3.3电路一阶微分方程的求解

0
1 2 3 4 5 6
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
7
1.7Baidu Nhomakorabea
7.909209216
7.963873479
0.054664263
function [T Y]=Trapezia_reckon(odefun,ab,ya,M) % odefun: 微分方程 a、b：计算区间 % ya：初值 y(a) M：等分数目 % T: 离散的时间变量 ％ Y梯形公式的预估校正法解 h h=(ab(2)-ab(1))/M; ％步长 y j 1 y j ( y' j y'(j0 )1 )一 阶 T=zeros(1,M+1);Y=zeros(1,M+1); 2 微 T=ab(1):h:ab(2); Y(1)=ya; 分 方 for j=1:M 程 的 k1=feval(odefun,T(j),Y(j)); 求 k2=feval(odefun,T(j+1),Y(j)+h*k1); 解 Y(j+1)=Y(j)+(h/2)*(k1+k2); end Function y=euler_3_3_2(t,x) y=2/t*x+t^2*exp(t ） [T Y]=Trapezia_reckon (' euler_3_3_2',[1 2],0,10)
解：据后向欧拉法 y n＋1 y n h( t
即 : y n＋1 2
n1 2 n＋1
3.3
y n1 t e 2
t n＋1
2 n＋1
e
t n ＋1
)
y n ht
1 h
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
t n＋1
又
y 0 y(1) 0 t n t 0 nh 1 0.1n
为隐式——须解出yk+1.
② 可用迭代法
yk+1 (n+1) = yk + hf (tk+1，yk+1(n))
n = 0，1，2，… 解得yk+1 ，
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
其中yk+1(0) = yk + hf (tk，yk).（结合前
向欧拉法，预报）
例2. 应用后向欧拉法解初值问题 2 y' y t 2 e t ,1 t 2, y(1) 0 t 取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较
3.3
不同求解器的特点
求解器
ode45 ode23 ode113
3.3
说明
大部分场合的首选算法 使用于精度较低的情形 计算时间比ode45短
一.前向欧拉法
当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商 取代一阶导数
3.3
y ( t k 1 ) y ( t k ) y' ( t k ) t k 1 t k
令步长
h t k 1 t k，则
y(t k 1 ) y(t k ) y' (t k )h
其近似值为：
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
正
3.3
分析：
当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不 是很高。步长取定后，步数越多，误差越 大。
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
二、后向欧拉法
对于给定初始条件 y(t 0 ) y0的微分方程
3.3
y' (t ) f ( y(t ), t )
用一阶差商近似代替 y(t ) 在一个步长终点的一阶导 数，则原微分方程化为：
3.3
计算结果列表（ yk 为梯形预估-矫正法计算 近似值，y( t n ) 为精确值）
k
tk
1.0
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
yk
0
0.342377789 0.858314537 1.592749643 2.598298239 3.936444114 5.678907103
y (tk )
解：据前向欧拉法
y（0） y k hyk ' k 1 0 .2 2 (1 ) y k 0 .1 t k e t k tk
梯形预估-矫正
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
h ( yk 1 yk [ f ( t k , yk ) f ( t k 1 , yk0 )1 )] 2 2 2 (0) 2 tk 2 t k 1 yk 0.05[ （ yk t k e ） （ y k 1 t k 1 e ） ] tk t k 1
yk 1 yk y'k h
近似解的误差首先是由差商近似代替微商引起的，这种近似代替所 产生的误差称为截断误差。还有一种误差称为舍入误差，这种误差 是由于计算时数值舍入引起的。
前向欧拉法的几何意义：
y(t)
3.3
y3 y2
yk 1 yk hf (t k , yk )
在任一步长内，用一段直 线代替函数 y(t ) 的曲线， 此直线段的斜率等于该函 数在该步长起点的斜率。
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
当步长h足够小，且由前向欧拉法计算的已是较好 的近似，则迭代一、二次即可
3.3

几何意义 Euler法折线法

改进Euler法平均斜率折线法
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
3.3
例3. 应用梯形预估-矫正法解初值问题 2 2 t y' y t e ,1 t 2, y(1) 0 t 取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较
h 梯形公式 y( t k 1 ) y( t k ) [ y' ( t k ) y' ( t k 1 )] （欧拉中点公式） 2
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
近似值：
yk 1
h y k ( y ' k y' k 1 ) 2
3.3
显然，梯形公式是隐式法，一般求 y k 1 需要解方程， 常采用迭代法，初值由显式的欧拉公式给出：
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
y( t k 1 ) y( t k ) y' ( t k 1 ) h
其近似值：
yk 1 yk y'k 1 h 欧拉隐式公式
3.3 后向欧拉法的几何意义：
yk 1 yk hf (t k 1 , yk 1 )
y(t) y3
0
0.345919876 0.866642536 1.607215079 2.620359552 3.967666295 5.720961527
y(tk ) yk
0
0.003542087 0.008327999 0.014465436 0.022061313 0.031222181 0.042054424
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
2 y1 t1 (e t1 e) 0.345919876
2 y 2 t 2 (e t 2 e ) 0.86642536

计算结果列表（ y n 为前向欧拉法计算近似值， y( t n ) 为精确值）
n
0
3.3
tn
1.0
yn
0
y( t n )
负
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
三. 梯形法及其预估-矫正法
y' ( t ) f ( t , y ) y( t 0 ) y 0 t t0
3.3
改进欧拉法
用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的 一阶导数的平均值
y( t k 1 ) y( t k ) 1 [ y' ( t k ) y' ( t k 1 )] h 2
t n t0 nh 1 0.1n
微分方程
2 y' y t 2 e t t
2
是一阶线性微分方程，
t
3.3
可求出其通解： y t (e ＋C)
一阶非齐次线性微分方程
带入初值y(1) 0 可得 C e
y t 2 (e t - e ) 则方程的解为：
2 从而有： y(t n ) t n (e tn - e)
解：据前向欧拉法
yn＋1 yn h(
y0 y(1) 0
tn
2 yn t n e t n )
又
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
有：
2 2 y1 y0 h( y0 t 0 e t0 ) 0.271828183 t0
y2 y1 h( 2 y1 t12 e t1 ) 0.684755578 t1
3.3
y 计算结果列表（ n 为后向欧拉法计算近似值， y( t n )为精确值）
n
tn
1.0 1.1
yn
0 0.444282775
y( t n )
0 0.345919876
y( t n ) y n
0 -0.098362899
0 1
2 3 4 5 6 7
1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
y0 y(t0) 0 t0 h t1 h t2 h y1
y(t3)
y(t2) y(t1)
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
t3
欧拉法的几何意义：过点A0（t0，y0），A1（t1，y1），…，A n （t n，y n ），斜率分别为f（t0，y0），f（t1，y1），…，f（tn， y n）所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。
1.106855535 2.040960612 3.308409773 4.980911323 7.141585856 9.886697539
0.866642536 1.607215079 2.620359552 3.967666295 5.720961527 7.963873479
-0.240212999 -0.433745533 -0.688050221 -1.013245028 -1.420624329 -1.922824060
y' ( t ) f ( y , t ) y ( t 0 ) y0 t t0
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
基本思想： 在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间 离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分 t 方程，得到各时间离散点 t 1 、 2 … t n处的函数 y(t ) 近似 值 y、y2… yn 1
例1. 应用前向欧拉法解初值问题 2 y' y t 2 e t ,1 t 2, y(1) 0 t 取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较
3.3
【思路】 用欧拉法求解常微分方程的初值问题时，首先熟练掌握欧拉公式的 一般形式，根据具体题目写出找出欧拉公式的迭代式，并根据初始条件和所 给步长进行迭代求解。 2
3.3
电路暂态分析的目的是为了得到 电路的时域响应。
建立动态电路的状态方程，得到一阶微 分方程组（或一阶微分方程），再求该 方程组的解。 因此暂态分析的实质就是如何获得并 且求解电路的常微分方程。
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
3.3
3.3 一阶微分方程的求解
一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下， 求微分方程的初值问题
0
y( t n ) y n
0
1
2 3
1.1
1.2 1.3
0.271828183
0.684755578 1.276978344
0.345919876
0.866642536 1.607215079
0.074019693
0.181886958 0.330236735
4
5 6 7
1.4
1.5 1.6 1.7
近似值 一 阶 微 分 方 程 的 求 解
在任一步长内，用一段直线 代替函数 y(t) 的曲线，此直 线段的斜率等于该函数在该 步长终点的斜率。
y0 y(t0) 0 t0 h
y2 y1 y(t3)
y(t2) y(t1) h t1 t2 h t3
精确值
t
3.3 注：后向欧拉法的两种处理方式 ① 前向Euler法为显式，后向Euler法
2.093547688
3.187445122 4.620817846 6.466396378
2.620359552
3.967666295 5.720961527 7.963873479
0.526811864
0.780221173 1.100143681 1.497477101
一 阶 微 分 方 程 的 求 解
预报
( yk0)1 yk hf (t k , yk )
然后将 y
校正
(1) k 1
( 0) k 1
替代梯形公式等式右边出现的 yk 1
h ( y yk [ f ( t k , yk ) f ( t k 1 , yk0 )1 )] 2 h ( n 1) ( ) yk 1 yk [ f (t k , yk ) f (t k 1 , yk n 1 )] 2 迭代次数 n 0,1,2,