第六章课后习题答案

第六章 静电场中的导体与电介质 6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）

（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。 6 －2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ）

（A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地

（C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地

分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关。因而正确答案为（A ）。

6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ）

（A ）d εq V E 0π4,0=

= （B ）d

εq V d εq E 020π4,π4== （C ）0,0==V E

（D ）R εq V d εq E 020π4,π4==

分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。因而正确答案为（A ）。

6 －4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是( )

（A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷

（B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零

（C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷

（D ） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关

分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。因而正确答案为（E ）。 6 －5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ）

（A ） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍

（B ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍

（C ） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍

（D ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εｒ倍 分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有 ()∑⎰⎰=⋅=⋅+i

i S S εχq 001d d 1S E S E 即E ＝E ０/εｒ，因而正确答案为（A ）。

6 －6 不带电的导体球A 含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷q b 、q c ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷q d （如图所示）。试求点电荷q b 、q c 、q d 各受多大的电场力。

分析与解 根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；导体球A 外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电球对点电荷q d 的作用力。

()20π4r εq q q F d

c b

d +=

点电荷q d 与导体球A 外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电 荷q b 、q c 处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷q b 、q c 受到的作用力为零.

6 －

7 一真空二极管，其主要构件是一个半径R １ ＝5.0×10－4

m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外，半径R ２ ＝4.5×10－3m 的同轴圆筒形阳极．阳极电

势比阴极电势高300V ，阴极与阳极的长度均为L ＝2.5×10－２m ．假设电子从阴极射出时的速度为零．求：（１） 该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（２）电子刚从阳极射出时所受的力．

分析 （1） 由于半径R １＜＜L ，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性．从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电子所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少．由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率．

（2） 计算阳极表面附近的电场强度，由F ＝q E 求出电子在阴极表面所受的电场力．

解 （1） 电子到达阳极时，势能的减少量为

J 108.4Δ17-⨯-=-=eV E ep

由于电子的初始速度为零，故

J 108.4ΔΔ17-⨯-=-==ep ek ek E E E

因此电子到达阳极的速率为

1-7s m 1003.122⋅⨯===m

eV m E ek v （2） 两极间的电场强度为 r r ελe E 0π2-

= 两极间的电势差

1200ln π

2π2d 21R R e ελr ελV R R -=-=⋅=⎰r E 负号表示阳极电势高于阴极电势．阴极表面电场强度

r r R R R V R ελe e E 1

2110ln π2=-

= 电子在阴极表面受力 N 1037.414r e e E F -⨯=-=

这个力尽管很小，但作用在质量为９.1１ ×10

－3１kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加速度的5 ×10１5 倍．

6 －8 一导体球半径为R １ ，外罩一半径为R 2 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为V ０ ．求此系统的电势和电场的分布． 分析 若2

00π4R εQ V =，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度处处为零，内球不带电．

若2

00π4R εQ V ≠，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带电．一般情况下，假设内导体球带电q ，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示．依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布．并由⎰∞

⋅=p p V l E d 或电势叠加求出电势的分布．最后将电场强度和电

势用已知量V 0、Q 、R １、R 2表示．

解 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定理()()∑⎰⋅=⋅=⋅02/π4d εq r E r r E S E ，根据不同半径的