初中数学专题复习课课例(蒋翀)

初中数学教学新范式课例

课题：以圆为背景的相似三角形的计算与证明课型：专题复习课

【内容理解】

一．教学目标

1、能通过找到圆中的同弧或等弧所对的圆周角相等，角平分线所平分的两个角相等，圆的外角等于其内对角，对顶角相等，等等角相等的方法，利用“两个角相等的三角形是相似三角形”的判定方法找到两个三角形相似，并解决相关的计算与证明的问题。

2、能通过构造圆当中的直角：构造直径所对的圆周角是直角；构造弦心距的方法构造直角，来找到相关的直角三角形，并解决相关的计算与证明的问题。

3、通过各类方法的归纳和总结，形成解决以圆为背景的相似三角形的计算与证明的相关方法。经历通过自己的分析和归纳，找到解决数学问题的方法和技巧的整个思维过程，参与到数学活动中来，提升自己的数学解题、归纳和总结的能力。

二．教学重点

通过找到圆中的同弧或等弧所对的圆周角相等，角平分线所平分的两个角相等，圆的内接四边形的外角等于其内对角，对顶角相等，等等角相等的方法，利用“两个角相等的三角形是相似三角形”的判定方法找到两个三角形相似，并解决相关的计算与证明的问题。

2、通过构造圆当中的直角（1）构造直径所对的圆周角是直角；（2）构造弦心距的方法构造直角，来找到相关的直角三角形，并解决相关的计算与证明的问题。

三．教学难点

1、如何想到要利用相似三角形去解决实际问题，要找的目标相似三角形是哪一对。

2、如何通过添加辅助线，够造相似三角形解决实际问题的思维形成过程。

通过流程：1、训练体悟（独立完成并讲解）；2、典例剖析（数学活动）；3、题组变式（可小组讨论，并归纳方法）；4、拓展提高（多媒体展示，学生上台讲解，最后归纳方法）。层层递进，以及题组，总结方法等方式突破难点。

【过程设计】

教学流程内容的设计与呈现学与教的行为设计

环节1：训练体悟

如图，弦AD和BC相交于⊙O内

一点E，则下列结论中正确的是

（）

教师活动：

1、揭示课题

2、让学生完成学案训练体悟

3、巡视学生做题情况，1分钟后请学生回

答，并说明理由。

4、请同学们归纳圆背景中判定两个三角形

相似的主要方法。

对同学的回答作出评价。

学生活动：

1、独立完成训练体悟

2、举手回答，并说明理由。

设计意图：揭示在圆当中找相似三角形的主要方法是：找两个角对应相等。

环节2：典例剖析1例1. 如图，⊙O是△ABC的外接

圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于

点D，AD=5，BD=2，则DE的长

为（）

A

．

B

．

C

．

D

．

教师活动：

1、展示对训练体悟做适当的变式的例题1，

提示学生：有条件增加，请仔细审题。

2、让学生独立完成。

3、巡视学生做题情况，学生完成差不多后，

要学生停。

4、提问全班同学：①根据题目条件，我们

用什么方法解决这个问题？②我们要找的

目标相似三角形是哪一对？怎么想到要找

这一对的？③你是通过用什么方法找到两

对角相等的？

5、要学生回答解下来的解题过程。并归纳

在圆背景当中如何去找两个角相等的方法。

6、对同学的回答作出评价。

学生活动：

1、独立完成例1。

2、思考回答老师的问题。

3、回答例1接下来的步骤，并归纳在圆背

景当中如何去找两个角相等的方法：①圆中

的同弧或等弧所对的圆周角相等；②角平分

线所平分的两个角相等。

设计意图：通过题目的变式一步一步完善在圆背景当中如何去找两个角相等的方法。

环节3：题组变式变式1. 在例1图的基础上，如再连

结CD，你还能找到哪几对相似三角

形？

变式2. 在变式1图的基础上，若再

延长AC，BD，相交于点F，你还

能找到图中的哪些三角形相似？

教师活动：

1、进一步对例1作出三个变式。

2、变式1的过程：要学生独立完成，并巡

视学生的完成情况，大多数同学有了部分答

案之后小组讨论补充有没有其他情况。归纳

圆背景当中还有哪些找到角相等方法。变式

2 的过程也一样。

3、对学生的回答作出评价。

4、归纳出了方法之后，进行应用，展示变

式3。要求学生作答。并作出评价。

学生活动：

1、独立完成

2、小组讨论补充，选代表发言所找到的相

变式 3. 若在变式 2 的基础上删去BC和AD，直径AH恰好垂直于弦BD，垂足为G，若FC=AC=4，FD=3 ，则cosF= 似三角形，并说明了理由。

3、归纳、补充归纳在圆背景当中如何去找两个角相等的方法：③对顶角相等；④圆的内接四边形的外角等于其内对角。

4、完成变式3.并回答。

设计意图：通过归纳得到方法，并利用方法解决实际问题。

环节4 典例剖析2 拓展提高1 例2.如图，已知O的半径为r，锐

角三角形ABC内接于O，AD⊥

BC于D，OM⊥AB于点M，

OM=

1

4

r，则sin CAD

∠的值等于

拓展提高

1. 如图，AB是半圆的直径，点

C是弧AB的中点，点E是弧AC的中

点，连结EB交AC于点F，连结BC，

则

BF

EF

为

1、教师活动：教师承上启下的语句：我们

可以利用刚才归纳的一些方法，找到圆背景

当中与解题相关的目标相似三角形来解决

问题。但有时题中并没有提供现成的目标相

似三角形，这就要求我们学会添辅助线构造

与目标三角形相似的三角形。

2、要求学生独立完成例2。巡视学生的完

成情况。有少部分同学完成之后，提问其方

法，及形成方法的思路。追问：①要求

sin CAD

∠的值，但在CAD

∠所在的直角

三角形中无法解决，我们怎么办？②这么找

到或构造一个角与CAD

∠相等？③要构造

一个与目标直角三角形相似的三角形这么

构造？

3、要求学生归纳圆中有哪些添加辅助线构

造直角三角形的方法？

4、用两种方法对该题作答。

5、对学生的情况作出评价

6、出示拓展提高1，对该两种方法进行应

用。

学生活动：

1、独立解答例2。