有趣的斐波那契数列例子

斐波那契数列

斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列通项公式

通项公式

(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）

注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）

通项公式的推导

斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：

F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)，

显然这是一个线性递推数列。

方法一：利用特征方程（线性代数解法）

线性递推数列的特征方程为：

X^2=X+1

解得

X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。

∵F(1)=F(2)=1。

∴C1*X1 + C2*X2。

C1*X1^2 + C2*X2^2。

解得C1=1/√5，C2=-1/√5。

∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}（√5表示根号5）。

方法二：待定系数法构造等比数列1（初等待数解法）

设常数r，s。

使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。

则r+s=1，-rs=1。

n≥3时，有。

F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。

F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。

F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。

……

F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。

联立以上n-2个式子，得：

F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。

∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。

上式可化简得：

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 。

那么：

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)。

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)。

……

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)。

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)。

（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。

=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)。

=(s^n - r^n)/(s-r)。

r+s=1，-rs=1的一解为s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。

则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}。

方法三：待定系数法构造等比数列2（初等待数解法）

已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式。

解:设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))。

得α+β=1。

αβ=-1。

构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2。

所以。

an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1 )`````````1。

an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1 )`````````2。

由式1,式2,可得。

an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。

an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。

将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。

与黄金分割的关系

有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n无穷大时(an-1)/an越来越逼近黄金分割数0.618。

1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…。..

越到后面，这些比值越接近黄金比.

证明:

a[n+2]=a[n+1]+a[n]。

两边同时除以a[n+1]得到：

a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。

若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x，

则lim[n->∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->∞](a[n+1]/a[n])=x。

所以x=1+1/x。

即x²=x+1。

所以极限是黄金分割比。

奇妙的属性

斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等，有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷，把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数。比如钢琴上白键的8，黑键上的5都是斐波那契数，因该把它看做巧合还是规律呢？

随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……

从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）

多了的一在哪？

如果你看到有这样一个题目：

某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故

作惊讶地问你：为什么64=65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、