极限思想的产生与发展

毕业论文题目极限思想的产生与发展专业数学教育院系数学系学号 *********姓名指导教师二○一三年五月定西师范高等专科学校2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师：目录内容摘要： ............................................................................................................... (4)关键词： (4)引言： (5)一、极限思想的产生 (6)二、极限思想发展的分期 (6)（一）极限思想的萌芽时期 (6)（二）极限思想的发展时期 (8)（三）极限思想的完善时期 (8)三、极限思想与微积分 (9)（一）微积分的孕育 (10)（二）牛顿与微积分 (11)（三）莱布尼茨与微积分 (12)（四）微积分的进一步发展 (13)结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (15)内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。

极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。

关键词极限；无穷；微积分引言极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。

极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。

在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。

纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。

而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。

从最初时期朴素、直观的极限观，经过了2000多年的发展，演变成为近代严格的极限理论，这其中的思想演变是渐进的、螺旋式发展的、相互推动的。

极限理论是微积分学的基础，极限方法为人类认识无限提供了强有力的工具，它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想。

极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的极好应用。

理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史和数学哲学史上的一些问题将具有一定的理论意义。

对于培养人的思维方法、思维品质，提高其分析问题和解决问题的能力都有极好的促进作用。

一、极限思想的产生限思想的产生和其他科学思想一样，是经过历代古人的思考与实践一步一步渐渐积累起来的，因此它也是社会实践的产物。

极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊认的穷竭法也蕴含了极限思想，但希腊人对“无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的归谬法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。

如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术，代数和初等几何的简单方法来解决的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果”。

两千多年前可以称作是极限思想的萌芽阶段。

其突出特点为人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够系统而清晰的利用极限思想解释现实问题。

极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺、中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。

我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。

”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝竿会越来越短，长度越来越趋于零，但又有缘不会等于零。

这更是从直观上体现了极限思想。

我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用。

所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的面积S就越来越接近于圆的面积πR。

在有限次的过程中，用正多边形的面积来逼近圆的面积，只能到达近似的程度。

但可以想象，如果把这个过程无限次的继续下去，就能得到精确的圆面积。

二、极限思想发展的分期（一）极限思想的萌芽时期远在2000多年以前，人们在对无穷的萌芽认识中，极限的思想和方法就不可回避的孕育在其中了。

在我国，著名的《庄子·天下篇》一书中记有：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。

”墨家著作《墨子·经天下》中也有“非半弗，则不动，说在端。

”的论述。

从中可体现出我国早期对物质的无限可分性与连续性已有了相当深刻的认识，虽然这些认识属于哲学，但已反映出极限思想的萌芽。

将无穷思想创造性地运用到数学中的是我国魏晋时期的数学家刘徽。

刘徽在注释《九章算术》中多次用到极限思想处理问题，运用的比较熟练，说明当时他已经对极限思想有了相当深刻的认识。

对极限的观念和方法已经有了直观基础上的运用。

正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率。

到公元五世纪，南北朝时期的大数学家、科学家祖冲之（429—500年）的《缀术》中，同样运用“割圆术”推算出24576边形得到：3.1415926<π<3.1415927。

祖冲之这一成果领先世界近千年。

在国外，古希腊的巧辩学派—几何三大问题。

安提芬在研究画圆为方的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积，当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”,而布莱森（约公元前450年）则从相反的方向，提出通过圆的外切正多边形的面积来逼近圆的面积的思想。

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积的一般方法—“穷竭法”，这种方法假定量的无限可分性，并且以及下面命题为基础：“如果从任何量中减去一个不小于它的一半部的部分，从剩余部分中再减去不小于它的一半的另一部分，继续下去，则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量”。

应用穷竭法，欧多克斯(约公元前400—前347年）正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”。

他的穷竭法也已经体现出了极限论思想。

继欧多克索斯之后，阿基米德使用穷竭法求出了一系列几何图形的面积。

他用足够“内接”和“外切”扇形逼近螺线所围成的平面图形，这和我国的“割圆术”理论大相径庭，实质上是一种极限思想。

阿基米德（Archimedes，公元前287—前212年）生于叙拉古（现意大利西西里岛）。

他才智过人、成果卓著，被誉为古代最伟大的数学家和科学家。

他的传世名著有《圆的测量》、《论球体和圆柱体》、《论劈锥曲面体与球体》、《抛物线弓形求积》、《论螺线》、《砂粒计算》等。

他巧妙地把欧克多索斯与人的穷竭法与德·谟克利特的原子论观点结合起来通过严密的计算，解决了求几何图形的面积、体积、曲线场，计算大量的计算问题。

他突破了传统的有限运算，采用了无限逼近的思想，将需要求积的量分成许多微小单元，再来用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较，他的无穷小概念到17世纪被牛顿作为微积分的基础。

阿基米德的杰出成就丰富了古代数学内容，其思想的深度和论述的严密性在当时是极为罕见的，因而被人们称为“数学之神”,并与高斯、欧拉和牛顿并称为19世纪以前的“数学四杰”。

由此，我们可以看到数学无穷思想发展之初，古人已经在极限领域开创了光辉的起点。

（二）极限思想的发展时期14世纪末，欧洲开始有了资本主义的萌芽，到15世纪中期，封建制度的解体，欧洲的生产力得到了迅速地发展，开始了“文艺复兴”时代。

由于生产力的发展，也推动了科学技术的进步，当时，围绕着力学为中心，在天文学、物理学、地理学等方面都提出了大量的新问题，对这些问题的探究促进了相关科学的发展。

如哥白尼“日心说”的诞生带来了一场自然科学的革命；由于对天体力学的研究，涌现出了一批科学家，如斯蒂文、伽利略、开普勒等，他们在数学方面也做了大量的研究工作，为微积分的发展奠定了基础，为极限思想和方法的发展及运用带来了机遇。

16世纪以后，欧洲处于资本主义的萌芽时期，生产力得到了极大的发展。

生产力和科学技术中发生了大量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、受力做功问题等，初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想，新的数学方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动，变化过程的新工具，这极大的促进了极限思想的发展。

众多数学家为解决上述问题做了不懈的努力，如笛卡尔、费马、巴罗、卡瓦列里、沃利斯等，并取得了一定成果，尤其是牛顿和莱布尼茨创立微积分的工作，他们都以不同的角度运用了极限的思想和方法，虽然他们的工作过多的依赖于直观，缺乏严密的逻辑基础，但在他们的努力和成就为极限思想的进一步完善奠定了坚实的基础。

（三）极限思想的完善时期18世纪微积分富有成果然而欠缺严密的基础，因而受到了人们的怀疑和攻击。

英国哲学家大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。

正因为当时缺乏严密的极限定义，微积分理论才受到严峻的挑战。

弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身的需要，而且还有着认识论上的重大意义。

柯西的贡献几乎遍及所有数学领域，在他的7本专著和800篇论文中，可以看出他在微积分学、级数理论、微分方程、复变函数论、数论、行列式论、群论等方面都有研究和贡献。

1821年至1826年他的《无穷小计算在几何中的应用》和《无穷小分析讲义》等3部专著给出了分析学的一系列基本理论的严格定义，从而形成了现代微积分体系，他是近代微积分的奠基着。

在复变函数方面，柯西在《关于定积分理论的报告》中，从可交换积分顺序的二重积分着手，导出来积分于路径无关的柯西理论。

他证明了函数()f z 在极点1z 的留数为：1()()2c f z d z iπ⎰（其中c 为包含1z 的圆）。

并且他还证明了：如果曲线C 包围着函数()f z 的一些极点，则()f z 沿曲线C 的积分就是该函数在这些极点上留数之和的2i π倍。

在微积分方程理论中，柯西探讨了微分方程的存在性问题，证明了微分方程在不包含奇点的区域内存在着满足给定条件的解这一事实，从而使微分方程的理论得以进一步深化。

在研究微分方程的解法时，他成功地提出了优势函数法，柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于19世纪70年代各自建立了完整的实数体系。