【全国市级联考word】辽宁省凌源市2017-2018学年高二上学期期末考试理数试题

凌源市2017～2018学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,3}A =，2={|30}B x x x -=，则AB =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,3}D ．{0,1,3}2.“2x >”是“2280x x +->”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.函数y = ）A ．-1B ．1C ．6D ．74.已知双曲线的中心为原点，(3,0)F 20y -=是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ） A ．2214536x y -= B ．2213645x y -= C.22154x y -= D ．22145x y -= 5.若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（ ）A ．(1,0,0),(2,0,0)a n ==-B ．(1,3,5),(1,0,1)a n ==C.(0,2,1),(1,0,1)a n ==-- D ．(1,1,3),(0,3,1)a n =-=6.已知A 为抛物线22(0)x py p =>上一点，则A 到其焦点F 的距离为（ ）A ．32B 12+ C.2 D 1+ 7.执行如图所示的程序框图，如果输出的k 值为3，则输入a 的值可以是（ ）A ．20B ．21 C.22 D ．238.为得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需要将函数cos 2()4y x π=-的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C.向右平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 9.若(0,)2πα∈，cos()24παα-=，则sin 2α等于（ ） A ．1516 B ．78D ．1532 10.若,x y 满足约束条件201050y x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值是（ ） A ．32B ．1 C.2 D ．3 11.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．172πB ．9π C.192π D ．10π 12.函数()f x 的定义域为[1,1]-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[2,2]-，图象如图2所示，方程(())0f g x =有m 个实数根，方程(())=0g f x 有n 个实数根，则m n +=（ ）A ．6B ．8 C.10 D ．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知0,0a b >>，且1a b +=，则11a b+的最小值是 ． 14.已知向量(2,1,3)a =-，(4,,2)b y =-，且()a a b ⊥+，则y 的值为 ．15.已知P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是 ．16.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点P (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点12,B B 的连线交x 轴于点M 和N ，则|||ON |OM +的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知:p 函数22y x x a =-+在区间(1,2)上有1个零点；:q 函数2(23)1y x a x =+-+图象与x 轴交于不同的两点.若“p q ∧”是假命题，“p q ∨”是真命题，求实数a 的取值范围.18.在数列{}n a 中，112a =，112n n n a a n ++=，n N *∈. （1）求证：数列{}n a n为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.19.已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a A c B b C =+.（1）求cos A 的值；（2）若224b c +=，求ABC ∆的面积.20.某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示.（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，且过点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆E 交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.22.如下图，在三棱锥A BCD -中，CD BD ⊥，AB AD =，E 为BC 的中点.（1）求证：AE BD ⊥；（2）设平面ABD ⊥平面BCD ，2AD CD ==，4BC =，求二面角B AC D --的正弦值.试卷答案一、选择题1-5:CBBDD 6-10:AADAC 11、12：BC二、填空题13.4 14.12 15.2a三、解答题17.解：对于:p 设2()2f x x x a =-+.该二次函数图象开向上，对称轴为直线1x =，所以(1)10(2)0f a f a =-+<⎧⎨=>⎩，所以01a <<； 对于:q 函数2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，所以2(23)40a -->，即241250a a -+>， 解得52a >或12a <. 因为“p q ∧”是假命题，“p q ∨”是真命题，所以,p q 一真一假.①当p 真q 假时，有011522a a <<⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，所以112a ≤<； ②当p 假q 真时，有101522a a a a ≥≤⎧⎪⎨<>⎪⎩或或，所以52a >或0a ≤. 所以实数a 的取值范围是15(,0][,1)(,)22-∞+∞. 18.证明：（1）由112n n n a a n++=⋅，知1112n n a a n n +=⋅+，又112a =， ∴则数列{}n a n 是以12为首项，公比为12的等比数列. 解：（2）由（1）知数列{}n a n 是首项为12，公比为12的等比数列， ∴1()22n n a =，∴2n n n a =. ∴1212222n n n S =+++，① 则2311122222n n n S +=+++，②①-②，得2311112222n S =++1122n n n +++-=111211222n n n n n +++--=-， ∴222n n n S +=-. 19.解：（1）因为2cos cos cos a A c B b C =+，所以2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+，所以2sin cos sin()A A B C ⋅=+.因为A B C π++=，所以sin()sin B C A +=，所以2sin cos sin A A A ⋅=.因为0A π<<，所以sin 0A ≠.所以2cos 1A =，所以1cos 2A =.（2）据（1）求解知1cos 2A =，又(0,)A π∈，∴sin A =，又据题设知2sin a A=，得2sin a A ==. 因为由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，所以222431bc b c a =+-=-=.所以11sin 22ABC S bc A ∆=== 20.解：（1）第1组人数50.510÷=，所以100.1100n =÷=；第2组人数1000.220⨯=，所以200.918a =⨯=；第3组人数1000.330⨯=，所以27300.9x =÷=；第4组人数1000.2525⨯=，所以250.369b =⨯=；第5组人数1000.1515⨯=，所以3150.2y =÷=.（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:92:3:1=，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人.（3）记抽取的6人中，第2组的记为12,a a ，第3组的记为123,,b b b ，第4组的记为c ，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是121112131(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a c ，212223212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a c b b ，1312323(,),(,),(,),(,),(,)b b b c b b b c b c ，其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，12122232(,),(,),(,),(,),(,)a c a b a b a b a c ，故所求概率为93=155. 21.解：（1）依题意，得2221c a a b c+=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆E 的方程是2214x y +=. （2）当k 变化时，2m 为定值.证明如下： 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)84(m 1)0k x kmx +++-=. 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，122814km x x k+=-+，21224(1)14m x x k -=+，（*） 因为直线OP ，直线OQ 的斜率分别为12,k k ，且124k k k =+， 所以111212124y y kx m kx m k x x x x ++=+=+，得12122()kx x m x x =+， 将（*）代入解得212m =，经检验知212m =成立. 故当k 变化时，2m 为定值12. 22.证明：（1）设BD 的中点为O ，分别连接,AO EO .又因为AB AD =，所以AO BD ⊥.因为E 为BC 的中点，O 为BD 的中点，所以//EO CD .又因为CD BD ⊥，所以EO BD ⊥.又因为OA OE O =，,OA OE ⊂平面AOE ，所以BD ⊥平面AOE .又因为AE ⊂平面AOE ，所以BD AE ⊥，即AE BD ⊥.解：（2）由（1）求解知AO BD ⊥，EO BD ⊥.因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD .又因为EO ⊂平面BCD ，所以AO EO ⊥.所以,,OE OD OA 两两相互垂直.因为CD BD ⊥，4BC =，2CD =，所以BD ==.因为O 为BD 的中点，AO BD ⊥，2AD =，所以BO OD ==，1OA ==.以O 为坐标原点，,,OE OD OA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0)O ，(0,0,1)A，(0,B，C，D，所以(0,1)AB =-，1)AC =-，(0,3,1)AD -.设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则n AB ⊥，n AC ⊥.所以020z x z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，取y =33x z =⎧⎨=⎩. 所以(3,3,3)n =-是平面ABC 的一个法向量.同理可求平面ADC 的一个法向量(0,3,3)m =.设二面角B AC D --的大小为θ，则7|cos |||||||m n m n θ⋅==因为0θπ<<，所以sinθ==，所以二面角B AC D --.。