2012级数理统计试题及答案

x 5 4/ 4

x 5 z 0.025 1.96 ; 2
（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92） ，当 =6 时，接受 H 0 的概率为
P{1.08 X 8.92}
8.92 6 1.08 6 0.921 。 2 2
2 2 否正常？（ 0.05, t0.025 (9) 2.2622, 0.025 (9) 19.023, 0.975 (9) 2.700 ）
解： （1）检验假设 H0： 2=1，H1： 2≠1； 取统计量： 2
(n 1) s 2
2 0
；
拒绝域为： 2≤ 2 (n 1)
2 nX 2 16 5010 3764 .706 。 ； （2） 2 42.585 ( 2n)
六、 （本题 14 分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度 X ~ N (10,1) ，今阶段 性抽取 10 个水样，测得平均浓度为 10.8（mg/L） ，标准差为 1.2（mg/L） ，问该工厂生产是
1 服从 X
1

} 的值。
U /m ，其中 U ~ 2 (m),V ~ 2 (n) ，U V /n
1 V /n ~ F (n, m) 。 X U /m 1 1 当 m n 时， X 与 服从自由度为 (n, n) 的 F 分布，故有 P{ X } P{ X } ， X 1 1 1 P{ X } P{ } 1 P{ } 1 P{ X } 1 0.05 0.95 。 从而 X X

2x
2 dx ， 3
2
2
ˆ ) X 2 ，得 ˆ 3 X 为参数 的矩估计量。 令 E( X 3 2
(2)似然函数为： L( xi , )
i 1 n
2 xi
2

2n

x， 0 xi , (i 1,2, , n) ， 2n i
2 2 ( 0 .05 (31) 44.985, 0.10 (32) 42.585) 。
2nX 2nX 2 (2n) 1 , P 2 解：(1) P 1, ( 2n)
即 的单侧置信下限为
江西理工大学考试试卷
2011——2012 学年第一学期 （2012.1）
《数理统计 II》 课程 24 学时 1.5 学分
时间：100 分钟
考试形式：闭卷
专业年级：2012 级(第一学期) 一、填空题（本题 15 分，每题 3 分）
总分：100 分
1、总体 X ~ N (20,3) 的容量分别为 10，15 的两独立样本均值差 X Y ~ ________；
即为（0.3000，2.1137） 。
五、 （本题 10 分）设总体 X 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知， X 1 ,, X n 为取自 总体 X 的样本， 若已知 U
X i ~ 2 (2n) ，求：
i 1
2
n
（1） 的置信水平为 1 的单侧置信下限； （2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为 16 的样本，测得 样本均值为 5010 （ h ） ，试求元件的平均寿命的 置信 水平为 0.90 的单侧置信下限。
（A） S 2 是 2 的矩估计 （C） S 2 是 2 的无偏估计和相合估计
（B） S 2 是 2 的极大似然估计 （D） S 2 作为 2 的估计其优良性与分布有关
2 4、设总体 X ~ N (1 , 12 ), Y ~ N ( 2 , 2 ) 相互独立，样本容量分别为 n1 , n2 ，样本方差分别
i 1
n
ˆ max{X , X , , X } 。 而 L( ) 是 的单调减少函数，所以 的极大似然估计量为 1 2 n
四、 （本题 14 分）设总体 X ~ N (0, 2 ) ，且 x1 , x 2 x10 是样本观察值，样本方差 s 2 2 ，
（1）求 2 的置信水平为 0.95 的置信区间； （2）已知 Y
即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 10（mg/L） 。 综上，认为工厂生产正常。 七、 （本题 10 分）设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 为取自总体 X ~ N ( ,4 2 ) 的样本，对假设检验问题 （1）在显著性水平 0.05 下求拒绝域； （2）若 =6，求上述检验所犯 H 0 : 5, H 1 : 5 ， 的第二类错误的概率 。 解：(1) 拒绝域为 z
X2

2
X2 ~ 2 (1) ，求 D 3
的置信
2 2 水平为 0.95 的置信区间； （ 0 。 .975 (9) 2.70 ， 0.025 (9) 19.023 ）
解：
18 18 ，即为（0.9462，6.6667） （1） 2 的置信水平为 0.95 的置信区间为 2 ； , 2 0.025 (9) 0.975 (9)
2 2 、设 X 1 , X 2 ,..., X 16 为取自总体 X ~ N (0,0.5 2 ) 的一个样本，若已知 0 .01 (16) 32.0 , 则
P{ X i2 8} =有问题_；
i 1
16
3、设总体 X ~ N ( , 2 ) ，若 和 2 均未知， n 为样本容量，总体均值 的置信水平为
2 2 2 为 S12 , S 2 ，在显著性水平 下，检验 H 0 : 12 2 的拒绝域为（ , H 1 : 12 2
） 。
（A）
2 s2
s12
2 s2
F (n 2 1, n1 1)
（B）
2 s2
s12
2 s2
F
1

2
(n2 1, n1 1)
（C）
s12
F (n1 1, n 2 1)
（D）
s12
F
1

2
(n1 1, n 2 1)
5、设总体 X ~ N ( , 2 ) ， 2 已知， 未知， x1 , x 2 , , x n 是来自总体的样本观察值，已 知 的置信水平为 0.95 的置信区间为（4.71，5.69） ，则取显著性水平 0.05 时，检验假 设 H 0 : 5.0, H 1 : 5.0 的结果是（ （A）不能确定 （B）接受 H 0 ） 。 （C）拒绝 H 0 （D）条件不足无法检验
） 。 （C）
n ( X ）

（B）
n(X ) Sn
n 1( X ) Sn
3、设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体的样本， D ( X ) 2 存在， S 2 则（ ） 。
1 n (X i X ) 2 , n 1 i 1
中南大学考试试卷参考答案
2009——2010 学年第一学期（2010.1）
《数理统计 II》 课程 24 学时 1.5 学分
时间：100 分钟
考试形式：闭卷
一、填空题（本题 15 分，每题 3 分）
S 1 2 1、 N (0， ) ； 2、0.01； 3、 t (n 1) ； 4、 2 0 ； 5、 z z 0.05 。 2 n 2
1 2
2 2 2 2 0 .975 (9) =2.70 或 ≥ ( n 1) 0.025 =19.023，
2
经计算： 2
(n 1) s 2
2 0

9 1.2 2 12.96 ，由于 2 12.96 (2.700,19.023) 2， 1
故接受 H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 2=1。
(2)似然函数为： L( xi , )
i 1
n
2 xi

2

2n

2n
0 xi , (i 1,2, , n) ， xi ，
i 1
n
ˆ max{X , X , , X } 。 而 L( ) 是 的单调减少函数，所以 的极大似然估计量为 1 2 n
： 10，H 1 ： 10 ； （2）检验假设 H 0
取统计量： t
X 10 S / 10
~ t (9) ；
2
拒绝域为 t t 0.025 (9) 2.2622 ； t
10.8 10 1.2 / 10
， 2.1028 <2.2622 ，所以接受 H 0
二、选择题（本题 15 分，每题 3 分） 1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B. 三、 （本题 14 分）解：(1) E ( X ) x f ( x) d x 0

2x
2 dx ， 3
2
2
ˆ ) X 2 ，得 ˆ 3 X 为参数 的矩估计量。 令 E( X 3 2
1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B.
2x 0 x 2, f ( x ) 三、 （本题 14 分） 设随机变量 X 的概率密度为： ，其中未知 其他 0 ,
参数 0 ， X 1 ,, X n 是来自 X 的样本，求（1） 的矩估计； （2） 的极大似然估计。 解：(1) E ( X ) x f ( x) d x 0
1 S 2 1、 N (0， ) ； 2、0.01； 3、 t (n 1) ； 4、 2 0 ； 5、 z z 0.05 。 2 n 2
二、选择题（本题 15 分，每题 3 分） 1、设 X 1 , X 2 , X 3 是取自总体 X 的一个样本， 是未知参数，以下函数是统计量的为（ （A） ( X 1 X 2 X 3 ) （B） X 1 X 2 X 3 （C） ） 。