2012级数理统计试题及答案
2012年秋季学期 概率论考题及答案
哈工大 2012年秋季学期概率论与数理统计 试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设事件A 、B 相互独立，事件B 、C 互不相容，事件A 与C 不能同时发生，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A ，B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为__________ ．2．设随机变量X 服从参数为2的指数分布， 则21e X Y-=-的概率密度为()Y f y =______ ____．3．设随机变量X 的概率密度为21e ,0()20, 0xx x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，利用契比雪夫不等式估计概率≥<<)51(X P ______．4．已知铝的概率密度2~(,)X N μσ，测量了9次，得 2.705x =，0.029s =，在置信度0.95下，μ的置信区间为______ ____．5．设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,)|01,02}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，令),min(Y X Z =，),max(Y X W =, 则)1(≥+W Z P = ．（0.0250.050.050.025(8)23060,(8)18595,(9) 1.8331,(9) 2.2622t t t t =⋅=⋅==()1.960.975Φ=，()1.6450.95Φ=)二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）1．设0()1, 0()1, ()()P A P B P B A P B <<<<=，则与上式不等价的是（A ）A 与B 不相容. （B ）()()P B A P B A =.（C ）)()(A P B A P =. （D ）)()(A P B A P =． 【 】2．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X 是来自X 的样本，X 为样本均值，则 （A ）1EX λ=，21DX n λ=． （B ）,λ=X E n X D λ=． （C ）,nX E λ=2n X D λ=． （D ）,λ=X E λn X D 1=． 【 】 3．设随机变量X 的概率密度为2, 01()0, x x f x <<⎧=⎨⎩其他，则)2(DX EX X P ≥-等于（A）99-. （B）69+. （C ）928-6. （D）69-． 【 】 4．如下四个函数，能作为随机变量X 概率密度函数的是（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,00,11)(2x x x x f . （B ）0,157(),1116160, 1x f x x x x <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩.（C ）1()e ,.2xf x x -=∈R . （D ）1e ,0()0,0x x f x x -⎧->=⎨≤⎩ . 【 】5．设12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，统计量2)(1μ-=X Sn Y 其中X 为样本均值，2S 为样本方差，则 【 】 （A ）2~(1)Y x n -（B ）~(1)Y t n -（C ）~(1,1)Y F n - （D ）~(1,1)Y F n -．三、（8分）假设某段时间内来到百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率均为p ，且顾客之间是否购买电视机相互独立，试求=A “该段时间内百货公司售出k 台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。
2012年全国自考概率论与数理统计试卷有答案的
1.已知事件A ，B ，A ∪B 的概率分别为0.5，0.4，0.6，则P (A B )=B.0.22.设F(x)为随机变量X 的分布函数，则有C.F (-∞)=0，F (+∞)=13.设二维随机变量(X ，Y )服从区域D ：x 2+y 2≤1上的均匀分布，则(X ，Y )的概率密度为D.1(,)0,x y D f x y π⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（,）,其他 4.设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (2X －1)= A.0 5.设二维随机变量(X ，Y )的分布律则D (3X )= B.26.设X 1，X 2X n …为相互独立同分布的随机变量序列，且E (X 1)=0，D (X 1)=1，则1lim 0n i n i P X →∞=⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭∑ A.07.设x 1,x 2，…，x n 为来自总体N (μ，σ2)的样本，μ，σ2是未知参数，则下列样本函数为统计量的是D.211n i i x n =∑8.对总体参数进行区间估计，则下列结论正确的是B.置信度越大，置信区间越短 9.在假设检验中，H 0为原假设，H 1为备择假设，则第一类错误是B.H 0成立，拒绝H 0 10．设一元线性回归模型：201(1,2,),~(0,)ii i i y x i n N ββεεσ=++=…,且各i ε相互独立.依据样本(,)(1,2,,)i i x y i n =…得到一元线性回归方程01ˆˆˆy x ββ=+，由此得i x 对应的回归值为ˆi y ，i y 的平均值11(0)ni i y y y n ==≠∑，则回归平方和S 回为C ．21ˆ(-)nii yy =∑11.设甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲、乙击中目标的概率分别为0.8，0.5，则甲、乙两人同时击中目标的概率为_0.4. 12.设A ，B 为两事件，且P (A )=P (B )=13，P (A |B )= 16，则P (A |B )=7/12. 13.已知事件A ，B 满足P (AB )=P (A B )，若P (A )=0.2，则P (B )= 0.8 .14.设随机变量X 的分布律 则a =0.1.15.设随机变量X ～N (1，22)，则P {-1≤X ≤3}=0.6826.(附：Ф(1)=0.8413)16.设随机变量X 服从区间[2，θ]上的均匀分布，且概率密度f (x )=1,240,x θ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩，其他，X 1 2 3 4 5 ，P2a0.10.3a0.3则θ=6.17.设二维随机变量(X，Y)的分布律YX0 1 20 0.1 0.15 01 0.25 0.2 0.12 0.1 0 0.1 则P{X=Y}=_0.4.18.设二维随机变量(X，Y)～N(0，0，1，4，0)，则X的概率密度f X (x)=___________.19.设随机变量X～U(-1，3)，则D(2X-3)= 16/3.20.设二维随机变量(X，Y)的分布律YX-1 1-1 0.25 0.251 0.25 0.25则E(X2+Y2)=_2.21.设m为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p为事件A的概率，则对任意正数ε，有limnmP pnε→∞⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭=1.22.设x1，x2，…，x n是来自总体P(λ)的样本，x是样本均值，则D(x)=入/n.23.设x1，x2，…，x n是来自总体B(20，p)的样本，则p的矩估计ˆp=_.24.设总体服从正态分布N(μ，1)，从中抽取容量为16的样本，uα是标准正态分布的上侧α分位数，则μ的置信度为0.96的置信区间长度是_________.25.设总体X～N(μ，σ2)，且σ2未知，x1，x2，…，x n为来自总体的样本，x和S2分别是样本均值和样本方差，则检验假设H0:μ =μ0;H1:μ≠μ0采用的统计量表达式为_________.26.一批零件由两台车床同时加工，第一台车床加工的零件数比第二台多一倍.第一台车床出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06.(1)求任取一个零件是合格品的概率；（1）依题意知某一台车床加工的零件数占有率为2/3第二台车床位1/3，故另取一个零件是合格品的概率位，2/3*(1-0.03)+1/3*(1-1.06)=0.96(2)如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率.（2）取出的零件是不合品格的概率为2/3*0.03+1/3*0.06=0.04，它是由第二台车床加工的概率为0.04/0.06=0.6727.已知二维随机变量(X，Y)的分布律Y -1 0 1X0 0.3 0.2 0.11 0.1 0.3 0求：(1)X和Y的分布律；(2)Cov(X，Y).28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩(百分制)近似地服从正态分布N(75，σ2)，已知85分以上的考生数占考生总数的5％，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.P（65≤X≤85）=∮(（85-75）/6)－∮((65-75)/6)＝2∮(10/6)-1所以P(85>)=0.05所以P(x<=85)=∮（10/6）=0.95Suoyi p(65<=x<=85)=2*0.95-129.设随机变量X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，且X与Y相互独立.求：(1)X及Y的概率密度；x的概率密度为f（x）=1 (0<=x<=1);f(x)=0,其他(2)(X，Y)的概率密度；因为x 为y相互独立，所以（x,y）的概率密度为f(x,y)=e^-y (0<=x<=1,y>0);f(x,y)=0,其他(3)P{X>Y}.p(x>y)=1-1/e30.某种产品用自动包装机包装，每袋重量X～N(500，22)(单位：g)，生产过程中包装机工作是否正常要进行随机检验.某天开工后抽取了9袋产品，测得样本均值x=502g. 问：当方差不变时，这天包装机工作是否正常(α=0.05)?(附：u0.025=1.96)假设H0：u=u0；H1：u不等于u0 统计量V=3在a=0.05下，把域问|u|>=u1-a/2=1.96 经计算的u=3>1.96 拒绝H0，即包装不正常。
12研究生数理统计习题部分解答
12研究生数理统计习题部分解答第六章 抽样分布1． （1994年、数学三、选择）设),,,(21n X X X 是来自总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记22121)(11∑=--=i i X X n S ，22122)(1∑=-=i i X X n S ，22123)(11∑=--=i i X n S μ，22124)(1∑=-=i i X n S μ则服从自由度1-n 的t 分布的随机变量是=T （ ）。
A .11--n S X μB .12--n S X μC .nS X 3μ-D .nS X 4μ-[答案：选B ]当2212)(11∑=--=i iX X n S 时，服从自由度1-n 的t 分布的随机变量应为 =T nSX μ-A 、由222121)(11S X X n S i i =--=∑=，111--=--=n S X n S X T μμ 而不是nSX T μ-=B 、由212221221)(111)(1S nn X X n n n X X n S n i ii i -=--⋅-=-=∑∑== nSX n S X n S X T nn μμμ-=--=--=∴-1112。
2． （1997年、数学三、填空）设随机变量Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布且91,,X X 与91,,Y Y 分别是来自总体Y X ,的简单随机样本，则统计量292191Y Y X X U ++++= 服从参数为（ ）的（）分布。
[答案：参数为（9）的（t ）分布]解：由Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布，又91,,X X 与91,,Y Y 分别来自总体Y X ,，可知91,,X X 与91,,Y Y 之间均相互独立，均服从分布)3,0(2N因而)39,0(~291⨯∑=N X i i ，)1,0(~9191N X X i i ∑==，)1,0(~3N Y i ，)9(~32912χ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛i i Y ，且∑==9191i i X X 与∑=⎪⎭⎫⎝⎛9123i i Y 相互独立，因而()292191912919123919191Y Y X X YXXi ii ii Y i ii ++++==∑∑∑∑==== 服从参数为9的t 分布。
重庆理工大学概率论与数理统计参考答案(2012A)
概率论与数理统计A(2012)参考答案一.、单项选择题。
错选、多选或未选均不得分。
（每小题3分，共21分）1、D2、B3、C4、B5、A6、B7、B二.、填空题（每小题3分，共21分）1. 0.52. 0.63. 14. 0.55. 456.___ 17.__(51.04 , 54.96)三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1. 现在两箱同类型的产品，第一箱装50件，其中有10件一等品；第二箱装30件，其中有18件一等品。
现在两箱中任取一箱，然后从该箱中任取一件。
试求下列事件的概率：（1）取到的产品是一等品；（2）若已知取到的产品是一等品，则该产品来自第一个箱子的概率是多少？解： 设(1,2)i A i =表示产品来自第i 个箱子。
B ：一等品 由已知，121()()2P A P A ==， 1213(|),(|)55P B A P B A == （2分） （1）1122()()(|)()(|)0.4P B P A P B A P A P B A =+= （3分）（2）111()(|)1(|)()4P A P B A P A B P B == （3分） 2.设随机变量X 的概率密度函数为 01()0 b ax x f x ⎧<<=⎨⎩其他，其中0,0a b >>，且10.752P X ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭。
试求：（1）常数a 和b ； （2）分布函数()F x ； （3）数学期望2()E X 。
解： （1）10()11b a f x dx ax dx b +∞-∞===+⎰⎰， 110.50.51()(10.5)0.7521b b a P X f x dx ax dx b +∞+⎧⎫>===-=⎨⎬+⎩⎭⎰⎰ 所以，2,1a b == （3分）（2）20 0()() 011 1xx F x f t dt x x x -∞≤⎧⎪==<<⎨⎪≥⎩⎰ （3分） （3）221()()2E X x f x dx +∞-∞==⎰。
2012概率论与数理统计试卷答案内
2012概率论与数理统计试卷答案内暨南⼤学考试试卷答案⼀、选择题（共10⼩题，每⼩题2分，共20分,请将答案写在答题框内）1．设A 、B 、C 为三个事件，则事件“A 、B 、C 中恰有两个发⽣”可表⽰为( C ).A ．AB AC BC ++； B. A B C ++； C. ABC ABC ABC ++； D. ABC 2.. 设在 Bernoulli 试验中,每次试验成功的概率为)10(<C. 3(1)p -;D. )1()1()1(223p p p p p -+-+-. 3. 设12,,,,n ηηη是相互独⽴且具有相同分布的随机变量序列, 若 1n E η=,⽅差存在, (1,2,),n = 则1lim ||3ni n i n P n η→∞=??-<=∑( B ). A. 0; B. 1; C.1;3 D. 12. 4. 设随机变量X 的概率密度为 33,()0,0x e x x x ?-?>=?≤?, 则⽅差D(X)= ( D )A. 9；B. 3；C. 13；D. 19.5. 设随机变量X 的概率密度函数)1(1)(2x x f +=π，则X Y 3=的概率密度函数为（ B ）． A ．)1(12y +π B ．)9(32y +π C ．)9(92y +πD ．)9(272y +π6. 设()~1,X N σ2,且(13)0.7P X -<<=，则()=-<1X P （ A ） A ．0.15B. 0.30C. 0.45D. 0.67．设)2,3(~2N X ，则=<<}51{X P （ B ）（设220()d x xx x -Φ=?）． A ．00(5)(1)Φ-Φ B ．02(1)1Φ- C ．011()122Φ- D ．0051()()448．设总体2~(,)X N µσ，其中µ未知，1234,,,x x x x 为来⾃总体X 的⼀个样本，则以下关于的µ四个⽆偏估计：1?µ=),(414321x x x x +++4321252515151?x x x x +++=µ 4321361626261?x x x x +++=µ，4321471737271?x x x x +++=µ中，哪⼀个最有效？（ A ） A ．1?µ； B ．2?µ； C ．3?µ； D ．4?µ 9. 设),,,(21n X X X 为总体2(2,3)N 的⼀个样本,X 为样本均值, S 为样本标准差, 则下列结论中正确的是 ( D ).~()X t n ； B. 211()~(,1)9ni i X X F n =-∑；~(0,1)XN； D. 2211(2)~()9niiX nχ=-∑.10. 在假设检验中,记H为原假设，则犯第⼀类错误指的是（ C ）.A.H正确，接受H不正确，拒绝H；C.H正确，拒绝H； D.H不正确，接受H⼆、填空题（共9⼩题, 每空3分, 共30分, 请将答案写在答题框内）1. 假设12,A A是两个相互独⽴的事件, 若11239(),(),1010P A P AA=+=则2()P A=67.0,122(~BX,则它的概率函数()P X k=在k= 55 取得最⼤值. 3.若,1()25,()4,,2X YD X D Yρ===则()D X Y-=19 .4.设X，Y的联合分布律为且X，Y相互独⽴，则α= 29，=β19.5. 设2(),(),E X D xµσ==由切⽐雪夫不等式知{}-<<+≥3/4.6. 设An是n次独⽴试验中事件A发⽣的次数，p是事件A在每次试验中发⽣的概率，则lim0}nP→∞≤= 0.5 .7. 若随机变量,ξη相互独⽴, 且~(1,1),Nξ-~(2,4),Nη则23~ξη-(8,40)N-.8. 若随机变量~(,)F F m n , 则1~F(,)F n m . 9. 设总体ξ的分布密度为 ,0(0)(;)0,0,x e x x x θθθ?θ-?≥>=?本, 测得观测值分别为12,,,(0,1,2,,)n i x x x x i n >=, 则参数θ的最⼤似然估计为1xθ∧=.三、计算题（共 5 ⼩题，每⼩题9分，共45分）1. 甲罐中有⼀个⽩球，⼆个⿊球，⼄罐中有⼀个⽩球，四个⿊球，现掷⼀枚均匀的硬币，如果得正⾯就从甲罐中任取⼀球，如果得反⾯就从⼄罐中任取⼀球，若已知取的球是⽩球，试求此球是甲罐中取出的概率。
河南理工大学硕士研究生数理统计复习题
H 0 : 5, H1 : 5 ，（1）在显著性水平 0.05 下求拒绝域；（2）若 =6，求上述检验所犯
的第二类错误的概率 。
解：(1)
拒绝域为 z
x 5 4/ 4
5.0, 2.0, 4.0, 5.0, 5.0, 3.0 ,3.0
在 0.05 检验两块林地胸径的方差是否相等？胸径的均值是否相等？
解：（1）检验
H0
: 12
2 2
，
H1
: 12
2 2
n1
10
， n2
8 ， s12
3.544
， s22
1.357
，
s12 s22
3.544 2.612 1.357
2分
i 1
八、（10 分）设有甲、乙两块 10 年生人工马尾松林，用重复抽样方式分别独立地从两块林
地中抽出若干林木，测得胸径数据如下: （假定胸径服从正态分布） F0.025(9, 7) 4.82 , F0.975(9, 7) 0.23, t0.05(16) 2.12 。甲∶4.5, 8.0, 5.0, 2.0, 3.5, 5.5, 5.0, 7.5, 5.5, 7.5；乙∶3.0,
x 5 2
z0.025 1.96 ;
（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当 =6 时，接受 H0 的概率为
P{1.08 X 8.92} 8.92 6 1.08 6 0.921。 2 2
5．设
X1，X2，…，Xn
来自密度为
p(x; , )
1
x
e
,x
12研究生数理统计习题部分解答
12研究生数理统计习题部分解答第六章 抽样分布1． （1994年、数学三、选择）2． 设),,,(21n X X X 是来自总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记22121)(11∑=--=i i X X n S ，22122)(1∑=-=i i X X n S ，22123)(11∑=--=i i X n S μ，22124)(1∑=-=i i X n S μ则服从自由度1-n 的t 分布的随机变量是=T （ ）。
3． A .11--n S X μB .12--n S X μ4． C .nS X 3μ-D .nS X 4μ-[答案：选B ]5． 当2212)(11∑=--=i i X X n S 时，服从自由度1-n 的t 分布的随机变量应为 6． =T nSX μ-7． A 、由222121)(11S X X n S i i =--=∑=，111--=--=n S X n S X T μμ 8． 而不是nSX T μ-=9． B 、由212221221)(111)(1S nn X X n n n X X n S n i ii i -=--⋅-=-=∑∑== 10． nSX n S X n S X T nn μμμ-=--=--=∴-1112。
11． （1997年、数学三、填空）12．设随机变量Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布且91,,X X 与91,,Y Y 分别是来自总体Y X ,的简单随机样本，则统计量292191Y Y X X U ++++= 服从参数为（ ）的（）分布。
13．[答案：参数为（9）的（t ）分布]14．解：由Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布，又91,,X X 与91,,Y Y 分别来自总体Y X ,，可知91,,X X 与91,,Y Y 之间均相互独立，均服从分布)3,0(2N 15．因而)39,0(~291⨯∑=N X i i ，)1,0(~9191N X X i i ∑==，)1,0(~3N Y i ，)9(~32912χ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛i i Y ，且∑==9191i i X X 与∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛9123i i Y 相互独立， 16． 因而()292191912919123919191Y Y X X YXXi ii ii Y i ii ++++==∑∑∑∑==== 服从参数为9的t 分布。
2012年概率论与数理统计试题及答案
∴
=(1-0.2)(1-0.3)(1-0.5)=0.28
=
=0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47
同理P(X=2)=P( =0.22
=0.03
∴X的分布律：
X
0
1
2
3
P
0.28
0.47
0.22
0.03
(2)由(1)及分布函数的定义知
解：设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有
P(A1)=P(B1)P( |B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3)
= =0.467
P( )= =0.220
八、（10分）设 ．
1.若 ，求 ；2.若 ，求 ；3.若 ，求 ．
4.由题可知A1、A2互斥，又0<P(B)<1，0<P(A1)<1，0<P(A2)<1，所以
P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)–P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
故应选（C）。
5.因为A、B互为对立事件，所以P(A+B)=1，P(AB)=0，又P(A) ，P(B)>0，
所以 =A，因而P( |A)=P(A|A)=1，故选（A）
二、填空题（毎小题3分,共15分）：
1． 、 、 代表三件事，事件“ 、 、 至少有二个发生”可表示为．
2．已知 ，则 =．
3． 、 二个事件互不相容， ，则 ．
4．对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为 ，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为．
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x 5 4/ 4
x 5 z 0.025 1.96 ; 2
（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92） ，当 =6 时，接受 H 0 的概率为
P{1.08 X 8.92}
8.92 6 1.08 6 0.921 。 2 2
2 2 否正常？（ 0.05, t0.025 (9) 2.2622, 0.025 (9) 19.023, 0.975 (9) 2.700 ）
解： （1）检验假设 H0： 2=1，H1： 2≠1； 取统计量： 2
(n 1) s 2
2 0
；
拒绝域为： 2≤ 2 (n 1)
2 nX 2 16 5010 3764 .706 。 ； （2） 2 42.585 ( 2n)
六、 （本题 14 分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度 X ~ N (10,1) ，今阶段 性抽取 10 个水样，测得平均浓度为 10.8（mg/L） ，标准差为 1.2（mg/L） ，问该工厂生产是
1 服从 X
1
} 的值。
U /m ，其中 U ~ 2 (m),V ~ 2 (n) ，U V /n
1 V /n ~ F (n, m) 。 X U /m 1 1 当 m n 时， X 与 服从自由度为 (n, n) 的 F 分布，故有 P{ X } P{ X } ， X 1 1 1 P{ X } P{ } 1 P{ } 1 P{ X } 1 0.05 0.95 。 从而 X X
2x
2 dx ， 3
2
2
ˆ ) X 2 ，得 ˆ 3 X 为参数 的矩估计量。 令 E( X 3 2
(2)似然函数为： L( xi , )
i 1 n
2 xi
2
2n
x， 0 xi , (i 1,2, , n) ， 2n i
2 2 ( 0 .05 (31) 44.985, 0.10 (32) 42.585) 。
2nX 2nX 2 (2n) 1 , P 2 解：(1) P 1, ( 2n)
即 的单侧置信下限为
江西理工大学考试试卷
2011——2012 学年第一学期 （2012.1）
《数理统计 II》 课程 24 学时 1.5 学分
时间：100 分钟
考试形式：闭卷
专业年级：2012 级(第一学期) 一、填空题（本题 15 分，每题 3 分）
总分：100 分
1、总体 X ~ N (20,3) 的容量分别为 10，15 的两独立样本均值差 X Y ~ ________；
即为（0.3000，2.1137） 。
五、 （本题 10 分）设总体 X 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知， X 1 ,, X n 为取自 总体 X 的样本， 若已知 U
X i ~ 2 (2n) ，求：
i 1
2
n
（1） 的置信水平为 1 的单侧置信下限； （2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为 16 的样本，测得 样本均值为 5010 （ h ） ，试求元件的平均寿命的 置信 水平为 0.90 的单侧置信下限。
（A） S 2 是 2 的矩估计 （C） S 2 是 2 的无偏估计和相合估计
（B） S 2 是 2 的极大似然估计 （D） S 2 作为 2 的估计其优良性与分布有关
2 4、设总体 X ~ N (1 , 12 ), Y ~ N ( 2 , 2 ) 相互独立，样本容量分别为 n1 , n2 ，样本方差分别
i 1
n
ˆ max{X , X , , X } 。 而 L( ) 是 的单调减少函数，所以 的极大似然估计量为 1 2 n
四、 （本题 14 分）设总体 X ~ N (0, 2 ) ，且 x1 , x 2 x10 是样本观察值，样本方差 s 2 2 ，
（1）求 2 的置信水平为 0.95 的置信区间； （2）已知 Y
即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 10（mg/L） 。 综上，认为工厂生产正常。 七、 （本题 10 分）设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 为取自总体 X ~ N ( ,4 2 ) 的样本，对假设检验问题 （1）在显著性水平 0.05 下求拒绝域； （2）若 =6，求上述检验所犯 H 0 : 5, H 1 : 5 ， 的第二类错误的概率 。 解：(1) 拒绝域为 z
X2
2
X2 ~ 2 (1) ，求 D 3
的置信
2 2 水平为 0.95 的置信区间； （ 0 。 .975 (9) 2.70 ， 0.025 (9) 19.023 ）
解：
18 18 ，即为（0.9462，6.6667） （1） 2 的置信水平为 0.95 的置信区间为 2 ； , 2 0.025 (9) 0.975 (9)
2 2 、设 X 1 , X 2 ,..., X 16 为取自总体 X ~ N (0,0.5 2 ) 的一个样本，若已知 0 .01 (16) 32.0 , 则
P{ X i2 8} =有问题_；
i 1
16
3、设总体 X ~ N ( , 2 ) ，若 和 2 均未知， n 为样本容量，总体均值 的置信水平为
2 2 2 为 S12 , S 2 ，在显著性水平 下，检验 H 0 : 12 2 的拒绝域为（ , H 1 : 12 2
） 。
（A）
2 s2
s12
2 s2
F (n 2 1, n1 1)
（B）
2 s2
s12
2 s2
F
1
2
(n2 1, n1 1)
（C）
s12
F (n1 1, n 2 1)
（D）
s12
F
1
2
(n1 1, n 2 1)
5、设总体 X ~ N ( , 2 ) ， 2 已知， 未知， x1 , x 2 , , x n 是来自总体的样本观察值，已 知 的置信水平为 0.95 的置信区间为（4.71，5.69） ，则取显著性水平 0.05 时，检验假 设 H 0 : 5.0, H 1 : 5.0 的结果是（ （A）不能确定 （B）接受 H 0 ） 。 （C）拒绝 H 0 （D）条件不足无法检验
） 。 （C）
n ( X ）
（B）
n(X ) Sn
n 1( X ) Sn
3、设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体的样本， D ( X ) 2 存在， S 2 则（ ） 。
1 n (X i X ) 2 , n 1 i 1
中南大学考试试卷参考答案
2009——2010 学年第一学期（2010.1）
《数理统计 II》 课程 24 学时 1.5 学分
时间：100 分钟
考试形式：闭卷
一、填空题（本题 15 分，每题 3 分）
S 1 2 1、 N (0， ) ； 2、0.01； 3、 t (n 1) ； 4、 2 0 ； 5、 z z 0.05 。 2 n 2
1 2
2 2 2 2 0 .975 (9) =2.70 或 ≥ ( n 1) 0.025 =19.023，
2
经计算： 2
(n 1) s 2
2 0
9 1.2 2 12.96 ，由于 2 12.96 (2.700,19.023) 2， 1
故接受 H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 2=1。
(2)似然函数为： L( xi , )
i 1
n
2 xi
2
2n
2n
0 xi , (i 1,2, , n) ， xi ，
i 1
n
ˆ max{X , X , , X } 。 而 L( ) 是 的单调减少函数，所以 的极大似然估计量为 1 2 n
： 10，H 1 ： 10 ； （2）检验假设 H 0
取统计量： t
X 10 S / 10
~ t (9) ；
2
拒绝域为 t t 0.025 (9) 2.2622 ； t
10.8 10 1.2 / 10
， 2.1028 <2.2622 ，所以接受 H 0
二、选择题（本题 15 分，每题 3 分） 1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B. 三、 （本题 14 分）解：(1) E ( X ) x f ( x) d x 0
2x
2 dx ， 3
2
2
ˆ ) X 2 ，得 ˆ 3 X 为参数 的矩估计量。 令 E( X 3 2
1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B.
2x 0 x 2, f ( x ) 三、 （本题 14 分） 设随机变量 X 的概率密度为： ，其中未知 其他 0 ,
参数 0 ， X 1 ,, X n 是来自 X 的样本，求（1） 的矩估计； （2） 的极大似然估计。 解：(1) E ( X ) x f ( x) d x 0
1 S 2 1、 N (0， ) ； 2、0.01； 3、 t (n 1) ； 4、 2 0 ； 5、 z z 0.05 。 2 n 2
二、选择题（本题 15 分，每题 3 分） 1、设 X 1 , X 2 , X 3 是取自总体 X 的一个样本， 是未知参数，以下函数是统计量的为（ （A） ( X 1 X 2 X 3 ) （B） X 1 X 2 X 3 （C） ） 。