唯一性定理
唯一性定理
唯一性定理蒋文佼（080320124）宋宝璋（080320125）夏世宇 (080320126) 李宝平 (080320127) 章文显 (080320129) 常 悦 (080320130) 1、试用唯一性定理证明：封闭导体壳内部的电场不受壳外电荷（包括壳外表面）的影响。
证：导体壳无论是用电势还是用总电量给定，壳的内外一般存在着四部分电荷。
如图所示，壳内外的电荷分布分别为 ρ 和 ρe ，壳内、外表面1S 、2S 上各自的面电荷分布为σ 和 σe 。
壳内外的场是这四部分电荷共同激发的。
根据定理，首先写出壳内空间电势应满足的条件：（一） 2ρϕε∇=- ，ρ 为壳内电荷分布。
（二）壳内表面1S 上的边界条件是：2S 上的总电量 1s dS q σ=-⎰（1）其中 Vq dV ρ=⎰ 是壳内的总电量，V 是壳内区域的体积。
在壳层内作一高斯面 0S 后（如图中虚线所示），用高斯定理很容易证明（1）成立。
因此在给定ρ 布后，1S 上边界条件也已经给定为q - ，和导体壳本身是有电势还是用总电量给定无关。
根据唯一性定理，满足（一）、（二）的ϕ 就是解。
由于（一）e和（二）与壳外的ρe 和 σρ 的电势并不唯一，可以差一个常数。
当然当壳用电势 0φ 给定时，1S 上的边界条件就是10|S ϕφ= 。
所以壳内不但电场唯一，而且电势也是唯一。
2．如图，有一电势为0φ的导体球壳，球心有一点电荷q ，球壳内外半径分别为2R 和1R 。
试用唯一性定理： （一）判断0R φ是否球壳外空间的电势分布。
（二）求球壳内空间的电势分布解：（一）首先必须找出球内外电势应满足的条件，他们是：（a ）20∇ϕ=（b ）球壳外表面1S 上的边界条件，10s ϕ=φ （c ）无穷远边界条件,0R →∞ϕ→若R φ是解，根据唯一性定理，它必须满足以上三个条件。
下面来检验：220010R Rφ∇=φ∇= (0),R ≠Q 方程已满足。
0,0,R Rφ→∞→ 满足（c ）。
电动力学二二(唯一性定理)
对所有分 区Vi求和 在均匀 区界面
i
Si
2 i dS i dV
Vi
S S S 0
dSi dS j
6
内部边界积分相互抵亦为零
而右边被积函数i()2 0。上式成立的条件 是在V内各点上都有=0 ，即在V内，
一、静电问题的唯一性定理
区域V可以分为若干个均匀区域Vi，每 一均匀区域的电容率为i 。设V内有给 定的电荷分布(x) 。电势φ在均匀区域 Vi内满足泊松方程
i
2
1
在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系
i j ,
i j . n i n j
此解满足唯 一性定理的 所有条件， 因此是唯一 正确的解。
注意导体两半球上的面电荷分布是 不同的，但E却保持球对称性。
20
虽然E仍保持球对称性，但是D和导体面 上的电荷面密度σ不具有球对称性。
设内导体半径为a，则球面上的电 荷面密度为
1Q 1 D1r 1 E1r , (Le ft) 2 2 ( 1 2 )a 2Q 2 D2 r 2 E 2 r , (Right) 2 2 ( 1 2 )a
第二类型：设区域V内有一些导体，给定导体 之外的电荷分布 ，给定各导体上的总电荷Qi 以及V的边界S上的 或/n 值，则V内的电 场唯一地确定。
10
也就是说，存在唯一的解，
它在导体以外满 足泊松方程 在第i个导体上满 足总电荷条件 和等势面条件
i
2
Si
Qi dS n
除此之外，要完全确定V内的电 场，还必须给出V的外边界S上的 一些条件。
关于静电场唯一性定理的讨论
关于静电场唯一性定理的讨论
静电场唯一性定理是物理学中一个重要的定理，它规定了一个静电场的特性，即在一个静电场中，任意一点的电场强度只能由一个确定的值确定。
它是由德国物理学家卡尔·冯·诺依曼提
出的，他在1914年的一篇论文中提出了这一定理。
该定理表明，在一个静电场中，任何一点的电场强度都可以由一个唯一的值来确定，这个唯一的值是由该点的电荷量和距离决定的。
这意味着，在一个静电场中，任何一点的电场强度都是可以由一个唯一的值来确定的，而不会受到其他因素的影响。
该定理在现代物理学中得到了广泛的应用，它可以用来解释电磁学中的许多现象，也可以用来描述物理系统中的电场分布。
此外，它还可以用来解释电磁辐射的传播机制，以及电路中的电流分布情况。
唯一性定理
唯一性定理唯一性定理是数学中的重要定理之一，它指出了在某些条件下，特定类型的方程或问题只有唯一解。
唯一性定理最经典的形式是微分方程的唯一性定理，它在微积分和微分方程的研究中占据重要的地位。
微分方程是描述自然现象和物理规律的重要工具，通过对微分方程的求解，可以得到问题的解析解，从而更好地理解和预测现象。
然而，并不是所有的微分方程都能够得到解析解，有些方程可能只能通过数值方法进行求解。
因此，唯一性定理提供了一种重要的判据，用于确定方程是否有唯一解。
在微分方程的唯一性定理中，通常需要满足连续性和局部利普希茨条件。
连续性要求方程中的函数在某个区域内是连续的，这是非常基本的要求，因为连续性是数学分析中的重要概念。
局部利普希茨条件则要求方程中的函数在一定范围内具有有界的导数，这个条件保证了方程的解在某个区间内是唯一的。
微分方程的唯一性定理可以通过三个步骤来证明。
首先，需要利用泰勒级数展开将微分方程转化为一个无穷级数。
其次，需要证明无穷级数的解存在且唯一。
最后，通过局部利普希茨条件和连续性条件，得到解的存在范围。
除了微分方程的唯一性定理，数学中还有一些其他类型问题的唯一性定理。
例如，线性代数中的矩阵方程的唯一性定理，数论中的素因数分解的唯一性定理等等。
这些定理都有一个共同点，即在满足一定条件下，问题的解是唯一的。
唯一性定理在数学研究和应用中有着广泛的应用。
通过这些定理，我们可以确定问题是否存在唯一解，从而帮助我们深入研究和理解问题。
唯一性定理也经常被用于证明其他定理，深化了我们对数学的认识和理解。
总之，唯一性定理是数学中的一类重要定理，它指出了在满足特定条件下，方程或问题具有唯一解的情况。
微分方程的唯一性定理是其中最经典和重要的定理之一，它在微积分和微分方程的研究中扮演着重要的角色。
唯一性定理的应用广泛，帮助我们理解和解决各种数学问题，并进一步推动数学的发展。
唯一性定理除了在微分方程中应用广泛，还在其他数学领域中有重要的应用。
实数六大基本定理
实数的六大基本定理是指以下六个关于实数的重要数学定理：
实数存在性定理（Completeness Axiom）：实数集合是一个完备的数学对象，它满足实数序列的收敛性和有界性，即实数集合中的任意非空有上界的子集都有最小上界。
实数唯一性定理：实数具有唯一性，即在实数集合中不存在两个不同的数值对应于同一数。
实数无理数定理：实数中存在无理数，即不能表示为两个整数的比例形式的实数，如根号2和圆周率π。
实数有理数定理：实数中存在有理数，即可以表示为两个整数的比例形式的实数，如整数和分数。
实数连续性定理：实数集合是连续的，即对于任意两个实数a和b（a < b），在它们之间存在无限多个实数。
实数的稠密性定理：实数集合中的有理数和无理数是稠密分布的，即在实数集合中的任意两个不同实数之间，总存在一个有理数或一个无理数。
这些基本定理在实数的理论和应用中起着重要的作用，它们为实数的性质和运算提供了基础和保障。
这些定理是由数学家们在研究和探索实数的性质中发现和证明的重要结果。
唯一性定理
唯一性定理
二、唯一性定理
1．均匀单一介质
若V边界上 区域内 分布已知， 满足
2
S 已知，或V边界上
n
已知，则 V 内场（ 两个解1
1
2
在边界上
令
1 S
2 1 2 S S
2
2 ，有
2 n
n S
n
S
S
1 2
2 21 2 2 0
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（1）若给定的是第一类边值关系 S 0
即常数为零。1 2 电场唯一确定且 电势也是唯一确定的。
n
S
（2）若给定的是第二类边值关系
R A 3 0 3 R R R 满足 2 0 ， R R 0
A
A 导体表面电荷 Q已知，电场唯一确定。设 B R A R
( R a)
B0
在导体边界上
Q S R
A A4a 2 dS 2 dS A4 2 S R a R a
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0
1 2 常数，1 , 2 相差一个常数， 虽不唯一，但电场 E 是唯一确定的。
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2. 带电荷Q 的半径为a 的导体球放在均匀无限大介 质中，求空间电势分布。 解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。 假定电场也具有球对称性，则电势坐标与 , 无关。 因电荷分布在有限区，外边界条件 0
静电场边值问题唯一性定理
场分布。
02
指导数值计算
在数值计算中，唯一性定理为我们提供了判断计算结果正确性的依据。
如果计算结果不满足唯一性定理，则说明计算过程中存在错误或近似方
法不够精确。
03
简化问题求解
在某些情况下，唯一性定理可以帮助我们简化问题的求解过程。例如，
在某些对称性问题中，我们可以利用唯一性定理直接得出部分解或特殊
01 02 03
深入研究复杂边界条件下的静电场边值问题
目前的研究主要集中在简单边界条件下的问题，对于复杂 边界条件的研究相对较少。未来可以进一步探讨复杂边界 条件下的静电场边值问题，为实际应用提供更广泛的理论 支持。
发展高效稳定的数值计算方法
尽管现有的数值计算方法已经取得了显著的进展，但在处 理大规模、高维度问题时仍面临挑战。未来可以致力于发 展更高效稳定的数值计算方法，以应对日益复杂的实际问 题。
导体表面的电荷分布
导体表面电荷分布的特点
在静电平衡状态下，导体表面电荷分布是不 均匀的，电荷密度与导体表面的曲率有关， 曲率越大电荷密度越大。
导体表面电荷与电场的关系
导体表面电荷产生的电场与导体内部电荷产生的电 场相互抵消，使得导体内部电场为零。
导体表面电荷分布的求解 方法
可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到 导体表面的电荷分布。
数值计算方法的改进
针对静电场边值问题的求解，提出了一系列高效的数值计算方法，如有限元法、有限差分法等，这些方法在保持计算 精度的同时，显著提高了计算效率。
实际应用领域的拓展
将静电场边值问题唯一性定理应用于多个实际领域，如电子工程、生物医学等，成功解决了一系列具有 挑战性的实际问题。
对未来研究的展望
解，从而简化计算过程。
存在性与唯一性定理在微积分中的应用
存在性与唯一性定理在微积分中的应用微积分是一门关于变化和积分的数学学科，它主要研究函数的导数、积分以及它们之间的关系。
在微积分学习中，存在性与唯一性定理是一项关键内容，它为我们提供了一些非常有用的工具和技巧，可以帮助我们解决一些微积分问题。
在本文中，我们将深入探讨存在性与唯一性定理在微积分中的应用及其意义。
一、存在性与唯一性定理的定义存在性与唯一性定理是微积分中非常重要的一个概念。
简单来说，存在性定理告诉我们是否存在某种解决方案，而唯一性定理则告诉我们这个解决方案是否唯一。
这两个定理通常被使用于解决微积分中的极值问题和微分方程问题。
二、1. 极值问题在微积分中，极值问题是一个非常重要的问题。
极值问题的本质是在一段区间中寻找函数的最大值和最小值。
在这个过程中，我们需要确保区间内的函数是连续的，并且它的导数存在。
如果函数在某一点处的导数为零，则在这个点处可能会出现一个局部最大值或局部最小值。
这个点就是函数的一个驻点。
在这个问题中，存在性定理告诉我们是否存在驻点，而唯一性定理则告诉我们这个驻点是否唯一。
2. 微分方程问题微分方程是微积分中最重要的一种应用，它描述了自然现象的各种变化。
微分方程的解可以帮助我们预测天气、交通流量、货币流动等等。
在微积分中，我们通常研究的是一阶微分方程，它的一般形式为dy/dx=f(x,y)。
确定微分方程的因变量是解决方程的第一步，而存在性与唯一性定理则可以告诉我们解决方案是否存在，以及这个解决方案是否唯一。
三、存在性与唯一性定理的意义存在性与唯一性定理在微积分中的意义非常重要。
首先，它可以告诉我们问题是否有解，如果存在解决方案，则我们可以继续解决这个问题。
其次，存在性与唯一性定理可以告诉我们这个解决方案是否唯一，如果解决方案唯一，则我们可以得出相对准确的结论。
最后，存在性与唯一性定理可以在微积分问题解决的过程中，帮助我们规避错误的解决方法和步骤，从而更快更准确地解决问题。
电动力学uniquenesstheorem唯一性定理完全解读
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 , 2 , 2 0
i
i
在区域边界面S 上
S
S
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
n S n S
0
n S
(给定第二类边界条件)
下面需要证明旳是,满足以上方程和边界条件旳'和
1) 绝缘介质静电问题旳唯一性定理及证明 在有限旳边界区域V 内有几种均匀旳绝缘介质Vi 、εi
(i = 1、2、3 …) ，V 中旳自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那
么，当V 旳边界面S 上旳电势 给 定(或电势旳法向导数边
界条件) ，则V 内旳电场有唯一拟定旳解。
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
V′旳全部内、外表面上都有一定旳值或 值，应用有关绝缘介
质旳唯一性定理，则V′内旳电场必有唯一解. n
b）区域V 内有若干导体,假设除导体以外旳区域V′内旳自由电荷分
布ρ已知，V′旳外表面S 上有已知旳值或 值，另外，若每个导
n 体所带旳总电量Qi 为已知，则区域V′内旳电场有唯一解。
数学表达为:
场有唯一解。这么，有导体存在时静电问题旳唯一性定理 也得到证明。
最终需要强调一点,尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程旳详细措 施与环节,但它对于处理实际旳边值问题有着主要旳意义. 首先,它明 确了在哪些条件下能够唯一地拟定一种静电场,即给出了求解静电场 旳根据;其次,它使我们能够灵活地选用最简朴、最合适旳解题措施, 甚至能够猜一种解(即提出尝试解) . 只要这个解确实满足了问题中 旳场方程和全部定解条件,那么,根据唯一性定理我们就能够肯 定地说,它就是该问题中旳唯一正确旳解.
隐函数存在的唯一性定理
隐函数的存在性和唯一性定理指出，如果函数f(x, y)满足某些条件，则存在一个唯一函数y = g(x)，该函数满足特定区间内x所有值的方程f(x, y) = 0。
这个定理通常用于以f(x, y) = 0的形式找到方程的解，其中y不是显式给出为x的函数，而是由方程隐式定义的。
要使用存在性和唯一性定理，您必须首先确定该定理成立所需的条件是否满足。
这些条件是：
1 f(x, y)在xy平面的某个区域R是连续的。
2 f相对于y的偏导数，表示为fy，存在并在R中是连续的。
3 对于R中的所有点，f（x，y）并不等于0。
如果满足这些条件，那么存在性和唯一性定理保证存在一个唯一函数y = g(x)，该函数满足特定区间I中所有x的方程f(x, y) = 0。
区间I被定义为所有x值的集合，其中存在至少一个满足方程f(x, y) = 0的相应y值。
要找到函数y = g(x)，您可以使用牛顿法或两节法等数值方法。
这些方法可用于迭代近似方程f(x, y) = 0的解，只要满足存在条件和唯一性定理，它们就保证收敛到唯一解。
1.6亥姆霍兹定理
（通量源密度）
（旋涡源密度）
由于矢量场的分布由源决定，因此当矢量场的散度和旋度已知时， 矢量场也就唯一地确定了，故将矢量场的散度和旋度称为矢量场的基 本方程。
基本方程的积分形式
已知
s c
F d S ( F )dV dV
( A) 0
Fc A
任一无散场(Fc)可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度 场一定是无散场。
（6）任一矢量场F可表示为一个无旋场Fd和一个无散场Fc之和，即
F Fd Fc A
对上式分别求散度和旋度：
F (Fd Fc ) Fd
F Fd Fc φ A
问：①哪个函数可以由一个标量函数的梯度表示？哪个函数可以由一个 矢量函数的旋度表示？②求这些矢量的源分布。
【解】： ①因为 A 0所以 A 为无旋场，可由一个标量场的梯度表示。
因为 B 0 所以 B 为无源场，可由一个矢量场的旋度表示。 ② A 的旋涡源为零，只有通量源。且
A
第一章 矢量分析
1.6 亥姆霍兹定理
主要内容
亥姆霍兹定理（唯一性定理）
学习目的
了解亥姆霍兹定理的意义
定理：
若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在 有限空间区域V中，则矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一地确定。
边界条件指包围体积V的闭合曲面S上矢量场的切向分量和法线分量。
1 1 A Az (rAr ) 2r sin r r r z
B 的通量源为零，只有旋涡源。且
J B (2x 6 y)ez
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它有助于我们理解电场，研究电磁场，有助于研究一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论的发展。
它指出，当电场的空间和时间的变化都可以完全确定时，其静态状态就是唯一的。
在实际应用中，它为解决复杂的电力电子、光电子和微电子学问题提供了有力的理论支持。
静电场唯一性定理是由19世纪90年代著名物理学家雷诺兹等提出的。
他们提出，电场的动量和能量有相应的定律，可以用来描述其变化，不论是在空间上还是时间上都是这样。
根据它们提出的新定律，假设电场的状态完全确定，不论是在空间上还是时间上，其静态状态都是唯一的。
结合泰勒到的变分原理，可以证明静电场唯一性定理的有效性。
当电场的状态完全确定时，可以用变分原理来证明它的静态态一定是唯一的，这就是静电场唯一性定理的关键性证明过程。
除了可以用于研究电场外，静电场唯一性定理也可以用于研究重力场。
由于重力场是空间和时间变量关系的最简单形式，可以用静电场唯一性定理来分析它，并且可以证明重力场也是唯一的。
总之，静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它对研究电场、重力场以及一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论都有着重要的意义。
通过它，我们可以更加有效率地研究和分析物理现象，从而不断地拓展物理知识面，并进一步深入地研究物理本质。
- 1 -。
唯一性定理
则 1 2
n n n
即
1 2 0
则
n ( )dV
n
n
ds 0
V
S n
S曲面内 0 C
S曲面上
0
n
S曲面上
2019/11/18
6
故
( )2dV
ds
0
V
S
n
即 0 S曲面内 C(常数)
S曲面上 0
C 0
故在S曲面内，其解是唯一的。 1 2
2019/11/18
5
第二章 2.7
2.
n
f2 (s)
二类边值问题
仍然采用反证法证明.设有两个解满足拉氏方程.
边值问题:
第二章 2.7
1.
给定边界上的电位函数,即已
知
f1(s)
s
，
S为边界 上的点。(狄里克利边界条件)
2. 给定边界上的电位函数的法向导数,即已知
n
f 2(s) 。（牛曼边界条件）
1
3. 边界 1 2 ，即已知
2
2019/11/18
1
2
拉普拉斯方程
泊松方程
2019/11/18
2
第二章 2.7
见书218面，
由格林第一恒等式：对任意标量函数
(2
V
)dV
s
n
ds
令 则
(2
ds
n
2019/11/18
电动力学Chapter22(唯一性定理)
在未来研究中的应用和价值
唯一性定理在理论物理、应用物理、工程物理等领域具有 广泛的应用价值。随着科学技术的发展，新的问题和现象 不断涌现，唯一性定理的应用范围也将不断扩大。
在未来研究中，唯一性定理的价值不仅在于其解决具体问 题的实用性，更在于其对物理学理论发展的推动作用。通 过对唯一性定理的研究和应用，可以加深对物理学基本规 律和原理的理解，促进物理学理论的创新和发展。
通过应用唯一性定理，可以确定电磁波的传播方向、幅度和相位，以及在不同介质 中的反射和折射特性。
唯一性定理在雷达、通信和光学等领域有着广泛的应用，对于电磁波的传播特性和 应用具有重要意义。
在量子力学中的应用
在量子力学中，唯一性定理用于 描述微观粒子的行为和相互作用，
特别是在处理薛定谔方程时。
通过应用唯一性定理，可以确定 微观粒子的波函数和能量状态， 以及它们之间的相互作用和演化。
唯一性定理在量子计算、量子通 信和量子信息等领域有着广泛的 应用，对于理解微观世界的本质
和规律具有重要意义。
04 唯一性定理的推广和展望
推广到多维空间
在多维空间中，唯一性定理的应用更为广泛，可以解决更为 复杂的物理问题。例如，在电磁场理论中，可以将唯一性定 理应用于高维空间中的电荷分布和电流密度，以确定电磁场 的性质和行为。
在多维空间中，唯一性定理的证明过程需要更复杂的数学工 具和技巧，但其实质仍然是基于电荷守恒和麦克斯韦方程组 的性质。
与其他物理定理的联系
唯一性定理与能量守恒定理、动量守恒定理等基本物理定理密切相关。这些定理 在描述物理现象时具有普适性和基础性，而唯一性定理则是解决具体问题的有力 工具。
在某些情况下，唯一性定理的证明和应用需要借助其他物理定理，如能量动量张 量定理、哈密顿原理等。这些定理在理论物理中具有重要地位，相互联系、相互 支持，共同构建了物理学理论的完整体系。
常微分方程3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法
x0
则u(x)是定义于[x0, x0 h]上连续可微函数 ,
且u(x0 ) 0,0 g(x) u(x), u' (x) Lg (x), 于是
u' (x) Lu(x), (u' (x) Lu(x))eLx 0,
2024/6/13
常微分方程
0 g(x) u(x)
(u'(x) Lu(x))eLx 0,
证明: 设g(x) (x) (x) ,
则g(x)是定义于[x0, x0 h]上非负连续函数 ,
由(x) y0
x
x0 f (,( ))d (x) y0
x x0
f (, ( ))d
及f (x, y)的Lipschitz条件得
x
x
g(x) (x) (x) f (, ( ))d f (,( ))d
x
y0
x0
lim
n
f
(,n1( ))d
即
x
(x)
y0
f (,( ))d
x0
故(x)是积分方程 (3.5)定义于[x0, x0 h]上连续解.
2024/6/13
常微分方程
命题5 设 (x)是积分方程(3.5)定义于[x0, x0 h]上的 一个连续解,则(x) (x), x [x0, x0 h].
x0
x0
2024/6/13
x
( f (, ( )) f (,( )))d x0 常微分方程
x
g(x) ( f (, ( )) f (,( )))d x0
x
f (, ( )) f (,())d x0
x
x
L ( ) ( )d L g( )d
x0
x0
数列极限的性质
并且 r ≤ s , ak , bk 都是与无关的数 , a0 , b0都不为 0
6.运算性质 运算性质
定理6 定理 设
Α
是非空有上界数集 ，且 且
c = supΑ
推论
设
Α
是非空有界集 ， = supΑ Α ，则 c
n →∞
存在互不相同的数列， 存在互不相同的数列，{a n }(a n ∈ A) 使得 lim a n = c
且
N
当n > N 时，有 x n
推论 对一切正整数
n→∞
lim xn = x ，则
n ，x n > 0 (或xn < 0) x ≥ 0 (或x < 0)
5.运算性质 运算性质
lim 定理5 定理 若 n →∞ a n = a ， lim bn = b ，则 n →∞
1） ） 2） ） 3） ）
lim (a n ± bn ) = lim a n ± lim bn = a ± b
3.有界性 有界性
定义 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自
然数 n, 恒有 x n ≤ M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 例如 数列 x n = ; 有界 数列 x n = 2 n .无界 n+1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
n →∞ n →∞ n →∞
lim ( ka n ) = k lim a n = ka 其中k为常数
liman bn = liman limbn = a b
n→∞ n→∞ n→∞
n →∞
n →∞
n →∞
4） lim a n = a ）
第二章第二节 唯一性定理
ϕi ' = ϕ j '
∂ϕ j ' ∂ϕ i ' εi =εj ∂n ∂n
ϕi ' ' = ϕ j ' '
∂ϕ j ' ' ∂ϕ i ' ' εi =εj ∂n ∂n
Vj
因此，在介质分界面上， 因此，在介质分界面上，ϕ也满足
Vi
ϕi = ϕ j
∂ϕ j ∂ϕ i εi =εj ∂n ∂n
——（2.5）
运用唯一性定理讨论几个问题
例一： 例一：有一个中性的导体球壳 A，在此球壳内放 置一带电体 M，其荷电为 Q。证明： 1) 球壳外的电场只与 Q有关， 与 M在球壳内的位置无关； 2) 球壳 A的外表面上的电荷为 均匀分布，与 M在球壳内的 位置无关。
S
M
证明： 证明： 所研究的区域为球壳外的区域， 其界面为 S∞ 和 S 。 边界 S∞ 上的电势为零； 而对于界面S，由于感应使得 S的内表面的电量为 -Q，则界面 S上的总电量为 +Q，这一结论不 论M在球壳内何处，只要在球壳 内即成立。
∫
Si
ϕ∇ϕ ⋅ dS = −ϕ i ∫ ∇ϕ ⋅ dS
Si
V V’
=0
而对于外边界面 S，根据（2.13） 外边界面 可知，
i
Si
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
S
n S
对于区域 V 的外表面 S
ϕ S = 0 或者 ∂ϕ ∂n S = 0 ——（2.13）
V
因此，对 V’ 的整个界面
V’
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
2 i Vi i
Vj
但是被积函数始终满足
Vi
3.1 唯一性定理
y
U0
( x,0) 0, ( x, b) U 0
o
a
y
b
U0
x
（第一类边值问题）
例：
0 x
0 x
o
20:14:58
a
x
2 2 2 0 2 x y x 0 0, xa 0 x x ( x,0) 0, ( x, b) U 0
V ( )dV S n dS
2
V
3.1
唯一性定理
S
对于第一类边界条件： * S 1 S 2 S 0
1和2 我们在引入电位函数时就曾指出，电位 的绝对值无意义， 代表的是同一电场，所以 2和2 C 实际上是一个解，亦即解 20:14:58 8 是唯一的。
第一类边值问题或狄里赫利问题已知场域边界面上的位函数的法向导数值即已知场域一部分边界面上的位函数值而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值即第三类边值问题或混合边值问题第二类边值问题或纽曼问题有限值自然边界条件无界空间周期边界条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件如二唯一性定理内容
第三章 静态场边值问题的解法
2
a
Q
因而腔内场唯一确定。 已知点电荷产生的电位为
1
Q 4 0 r Q 4 0 a
但它在边界上 1 |S
20:14:58
不满足 |S 0
12
3.1
Q 4 0 r
唯一性定理
Q 4 0 a
要使边界上任何一点电位为0，可设
2 它满足 0 |S 0
根据唯一性定理，它是腔内的唯一 解。
E Q 4 0 r r (r a) 3
唯一性定理
的电势ϕ i 也已知，则区域V′内的
电场有唯一解。
这种类型的唯一性定理和前面关于绝缘介质的唯一性定理 的证明过程完全相同(只不过这里只有一种介质) ，区别仅在于 这面里的电V′势的给边定界,则面V有′两的个所(有外内表、面外S 和表内面表上面都S有i )一，定只的要ϕ导值体或表∂∂ϕn 值，应用关于绝缘介质的唯一性定理，则V′内的电场必有唯 一解.
▲自由电荷分布
在导体球（r = a）表面上：
⎪⎪⎧σ1 f ⎨ ⎪⎪⎩σ 2 f
=
nrˆ
⋅
r D1
r=a
=
D1r
r=a
=
ε1Q 2πa2 (ε1 + ε 2 )
=
nrˆ
⋅
r D2
r=a
=
D2r
r=a
=
ε 2Q 2πa2 (ε1 + ε 2 )
D2n − D1n =σ ∴σ1 f ≠ σ 2 f
在导体球壳内（r = b）处：
=
−ε1∇ ϕ1
=
−ε1
∂ϕ1 ∂r
erˆ r
=
Aε 1 r2
err
r D2
=
ε
2
r E2
=
−ε 2∇ϕ2
=
−ε 2
∂ϕ2 ∂r
erˆ r
=
Aε 2 r2
err
∴
∫∫
r D
⋅ d sr
=
∫∫
r D1
⋅
d
sr
+
∫∫
r D2
⋅ dsr
S1
S1 左
S1 右
∫∫ ∫∫ =
Aε 1 a2
S1 左
err
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静电场的基本问题：
求出在每个均匀区域内满足泊松方程，在所有分界面 上满足边值关系，在所研究的整个区域边界上满足边 界条件的电势的解
2 i
i
Sij
j
Sij
i
i
n
Sij
j
j
n
Sij
V
j S
i
Sij evn
除此之外，要完全确定V内静电场的解，还必须给出 整个区域边界S上的一些条件。
1
到底需要给定哪些条件，才能求得静电场的解，并且 解是唯一的？
Ra
(2) 介质内无自由电荷分布； (3) R=a处导体球带总电量Qf 该定解问题有唯一解。
9
1. 给出边值关系和边界条件 设左、右介质的电势分别为 1 和 2
Ñ dS Qi
Si n
根据唯一性定理，只要能找到一个满足上面定解条件 的特解，那该解就一定是该问题的唯一解。
10
2. 提出尝试解
C与 0为待定系数，且 0与外球壳半径a’有关 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数
2 0 Qf 2 1 2 a2
相同
v
2
0Q f
1 2 a2
（, 右半球）
P1
v P2
15
所以，由于有束缚电荷的存在，在内导体球壳两半球 面上束缚电荷与自由电荷之和是球对称的，所以电场 强度E是球对称的。
首先判断该问题是否满足唯一性定理。 1. 给出边值关系和边界条件 2. 提出尝试解 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数 4. 求电场和球壳上的电荷分布
Ñ i
Vi
i
2dV
v
Si i dS i
2 0
Vi i 2 dV
积分区域包括沿区域V的边界S上的面积分和沿各分区的分界面Sij的面积4分
在 法两向个 分均 量匀 分区 别域 相等Vi和，V同j的时分dSv界i 面d上Svj，，因由此于
和
i
的
j
i
Sij
பைடு நூலகம்
i
v dS
N2 i 1
n
j
j
n
,
i
i
n
j
j
n
i
i
n
j
j
n
3
在整个区域V的边界S上有
V
S
S
0
0
S
S
S
或者
i
j
Sij evn
S
Si
0
n S n S n S
考虑第i个均匀区Vi的界 面Si上的积分
v
Ñ Si i dS Vi i dV Vi i 2dV Vi i2dV
对所有分区Vi求和
满足给定的或 /n值。
2
证明：
设有两组不同的解和 满 足唯一性定理的条件
令
V
由 2 i , 2 i 得 2 0 （每个均匀区域Vi内） 在两均匀区域分界面上
i j , i j , i j
j S
i
Sij evn
i
Sij
j
Sij
i
i
n
Sij
j
j
n
Sij
i
i
11
因此，所求的电势为 此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解
验证
12
4. 求电场和球壳上的电荷分布 由电场和电势的关系可知，
由两介质分界面的边值关系
v v D2 D1
evn f
可得
13
讨论：
内导体球壳两半球面上的自由电荷分布不同，但E却保
持球对称性，为什么？
f
2 2
1Q f
1
2Q f
1
2 2
a2 a2
（, 左半球） （, 右半球）
？
E
2
Qf
1 2
R2
,（左半球）
2
Qf
1 2
R2
（右半球）
电场强度E的源为总电荷，包括自由电荷和束缚电荷
内导体球壳表面的束缚电荷分布：
由两介质分界面的边值关系
P evn
vv P2 P1
和
v P
2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采 用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给 定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对 于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数 学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后 验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解， 若不满足，可以加以修改。
8
解：首先判断该问题是否满足唯一性定理。 该问题中存在金属导体，根据题意： (1) R=a’处，导体接地：(xr) 0
设闭合曲面S包含的体积V内的电荷分布为ρ 且V内存在有导体，S上给定电势s或电势 的法向偏导数(/n)s
第一种类型：当每个导体上的电势 i给定时，即给出了V’所有边界上 的 或(/n)值，因而由唯一性定 理可知， V’内的电场被唯一确定。
1
2
6
第二类型：设区域V内有一些导体，给定导体之外的
电荷分布ρ，给定各导体上的总电荷Qi以及V的边界S 上的 或/n 值，则V内的电场唯一地确定。
— 唯一性定理具体指出所需给定的边界条件
V
1. 静电问题的唯一性定理 设区域V内自由电 （i）电势s
j S
i
Sij evn
荷分布为(x) ，在 V的外边界S上给定
或
（ii）电势的法向偏导数(/n)s
则V内的电场唯一地确定。
也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松
方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上
➢ 存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程
2
在第i个导体上满足总电荷条件
蜒 Ñ v v
Si Ei dS
v
dS
Si
dS Qi
Si n
Q1
和等势面条件 Si i 常量
Q2
以及在V的边界S上具有给定的s 或(/n)s值。 7
三、唯一性定理的意义
1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场 强度指明了方向。
在S面上，
S
0,
或
n
S
0，故沿S的面积分为零，因此
v
Ñi Si i dS 0
i Vi i 2 dV 0
由于被积函数 i 2 0 ，因此 0
5
即在V内， =常数，因此 和 最多只相差一个 常数，但电势的附加常数对电场没有影响，即两者给出 同一个解，说明静电场是唯一的。
2、有导体存在时的唯一性定理
v D
v
0E
0
v E
14
可得
E
2
Qf
1 2
R2
v
v
P 0 E
P evn
vv P2 P1
因此，内导体球壳两半球面上的总电荷密度为
f1
P1
2
1Q f
1 2 a2
1 0 Qf 2 1 2 a2
总
f
2
P2
2 2
0Q f
1 2 a2
2Q f
1 2 a2
（, 左半球）
v
Sij iii dSi
S ji
j
j
j
v dS j
i
i
n
j
j
n
v
Ñi Si i dS
N 2 i1
v
Sij iii dSi
S ji
j
j
j
v dSi
N 2
i1
Sij
ii
i
n
dSi
S ji
j j
j
n
dSi
i
0
V
j
Sij evn
S
即内部分界面的积分互相抵消
Si