电路理论-5_2一般电路系统IO微分方程的建立和求解
电路微分方程解法
电路微分方程解法 Revised final draft November 26, 2020第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：aac b a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，t p t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pt e t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e e y t t j ω+ω==δ-ω+δ-二、欧拉公式二阶电路的零输入响应二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dtdi），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
电容电压虽然为零，但其变化率不为零（00≠===dt du CI i i C L C ，0≠∴dtduC ），电路中的电流从I 0逐渐减小，电容在电流的作用下被充电（电压的极性与以前不同），当电感中的电流下降到零的瞬间，能量再度全部存储在电容中，电容电压又达到，只是极性与开始相反。
建立系统微分方程一般步骤
建立系统微分方程一般步骤：（1）将系统划分为多个环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节都可考虑写一个方程；（2）根据物理定律或通过实验等方法得出物理规律，列出各环节的原始方程式，并考虑适当简化、线性化；（3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含有输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。
建立LRC 电路的微分方程式用MATLAB 语言编程实现仿真的主要步骤是调用MATLAB 中的ODE （Ordinary Differential Equation,常微分方程）解函数。
MATLAB 提供的常用ODE 解函数如下：• ode45 此算法被推荐为首选算法；• ode23 这是一个比ode45低阶的算法；• ode113 用于更高阶或大的标量计算；• ode23t 用于解决难度适中的问题；• ode23s 用于解决难度较大的问题；• ode15s 与ode23相同，但要求的精度更高；• ode23tb 用于解决难度较大的问题。
这些ODE 解函数的调用格式基本相同。
例如，ode45的基本调用格式为[t , x]=ode45('方程函数名', tspan , x0, tol)其中，方程函数名为描述系统状态方程的M 函数名称， tspan 一般为仿真时间范围（例如，取 tspan=[t0,tf]，t0为起始计算时间，tf 为终止计算时间）； x0为系统状态变量初值，应使该向量元素个数等于系统状态变量的个数；tol 用来指定的精度，其默认值为10-3（即0.1%的相对误差），一般应用中可以直接采用默认值。
函数返回两个结果t 向量和x 阵。
由于计算中采用了步长自动控制策略，因而t 向量不一定是等间隔。
但是，仿真结果可以用plot （t,x ）指令绘制出来。
例：电路如下图所示，Ω=6.1R ，L=2.1H ，C=0.3F ，初始状态是电感电流为零，电容电压为0.2V ，t=0时接入1.5V 的电压，求s t 100<<时)(t i ，)(0t u 的值，并画出电流和电容电压的关系曲线。
微分方程与电路问题的建模与解法
微分方程与电路问题的建模与解法电路问题是现代科学与工程领域中常见的实际问题之一，而微分方程则是解决这些问题的重要工具之一。
本文将探讨微分方程与电路问题的建模与解法，并通过实例来说明其应用。
一、电路问题的建模电路问题通常涉及电流、电压、电阻等物理量之间的关系。
为了解决这些问题，我们需要将电路中的各个元件进行建模，并建立它们之间的数学关系。
微分方程提供了一种有效的建模方法。
以简单的电路为例，假设一个由电阻R、电感L和电容C组成的串联电路，电源为直流电源V(t)。
我们可以根据基尔霍夫定律建立以下微分方程：L(di/dt) + Ri + q/C = V(t)其中，i是电流，q是电容器的电荷量。
这个微分方程描述了电感、电阻和电容之间的关系。
二、微分方程的解法解决微分方程可以采用不同的方法，如分离变量法、变量代换法、特解法等。
在电路问题中，我们通常使用拉普拉斯变换和复变函数等方法来求解微分方程。
以上述电路问题为例，我们可以通过拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电流i(t)和电荷量q(t)的表达式。
通过求解微分方程，我们可以获得电路中各个物理量随时间的变化规律。
三、实例分析为了更好地理解微分方程与电路问题的应用，我们来看一个实际的例子。
假设有一个由电阻R和电感L组成的串联电路，电源为交流电源V(t) = V0 sin(ωt)。
我们希望求解电路中的电流i(t)。
根据基尔霍夫定律和欧姆定律，我们可以建立以下微分方程：L(di/dt) + Ri = V0 sin(ωt)通过拉普拉斯变换，我们可以将上述微分方程转化为代数方程：(sL + R)I(s) = V0/[(s^2 + ω^2)]其中，I(s)是电流的拉普拉斯变换，s是复变函数。
通过求解代数方程，我们可以得到电流的拉普拉斯变换表达式：I(s) = V0/[(s^2 + ω^2)(sL + R)]然后，我们可以通过拉普拉斯逆变换将I(s)转化为时间域的电流i(t)。
西安电子科技大学《电路基础》课件第5章
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作
1、微分方程的经典解法 一阶和二阶微分方程一般形式为
y’(t) + ay(t) = bf (t) （1） ， y”(t) + a1y’(t) + a0y(t) = b0f (t) （2）
线性常系数微分方程的解由两部分组成： y(t) = yh(t) + yp(t) 即：完全解 =齐次解（通解）+ 特解 齐次解 yh(t) ：其函数形式取决于微分方程的特征根。 一阶微分方程，其特征方程为 s + a = 0，特征根为s = -a，故
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西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作
需要根据给定的初始条件确定微分方程解中待定常数K。由 于电路响应指电压和电流，故相应的初始条件为电压或电流的初 始值，即在t = t0时刻的值u(t0)、i(t0)。 其中电容电压uC和电感电流iL的初始值uC(t0) 、 iL(t0)由电路的 初始储能决定，称为独立初始值或初始状态。其余电压电流的初 始值称为非独立初始值，它们将由电路激励和初始状态来确定。 1、换路定律
（1）换路
* 开关的闭或开动作； * 元件参数突变； * 电源数值突变；
统称为“换路”
电路的初始时刻一般认为是换路时刻。设换路时刻为t = t0，则 换路前瞬间为：0 = lim (t0 ε ) 换路后瞬间为：t0+ = lim (t0 + ε ) t
ε →0 ε >0 ε →0 ε >0
解微分方程所需要的初始值？
一、动态电路方程的建立 二、微分方程的经典解法 5.2 电路的初始值 一、独立初初始值 二、非独立初始值 5.3 一阶电路的零输入响应 与时间常数 5.4 一阶电路的零状态响应
系统微分方程建立与求解重点
§2.2系统微分方程的成立与求解主要内容复习求解系统微分方程的经典法、物理系统的模型、微分方程的列写、n阶线性时不变系统的描绘、求解系统微分方程的经典法一．物理系统的模型很多实质系统能够用线性系统来模拟。
若系统的参数不随时间而改变，则该系统能够用线性常系数微分方程来描绘。
二．微分方程的列写依据实质系统的物理特征列写系统的微分方程。
关于电路系统，主假如依据元件特征拘束和网络拓扑拘束列写系统的微分方程。
元件特征拘束：表征元件特征的关系式。
比如二端元件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
网络拓扑拘束：由网络构造决定的电压电流拘束关系,KCL,KVL.三．n阶线性时不变系统的描绘一个线性系统，其激励信号与响应信号C0d n r(t)C1d n1r(t)dt n dt n1d m e(t)d m1e(t)E0dt m E1dt m1之间的关系，能够用以下形式的微分方程式来述dr(t)C n r(t)C n1dtde(t)Em1dt E m e(t)若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。
阶次：方程的阶次由独立的动向元件的个数决定。
四．求解系统微分方程的经典法剖析系统的方法：列写方程，求解方程。
列写方程 :依据元件拘束,网络拓扑拘束经典法零输入相应和零状态相应解方程:零输入:可利用经典法求零状态:利用卷积积分法求解变换域法求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。
经典法齐次解：由特点方程→求出特点根→写出齐次解形式nA k e k t注意重根状况办理方法。
k1特解：依据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。
全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。
我们一般将激励信号加入的时辰定义为0，响应为时的方程的解，初始条件r(0),dr(0),d2r(0),,d n1r(0) dt dt2dt n1初始条件确实定是此课程要解决的问题。
电路 ol 方程
电路 ol 方程电路是我们日常生活中不可或缺的一部分，它作为电子器件之间传递电能的载体，连接起来，构成了各种各样的电子设备，如手机、电视、电脑等等。
而电路 ol 方程是电路分析的一个重要方法，下面我们就来一起了解一下电路 ol 方程。
一、什么是电路 ol 方程？电路 ol 方程，全称Ohm定律方程，是指在电路中，用Ohm定律将电流、电压、电阻量化后，建立电路节点电位的代数方程。
通过求解这些方程，我们可以得出电路中各个元件的电压、电流和功率等信息，以帮助我们更好地理解电路特性。
二、电路 ol 方程如何建立？建立电路 ol 方程的过程主要包括下面两个步骤：1.标号节点我们需要先对电路进行标号，将电路中每个节点都用一个不同的编号表示出来，编号一般从1开始，按一定顺序逐个标出。
标出节点之后，我们就可以通过节点之间的连线来表达电路中各个元件之间的相对位置关系。
2.应用欧姆定律在标出节点之后，我们就可以根据欧姆定律，将电路分析为多个基本电路单元，如电阻、电容和电感等，并建立这些电路单元之间的电路图表达式。
在这个过程中，需要注意要将电路单元的方向与标签保持一致，遵循欧姆定律的规则，将电路单元和电路节点之间的电压和电流用数学表达式形式。
三、电路 ol 方程的使用我们可以通过求解电路 ol 方程来求解电路中各个元件的电压、电流、功率等特性参数。
在求解过程中，需要注意以下几点：1. 方程数等于未知数在建立电路 ol 方程时，应该确保方程数量等于未知数的数量。
如果有太多方程，就需要保留初始方程中最基本的部分，从而减少方程数量。
2. 约束方程在一些特殊的电路中，存在某些约束条件，例如电路中存在对称关系、均匀布置等等，我们就可以将这些条件用约束方程的形式表达出来，帮助我们求解出准确的电路参数。
3. 计算误差在求解过程中，还需要注意计算误差，可以通过手算、计算器等方式进行校验，保证结果的准确性。
总之，电路 ol 方程作为电路分析中的重要方法，可以帮助我们更好地理解电路的特性，从而更好地应用在实际生活和工作中。
电工电子技术基础第1章 电路的基本理论及基本分析方法-PPT课件
i Gu （关联）或 i Gu （非关联）
R 可见电阻元件总是取用功率，与电压、电流的实际 方向无关。故电阻是一种耗能元件，并将电能转化为热 能，其热能用焦耳-楞次定律表示为
Q I 2Rt
第1章 电路的基本理论及基本分析方法
热能的SI单位是焦［耳］（J）。 焦耳－楞次定律反映了电流的热效应，在工程中应 当注意这种热效应的应用和危害。
第1章 电路的基本理论及基本分析方法
2.理想电流源：理想电流源是从实际电流源抽象出来的 理想二端元件，流过它的电流总保持恒定，与其端电压 无关。理想电流源简称电流源。 电流源的两个基本性质 ①电流是给定值或给定的时间函数，与电压无关； ②电压是与相连的外电路共同决定的。
IS或iS
+ U或i
－
i IS
第1章 电路的基本理论及基本分析方法
2.电流方向及参考方向
方向：正电荷运动的方向。 参考方向：任意规定某一方向作为电流数值为正的方向。 参考方向的标注： ①双下标，如图（c）i ab 。 ②箭头，如图(a) i。
参考方向的意义：若电流的参考方向和实际方向一致， 则电流取正值，反之则取负值。如图（a）、(b)所示。
12 w ( t ) p ( t ) d t Li d i Li ( t ) L 2 0 0
t u
电感的贮能
结论：某一时刻电感的贮能仅与此时的电流值及电 感的参数L有关。 1 WL LI2 对于直流
2
四、电源及其伏安关系 1.理想电压源：理想电压源是从实际电压源抽象出来的 理想二端元件，其电压总保持恒定，与通过它的电流无 关。理想电压源简称电压源。
2. 参考方向 参考方向：任意规定某一方向作为电压或电动势数值为 正的方向。 ①极性，如图（a）u、e。 参考方向的标注： ②箭头，如图（b）u 、e 。 ③双下标，如图（c）uab、eab 。
电路理论
f (t )e− st dt
1 +∞ f (t ) = F ( jω )e jωt d ω 2π ∫−∞ 1 σ + j∞ f (t ) = F ( s )e st ds 2π j ∫σ − j∞
电路理论的发展（1）
电路理论始于19世纪早中期的欧姆定律与基尔霍 夫定律，由于早期电报与电话通信、电机工程的 发展而形成一些基本概念与方法。 20世纪初电子三极管的发明使长距离通信、无线 电广播与电视得到发展，滤波、放大、振荡等基 本电路得到逐渐深入的研究。 至20世纪30~40年代基本形成包括分析与综合两 大分支的经典电路理论，成为独立的学科，大多 数沿用至今的概念、原理与方法此时已出现。
Zoc称为二端口的开路阻抗矩阵
二端口矩阵
以端口电压做激励：
⎡i1 ⎤ ⎡ y11 y12 ⎤ ⎡v1 ⎤ ⎢i ⎥ = ⎢ y y ⎥ ⎢ v ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 2 ⎦
I = Ys cV
Ysc称为短路导纳矩阵。 Zoc、Ysc是二端口的特性描述矩阵。其中每个
元素都有明确的物理意义。
基本方法（2）
元器件模型是分析的基础。电路的基本元件是 R、L、C、Memristor。 一般元器件的建模要用相关学科的理论与方 法，如半导体器件的模型是在半导体物理提供 的概念与方法基础上，通过对其中载流子运动 过程的分析后得出的。 无论一个元器件的内部多复杂，其电特性模型 总是表示为外部端子上电压电流之间的某种数 学关系。
1/2
dvR dv = C (vR ) R dt dt
Cj0 ⎡ qε N A ND ⎤ C(vR ) = A ⎢ ⎥ = v ⎣ 2(φ0 + vR ) NA + ND ⎦ 1+ R
电路微分方程解法
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：aac b a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，t p t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pt e t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e e y t t j ω+ω==δ-ω+δ-二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ωβ-β=β-sin cos j ej2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j e e t 7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dtdi），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
电路理论-5_2一般电路系统IO微分方程的建立和求解讲解
N (P)
N (P)
(2) 广义阻抗
电阻 电容
电感
R 因为uR (t) ZR (P)iR (t) ZR (P) R
1 CP
因为
uC
(t)
1 C
t
iC
(t)dt
1 CP
iC
(t)
ZC
(P)iC
(t)
ZC
( P)
1 CP
LP
0.5iC (t) 0.5uL (t)
[
iC
(t)
C
duC (t) dt
,
uL
(t)
L
diL (t)] dt
diC (t) dt t0
0.5iC (0 ) 0.5uL (0 ) 2
(2) 有强迫跃变时电路初始条件的确定(不满足换路定律情况):
当电路中有冲击电流（或阶跃电压）强迫作用于电容， 或冲击电压（或阶跃电流）强迫作用于电感，这时iC→∞， uL →∞，即电路发生了强迫跃变，换路定律不成立，上述方 法失效。通常有两种情况：
ⅰ. 电路形式有强迫跳变可能性；
ⅱ. 激励信号为奇异信号时初始条件确定。
ⅰ. 电路形式有强迫跳变可能性情形
电路有强迫跃变的特点： 1) 存在全部由纯电容组成的闭合回路； 2) 存在由纯电容和理想电压源组成的闭合回路；
+ Us(t)
-
+
-
Us(t)
-
3) 存在有全部由含电感的支路组成的节点(割集)； 4) 存在含电感的支路和理想电流源组成的节点(割集) 。
ⅰ 引入广义阻抗于电路 ⅱ 列节点方程，网孔方程 ⅲ 用克莱姆法则求解,将微积分方程组化为一元高阶微分
第2章 电路方程的建立和求解方法
受控源只能是VCCS。
2.1 建立电路方程的常用方法
拓扑矩阵法建立节点方程的步骤如下： （1）建立关联矩阵A，以及KCL方程:
AI Ab
AJ
II
b J
0
亦即
Ab Ib AJ I J （2.1.6）
I-图中略去
2.1 建立电路方程的常用方法
2. 用双图法建立改进节点方程组 双图法建立方程组的步骤 （1）根据I图列出KCL方程 （2）将上述支路电流用其支路电压表示式取代 （3）根据V-图，用节点电位取代上式支路电压 （4）根据V-图列出非导纳描述元件的特性方程。 （5）联立（3）、（4）两步的方程，即得所求。
诺顿定理来处理。
2.1 建立电路方程的常用方法
3. 受控源对节点方程的贡献
（1）电压控制电流源（VCCS）
[只列控制支路节点电位对被控支路节点电流的影响]
2.1 建立电路方程的常用方法
（2）Байду номын сангаас流控制电流源（CCCS）
[只列控制支路节点电位对被控支路节点电流的影响]
V1,V2,V3对节点1的送值 V1,V2,V3对节点2的送值 V1,V2,V3对节点3的送值 节点1,2,3的电流送值，入“+”出“-”
2.1 建立电路方程的常用方法
（2）按照前面所规定的两类元件建立支路特性方程 组，即有
YbUb=Ib
（2.1.7）
和
IJ=IS
（2.1.8）
（3）将（2.1.7）和（2.1.8）代入（2.1.6）式，得
AbYbUb= –AJIS
(2.1.9)
2.1 建立电路方程的常用方法
信号与系统 §202 微分方程式的建立与求解PPT课件
et4V
2 S R1 1
1 it iCt
C1F
et2V
iLt
L 1H 4
3
R2
2
（1）列写电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程
R 1 it v C t e t
vCtLddtiLtiLtR2
列结点电压方程
it变 t,把 量电路参数代
方程的特解。
1将 ett2代 入 方 ,得t程 2到 2t,右 为使等端 式两端
平衡，试选特解函数式
rptB 1t2B 2tB 3
这里, B1,B2,B3为待定系将数此。式代入方程得到
3 B 1 t 2 4 B 1 3 B 2 t 2 B 1 2 B 2 3 B 3 t 2 2 t
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。
两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线 性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则 可以用高阶微分方程表示。
三．n 阶线性时不变系统的描述
一个线性系统，其激励信号 e(t与) 响应信号 r (之t ) 间的 关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
二．微分方程的列写
• 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。
• 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及 四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关 系,KCL，KVL。
例2-2-1求并联电路的端电压 v t 与激励 is t 间的关系。
电阻 电感 电容
iRt
1 vt
R
iLt
1 L
微分方程的建立与求解
在航空和航海领域，微分方程用于描述流体 运动规律，如飞机和船舶的气动性能和流体 动力性能。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
通过建立微分方程，可以描述一 个国家或地区的经济增长率与时 间的关系。
在金融领域，微分方程可以用来 描述股票价格的变化规律，以及 最优投资组合的选择问题。
在工程学中的应用
控制理论
在自动化控制系统中，微分方程用于描述系 统的动态特性，如传递函数和状态方程。
航天器轨道
在航天工程中，微分方程用于描述航天器的轨道运 动，如地球同步轨道和太阳同步轨道等。
幂级数法
总结词
通过将解表示为幂级数的形式，逐步逼近精 确解。
详细描述
幂级数法是将微分方程的解表示为幂级数的 形式，通过逐步展开幂级数逼近精确解。这 种方法适用于具有特定形式的微分方程，如 形如y'' + y = 0的方程。通过选择适当的幂 级数形式，可以逐步逼近精确解，得到微分
方程的近似解。
04
热传导方程
在研究热量传递规律时，热传导 方程描述了温度随时间和空间的 变化规律。
波动方程
描述波动现象（如声波、光波、 电磁波等）的运动规律，是偏微 分方程的重要应用之一。
在经济学中的应用
01
供需关系
微分方程可以用来描述市场供需 关系的变化，分析价格与数量的 动态关系。
02
经济增长模型
03
投资组合优化
通过几何关系建立微分方程
曲线和曲面
通过几何关系，如曲线的长度、曲率或曲线的变化率，可以建立微分方程。同 样，曲面的一些性质，如面积或体积，也可以通过微分方程来描述。
运动轨迹
描述物体运动轨迹的微分方程可以通过速度和加速度的几何关系来建立。
微分方程的建立方法和步骤(精)
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实践环节3
（3）已知机械旋转系统如图所所示，试列出系 统运动方程。
广州大学机械与电气工程学院ห้องสมุดไป่ตู้
微分方程式 的建立
克希霍夫电流定律：
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微分方程式 的建立
克希霍夫电压定律：
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微分方程式 的建立
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实践环节4
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用解析法列写系统微分方程的一般步骤：
1.根据实际工作情况，确定系数和各元件的输入、 输出变量。 2.从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各 变量所遵循的物理化学定理，列写出动态方程。 一般为微分方程。 3.消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方 程。 4.标准化。
非线性微分方程的线性化
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微分方程的建立方法和步骤
控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量） 之间关系的数学表达式。在静态条件下（即变量各阶导 数为零），描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模 型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数 学模型。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解， 就可以得到系统的输出量的表达式，并由此对系统进行 性能分析。 因此建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的 首要工作。
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实践环节5
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df f ( x ) y=f(x） dx
1 d2 f x x ( x x ) 2! dx 2
2 ( x x ) x x
y y k(x x) y y k(x x)
广州大学机械与电气工程学院
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例1：已知双耦合电路如图，试建立响应u2(t)的I/O微分方程
u n 1 ( t)
1/CMP
u n 2 ( t)
+ u2(t) -
is(t)
+ G LP 1/CP 1/CP LP G
解：1）定义广义阻抗 2）用视察法列写节点方程：
1 CM P CP CM P G LP un1 (t ) is (t ) 1 un 2 (t ) 0 CM P CP CM P G LP
3）将微分方程组化为一元高阶微分方程（用克莱姆法则）
1 (C CM ) P GP Pis (t ) L 2 CM P 0 2 u2 (t ) un 2 det CM P 3is (t ) 1 2 2 [(C CM ) P GP ] (CM P 2 ) 2 L
注意：双耦合电路本有5个动态元件，但微分方程为4阶，是因 为有一个全电容回路，即独立动态元件数只有4个。所以为4阶。
强调： 1）虽然复阻抗Z(s)与算符广义阻抗Z(P)形式相同，但物理本质 不同，Z(s)有明确的物理意义，而Z(P)只是一种数学符号。 2）变量s是复频率s=δ+jω，物理意义明确，在运算中可按代数
将方程两边同时微分一次（即同左乘P），即得：
1 2 2 CM P (C CM ) P GP L un1 (t ) Pis (t ) 1 CM P 2 (C CM ) P 2 GP un 2 (t ) 0 L
§5.2
一般电路系统I/OO微分方程的建立
(1) 数学准备——在高阶动态电路和系统分析中，为了运算 和书写的方便，我们引入了微分算符。 定义 微分算符
d d n P , P n dt dt
t 1 P dt P 1
n
积分算符
性质：
2
即： {( C 2 2CC
2(C CM ) 2 2 G ]P M ) P 2G (C C M ) P [ L
4 3
2G 1 3 P 2 }u2 (t ) CM P is (t ) L L
4 3 d u ( t ) d u2 (t ) 2 2 (C 2CCM ) 2G (C CM ) 4 dt dt 3 d 3is (t ) 2(C CM ) 2 d 2u2 (t ) 2G du2 (t ) 1 [ G ] 2 u2 (t ) CM 2 L dt L dt L dt 3
i2(t)
M di1 (t ) dt
i2(t)
-
解 选用网孔电流i1(t)、i2(t)为变量，作出其等效电路图如上图 所示。据KCL，KVL和VCR利用网孔法写出电路方程组：
di1 (t ) 1 t di2 (t ) L Ri1 (t ) i1 ( )d M e(t ) dt C dt (1)
并且
1 N ( P) 1 N ( P)
1 1 N ( P) f (t ) N ( P) f (t ) N ( P) N ( P)
(2) 广义阻抗
电阻
R
因为u R (t ) Z R ( P)iR (t ) Z R ( P) R
电容
电感
1 t 1 u ( t ) i ( t ) dt i ( t ) Z ( P ) i ( t ) C C C C C C CP 1 因为 CP 1 Z C ( P) CP diL (t ) u L (t ) L dt LPiL (t ) Z L ( P)iL (t ) LP 因为 Z L ( P) LP
di2 (t ) 1 t di1 (t ) L Ri 2 (t ) i2 ( )d M 0 (2) dt C dt
对(1)、(2)式两边微分一次得
d 2i1 (t ) di1 (t ) 1 d 2i2 (t ) de(t ) L R i1 (t ) M (3) 2 2 dt dt C dt dt
(3) 建立电路微分方程的方法
理论依据：
ⅰ
电路与系统整体应满足物理规律：KCL,KVL 电路与系统局部应满足物理规律：VCR
ⅱ
方法步骤： 方法1：
ⅰ ⅱ ⅲ
引入广义阻抗于电路 列节点方程，网孔方程 用克莱姆法则求解,将微积分方程组化为一元高阶微分 方程
方法2：
ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ 依据互联规律列KCL,KVL方程 依据元件规律列VCR 将ⅱ代入ⅰ得一组微积分方程组 引入微分算符，进行化简运算得一元高阶微分方程组。
d t PP f (t ) f ( )d f (t ) dt t d 1 而P Pf (t ) f ( )d f (t ) f () f (t ) dt
1
将上述性质推广，可以得到如下结论： 如果N(P)是算符P的多项式，则
1 N ( p) 1, N ( P)
ⅰ等式两边的算符不能直接相消；
即：若 即 Pf1(t)=Pf2(t), 则 f1(t)=f2(t)+A f 1 ( t ) f 2 ( t )
这是因为同时积分要多一个常数。
ⅱ积分算子P－1左乘一个P时，分子分母中的P可以相消，
而积分算子P－1右乘一个P时，分子分母中的P不可以相消; 即：PP－1＝1 而 P－1 P1
方法运算。而P是一种数学符号，无物理意义，也不是变量，
在运算中必须遵守其运算规则。
例2：已知双耦合电路如图，试建立输出响应i2(t)的微分方程
C C L M L L L
di2 (t ) + M dt
++ ee (( tt )) --
C C
ii 2(t) 2(t)
R R
i1(ti )1(t)
R R
+ -