数对 x 进行求导，然后对于 y，我们使用链式法则。

举个例子，设有一个隐函数方程 x^2 + y^2 - 25 = 0，我们希望求出y 对 x 的导数。

首先，对 x 进行求导，我们得到 2x + 2y * dy/dx = 0。

接着，根据链式法则，我们可以得到 dy/dx = -2x / 2y = -x / y。

2. 隐函数求导的步骤为了更好地理解和应用隐函数求导的方法，我们可以遵循以下步骤：步骤一：确定隐函数的方程。

步骤二：对隐函数方程两边同时求导。

步骤三：将导数项整理至一边，将原函数项整理至另一边。

步骤四：解出导数，即得到隐函数的导数。

二、应用实例隐函数求导在实际问题中有着广泛的应用。

下面，我们将介绍几个常见的应用实例。

1. 隐函数求切线方程在平面几何中，通过求导可以得到隐函数的切线方程。

例如，设有一个隐函数方程 x^2 + y^2 - 25 = 0，我们希望求出曲线在点（3，4）处的切线方程。

首先，根据隐函数求导的方法，我们得到 dy/dx = -x / y。

将点（3，4）代入方程，我们可以求得该点的斜率 m = -3 / 4。

进一步，我们可以通过点斜式公式 y - y1 = m(x - x1) 得到切线的方程。

2. 隐函数求极值点隐函数求导也可以应用于寻找隐函数的极值点。

以一个典型的例子来说明这一应用。

设有隐函数方程 y^3 + x^2 - 16 = 0，我们希望找出函数的最小值点。

隐函数的求导方法通俗易懂

隐函数的求导方法一、引言隐函数是高等数学中的一个重要概念，它是指由一个方程所确定的函数。

在求解隐函数的导数时，我们需要采用一些特殊的方法来处理。

本文将介绍几种通俗易懂的隐函数求导方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、隐函数与显函数的区别在开始介绍隐函数的求导方法之前，我们先来回顾一下隐函数与显函数的区别。

显函数是指以自变量直接表示的函数，例如y=f(x)，其中y能够通过x的值来唯一确定。

而隐函数则是由一个方程所确定的函数，例如F(x,y)=0，其中y不能直接用x 的值来表示，需要通过方程进行求解。

三、常用的隐函数求导方法1. 隐函数微分法隐函数微分法是求解隐函数导数的一种常用方法。

它的基本思想是将隐函数的方程两边同时微分，并利用链式法则和隐函数的导数定义进行求解。

具体步骤如下： 1. 对隐函数方程两边同时取微分，记隐函数关于自变量的导数为dy dx ； 2. 利用链式法则，将dydx表示为dydt和dxdt的乘积形式； 3. 将dxdt换为1（这一步利用了隐函数的导数定义）； 4. 化简表达式，求得dydt ； 5. 如果需要求解dydx，则将dydt 与dxdt相除。

2. 雅可比行列式法雅可比行列式法适用于多元隐函数的求导问题，它利用了雅可比行列式的性质进行计算。

该方法在部分场景下比隐函数微分法更加简便。

具体步骤如下： 1. 将多元隐函数方程表示为向量形式F(x,y)=0，其中x为自变量向量，y为隐函数向量； 2. 对向量方程求导，得到雅可比矩阵J=∂F∂(x,y)； 3.根据隐函数定理，当雅可比行列式|J|≠0时，可以求得隐函数的导数； 4. 通过分块矩阵的形式，将雅可比矩阵拆分为[A B]的形式； 5. 隐函数的导数为−A −1B|A|。

四、隐函数求导实例为了更好地理解上述方法，我们通过一个实例来演示隐函数的求导过程。

假设有一个隐函数方程e x+y2+2xy=1，我们希望求解该方程所确定的隐函数的导数dydx。

隐函数求导克莱默法则

隐函数求导克莱默法则
隐函数求导克莱默法则是一种用于求解隐函数导数的方法，其基本原理是利用克莱默法则解方程组，从而得到隐函数的导数。

具体步骤如下：
1. 假设有一个隐函数关系式 f(x,y)=0，其中 x 和 y 是自变量，f(x,y) 是一个函数。

2. 对该关系式两边同时求导，得到 df/dx + df/dy * dy/dx = 0。

3. 将 dy/dx 称为隐函数的导数，我们需要求解它的值。

4. 根据克莱默法则，求出方程组 {df/dx + df/dy * dy/dx = 0, f(x,y)=0} 的解。

5. 解得 dy/dx = -df/dx / df/dy，即为隐函数的导数。

通过隐函数求导克莱默法则，我们可以求解一些难以直接求解的问题，如曲线的切线斜率、曲面的切平面方程等。

- 1 -。