史上最难的数学题

史上最难的数学题

连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛–弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛–伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。

连续统假设（continuum hypothesis），数学上关于连续统势的假设。常记作CH。通常称实数集即直线上点的集合为连续统，而把连续统的势（大小）记作C1。2000多年来，人们一直认为任意两个无穷集都一样大。直到1847年，G.康托尔证明：任何一个集合的幂集（即它的一切子集构成的集合）的势都大于这个集合的势，人们才认识到无穷集合也可以比较大小。自然数集是最小的无穷集合，自然数集的势记作阿列夫零。康托尔证明连续统势等于自然数集的幂集的势。是否存在一个无穷集合，它的势比自然数集的势大，比连续统势小？这个问题被称为连续统问题。康托尔猜想这个问题的解答是否定的，即连续统势是比自然数集的势大的势中最小的一个无穷势，记作C1；自然数集的势记作C0。这个猜想就称为连续统假设。1938年，K.哥德尔证明了CH对ZF公理系统（见公理集合论)是协调的，1963年，P.J.科恩证明CH对ZF公理系统是独立的,是不可能判定真假的。这样，在ZF公理系统中，CH是不可能判定真假的。然而到了21世纪，前人的结论又开始被动摇