3.1 一阶微分方程解的存在唯一性定理

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一阶线性微分方程解的存在唯一性证明

一阶线性微分方程解的存在唯一性证明

一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明)()(x q y x p dxdy +=摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一?首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域R:上的连续函数.b y y a x x ≤-≤-00,函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式对于所有的 都成立,L 称2121),(),(y y L y x f y x f -≤-R y x y x ∈),(),,(21为利普希兹常数下面我们给出一阶线形微分方程(1)解的存在唯一性)()(x q y x p dxdy+=定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程(1)存在唯一的解,定义于区间上,连续)(x y ϕ=h x x ≤-0且满足初始条件:这里 00)(y x =ϕ),min(Mba h =),(max y x f M =R y x ∈),(我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见,只就区间来讨论,对于的讨论完全一样.h x x x +≤≤0000x x h x ≤≤-现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解这里我们用f(x,y)=p(x)y+q(x)来[]⎰++=x x dx x q y x p y y 0)()(0替代,因此也就等价于求积分方程 的连续解,然⎰+=xx dx y x f y y 0),(0后去证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个连续函数 代入上面的积分方程右端的y 就得)(0x ϕ到函数dx x x f y x xx ))(,()(0001⎰+≡ϕϕ显然也是连续解,如果那么就是积分方)(1x ϕ)(1x ϕ≡)(0x ϕ)(0x ϕ程的解.否则,我们又把代入积分方程右端的y 得到)(1x ϕ dxx x f y x xx ))(,()(0102⎰+≡ϕϕ如果 ,那么就是积分方程的解,否则我们继≡)(2x ϕ)(1x ϕ)(1x ϕ续这个步骤.一般地做函数 (2)dx x x f y x xx n n ))(,()(010⎰-+≡ϕϕ这样就得到连续函数序列,……)(0x ϕ)(1x ϕ)(x n ϕ如果那么就是积分方程的解,如果始终不发生这种≡+)(1x n ϕ)(x n ϕ)(x n ϕ情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数即)(x ϕ 存在因此对(2)取极限就得到)()(lim x x n n ϕϕ=∞→dxx x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+=ϕϕ =dxx x f y xx n n ))(,(lim 010⎰-∞→+ϕ =dxx x f y xx ))(,(00⎰+ϕ即 dxx x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕ这就是说是积分方程的解,这种一步一步地求出方程的解的方法)(x ϕ就成为逐步逼近法,由(2)所确定的函数称为问题(1)的n 次近)(x n ϕ似解,在定理的假设条件下以上步骤是可以实现的下面我们分四个命题来证明这个定理.命题1,设是一阶线形微分方程(1)的定义于区间)(x y ϕ=上的,且满足初始条件的解,则是积分方h x x x +≤≤0000)(y x =ϕ)(x y ϕ=程()的定义于上的连续解,反⎰+=xx dx y x f y y 0),(0h x x x +≤≤00h x x x +≤≤00之亦然.因为是一阶线形微分方程(1)的解故有)(x y ϕ=))(,()(x x f dxx d ϕϕ=两边从到x 取定积分得到0x dx x x f x x x x ))(,()()(00⎰≡-ϕϕϕhx x x +≤≤00把代上式,即有00)(y x =ϕ dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕhx x x +≤≤00因此, 是积分方程定义于上的)(x y ϕ=⎰+=xx dx y x f y y 0),(0h x x x +≤≤00连续解反之如果是积分方程的连续解,则有)(x y ϕ=⎰+=xx dx y x f y y 0),(0 (3)dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕh x x x +≤≤00微分之,得到))(,()(x x f dxx d ϕϕ=又把代入(3)得到0x x =00)(y x =ϕ因此是方程(1)的定义于 上且满足初始条件)(x y ϕ=h x x x +≤≤00的解.命题1证毕.00)(y x =ϕ现在取,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:00)(y x =ϕ ⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰-x x n nd f y x y x 0))(,()()(1000ξξϕξϕϕh x x x +≤≤00(n=1,2,…)(4)命题2 函数序列在上是一致收敛的{})(x n ϕh x x x +≤≤00证明:我们考虑级数 (5)[]∑∞=--+110)()()(k k k x x x ϕϕϕh x x x +≤≤00它的部分和为=[]∑=--+nk k k x x x 110)()()(ϕϕϕ)(x ϕ因此,要证明序列在上一致收敛,只需证明级数(5)在{})(x n ϕh x x x +≤≤00上一致收敛.为此,我们进行如下估计.由(4)有h x x x +≤≤00 (6))())(,()()(00001⎰-≤≤-xx x x M d f x x ξξϕξϕϕ及 ⎰-≤-xx d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ利用利普希兹条件及(6)得到⎰-≤-xx d L x x 0)()()()(0112ξξϕξϕϕϕ =ξξd x M L x x ⎰-≤0)(020)(!2x x ML-设对于正整数n,不等式nn n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕ成立,则有利普希兹条件,当时,有h x x x +≤≤00 ⎰-+-≤-x x n n n n d f f x x 0))(,())(,()()(11ξξϕξξϕξϕϕ⎰--≤xx n n d L 0)()(1ξξϕξϕ100)()!1()(!+-+=-≤⎰n n xx nnx x n ML d x n ML ξξ于是,由数学归纳法得知,对于所有的正整数k,有如下的估计(7)k k k k x x k ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕh x x x +≤≤00从而可知,当时h x x x +≤≤00 (8)kk k k h k ML x x !)()(11--≤-ϕϕ(8)的右端是正项收敛级数∑∞=1!k kkk h ML的一般项,由维尔斯特拉斯判别法级数(5)在上一h x x x +≤≤00致收敛,因而序列也在上一致收敛,命题2证毕.{})(x n ϕh x x x +≤≤00命题3 是积分方程(2)的定义于上的连续解.)(x ϕh x x x +≤≤00证明: 由利普希兹条件)()())(,())(,(x x L x x f x x f n n ϕϕϕϕ-≤-以及在上一致收敛于,即知序列{})(x n ϕh x x x +≤≤00)(x ϕ{}{})(,()(x x f x f n n ϕ≡在上一致收敛于.因而对于(4)两边取极h x x x +≤≤00{})(,(x x f ϕ限,得到dxx x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+≡ϕϕ =⎰-∞→+xx n n d f y 0))(,(lim 10ξξϕξ即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ这就是说是积分方程(2)的定义于上的连续解.命)(x ϕh x x x +≤≤00题3证毕.命题4 设是积分方程(2)的定义于上的一个连)(x φh x x x +≤≤00续解,则 , )()(x x ϕφ≡hx x x +≤≤00证明:我们首先证明也是序列的一致收敛极限函数.)(x φ{})(x n ϕ为此,从0)(y x =ϕ (n=1,2,…)⎰+=xx n d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ ξξφφd x f y x xx ))(,()(00⎰+≡我们可以进行如下估计)()(,()()(000x x M d f x x xx -≤≤-⎰ξξφξφϕξξφξξϕξφϕd f f x x x x ⎰-≤-0))(,())(,()()(01 ξξφξϕd L xx ⎰-≤0)()(0 200)(!2)(0x x MLd x ML xx -=-≤⎰ξξ现设,则有n n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---φϕ ξξφξξϕξφϕd f f x x xx n n ⎰-≤--0))(,())(,()()(1 ξξφξϕd L xx n ⎰-≤-0)()(1 100)()!1()(!+-+=-≤⎰n xx Nx x n MLd x n ML ξξ故有数学归纳法得知,对于所有的正整数n,有下面的估计式(10)10)()!1()()(+-+≤-n nn x x n ML x x φϕ因此,在上有h x x x +≤≤00 (11)1)!1()()(++≤-n n n h n ML x x φϕ是收敛级数的公项,故因而1)!1(++n n h n ML 0)!1(1→+∞→+n n h n ML n 时在上一致收敛于,根据极限的唯一性,即得{})(x n ϕh x x x +≤≤00)(x φ)()(x x ϕφ≡h x x x +≤≤00命题4证毕.综合1-4,即得到一阶线性微分方程解的存在唯)()(x q y x p dxdy+=一定理的证明.。

一阶微分方程的解的存在性定理

一阶微分方程的解的存在性定理
x
y ( x )为积分方程y y0 f ( x , y )dx的定义于x0 x x0 h
x0
上的解。
现在我们先构造积分方程y y0 f ( x , y )dx的定义于 x0 x x0 h上的Picard的逐次逼近函数列 n ( x ) .
结果1:如果f ( x , y )在R上关于y的偏导数f y ( x , y )存在且有界,则 f ( x , y )在R上关于y满足Lipschitz条件。
结果2:如果f ( x , y )在R上关于y的偏导数f y ( x , y )连续,则f ( x , y ) 在R上关于y满足Lipschitz条件。
下面我们分五个命题来证明定理。为此先给出: 定义2(积分方程):如果一个数学关系式中含有定积 分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的 数学关系式为一个积分方程。
x 例如, y e y(t )dt 0 x
就是一个简单的积分方程。
x
定义3(积分方程的解)对于积分方程 y y0 f ( x , y )dx,
满足初始条件
y( x0 ) y0 ,
y( x0 ) y0.
3. 近似计算和误差估计
存在唯一性定理不仅肯定了解的存在唯一性,同时还 给出了第n次近似解n(x)和真正解(x)的误差估计
n
ML n ( x) ( x) hn1 (n 1)!
有了误差估计式, 我们就可根据实际要求, 选取适当 的逼近函数 n ( x ).
问题:这样构造函数列是否行的通,即上述的积分是否有 意义?
命题2:对任意的自然数n, n ( x )在x0 x x0 h上有定义、 连续且满足不等式
n ( x) y0 b.

一阶微分方程解存在唯一性定理Picard定理及其证明

一阶微分方程解存在唯一性定理Picard定理及其证明

3.1 一阶微分方程存在唯一性定理(Existence and Uniqueness Theorem ofInitial Value Problem of ODE )[教学内容] 1. 上一章内容小结和习题课; 2.介绍研究初值问题解的存在唯一性定理必要性; 3. 介绍柯西解的存在唯一性定理和Picard定理; 4. 介绍定理的证明.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理,难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法] 自学1、2、3;讲授4、5课堂练习[考核目标]1.知道一阶微分方程的类型及其解法;2. 知道Lipshitz条件和解的存在唯一性定理(柯西版本和Picard版本);3. 知道Picard定理的证明思路和过程;4. 会用Picard函数序列给出微分方程初值问题的近似函数解.5. 了解和掌握Graonwall积分不等式.1. 一阶微分方程类型及其初等解法小结(1)认识一阶微分方程:一阶线性方程(交换x,y或Bernoulli方程及其他可通过引入变量替换化为一阶线性方程的)、一阶可分离变量型方程(齐次方程以及其他可化为可分离变量型的)、一阶对称形式的恰当方程(通过引入积分因子可化为恰当方程的方程)一阶隐方程(可解出x或y的类型,以及x, y, y’只含有其中两个的方程类型)(2)解法常数变易公式、Bernoulli方程的变量替换分离变量方法、齐次方程的变量替换恰当方程的解法、积分因子的求法隐方程的求导法和参数法(3)例题上述提到的方程类型各举出一个例子来,并用上面的方法来求解,允许一题多解.(4)介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程(参见上节讲义).(5)预告:下周二上午第一节课进行上一章测试,请相互转告.2. 必要准备:数学中的进化论生物上,比如水稻品种一代一代通过基因重组往高产优质方向优化,还有如下图片.在数学上也有类似的进化过程,下面就说一说.(1)考察三次代数方程 x 3+4x-2 0. 该方程没有有理根. 该方程只有唯一实根且落在[0,1]. 下面有两种思路来找到该方程的根.思路一:运用连续函数的零点定理, 记1] [0,]b ,[a 11=表示第一代;将]b ,[a 11平分为两个子区间,取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第二代,即]21 [0,]b ,[a 22=;将]b ,[a 22平分为两个子区间,取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第三代,即]21 ,41[]b ,[a 33=;将]b ,[a 33平分为两个子区间,取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第四代,即]21 ,81[]b ,[a 44=;... ... 这样下去,]b ,[a n n 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466,其中误差就是|a b |n n -.思路二:运用教材P89习题9的结论和证明过程,改写方程为x 42x -3=+,记42x f(x)3+-= 则方程就是f(x)x =,方程的根也就是函数f(x)的不动点. 可以验证f(x)满足教材P89习题9的条件(自行验证),于是方程的根存在且唯一,下面就用进化的思想来寻找方程的根.选取第一代1x 1=(这里可以选其他实数);经过进化机制(用f(x)作用一下)得到第二代25.0)f(x x 12==;再经过进化机制(用f(x)作用一下)得到第三代496094.0)f(x x 23≈=;再经过进化机制(用f(x)作用一下)得到第四代469477.0)f(x x 34≈=;再经过进化机制(用f(x)作用一下)得到第五代474131.0)f(x x 45≈=;再经过进化机制(用f(x)作用一下)得到第六代473354.0)f(x x 56≈=;... ... n x 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466.打个比方,把方程的根比作我们想要的某种属性的对象,我们可以通过迭代(进化)过程来把它造出来或找出来。

3. 一阶常微分方程解的存在唯一性

3. 一阶常微分方程解的存在唯一性

由于ϕn(x) = ϕ0(x) + ϕ1(x) − ϕ0(x) + ϕ2(x) − ϕ1(x) + · · · + ϕn(x) − ϕn−1(x) ,

故只需证明无穷级数ϕ0(x) + [ϕn+1(x) − ϕn(x)]在I上一致收敛即可。采用数学 n=0
归纳法来证明:
特别,取ϕ0(x) = y0,则 |ϕ1(x) − ϕ0(x)| =
设ϕ(x)和ψ(x)都 是 微 分 方 程(3.1)在I上 的 解。 记M = max |ϕ(x) − ψ(x)|, 根 x∈I
据Lipschitz条件,当x ∈ I时,有
|ϕ(x) − ψ(x)| ≤
x
|f (t, ϕ(t)) − f (t, ψ(t))|dt
x0 x
≤ L |ϕ(t) − ψ(t)|dt
第三章 一阶常微分方程解的存在唯一性
本章主要介绍和证明一阶微分方程解的Picard存在和唯一性定理,解的延拓,解对 初值的连续性和可微性等概念。
3.1 Picard存在唯一性定理
3.1.1 一阶显式微分方程
考虑一阶显式常微分方程的初值问题

dy dx
=
f (x, y)
y|x=x0 = y0
(3.1)

LnM n!
x
|t − x0|ndt
x0
=
LnM (n + 1)!
|x

x0|n+1
特别,当|x − x0| ≤ h时,
|ϕn+1(x)

ϕn(x)|

LnM (n + 1)!
hn+1

由于正项级数

3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法

3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
第三章 一阶微分方程的解的存在定理
问题的提出
在前一章中,我们学习了用初等方法求解一阶
方程的几种类型。但是,大量的一阶方程一般是不
能用初等解法求出其通解,而实际问题中所需要的
往往是要求满足某种初始条件的解。因此对初值问 题(又称Cauchy问题)的研究被提到了重要的地位。
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0
下面分五个命题来证明定理1: 命题1 设 y ( x) 是方程(3.1)的定义于区间
x0 x x0 h 上,满足初始条件 ( x0 ) y0 的解,则 y ( x) 也是积分方程
y y0 f ( x, y)dx
x0
x
(3.5)
的定义于 x0 x x0 h 上的连续解。反之亦然。
dy 2 x(1 y ), dx
的解. 解:其迭代序列分别为
y (0) 0
y0 ( x) 0,
y1 ( x) 2 d x
0
x
x
2
4 x y2 ( x) 2 (1 2 )d x 2 0 2!
4 6 x x y3 ( x) 2 (1 2 )d x 2 0 2! 2! 3! x
L y1 y2
这里( x, y1 ),( x, y2 ) R,0 1.
二 近似计算和误差估计
求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里
0 ( x) y0 n ( x) y0
(n 1,2,)

x
x0
f ( , n1 ( ))d
需解决的问题
dy f ( x, y ) 1、初值问题 dx 的解是否存在? y ( x0 ) y0 dy f ( x, y ) 2、若初值问题 dx 的解存在, y ( x0 ) y0

第三章 一阶微分方程的解的存在性定理

第三章  一阶微分方程的解的存在性定理

1(x) y , ( )) d 0 0 f(
x 0
x
f( , ( )) d 2(x) y 0 1 x
0
x
f( , ( )) d n (x) y 0 n 1 x
0

x
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
一 、概念与定义/Concept and Definition/
1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示
y d f (x ,y ) .................( 3 .1 .1 ) x d (x .....................( 3 .1 .2 ) 0) y 0
考虑级数:
( x ) [ ( x ) ( x )] x x x h
0 k 1 k k 1 0 0

( 3 . 1 . 11 )
( x ) [ ( x ) ( x )] ( x ) 它的部分和为: 0 k k 1 n

k 1
F (, xyy , ' ) 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 3 . 1 . 3 ) yx (0 ) y ,yx ' (0 ) y ' . . . . . . . . . . . . . ( 3 . 1 . 4 ) 0 0
x 0
x
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method

一阶微分方程解的存在唯一性定理的应用

一阶微分方程解的存在唯一性定理的应用

一阶微分方程解的存在唯一性定理的应用一阶微分方程解的存在唯一性定理的应用一阶微分方程的存在唯一定理是专业的数学领域的重要定理之一,它指明当满足一定条件时,任意有限区间上的方程y'=f(x,y)解的存在和唯一性。

这个定理是由克莱因(Klein)1883年提出的,而实际上它适用于许多其他类型的方程。

同时,在工程、物理、生物、经济和许多其他的科学实践中,拥有了充分的应用。

一般地,一个微分方程的唯一性可由以下表达式给出:令y=f (x, y)是给定的微分方程,全局有界满足Lipschitz条件A (x, y)≤F (s, y-s)≤B(x, y),和初值条件y (a)=Br,其中a,b是给定的定界,r是常数,则存在一个唯一解y=φ(x)。

此外,这个解应当满足边界条件:对于任意定界有φ(a)=a,φ(b)=b。

该定理对于一阶微分方程解的存在唯一性拥有重要的应用,主要是:(1)在定性分析的范畴下,它有助于证明方程的解的存在唯一性。

一般来讲,它可以用来检验给定方程公差函数的连续性以及方程在一定区域上的有界性,从而进一步检验方程解的唯一性。

(2)可用来解决求性质问题,它可以为设计证明某一种解的唯一性提供线索。

(3)在定量分析的范畴下,该定理主要是为了研究方程解的收敛性和稳定性而提供了重要的依据。

我们首先可以检验公差函数的Lipschitz性和半定性,然后再进一步研究方程的解的收敛性和稳定性。

近年来,一阶微分方程解的唯一性定理在一些数学分析方面受到了广泛的应用,用来解决实际中出现的一系列问题。

它可以帮助我们更准确地解决相关问题,为更多的科学领域提供系统性地分析和运算技术,最终实现实际活动的精准调节和控制。

总之,一阶微分方程解的存在唯一性定理在各个学科领域都具有广泛的应用,既可以用于解决测定性质的问题,也可以用于研究方程的收敛性和稳定性。

它的应用目前仍处于发展阶段,有望为解决当今社会科学问题提供更有效的解决方案。

解的存在唯一性定理

解的存在唯一性定理
由f (x, y)在D上连续性知, f (x,k (x))在[x0, x0 h]
上连续,从而k1(x)在[x0 , x0 h]上连续且
k1(x) y0
x
x0 f ( ,k ( ))d
x x0
f (,k ( ))d
M x x0 Mh b
即当n k 1时成立,命题2成立
综上,命题2得证
二、存在唯一性定理
定理1
dy =f (x, y)
(1)
dx
D :| x x0 | a,| y y0 | b
如果f (x, y)在D上连续且关于y满足利普希茨条件,
则方程(1)存在唯一的连续解y (x),定义在|x x0| h
上,连续且满足初值条件
(x0 ) y0
这里h min(a, b ), M max | f (x, y) |
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x x0
(
x0 )nd
MLn (x (n 1)!
x0 )n1,
于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0 )n ,
x0 x x0 h,
(3.11)
从而当x0 x x0 h时,
n (x) n1(x)
于是{n (x)}一致收敛性与级数 (3.9)一致收敛性等价 .
对级数(3.9)的通项进行估计
x
1(x) 0(x) x0 f (,0( ))d M x x0
x
2(x) 1(x) x0 f (,1( )) f (,0 ( ))d
x
L x0 1( ) 0( )d
L
x x0
M (

[整理]一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法(1022).

[整理]一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法(1022).

一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理1)首先考虑导数已解出的一阶微分方程(3.1.1.1)这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。

定义1 如果存在常数,使得不等式对于所有都成立,则函数称为在上关于满足利普希茨(Lipschitz)条件,称为利普希茨常数。

定理3.1 如果在上连续且关于满足利普希茨条件,则方程(3.1.1.1)存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件(3.1.1.3)这里,。

我们采用皮卡(Picard)的逐步逼近法来证明这个定理。

为简单起见,只就区间来讨论,对于的讨论完全一样。

现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。

首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解。

然后去证明积分方程的解的存在唯一性。

任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数,显然也是连续函数,如果,那末就是积分方程的解。

否则,我们又把代入积分方程右端的,得到,如果,那末就是积分方程的解。

否则我们继续这个步骤。

一般地作函数(3.1.1.4)这样就得到连续函数序列:,,…,,….如果,那末就是积分方程的解。

如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数,即存在,因而对(3.1.1.4)取极限时,就得到即,这就是说是积分方程的解。

这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。

由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。

在定理的假设条件下,以上的步骤是可以实现的。

下面我们分五个命题来证明定理1。

命题1设是方程(3.1.1.1)的定义于区间上,满足初始条件(3.1.1.3)的解,则是积分方程(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。

反之亦然。

证明因为是方程(3.1.1.1)的解,故有,两边从到取定积分得到把(3.1.1.3)代入上式,即有因此,是(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。

一阶微分方程的解的存在定理

一阶微分方程的解的存在定理

第三章 一阶微分方程的解的存在定理教学目的讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理,解的延拓定理,解对初值的连续性与可微性定理,解对参数的连续性定理教学要求掌握存在与唯一性定理及其证明,会用皮卡逼近法求近似解,理解解对初值的连续性与可微性定理,解对参数的连续性定理,了解奇解及其求法。

教学重点几个主要定理的条件及其证明 教学难点逐次逼近法的应用及其思想;应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解;奇解及其求法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

课题导入在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。

解决了几个特殊的方程。

但是,对许多微分方程,为22'y x y +=,不可能通过初等积分法求解,这就产生了一个问题,一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢?或者说,一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢?当有解时,农的解是否是唯一的呢?毫无疑问,这是一个很基本的问题,不解决这个问题对微分方程的进一步研究,就无从谈起,本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理,§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的讨论Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理,解的延拓定理,解对初值的连续性与可微性定理。

教学要求熟练掌握Picard 逼近法,并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明,会用Picard 逼近法求近似解, 教学重点Picard 存在唯一性定理及其证明教学难点逐次逼近分析法的应用及其思想.教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

一. 存在唯一性定理1.定理1,考虑初值问题),(y x f dxdy= (3.1)00)(y x y =其中f(x,y)在矩形区域R : b y y a x x ≤-≤-||,||00 (3.2)上连续,并且对y 满足Lipsthits 条件:即存在常数L>0,使对所有R y x y x ∈),(),,(21常存成立,|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-则初值问题(cauchy 问题)(3.1)在区间h x x ≤-||0上解存在唯一,这里|),(|max ),,min(),(y x f M Mba h R y x ∈==证明思路:1.初值问题(3.1)的解存在等价一动积分方程⎰+=x x dy y x f y y 0),(0(3.5)的连续解。

第三章一阶微分方程的解的存在定理(1)

第三章一阶微分方程的解的存在定理(1)

第三章 一阶微分方程的解的存在定理研究对象初值问题(Cauchy Problem)⎪⎩⎪⎨⎧==(3.2)3.1) 00)((),(y x y y x f dx dy 1 基本概念1)利普希兹(Lipschitz)条件函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数0>L 使得不等式2121),(),(y y L y x f y x f -≤-对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。

其中L 称为利普希兹常数。

2 )局部利普希兹条件称函数),(y x f 在区域2R G ⊂内关于y 满足局部利普希兹条件,如果对区域G 内的每一点,存在以其为中心的完全含于G 内的矩形域D ,在D 上),(y x f 关于y 满足利普希兹条件。

注意:对G 内不同的点,矩形域D 大小和常数L 可能不同。

3)一致利普希兹条件称函数),,(λy x f 在区域{}βλαG y x λy x G λ<<∈=,),(),,(R R ⨯⊂2内一致地关于y 满足局部利普希兹条件,如果对λG 内的每一点),,(λy x 都存在以),,(λy x 为中心的球λG S ⊂,使得对任何),,(1λy x ,S λy x ∈),,(2成立不等式2121),,(),,(y y L y x f y x f -≤-λλ其中L 是与λ无关的正数。

4)解的延拓设方程(3.1)右端函数),(y x f 在某一有界区域G 中有意义,],[),(b a x x y ∈=ϕ是初值问题(3.1)、(3.2)的解,若],[),(11b a x x y ∈=ψ也是初值问题的解,且],[],[11b a b a ⊂,当],[b a x ∈时,)()(x x ψϕ≡,则称解)(x ψ是解)(x ϕ在区间],[b a 上的一个延拓。

5)包络和奇解曲线族的包络是指这样的曲线,它本身并不包含在曲线族中,但过这条曲线上的每一点,有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。

chapter-3 一阶微分方程的解的存在性定理

chapter-3 一阶微分方程的解的存在性定理

x3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
11
命题 2 对所有的 n,函数 有定义、连续且满足不等式
在区间

张强
常微分方程 第三章 一阶微分方程的解的存在性定理
x3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
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证明:当 且
有定义、连续
张强
常微分方程 第三章 一阶微分方程的解的存在性定理
x3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
x3.3 解对初值的连续性和可微性定理
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x3.3 解对初值的连续性和可微性定理
3.3.1 解关于初值的对称性
解关于初值的对称性定理 设初值问题 在此表达式中 即在解的存在区间
例 方程 定义在矩形区域 上的解,试利用存在唯一性定理确定经过点 (0,0) 的解的 存在区间,并求在此区间上与真解的误差不超过 0.05 的近 似解的表达式。

经过点 (0,0) 的解的存在区间为
张强
常微分方程 第三章 一阶微分方程的解的存在性定理
x3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
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x3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
张强
常微分方程 第三章 一阶微分方程的解的存在性定理
x3.3 解对初值的连续性和可微性定理
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x3.3 解对初值的连续性和可微性定理
初值问题 其解随着初值不同而变化。 可理解为自变量,以及初值的函数
满足 由此,我们可以讨论解关于初值的一下基本性质
张强
常微分方程 第三章 一阶微分方程的解的存在性定理
x3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
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利普希茨条件 命题 3 函数序列 证明: 在 上是一致收敛的。

成立 为正项收敛级数 魏氏判别法

常微分方程--第三章 一阶微分方程的解的存在定理(3.1-3.2)_OK

常微分方程--第三章 一阶微分方程的解的存在定理(3.1-3.2)_OK

x
L x0 1( ) 0 ( )d
L
x x0
M (
x0 )d
ML 2
(x
x0 )2
其中第二个不等式是由Lipschitz条件得到的,
由Lipschitz条件
17
设对于正整数n, 有不等式
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0
)n
,
则当x0 x x0 h时,由Lipschitz条件有
dy dx
f
(x, y), (3.1)
y(x0 ) y0
证明: 若y (x)为(3.1)的连续解,则
d ( x)
dx
f
( x, ( x)),
(x0 ) y0
对第一式从x0到x取定积分得
x

x (x) (x0 ) x0 f (x,(x))dx (x) y0 x0 f (x,(x))dx
x
f ( , ( )) f ( ,( )) d x0
x
x
L ( ) ( ) d L g( )d
x0
x0
令u(x) L
x
g( )d ,
x0
则u(x)是定义于[x0, x0 h]上连续可微函数,
且u(x0 ) 0,0 g(x) u(x), u'(x) Lg(x),于是
u(x) Lu(x), (u(x) Lu(x))eLx 0,
(4) (x)是积分方程(3.5)定义于[x0 h, x0 h]上连续解
且唯一.
9
下面分五个命题来证明定理,为此先给出
积分方程
如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.

3.1 一阶微分方程解的存在唯一性定理

3.1 一阶微分方程解的存在唯一性定理

第三章 一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路,掌握逐次逼近法,熟练近似解的误差估计式。

2. 了解解的延拓定理及延拓条件。

3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。

[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明,解对初值的连续性、可微性定理的证明。

[教学方法] 讲授,实践。

[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路,解的延拓概念及延拓条件,解对初值的连续性、可微性定理及其证明。

[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论,能用逐次逼近法解简单的问题。

2.熟练近似解的误差估计式,解对初值的连续性及可微性公式。

3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。

§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际,研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律,能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。

在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型,但是,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。

而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。

因此初值问题的研究就显得十分重要,从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。

他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性,而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位,是近代常微分方程定性理论,稳定性理论以及其他理论的基础。

例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一,易知0y =是方程过(0,0)的解,此外,容易验证,2y x =或更一般地,函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解,其中c 是满足01c <<的任一数。

解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题,它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。

解的存在唯一性定理

解的存在唯一性定理

一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法姜旭东摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理,Schauder 不动点定理,以及Euler 折线法,给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言微分方程来源于生活实际,研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。

在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理,Schauder 不动点定理,以及Euler 折线法,给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.考虑一阶微分方程 (,)dyf x y dx= (1.1)这里(,)f x y 是在矩形区域00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2)上的连续函数.函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件,即存在常数L >0,使得不等式1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3)对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。

定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件,则方程(1.1)存在唯一的解()y x ϕ=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件00()x y ϕ=这里min(,)bh a M=,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=.文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h≤≤+来讨论,对于00x h x x -≤≤的讨论完全一样.分五个命题来证明这个定理:命题1、设()y x ϕ=是方程(1.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初始条件00()x y ϕ=的解,则()y x ϕ=是积分方程0(,)xx y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然. 现在取00()x y ϕ=,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:0000100()()(,())x nn x x y x y f d x x x hϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰ (1.5)(n=1,2,…)命题2 、对于所有的n ,(1.5)中()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、且满足不等式0|()|n x y b ϕ-≤命题3 、函数序列{}()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 命题4 、()x ϕ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5 、()x ψ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ϕψ=,00x x x h ≤≤+.综合命题1—5,即得到存在唯一性定理.本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理,Schauder 不动点定理,以及Euler 折线法,给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.2、预备知识定义 2.1、 定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在数M >0,使得对任一f F ∈,都有()f t M ≤,当t αβ≤≤时,则称函数族F 在t αβ≤≤上是一致有界的.定义2.2 、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果对于任给的ε﹥0,总存在δ﹥0,使得对任一f F ∈和任意的12,[,]t t αβ∈,只要12|,|t t -<δ就有12()()f t f t -<ε则称函数族F 在 t αβ≤≤上是同等连续.定义2.3、设X 是度量空间,M 是X 中子集,若M 是X 中紧集,则称M 是X 中相对紧集。

【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理

【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理

第三章 一阶微分方程的解的存在定理例3-1 求方程22y x dxdy+= 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ,并求出h 的最大值,其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。

解 函数22),(y x y x f +=在整个平面上有意义,则在以原点为中心的任一闭矩形区域b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件,初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y yx dxdy 的解在],[h h -上存在唯一,其中)(max ),,min(22),(y x M Mba h D y x +==∈。

因为逐次逼近函数序列为⎰-+=xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10,此时,2200),(,0,0y x y x f y x +===,所以0)(0=x y ,⎰=+=xx dx x y x x y 0320213)]([)(,633)]([)(7032122x x dx x y x x y x+=+=⎰,⎰⎰+++=+=xxdxx x x x dx x y x x y 01410622223)396918929()]([)(5953520792633151173x x x x +++=。

现在求h 的最大值。

因为 ),,min(22ba ba h += 对任给的正数b a ,,ab b a 222≥+,上式中,当 b a = 时,22b a b+取得最大值aab b 212=。

此时,)21,min()2,min(a a ab b a h ==,当且仅当aa 21=,即22==b a 时,h 取得最大值为22。

评注:本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想(逐次逼近方法)的理解。

特别地,对其中的by a x D y x f M Mba h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),,min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列⎰-+=xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10的构造过程的理解。

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第三章 一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路,掌握逐次逼近法,熟练近似解的误差估计式。

2. 了解解的延拓定理及延拓条件。

3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。

[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明,解对初值的连续性、可微性定理的证明。

[教学方法] 讲授,实践。

[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路,解的延拓概念及延拓条件,解对初值的连续性、可微性定理及其证明。

[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论,能用逐次逼近法解简单的问题。

2.熟练近似解的误差估计式,解对初值的连续性及可微性公式。

3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。

§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际,研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律,能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。

在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型,但是,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。

而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。

因此初值问题的研究就显得十分重要,从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。

他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性,而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位,是近代常微分方程定性理论,稳定性理论以及其他理论的基础。

例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一,易知0y =是方程过(0,0)的解,此外,容易验证,2y x =或更一般地,函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解,其中c 是满足01c <<的任一数。

解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题,它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。

另外,由于能得到精确解的微分方程为数不多,微分方程的近似解法具有重要的意义,而解的存在唯一性是进行近似计算的前提,如果解本身不存在,而近似求解就失去意义;如果存在不唯一,不能确定所求的是哪个解。

而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。

1.存在性与唯一性定理: (1)显式一阶微分方程),(y x f dxdy= (3.1)这里),(y x f 是在矩形域:00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (3.2)上连续。

定理1:如果函数),(y x f 满足以下条件:1)在R 上连续:2)在R 上关于变量y 满足李普希兹(Lipschitz )条件,即存在常数0L >,使对于R 上任何一对点1(,)x y ,2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立,则方程(3.1)存在唯一的解()y x ϕ=,在区间0||x x h -≤上连续,而且满足初始条件00()x y ϕ= (3.3)其中,min(,),max (,)x y R bh a M f x y M∈==,L 称为Lipschitz 常数.思路:1) 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 00(,)xx y y f x y dx =+⎰的连续解。

2) 构造近似解函数列{()}n x ϕ任取一个连续函数0()x ϕ,使得00|()|x y b ϕ-≤,替代上述积分方程右端的y ,得到100()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果10()()x x ϕϕ≡,那么0()x ϕ是积分方程的解,否则,又用1()x ϕ替代积分方程右端的y ,得到 0201()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果21()()x x ϕϕ≡,那么1()x ϕ是积分方程的解,否则,继续进行,得到 001()(,())xn n x x y f x x dx ϕϕ-=+⎰(3.4) 于是得到函数序列{()}n x ϕ.3) 函数序列{()}n x ϕ在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ϕ,即 lim ()()n n x x ϕϕ→∞=存在,对(3.4)取极限,得到00010lim ()lim (,()) =(,())xn n x n n xx x y f x x dxy f x x dx ϕϕϕ-→∞→∞=++⎰⎰即00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰.4) ()x φ是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰在00[,]x h x h -+上的连续解.这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理. 为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似. 命题1 设()y x ϕ=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件00()x y ϕ= (3.3) 的解,则()y x ϕ=是积分方程 00(,)xx y y f x y dx =+⎰00x x x h ≤≤+ (3.5)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.证明 因为()y x ϕ=是方程(3.1)满足00()x y ϕ=的解,于是有()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边取0x 到x 的积分得到 00()()(,())xx x x f x x dx ϕϕϕ-=⎰00x x x h ≤≤+即有00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰00x x x h ≤≤+所以()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.反之,如果()y x ϕ=是积分方程(3.5)上的连续解,则00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰ 00x x x h ≤≤+ (3.6)由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ϕ连续,两边对x 求导,可得()(,())d x f x x dxϕϕ= 而且 00()x y ϕ=,故()y x ϕ=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ϕ=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ϕ.0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰(1,2,)n = (3.7)命题2 对于所有的n ,(3.6)中的函数()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义,连续且满足不等式 0|()|n x y b ϕ-≤ (3.8) 证明 用数学归纳法证明 当1n =时,0100()(,)xx x y f y d ϕξξ=+⎰,显然1()x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且有10000|()||(,)||(,)|()xxx x x y f y d f y d M x x Mh b ϕξξξξ-=≤≤-≤≤⎰⎰即命题成立.假设n k =命题2成立,也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 0|()|k x y b ϕ-≤ 当1n k =+时,10()(,())xk k x x y f dx ϕξϕξ+=+⎰由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上连续,于是得知1()k x ϕ+在00x x x h ≤≤+上有定义、连续,而且有100|()||(,())|()xk k x x y f d M x x Mh b ϕξϕξξ+-≤≤-≤≤⎰即命题2对1n k =+时也成立.由数学归纳法知对所有的n 均成立.命题3 函数序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.记lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,00x x x h ≤≤+证明 构造函数项级数 011()[()()]kk k x x x ϕϕϕ∞-=+-∑ 00x x x h ≤≤+ (3.9)它的部分和为011()()[()()]()nn kk n k S x x x x x ϕϕϕϕ-==+-=∑于是{()}n x ϕ的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此,对级数(3.9)的通项进行估计.1000|()()||(,())|()xx x x f d M x x ϕϕξϕξξ-≤≤-⎰ (3.10)2110|()()||(,())(,())|xx x x f f d ϕϕξϕξξϕξξ-≤-⎰由Lipschitz 条件得知2110020|()()||()()|ξ() ()2!xx xx x x L d L M x d MLx x ϕϕϕξϕξξξ-≤-≤-≤-⎰⎰设对于正整数n ,有不等式110|()()|() !n n n n ML x x x x n ϕϕ---≤- 成立,则由Lipschitz 条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有0111010|()()||(,())(,())| |()()|ξ() !()(+1)!xn n n n x xn n x n x nx nn x x f f d L d ML x d n ML x x n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ+--+-≤-≤-≤-≤-⎰⎰⎰于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k ,有1110|()()|() !!k k kk k k ML ML x x x x h k k ϕϕ----≤-≤ 00x x x h ≤≤+ (3.11)由正项级数11!kK k h MLk ∞-=∑ 的收敛性,利用Weierstrass 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+上一致收敛.因而序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛. 设lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,则()x ϕ也在00x x x h ≤≤+上连续,且0|()|x y b ϕ-≤命题4 ()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.证明 由Lipschitz 条件|(,())(,())||()()|n n f x x f x x L x x ϕϕϕϕ-≤-以及{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ϕ,可知(,())n f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于(,())f x x ϕ.因此000101lim ()lim (,())=lim (,())xn n x n n xn x n x y f d y f d ϕξϕξξξϕξξ-→∞→∞-→∞=++⎰⎰即 00()(,()) xn x x y f d ϕξϕξξ=+⎰故()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.命题 5 设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ϕψ≡,00x x x h ≤≤+.证明 设()|()()|g x x x ϕψ=-,则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数,由于 00()(,()) xx x y f d ϕξϕξξ=+⎰0()(,()) xx x y f d ψξψξξ=+⎰而且(,)f x y 满足Lipschitz 条件,可得()|()()||[(,())(,())]||(,())(,())| |()()|()xx xx xxx x g x x x f f d f f d L d L g d ϕψξϕξξψξξξϕξξψξξϕξψξξξξ=-=-≤-≤-=⎰⎰⎰⎰令0()()xx u x Lg d ξξ=⎰,则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =,0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=,()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,即(())0Lxu x e-'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 00()()0Lx Lx u x e u x e --≤=故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.对定理说明几点:(1)存在唯一性定理中min(,)bh a M=的几何意义.在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ϕ=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线. 当b M a ≤时,即b a M ≤,(如图(a)所示),解()y x ϕ=在00x a x x a -≤≤+上有定义;当b M a≥时,即ba M≤,(如图(b)所示),不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有定义,它有可能在区间内就跑到矩形R 外去,只有当00b bx x x M M -≤≤+才能保证解()y x ϕ=在R 内,故要求解的存在范围是 0||x x h -≤.(2)、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的,而我们能够用一个较强的,但却易于验证的条件来代替他,即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('y x f y 存在并有界,即'(,)y f x y L ≤,则李普希兹条件条件成立. 事实上212121212(,())|(,)(,)|||||||f x y y y f x y f x y y y y L y y θ∂+--=-∂≤-这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<. 如果),('y x f y 在R 上连续,它在R 上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数(,)||f x y y =在任何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数. (3)、设方程(3.1)是线性的,即方程为()()dyP x y Q x dx=+ 易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续.实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步逼近函数序列{()}n x ϕ时,要求它不越出矩形域R ,此时,右端函数对y 没有任何限制,只要取0[,]max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+.(4)、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件,而非必要条件. 例如 试证方程0 =0ln || 0 y dy y y dx y ≠⎧=⎨⎩经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在0y ≠上连续,因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在的.又由 ln ||dyy y dx= 可得方程的通解为xce y e=±,其中xce y e=为上半平面的通解,xce y e=-为下半平面的通解,它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解,因此对x 轴上的任一点0(,0)x ,只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 但是|(,)(,0)||ln ||||ln |||||f x y f x y y y y -== 因为0lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得|(,)(,0)|||f x y f x L y -≤所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.此题说明Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件,而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程(,,)0F x y y '= (3.12)由隐函数存在定理,若在000(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0Fy ∂≠'∂,则必可把y 唯一地表为,x y 的函数(,)y f x y '= (3.13)并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足000(,)y f x y '= 如果F 关于所有变元存在连续的偏导数,则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,并且/f F F y y y ∂∂∂=-'∂∂∂ (3.14) 显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2 如果在点000(,,)x y y '的某一邻域中: ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续,且存在连续的偏导数;ⅱ)000(,,)0F x y y '= ⅲ)000(,,)0F x y y y '∂≠'∂则方程(3.12)存在唯一的解0() || y y x x x h =-≤(h 为足够小的正数) 满足初始条件0000(), ()y x y y x y ''== (3.15)1、 近似计算和误差估计求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰对方程的第n 次近似解()n x ϕ和真正解()x ϕ在0||x x h -≤内的误差估计式1|()()|(1)!n n n ML x x h n ϕϕ+-≤+ (3.16)此式可用数学归纳法证明. 000|()()||(,())|()xx x x f d M x x Mh ϕϕξϕξξ-≤≤-≤⎰设有不等式1110|()()|() !!n n nn n ML ML x x x x h n n ϕϕ----≤-≤ 成立,则0110110|()()||(,())(,())| |()()|ξ()! ()(+1)!(+1)!xn n x xn x n x nx n n n n x x f f d L d ML x d n ML ML x x hn n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ--++-≤-≤-≤-≤-≤⎰⎰⎰ 例1 讨论初值问题22dyx y dx=+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,:11,11R x y -≤≤-≤≤.解 (,)1max |(,|2,1,1,min{,}2x y Rb M f x y a b h a M ∈======,由于|||2|2f y L y ∂=≤=∂,根据误差估计式(3.16)11|()()|0.05(1)!(1)!n n n ML x x h n n ϕϕ+-≤=<++ 可知3n =.于是 0()0x ϕ=322100()[()]3xx x x x dx ϕϕ=+=⎰3722210()[()]363xx x x x x dx ϕϕ=+=+⎰37111522320()[()]363207959535xx x x x x x x dx ϕϕ=+=+++⎰3()x ϕ就是所求的近似解,在区间1122x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05.。

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