模拟信号的数字编码

Fs (ω ) H (ω ) =
或者
1 F (ω ) Ts
(8.2.7)
F (ω ) = Ts Fs (ω ) H (ω )
(8.2.8)
其中，由(8.2.5),(8.2.4)式可得
Fs (ω ) ↔ f s (t ) = f (t )δT (t ) =
n =−∞
∑
∞
f ( nt )δ (t − nTs )
f s (t ) = f (t )δ T (t ) = f (t ) ∑ δ (t − nTs ) =
n = −∞
+∞
n = −∞
∑ f (nT )δ (t − nT ) (2.2.4)
s
+∞
4
利用卷积定理可得（8.2.4）式的傅氏变换为
f (t )
F (ω )
(a)
t
− Wm Wm
ω
δ T (t )
ST (t ) =
n =−∞
∑
∞
s (t − nTs ) ↔ ST (ω ) = τωs
m =−∞
∑ Sa
∞
mωsτ δ (ω − mωs ) (8.2.13) 2
其中， s (t ) 是幅度为 1，脉宽是 τ ,τ < Ts 的矩形脉冲， Ts 是抽样间隔（即抽 样周期）， ωs =
2π Ts
8
抽样后的样值序列为 f s (t ) ，在抽样脉宽内，它保留了模拟信号的波形，因 此称其为自然抽样。 象自然抽样这样， 用非单位冲击序列进行抽样的时间离 散化过程被称为非理想抽样。
1 1 间隔 T（即 Ts ≤ ） 的样值序列 f ( kTs ) 无失真地恢复 f (t ) 。 s 2 fm 2 fm
抽样定理表明， 要能不失真地从样值序列中恢复原来的带限信号 f (t ) ， 抽样间隔 Ts 或抽样速率 f s 必须满足下面条件：
2
Ts ≤
或
1 2 fm
(8.2.1)
fs ≥ 2 fm
Fs (ω ) ，等于原模拟信号的频谱 F (ω ) 的周期延拓，延拓周期是 ω s ，且幅
度成为原来的 1
Ts
。
我们再来仔细研究图 8.2.3（c）,可以看出： ①．当抽样频率 f s 满足 2π f s = ωs ≥ 4π f m = 2ωm 时：周期延拓后的频 谱不会出现重叠，因而可以用截止角频率为 ωm 的理想低通滤波器(LPF),从 样值序列信号 f s (t ) 的频谱 Fs (ω ) 中滤出原来模拟信号的频谱 F (ω ) 。恢复 的模型如图 8.2.2(b)所示。这正是抽样定理所要求的。 ②．当抽样频率 f s 太小，以至于 ωs < 2ωm 时： 周期延拓后的频谱就会出现重叠， 如图 8.2.4 所示。 这时用任何滤波器 都无法不失真地恢复原来的模拟信号，我们把这种由于频谱混叠产生的失 真，称为混叠失真、折叠失真。
3
(8.2.3)表明，周期为 Ts 的单位冲激序列的频谱还是理想冲激序列，只是周 期变为 ω s =
2π ，幅度变为 ω s 。 Ts
由图 8.2.2 所示的时间离散化模型可得，抽出的样值信号 f s (t ) 是模拟 信号 f (t ) 与单位冲激序列 δ T (t ) 的乘积，其频谱为 Fs (ω ) ,如图 8.2.3(c) 所示：
(8.2.2)
通常取等号的最小抽样速率 f s 叫做奈奎斯特速率；最大抽样间隔 Ts 叫 做奈奎斯特间隔。由于抽样瞬间是相等的，所以也叫做均匀抽样定理。 带限信号可用离散样值序列精确恢复，这在信号理论中具有很大价值， 它意味着一个连续信号所具有的无限个点的信号值， 可减少为可数个点的信 号值序列。这就使得在一些孤立的瞬时处理信号成为可能。例如：将波形的 抽样值转换为具有有限位数的数字代码实现数字化， 因而能被计算机或其它 数字电路处理； 也可以将多个信号的抽样值在时间上相互穿插， 实现多路复 用等等。因此，抽样定理是数字通信中最基本、最重要的定理之一，是模拟 信号数字化、时分多路复用等的理论依据。 一、从频域证明抽样定理 抽样的数学模型是一乘法器，如图 8.2.2(a)所示
(8.2.9)
而在图 8.2.3（d）中理想 LPF 的输出函数
H (ω ) ↔ h(t ) =
其中： Sa ( x ) =
ωm Sa (ω m t ) π
(8.2.10)
sin x 是抽样函数。 x
因此由(8.2.8)式根据卷积定理可得
f (t ) = TS f S (t ) ∗
= TS ω m π TS ω m π
δT(t)是理想的单位冲激脉冲序列，做抽样信号，其频谱为δT(ω),如 图 8.2.3(b)所示
δ T (t ) =
n = −∞
∑ δ (t − nTs ) ↔ δ T (ω ) = ω s
+∞
m = −∞
∑ δ (t − mω
+∞
s
)
(8.2.3)
其中， Ts 是时域抽样间隔， ω s =
2π 是抽样信号周期频谱的周期。式 Ts
模拟信号的频谱，做到无失真地恢复原模拟信号。 2．脉冲幅度调制 PAM 系统 从上面的分析可以看出， 不论是理想抽样还是自然抽样， 已抽样脉冲的 幅度都随信号幅度的变化而变化，因此它们都属于脉冲幅度调制 PAM，对这 样的信号， 由前面的分析可知， 可以用一个截止频率等于模拟带限信号最高 频率的理想低通滤波器来恢复原模拟带限信号，因此，脉冲幅度调制 PAM 系统如图 8.2.5(d)所示。 需要说明的是， 实际上用任何形状的脉冲做抽样信号， 都不影响抽样的 实质。 3．抽样保持 在实际的模/数变换中，也不宜采用矩形脉冲做抽样信号，因其在抽样 脉宽内样值的幅度是随时间而变化的， 为其后的量化带来困难。 实际中我们 先用窄脉冲序列进行近似理想的抽样， 而后再经过展宽电路保持抽出的样值 在脉宽内不变，从而形成平顶的样值序列，供其后的量化、编码之用。 窄脉冲抽样后再做展宽形成， 这一过程称为抽样保持、 瞬时抽样或平顶 抽样。模型如图 8.2.6 所示。其中展宽电路是用来形成矩形脉冲的，可由线 性电路实现，传递函数为 H (ω ) 。
f(t) δT(t)
fs(t)
fs(t)
低通滤波器 H(ω) -ωm ωm ω
f(t)
图 8.2.2(a) 实现时间离散化的抽样模型
(b) 将样值序列恢复为模拟信号
假设 f (t ) 是被抽样的模拟信号，其频谱为 F (ω ) ,该信号的频谱限制在
ω m = 2π f m 之内，如图 8.2.3(a)所示。
同，为 Sa
抽样的样值序列的频谱 Fs (ω ) ，不是原来带限模拟信号频谱的等幅周期延 拓，延拓幅度只随着 m 的增大按 Sa
mωsτ 而衰减，因此，随着 m 的增大延 2
拓频谱的幅度在衰减，但形状不变。 由此我们可以得到这样的结论： 用矩形脉冲序列抽样， 只要抽样的速率
f s 满足 f s ≥ 2 f m ，同样可以用理想低通滤波器从样值序列的频谱中滤出原
1
本章主要介绍语音信号抽样、量化和编码的基本理论和脉冲编码调制 PCM、差分脉冲编码调制 DPCM 和简单增量调制 DM 的基本原理，并分析它 们的抗噪声性能。最后对数字电话系统作一简单介绍。
8.2
抽样定理
要把时间和幅度都连续的模拟信号变为数字信号， 就要对其进行离散化 处理。 抽样就是实现模拟信号在时间上离散化的过程， 即由它完成抽取离散 时间点上的信号值 （常被称为样值） 的任务。 该过程必须严格遵循抽样定理。
(b)
δ ω (ω )
t TS f S (t ) t
ω
ωs
FS (ω )
(c)
ωs
ω
h(t )
H (ω )
Wm
1
π
(d)
t
−
π
Wm
π
Wm
− Wm 0 Wm
ω
f S (t ) ∗ h(t )
FS (ω ) H (ω )
F (ω ) TS
(e)
t
− Wm 0 Wm
ω
图 8.2.3 低通信号的抽样,恢复
5
第八章 模拟信号的数字编码
8．1 概 述
通信系统从所传输的信号类别上可以分为模拟通信系统与数字通信系 统两大类。和模拟系统相比，数字通信具有许多优点，因而应用日益广泛， 已成为现代通信的发展方向。 但在实际当中， 绝大多数的物理量是以模拟信 号的形式出现的，例如通信中的电话、图像等信号，它们都是在时间和幅度 上连续取值的模拟量。 对这些模拟信号， 要想利用具有诸多优点的数字通信 系统对其实现数字化的交换和传输， 首先要做的是， 将模拟信号变为数字信 号。本章将以对语音信号的数字化为例，介绍这方面的知识。 将模拟信号变为数字信号的工作，常常也被叫作模/数变换，或模拟信 号的数字编码。它的逆过程被称为数/模变换，或解码。在通信系统中，编 码技术分为两大类， 一类是以提高通信系统有效性为目的的信源编码， 另一 类是以增强通信系统可靠性为目的的信道编码， 显然， 本章所要介绍的模拟 信号的数字编码属于信源编码。 模拟信号数字化的方法有许多，常用的有波形编码和参量编码两大类。 波形编码是对统计特性经处理后的信号波形进行编码。脉冲编码调制(PCM 编码)就是最典型的代表，它的特点是具有较高的信号重建质量。参量编码 是直接提取信号的特征参量，对这些参量进行编码。典型的例子是，语音信 号的声码器，它的特点是大大压缩了数据，降低了数据速率，但与波形编码 相比，质量要差。 模拟信号数字传输系统如图 8.1.1 所示， 在发送端， 需将模拟信号经过 抽样、量化和编码各步骤，变换成数字基带信号，送入数字通信系统进行传 输，在接收端，则通过译码和低通滤波等逆变换，将数字信号恢复为原始的 模拟信号，从而达到用数字方式传输模拟信号的目的。
∞
ωm S a (ω m t ) π
S S a m
n = 百度文库∞
∑ f (nT )δ (t − nT ) ∗ S (ω t ) ∑ f (nT )S [ω (t − nT )]
S a m S
=
∞
n = −∞
(8.2.11)
如果取 ω s = 2ω m ，那么 Ts =
2π
ωs
S
=
Tω 2π π = ，则 s m = 1 ，于是 π 2ω m ω m
Fs (ω )
…
H (ω )
…
ω
−2ω s
−ω s
0
ωm ωs
2ω s
ωs − ωm
图 8.2.4 当抽样频率 ωs < 2ωm 时，样值序列的频谱产生混叠失真 修正混叠失真的方法首先是在抽样之前对消息信号进行滤波， 使之成为 带限的信号。下面需要足够高的抽样频率，要满足 ωs ≥ 2ωm ，以包含消息
6
频谱的有效部分。此外还需好的低通滤波性能。 以上的分析使我们从频域证明了抽样定理是正确的。 二、从样值序列 f s (t ) 中恢复原模拟信号 f (t ) 从图 8.2.3(c)，(d)可以看出，从样值序列中恢复原模拟信号的过程相 当于让 Fs (ω ) 过传输函数为 H (ω ) 的低通滤波器，恢复模型如图 8.2.2(b) 所示。因此过滤波器后的输出为：
(8.2.15)
9
将(8.2.15)式与理想抽样的频谱表示式(8.2.6)相比我们可以看出，非 理想抽样序列的频谱也是模拟信号频谱 F (ω ) 的周期延拓，延拓周期也是
ωs =
2π ，所不同的是，每次延拓的模拟信号频谱 F (ω − mωs ) 前的系数不 Ts
mωsτ ，这样的频谱关系如图 8.2.5 所示。也就是说，矩形脉冲 2
f s (t ) ↔ Fs (ω ) =
+∞ 1 [ F (ω ) ∗ ω s ∑ δ (ω − mω s )] 2π m =−∞
(8.2.5)
∴ Fs (ω ) =
1 Ts
m =−∞
∑ F (ω − mω )
s
+∞
(8.2.6)
从图 8.2.3(c)及上式可以看出：抽样后样值序列信号 f s (t ) 的频谱
8.2.1 抽样定理
模拟通信系统传输的是模拟信号的波形， 而模拟信号的数字传输， 传输 的是模拟信号经抽样、量化、编码后的样值，显然从波形上看，后者只传了 部分波形， 如果这部分波形代表了模拟信号的全部信息， 就说明模拟信号的 波形中存在冗余。如果只传部分波形的想法是可行的，从效率的角度来看， 我们希望包含模拟信号全部信息的样值越少越好， 即样值越稀越好， 显然无 限稀是不可能的， 那稀到什么程度是合适的？这将是抽样定理告诉我们的内 容。 抽样定理：频谱成分限制在 f m 以下的带限信号 f (t ) ，可以用时间上小 于、 等于
f s (t ) = f (t ) ST (t ) ↔ Fs (ω ) =
其频谱 Fs (ω ) 为：
1 F (ω ) ∗ ST (ω ) 2π
(8.2.14)
Fs (ω ) =
∞ mωsτ 1 δ (ω − mωs ) F (ω ) ∗τωs ∑ Sa 2π 2 m =−∞ mωsτ τ ∞ = Sa F (ω − mωs ) ∑ Ts m =−∞ 2
m S
f (t ) =
n = −∞
∑ f (nT )S [ω (t − nT )]
a
∞
(8.2.12)
7
该式表明，任何一个频带有限的信号 f (t ) 可以展开成以抽样函数 级数中各分量的相应系数就是原带限模拟信 Sa ( x) 为基本信号的无穷级数， 号在相应抽样时刻 t = nTs 上的抽样值。如图 8.2.3（e）所示。 这就是说，任何一个频带受限的模拟信号，只要知道了全部样值，就可 以用其满足抽样定理所抽的抽样值来确定原模拟信号。 这从时域上证明了抽 样定理。 三、非理想抽样和抽样保持 1．非理想的矩形脉冲抽样 在前述抽样定理中，我们采用的抽样函数是单位冲击脉冲序列 δ T (t ) ， 对这样的抽样，常常被称为理想抽样。但实际中，不可能产生无脉宽的单位 冲击脉冲 δ (t ) ，因此可以用矩形脉冲序列 ST (t ) 做抽样信号，如图 8.2.5 所 示，