初中数学八年级专题复习专题25 配方法

专题 25 配方法

阅读与思考

把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.

配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.

配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：

1、222

2()a ab b a b ±+=±

2、2

a b ±=

3、2222

222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2

2

2

2221

[()()()]2

a b c ab bc ac a b b c a c ++---=

-+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：

(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2

a = 能

联想起配方法.

(2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.

例题与求解

【例1】 已知实数x ，y ，z 满足2

5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值.

【例2】 若实数a ，b ， c 满足222

9a b c ++= ，则代数式2

2

2

()()()a b b c c a -+-+- 的

最大值是 ( )

A 、27

B 、18

C 、15

D 、12

(全国初中数学联赛试题)

解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.

配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质； (1) 非负数的最小值为零；

(2) 有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.

【例3】 已知1

52

a b c +--， 求a + b + c 的值. 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.

复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.

【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.

解题思路：2

2

2

2

497,448967,444889667,444488896667==== ，由此可猜想

21

44448889(666

61)n n

+??????=+ ，只需完成从左边到右边的推导过程即可.

几个有趣的结论： (1) 21

444

488889(666

61)n n

n

+=+

(2) 21

1111555

56(33331)n n

n

+=+

这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.

【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．

(全国初中数学联赛试题)

解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.

配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.

【例6】 已知自然数n 使得2

1991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：原式中n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.

能力训练

1=_________.

(“希望杯”邀请赛试题)

2、已知2

2

2

2()30a b c a b c ++-+++= ，则3

3

3

3_________a b c abc ++-=.

3、x ，y 为实数，且2

2

422

y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.

4、当x ＞2，得___________.

5、已知2

2

4121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小.

(全国通讯赛试题)

6、若2222

1076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )

A 、负数

B 、正数

C 、非负数

D 、可正可负

7的值为 ( )

A 、1

B

C 、

D 、

(全国初中数学联赛试题)

8、设a ，b , c 为实数，2

222,2,23

6

2

x a b y b c z c a π

π

π

=-+

=-+

=-+

，则x ，y ，z 中

至少有一个值 ( )

A 、大于零

B 、等于零

C 、不大于零

D 、小于零

(全国初中数学竞赛试题)

9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )

A 、2333n n -+

B 、2444n n ++

C 、2

555n n -+ D 、2777n n -+ E 、2

111111n n -+

10、已知实数a ，b ， c 满足2

2

2

27,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

(河北省竞赛试题)

解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：

设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数. (1) 若120n x x x ???= 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++<，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.

11、解方程组2222

22212121z x z x y x y z y

?=?+?

?

=?+??=?+? (苏州市竞赛试题)

12、能使2256n

+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？

(全国初中数学联赛试题)

13、已知b a >，且()()243a

a b a ab b b

+++-+

= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值. (天津市竞赛试题)

13、设a 为质数，b 为正整数，且2

9(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.

(全国初中数学联赛试题)

14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.

(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；

(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？

专题25 配方法

例1 10 提示：x =5-y 代入

，然后配方.

例2 A 提示：原式= 例

3

a+b+c =20

提

示

：

将

等

式

整

理，

得

即=0

例 4

原

式

=

+1=

+

+1=4

+8

+1=4

()2

2

111111

11119111118111113611111211111611111n n n n n n ++++++???????++?+=?+?+=?+ ? ?????

例5 已知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住S 层的人乘电梯，而住t 层的人直接上楼，S ＜t ，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少.

设电梯停在第x 层，在第一层有y 人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为： ()()()31233312122S x y x y =++

+-+++

++++

+--????????

=

()()

()()()3333431212

2

2

x x y y x y x y ?--+----+

+

=()222102231684x y x y y -++++ =()2

21021215180306848y x y y +??-+-+ ???

=()2210212631631648y x y +?

?-+-+≥ ??

?

又当x=27，y=6时，=316S 最小值.

故当电梯停在第27层时，总分最小，最小值为316分.

例6 若2n 19n 91-+为完全平方数，则()

24n 19n 91-+也是完全平方数. 设()

224n 19n 91=m -+（m 为自然数）配方得()2

22n 193=m -+， ∴（m+2n-19）（m-2n+19）=3

于是219=3219=1219=1219=3m n m n m n m n +-+--+-+??????或 解得：=2=2

=10=10m m n n ??????

或

故当n=9或10时2n 19n 91-+是完全平方数. 能力训练

1.

4+ 2. 0 3. 6 4.

5. -3，-2, 5

6. B

7. C

8. A 提示：()()()2

2

2

x y z=a 1b 1c 13π++-+-+-+-大于0 . 9. B 提示：取n=2和3可否定

A 、C 、D 、E ，而()

224n 4n 4=4n n 1++++，

()2

22n n n 11n <++<+，故2n n 1++不是完全平方数. 10. B

11. （x ，y ，z ）=（0,0,0）或（1,1,1） 提示：取倒数. 12. 提示：当n<8

时，(

2

2

2

22=01+a

b a b =m

--，若它是完全平方数，则n 必为偶数.

若n=2，则22256265n +=?；若n=4，则42256217n +=?；若n=6，则6225625n +=?；若n=8，则8225622n +=?.所以当n ≤8时，2256n +都不是完全平方数.

当n>8时，8n 822562(21)n -+=+，若它是完全平方数，则n 821-+为一奇数的平方，设

()2

n 82121k -+=+（k 为自然数），则()n 10211k k -+=+，由于k 和k+1一奇一偶，∴k=1，于

是n 1022-=，故n=11.

13. 提示：设a=kb （k 为正整数），则()2

22124327339k b +==?=?，解得542428a a b b ==????==??

或 14. 由()2

22292a b =5093k +?，得到2a+b=509k ，b=509k-2a ，代入原式得()224a 511509k 2a =5093k +-?，()

k 5119k a=

2

-，因为a 为质数，故有以下情况：

⑴当k=1时，5119

a=

=2512

-，为质数，b=509k-2a=7. ⑵当k=2时，a=511-18=493=17×29，不为质数，舍去. ⑶当k>2且k 为奇数时，5119k a=k 2-?为质数且k>2，则5119k

=12

-，此方程无整数解，舍去.

⑷当k>2且k 为偶数时，()k a=5119k 2-为质数，且k

12

>，则511-9k=1，此方程无整数解，舍去.

综上所述，a=251，b=7.

15. 提示：⑴ y=-9x+1440 （0

⑵每周的住宿收入是S 元，则()()2

2914409144098057600S x x x x x =-+=-+=--+ 当x=80时，57600S =最大元.