第1节(续) 解的局部存在唯一性定理

∃ ξ ( 介于 y1与 y2 之间 ), 使 f ( x , y2 ) − f ( x , y1 ) = f y ( x , ξ )( y2 − y1 ) = f y ( x , ξ ) ⋅ y2 − y1
≤ L ⋅ y2 − y1
即 f ( x , y )在 D上关于 y满足 Lipschitz 条件
2o 当 y0 = 0 时，
该初值问题的解存在但 不唯一 .
y
o
•
( x0,0) x
四、隐方程情形
F ( x , y, y′ ) = 0 ( 3) ′ 定理2 若在点 ( x0 , y0 , y0 )的某邻域中 (1) F ( x , y, y′) 关于所有变元 ( x , y, y′) 连续 且存在连续的偏导数； ′ ) = 0; ( 3) ∂F ( 2) F ( x0 , y0 , y0 ≠ 0, ∂ y ′ ( x , y , y′ )
即 f ( x , y )在 y = 0上关于 y 不满足局部 Lip 条件 .
问： 当 y0 = 0 时，所给方程满足 y( x0 ) = 0
的解是否一定不唯一？
答：不一定. 由观察知， y = 0是该方程的解 , 事实上， y = ± 1也是该方程的解 .
dy ⎧ y ln y , y ≠ 0 =⎨ dx ⎩0, y=0
y→ 0
o
x
∴ ∀ L > 0, ∃ y∗ ≠ 0, ( x , y∗ ) ∈ DP
使 使
ln y∗ > L. 即不存在常数 L > 0, f ( x , y ) − f ( x ,0 ) ≤ L y
∴
f ( x , y )在以 P ( x 0 , 0 )为中心的任一有界 闭矩形区域 D P 上关于 y 均不满足 Lip 条件
推论4 设 f ( x , y ) 在区域 G内有定义，若 f ( x , y ) 在G内满足下列两个条件： (1) 连续；
( 2 ) 关于 y满足 局部 的 Lipschitz 条件，即
∀ P ( x0 , y0 ) ∈ G , ∃ DP = {( x , y ) x − x0 ≤ a , y − y0 ≤ b } ⊂ G , 使 f ( x , y )在 DP 上关于 y满足 Lipschitz 条件 ,
由被积函数，知
积分
y0 ⋅ y( x) > 0
∫y0
y( x )
x 1 dy = ∫ dx , 得 x0 y ln y
ln ln y( x ) − ln ln y0 = x − x0
ln y( x ) ln = x − x0 , 即 ln y( x ) = e x − x0 ln y0 ln y0 ln y( x ) 由关系(1)，知 >0 y ln y0 1 x− x0 • ( x0 , y0 ) ∴ ln y( x ) = e ln y0 o 又Q y0 ⋅ y( x) > 0 –1
∴ f ( x , y )在R 2内连续
故 ∀ ( x0 , y0 ) ∈ R 2 , 所给方程满足：y( x0 ) = y0 的解必存在 .
(2) 唯一性
当 y ≠ 0 时，f y ( x , y ) = 1 + ln y 连续 ∴ 当 y ≠ 0 时， f ( x , y )关于 y满足局部 Lip 条件
即
1 y3
= x+c
( c为任意常数 )
y = ( x + c )3
可以验证：当 y0 = 0时，所给初值问题至少
有两个解： y = ( x − x0 ) 3 及 y ≡ 0.
综上所述：
1o 当 y0 > 0 时，所给初值问题的解 (< ) 在 y > 0 内存在且唯一 ; 但在 R 2 (<)
内该初值问题的解存在 却不唯的M. 2º 在唯一性证明中，取
M 1 = max f ( x ,ψ ( x ))
x∈[α , β ]
代替定理1证明中的M.
⎧ dy = P(x)y + Q(x) ⎪ 推论3 对于 ⎨ dx ( 2 ), ⎪ y ( x 0 ) = y0 线性方程 ⎩ 设 P ( x ), Q ( x )均在区间 [α , β ] 上连续 , 则 ∀ ( x0 , y0 ) ∈ D∞ , 初值问题 ( 2 )存在唯一的 定义在 整个区间 [α , β ] 上的解 .
记 DP = {( x , y ) x − x0 ≤ a , y − 0 ≤ b }
假定： ∃ 常数 L > 0, 使 ∀ ( x , y ), ( x ,0 ) ∈ DP
f ( x , y ) − f ( x ,0 ) = 3 ≤ L⋅ y − 0 L −1 3 ≤ 则当 y ≠ 0 时，有 y 3
⎧dy ⎪ = f ( x, y) (1) ⎨dx ⎪ y( x0 ) = y0 ⎩
证 Q f y ( x , y )在 D上连续 , 必有界
∴ ∃ 常数 L > 0, 使
f y ( x , y ) ≤ L (( x , y ) ∈ D )
从而 ∀ ( x , y1 )，( x , y2 ) ∈ D，
证 Q f ( x , y ) = P ( x ) y + Q ( x )在 D∞ 上连续
f y ( x , y ) = P ( x ) 在 D∞ 上连续 , 必有界
∴ ∃ 常数 L > 0, 使 f y ( x , y ) ≤ L (( x , y ) ∈ D∞ ) 从而 ∀ ( x , y1 )，( x , y2 ) ∈ D∞， ∃ ξ ( 介于 y1与 y2 之间 ), 使 f ( x , y2 ) − f ( x , y1 ) = f y ( x , ξ ) ⋅ y2 − y1 ≤ L ⋅ y2 − y1 即 f ( x , y )在 D∞ 上关于 y满足 Lipschitz 条件 ∴ 由推论 2知，推论 3成立 .
一、问题的提出 二、皮卡存在唯一性定理与逐步逼近法 三、几点说明
三、几点说明 1. 可用“ f y ( x , y ) 在D上连续” 代替定理1 中的Lipschitz 条件，此条件更加便于检验； 推论1 (柯西存在唯一性定理)
设 f ( x , y ) 在有界闭矩形区域： D = {( x , y ) x − x0 ≤ a, y − y0 ≤ b}
(2) 唯一性 −1 Q 当 y ≠ 0 时，f y ( x , y) = 2 y 3 连续
∴ 当 y ≠ 0 时， f ( x , y )关于 y满足局部 Lip 条件
故 1o 当 y0 > 0 时，所给初值问题的解 (< ) 在 y > 0 内存在且唯一 . (<) 2o 当 y0 = 0 时，
在G内，初值问题 (1)的解唯一 .
例1 试证方程 dy ⎧ y ln y , y ≠ 0 =⎨ dx ⎩0, y=0 经过xOy 面上任一点的解都存在且唯一. 解 (1) 存在性
⎧ y ln y , y ≠ 0 , ( x, y) ∈ R 2 f ( x, y) = ⎨ y=0 ⎩ 0,
由初等函数的连续性，知
但另一方面， lim y
y→ 0 −1
3
y
• x•
2 y3
( x, y)
• P ( x0 ,0)
DP
o
x
= +∞
∴ ∀ L > 0, ∃ y∗ ≠ 0, ( x , y∗ ) ∈ DP
L 矛盾！ > 使 y 3 ∴ 不存在常数 L > 0,
3
−1 ∗
使
f ( x , y ) − f ( x ,0 ) ≤ L y
即 ∃ 常数 LP > 0, 使 ∀ ( x , y1 )，( x , y2 ) ∈ DP， 有 f ( x , y2 ) − f ( x , y1 ) ≤ LP ⋅ y2 − y1 dy 则方程 = f ( x , y )在 G内经过每一点 dx P ( x0 , y0 )有且只有一条积分曲线 ，即 在G内，初值问题 (1)的解存在且唯一 .
( 2 ) 关于 y满足 Lipschitz 条件 , 则 ∀ ( x0 , y0 ) ∈ D∞ , 初值问题 (1)存在唯一的 定义在 整个区间 [α , β ] 上的解 .
⎧dy ⎪ = f ( x, y) (1) ⎨dx ⎪ y( x0 ) = y0 ⎩
证明提示： 1º 在存在性证明中，取
M 0 = max f ( x , y0 )
由定理1知，推论1的结论成立.
注
f y ( x , y )在D上连续
f ( x , y )在 D上关于 y 满足 Lipschitz 条件
反例： 取 f ( x , y ) = y ，
( x , y ) ∈ D = {( x , y ) x − x0 ≤ a, y − 0 ≤ b} ∀ ( x , y1 )，( x , y2 ) ∈ D f ( x , y2 ) − f ( x , y1 ) = y2 − y1 ≤ y2 − y1
由1º 知，当 y0 ≠ 0 时，所给方程过点 (x0, y0) 的解 y(x) 与 y0 有如下关系：
当 y0 < 1 时， y < 1; 当 y0 > 1 时， y > 1. y
(1)
1 o –1 x
当 y0 ≠ 0 , ± 1 时， 所给方程过点 ( x 0 , y0 ) 的解(积分曲线)是 y( x ) x 1 ∫y0 y ln y dy = ∫x0dx
即 f ( x , y )在以 P ( x0 , 0 )为中心的任一有界闭 矩形区域 D P 上关于 y 均不满足 Lip 条件 亦即 f ( x , y )在 y = 0上关于 y 不满足局部 Lip 条件 .
当 y ≠ 0 时，将原方程变量分离 得 1 ∫ 2 dy = ∫ dx 3 y3