3.1 一阶微分方程解的存在唯一性定理

第三章 一阶微分方程解的存在定理

[教学目标]

1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。

2. 了解解的延拓定理及延拓条件。

3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。

[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时

[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标]

1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。

2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。

3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。

§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法

微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。

例如方程

dy

dx

=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2

y x =或更一般地，函数

2

0 0() c<1x c

y x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩

都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。

解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性

和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。

1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程

),(y x f dx

dy

= （3.1）

这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）

上连续。

定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式

1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ϕ=，在区间0||x x h -≤上

连续，而且满足初始条件

00()x y ϕ= （3.3）

其中,min(,

),max (,)x y R b

h a M f x y M

∈==,L 称为Lipschitz 常数.

思路：

1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 0

0(,)x

x y y f x y dx =+⎰

的连续解。

2） 构造近似解函数列{()}n x ϕ

任取一个连续函数0()x ϕ，使得00|()|x y b ϕ-≤，替代上述积分方程右端的

y ，得到

100()(,())x

x x y f x x dx ϕϕ=+

⎰

如果10()()x x ϕϕ≡，那么0()x ϕ是积分方程的解，否则，又用1()x ϕ替代积分方程右端的y ，得到 0

201()(,())x

x x y f x x dx ϕϕ=+

⎰

如果21()()x x ϕϕ≡，那么1()x ϕ是积分方程的解，否则，继续进行，得到 0

01()(,())x

n n x x y f x x dx ϕϕ-=+⎰

（3.4） 于是得到函数序列{()}n x ϕ.

3） 函数序列{()}n x ϕ在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ϕ，即 lim ()()

n n x x ϕϕ→∞

=

存在，对(3.4)取极限,得到

00

010lim ()lim (,()) =(,())

x

n n x n n x

x x y f x x dx

y f x x dx ϕϕϕ-→∞

→∞=++⎰⎰

即0

0()(,())x

x x y f x x dx ϕϕ=+

⎰

.

4) ()x φ是积分方程0

0(,)x

x y y f x y dx =+

⎰

在00[,]x h x h -+上的连续解.

这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理. 为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似. 命题1 设()y x ϕ=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件

00()x y ϕ= （3.3） 的解,则()y x ϕ=是积分方程 0

0(,)x

x y y f x y dx =+

⎰

00x x x h ≤≤+ (3.5)

的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.

证明 因为()y x ϕ=是方程(3.1)满足00()x y ϕ=的解,于是有

()

(,())d x f x x dx

ϕϕ= 两边取0x 到x 的积分得到 0

0()()(,())x

x x x f x x dx ϕϕϕ-=⎰

00x x x h ≤≤+

即有0

0()(,())x

x x y f x x dx ϕϕ=+

⎰

00x x x h ≤≤+

所以()y x ϕ=是积分方程0

0(,)x

x y y f x y dx =+

⎰

定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.

反之,如果()y x ϕ=是积分方程(3.5)上的连续解,则

00()(,())x

x x y f x x dx ϕϕ=+⎰ 00x x x h ≤≤+ （3.6）

由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ϕ连续,两边对x 求导,可得

()

(,())d x f x x dx

ϕϕ= 而且 00()x y ϕ=,

故()y x ϕ=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ϕ=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ϕ.

0000100()()(,()) x n

n x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪

⎨=+≤≤+⎪⎩⎰(1,2,)n = （3.7）