隐函数的求导公式.
第六节隐函数的求导公式
2z ( Fx) ( Fx) z xy y Fz z Fz y
FxyFz FzyFx FxzFz FzzFx ( Fy)
Fz2
Fz2
Fz
FxzFz2 FzyFxFz FxzFyFz FzzFxFy . Fz3
z Fx x Fz
d 2 y FxxFy2 2FxyFxFy FyyFx2
(2 z) x( z ) (2 z)2 x
(2 z) x x 2
(2 z)2
z
(2 z)2 x2 .
(2 z)3
或方程两边对x求偏导得：2 x
2z
z x
4
z ， x
z x
2
x
z
.
方程两边对y求偏导得：2
y
2z
z y
4
z， y
z y
2
y
z
.
上页 下页 返回
例4、设z f ( x y z, xyz)，求 z，x，y . x y z
dx 2
Fy3 上 页 下 页 返 回
例3、设x2 y2 z2 4z，求 z 、z 及 2z . x y x2
解：令F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z，
则 Fx 2x，Fy 2 y，Fz 2z 4.
z x
Fx Fz
2
x
，z z y
Fy Fz
2
y
z
.
2z x 2
d d
y x
Fx Fy
3x2 3 y2
3ay 3ax
x2 ax
ay y2
d 2 y (2x ay)(ax y2 ) ( x2 ay)(a 2 yy)
dx2
(ax y2 )2
隐函数及其求导法则
x 1 3 z
y
x 1 z 2 3 z y
x 2y 2 xy 2 3. 3z 3z 9z
( 2 z )2 x 2 . 3 (2 z )
设 z x y z , 求 dz . 例4
解 令 F ( x, y, z ) z x y z . 因为
Fx z x lnz , Fy z y z 1 ,
xz x 1 y z ln y , Fz
导， 得
z Fx Fz 0, x
z Fy Fz 0. y
因 为Fz 0, 所以
Fy Fx z z , x Fz y Fz
这就是二元隐函数的求导公式.
z 例 3 设 x y z 4 z 0，求 2 . x
2
2 2 2
F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4z , 解 令
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
x z 2 z ( 2 z ) x x ( 2 z ) x 2 z 2 2 x ( 2 z )2 (2 z )
第六节
隐函数及其求导法则
1. 一元隐函数的求导公式 设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
Fx Fy dy 0, dx
若 F y 0, 则
dy Fx . dx Fy
这就是一元 隐函数的求导公式.
例1
dy . 设 x y 2x , 求 dx
2 2பைடு நூலகம்
x y y x 则 Fx ( x , y ) 2 , Fy ( x , y ) 2 , 2 2 x y x y
隐函数的求导公式
当Fz cos z xy 0时，有
例 5 设 z f ( x, y ) 是由方程
z z , . 求 x y .
sinz xyz 所确定的隐函数，
得恒等式F ( x, f ( x)) 0
F F dy 求其全导数 0 x y dx
由于F y 连续且F y ( x0 , y0 ) 0, 所以存在( x0 , y0 ) 的一个邻域，在此邻域 内F y 0
F Fx dy x 于是 F dx Fy y
Fx dy dx Fy
把复合函数 z f [ u( x , y ), x , y ] 中 中的u 及 y 看作不 的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对 x 的偏导数
3、复合高阶偏导数
复合一阶偏导： z f (u, v ) u u( x, y), v v( x, y)
z z u z v z z u z v ， x u x v x y u y v y
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得 z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x
例１ 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0 的值. F ( x, y) x 2 y 2 1
第五节 隐函数求导公式
24
隐函数的求导公式
u u v v F ( x , y , u, v ) 0 求 , , , . x y x y G ( x , y , u, v ) 0 F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 将恒等式 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:
F F u F v x u x v x 0
G G u G v 0 x u x v x
u v 解这个以 为未知量的线性方程组. , x x
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得
4
隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 所以存在 且Fy ( x0 , y0 ) 0， 由于Fy ( x, y)连续，
dz (1, 0, 1) dx 2dy
17
隐函数的求导公式
xyz x 2 y 2 z 2 2
法二 用全微分
yzdx xzdy xydz 2 xdx 2 ydy 2 zdz 0 2 x2 y2 z2 将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1, 0 , 1) dx 2dy
并有
Fy z Fx z . , Fz x Fz y
8
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.
隐函数的求导公式
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
第五节隐函数的求导公式
第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。
本文将介绍隐函数的求导公式。
隐函数求导的关键在于使用链式法则。
链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。
在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。
设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。
我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。
首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。
这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。
首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。
换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。
其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。
以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。
首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。
例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。
e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。
例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。
1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数
f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：
f/x= 0
f/y= 0
f/z= 0
2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：
f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z
3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：
f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn
上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…, f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。
4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：
y'= (dy/dx)·(dx/dy)
5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：
f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…
+z(x1,x2,…。
隐函数的求导公式法
隐函数的求导公式法
隐函数是一类特殊的函数，其函数值由方程给出，而非显式地给出。
对于隐函数，我们需要使用求导公式法来求导。
首先，我们需要了解隐函数的定义。
如果在一个方程中，一个或多个变量被表示为其他变量的函数，那么这个方程就是隐函数。
例如，考虑方程 (F(x, y) = 0)，其中 (F) 是可微的。
我们可以使用隐函数求导公式来求 (y) 关于 (x) 的导数。
隐函数求导的一般步骤如下：
1.对方程 (F(x, y) = 0) 进行全微分，得到 (dF = 0)。
2.利用全微分的性质，将 (dF = 0) 改写为关于 (x) 和 (y) 的偏微分方
程组。
3.解这个偏微分方程组，得到 (y) 关于 (x) 的表达式。
4.对 (y) 关于 (x) 的表达式求导，得到 (y) 关于 (x) 的导数。
下面是一个具体的例子：
考虑隐函数 (F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0)。
1.对方程进行全微分，得到 (dF = 2x dx + 2y dy = 0)。
2.将 (dF = 0) 改写为偏微分方程组：(\begin{cases}2x dx + 2y dy = 0
\ dx = - \frac{2y}{2x} dy\end{cases})。
3.解这个偏微分方程组，得到 (y) 关于 (x) 的表达式：(y = \pm
\sqrt{1 - x^2})。
4.对 (y) 关于 (x) 的表达式求导，得到 (y) 关于 (x) 的导数：(y' =
\mp \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}})。
隐函数的求导公式
把 x看成z, y 的函数对y 求偏导数得
0
f
u
(
x y
1)
fv
( xz
yz x), y
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成 x, z的函数对z 求偏导数得
1
f
u
(
y z
1)
fv ( xy
xz y), z
整理得
y 1 fu xyfv . z fu xzfv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连 续偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
u f (x, y)
六、设函数u( x)由方程组 g( x, y, z) 0所确定,
h( x, z) 0
且g 0, h 0,求 du .( f , g, h均可微)
y z
dx
七、设 y f ( x, t), 而t 是由方程 F ( x, y, t) 0 所确定的
隐函数的求导公式
Fv Gv
Fv Gv
,
v y
1 (F ,G ) J (u, y )
Fu Gu
Fy Gy
Fu Gu
Fv Gv
.
例6
求
设 xu yv 0 ， yu xv 1 ，
u x
，
u y
，
v x
和
v y
.
解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对x求导并移项,得
则 方 程 组 两 边 对 x ( 或 y )求 导 ，
u v u v 解出 , (或 , ). x x y y
思考题
已知
x ( ) ，其中 为可微函数，求 z z y
x
z x
y
z y
?
思考题解答
( ), 则 F x ， z z z y 1 x y ( y ) F y ( ) , F z 2 ( ) , 2 z z z z z y z ( ) Fy z Fx z z z , , y y x Fz y Fz x y ( ) x y ( ) z z
并有
Fx u Gx Fu x J ( x,v) Gu 1 (F ,G )
Fv Gv , Fv Gv
v x
u y
1 (F ,G ) J (u, x )
1 (F ,G ) J ( y,v )
Fu Gu
Fy Gy
Fx Gx
Fv Gv
Fu Gu
Fu Gu
F x ( x , y , z ) f 1 ( 1)
F y ( x , y , z ) f 1 f 2 z
第五节隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。
隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。
则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。
将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。
第5节 隐函数的求导公式
y x
z y
,
dy z x dz x y
du dz
f x
dx dz
f y
dy dz
y cos
xy
y x
z y
x cos
xy
zx数的求导法则（分以下几种情况）
(1) F ( x, y) 0
(2) F( x, y, z) 0
(3)
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
4
函数的一阶和二阶导数为
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx 2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3
,
d2y dx2 x0 1.
0
fu
(
x y
1)
fv (xz
yz x ), y
13
z f (u,v), u x y z, v xyz,
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成 x, z的函数对 z求偏导数得
1
fu
(
y z
1)
fv (xy
xz
y ), z
整理得 y 1 fu xyfv .
F( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0 G( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0
方程组对x求偏导
Fx
Fu
u x
Fv
v x
0
G x
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式在数学的领域中，隐函数是一个十分重要的概念，而对于隐函数的求导，则有一套特定的公式和方法。
这不仅是数学分析中的重要内容，也在众多实际问题的解决中发挥着关键作用。
首先，咱们来理解一下什么是隐函数。
简单来说，隐函数并不是像常见的函数那样，直接用一个表达式明确地写出因变量和自变量之间的关系，比如常见的\（y ＝ f(x)＼）。
隐函数通常是以一个方程的形式给出，比如\（F(x,y) ＝ 0\），在这个方程中，＼（x\）和\（y\）的关系不是那么直接能看出来的。
那为什么我们要研究隐函数的求导呢？这是因为在很多实际问题中，变量之间的关系并不是那么直观地就能写成显函数的形式，但我们又需要知道它们之间的变化率，也就是导数。
接下来，咱们就来具体讲讲隐函数的求导公式。
假设我们有一个隐函数方程\（F(x,y) ＝ 0\），要对\（x\）求导。
那么，我们需要使用到一个重要的方法——复合函数求导法则。
我们对\（F(x,y)＼）分别对\（x\）和\（y\）求偏导数，记为\（F_x\）和\（F_y\）。
然后，根据隐函数求导公式，＼（＼frac{dy}｛dx} ＝＼frac{F_x}｛F_y}＼）。
为了更好地理解这个公式，咱们来看一个具体的例子。
比如，方程\（x^2 ＋ y^2 1 ＝ 0\）表示一个单位圆。
我们来求\（y\）对\（x\）的导数。
首先，对\（F(x,y) ＝ x^2 ＋ y^2 1\）分别求偏导数。
＼（F_x ＝2x\），＼（F_y ＝ 2y\）。
然后，根据隐函数求导公式，＼（＼frac{dy}｛dx} ＝＼frac{2x}｛2y} ＝＼frac{x}｛y}＼）。
这里需要注意的是，当\（y ＝ 0\）时，导数不存在，这在几何意义上也很好理解，因为在圆的水平直径上，切线是垂直的，斜率不存在。
再来看一个稍微复杂一点的例子，方程\（e^y ＋ xy 1 ＝ 0\）。
对\（F(x,y) ＝ e^y ＋ xy 1\）求偏导数，＼（F_x ＝ y\），＼（F_y＝ e^y ＋ x\）。
隐函数的求导公式
u x
v x
x y
xu x2
yv y2
,
v x
y x
yx
y
u
v y
yu xv x2 y2 ,
x
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u y
xv x2
yx2
yv y2
.
例：设 u x2 y2z2,其中 z f (x, y)由方程
x3 y3 z3 -3xyz 0确定，求
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连 续偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
=
1
1 2y 3z2 2y
4
yz
例4
设
x2 xy
y2 u2
uv v2
0 0
，求
u x
,
v x
解 设 u u( x, y), v v( x, y).
方程组两端同时对x 求偏导，得
2x + 0 ( u v + u v ) = 0
x
x
y
2u u
+
2v v
x
x
=0
即
v u x
+ u v
x
v
x
x x
u v 0 y y
u v
1 x v
0 y v
J x 1 u
= 1 y
J v
y 0 u
J
= 1 y
J u
同理，可得 u 1 x y J v v 1 x y J u
作业
P89 2, 4, 6, 7, 9, 10, 11
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功
u0 u(x0, y0 ), v0 v(x0, y0 ), 并有
Fx Fv u 1 (F ,G) Gx Gv x J ( x, v) Fu Fv
Gu Gv
Fu Fx
v 1 (F ,G) Gu Gx x J (u, x) Fu Fv
Gu Gv
Fy Fv
u 1 (F ,G) G y Gv
Fz (x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F(x,y,z)=0在点 (x0, y0, z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏
导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 z0 f (x0, y0),并有
z Fx
x Fz
z Fy
(2)
y Fz
2、方程组的情形
隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v) 在 点 P(x0, y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏 导数，又F (x0, y0,u0,v0 ) 0, G(x0, y0,u0,v0 ) 0, 且偏 导数所组成的函数行列式[或称雅可比(Jacobi)式]：
J (F,G) Fu Fv (u, v) Gu Gv
在点 P(x0, y0,u0,v0 ) 不等于零，则
方程组
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u, v) 0
在点(x0, y0,u0, v0 )
的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏
导数的函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件
Fy (0,1) 2 0 由定理1得：方程 x2 y2 1 0 在点 (0,1)
的某邻域内能确定一个有连续导数、当 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x) .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
隐函数存在定理2 设函数 F (x, y, z)在点P(x0, y0, z0 )
的某一邻域内具有连续偏导数，且 F (x0, y0, z0 ) 0,
Fx Fz
dy Gx Gz dx Fy Fz
= Gx Gz
Fy Fz
Gy Gz
Gy Gz
Fy Fx
Fy Fx
dz G y Gx = G y Gx
dx Fy Fz
Fy Fz
Gy Gz
Gy Gz
(2)
F ( x, y, u, v) 0 G( x, y, u, v) 0
设该方程组确定了: u u( x, y), v v( x, y)
= Gu G y
Fu Fv Gu Gv
例3
设 x x
yz y2
z2 0 z z3 0
，求 dy dx
,
dz dx
解 设 y y( x), z z( x),
方程组两端同时对x 求导，得
1 + dy
dx
+ dz
dx
+ 2z dz
dx
=0
1 + 2 y dy
dx
+
dz
dx +
3z2 dz dx
z x
u
u x
v
v x
=
z
，y
u
u y
v
v y
=
例6 设函数x=x (u, v), y=y (u, v)在点(u,v)的某一邻域
内连续且有连续偏导数，又 ( x, y) 0 (u, v)
(1)证明方程组
x x(u, v)
y
y(u, v)
(# )
在点(x ,y ,u, v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且
件 y0 f (x0 )，并有
dy Fx （1） dx Fy
例 验证方程 x2 y2 1 0 在点 (0,1)的某邻域内 能确定一个有连续导数、当 x 0 时 y 1 的隐函数 y f (x) .
解 设 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x Fy 2 y F (0,1) 0
Fx ye xy 3 y2 Fy xe xy 6xy
dy Fx dx Fy
=
ye xy 3 y2 xe xy 6xy
= 3 y2 ye xy
xe xy 6xy
例2 设由方程 e z xyz 0确定了函数z z( x, y)
求 (1) z , z x y
2z (2) x2
解（1） 设 F ( x, y, z) e z xyz
v y v y
0 0
即
Fu
u y
Gu
u y
+
Fv
v y
+
Gv
v y
Fy Gy
在 Fu Fv 0的条件下,解得
Gu Gv
Fy Fv
Fy Fv
u G y Gv y Fu Fv
= G y Gv
Fu Fv
Gu Gv
Gu Gv
Fu Fx
v Gu Gx y Fu Fv
Gu Gv
Fu Fy
方程组两端同时对 x 求偏导，得
Fx 1 +
Gx 1 +
Fy 0 Gy 0
+
Fu
u x
+
Fv
v x
+
Gu
u x
+ Gv
v x
0 0
即
Fu
u x
Gu
u x
+
Fv
v x
+
Gv
v x
Fx Gx
在 Fu Fv 0的条件下, 解得
Gu Gv
Fx Fv
u Gx Gv x Fu Fv
Gu Gv
等式两端同时对 x 求导, 得
在Fy 0的条件下,解得
F[ x, y( x)] 0
Fx
1+F
y
dy dx
=0
dy Fx dx Fy
(2) F ( x, y, z) 0
设该方程确定了函数:z z( x, y)即
F[ x, y, z( x, y)] 0
等式两端同时对 x 求偏导, 得
Fx 1
Fx Fv
= Gx Gv
Fu Fv Gu Gv
Fu Fx
v Gu Gx x Fu Fv
Gu Gv
Fu Fx
= Gu Gx
Fu Fv Gu Gv
同理, 方程组两边同时对 y 求偏导,可得
Fx 0 Gx 0
+ +
Fy 1 + Fu Gy 1 + Gu
u y u y
+ Fv + Gv
确定了函数 z z( x, y),怎样求 z , z ? x y
方法：
由
x y
(u, v) (u, v)
(*)
可确定 u u( x, y), v v( x, y)
(*)式两边同时对 x 求偏导，可求得
u , v x x
(*)式两边同时对 y 求偏导，可求得
u , v y y
z (u, v) 又 u u( x, y), v v( x, y)
Fx yz , Fy xz , Fz ez xy
z Fx = yz = yz x Fz e z xy e z xy
z y
Fy Fz
=
xz e z xy
=
xz e z xy
（2） 2z x 2
x
( z ) x
=
( x
e
z
yz ) xy
=
y
z
(e z
xy)
x
yz (ez z y)
具有连续偏导数的反函数 u=u (x , y )，v=v (x ,y)；
(2)求反函数u=u (x ,y) ，v=v( x, y)对x , y的偏导数.
(1)证 方程组(# )可改写为
F ( x, y, u,v) x x(u,v) 0
G(
x,
y,
u, v )
y
y(u,
v)
0
J (F ,G) Fu Fv (u, v) Gu Gv
等式两端同时对 x 求偏导, 得
Fx1 +Fy
0 +Fz
0
+ Fu
u x
=
0
在Fu 0的条件下,解得
u Fx x Fu
类似可得 u Fy
y Fu
u Fz z Fu
例1 设由方程 e xy 3xy2确定了函数 y y( x),
求 dy dx
解 设 F ( x, y) e xy 3xy2
x
(e z xy)2
=
y
ez
yz (e z
xy
xy )