等差数列知识点总结和题型总结
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
等差数列知识点总结与题型归纳
一．等差数列知识点：
知识点 1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示
知识点 2、等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列an ，若 an1 an d (常数)，则数列an 是等差数列
n
项和，求使得 Tn
m 20
对所有 n N 都成立的
最小正整数 m
6
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
五、等差数列习题精选
1、等差数列{an}的前三项依次为 x ， 2x 1 ， 4x 2 ，则它的第 5 项为（ ）
A、 5x 5
B、 2x 1
C、5
D、4
2、设等差数列{an}中， a4 5, a9 17 ,则 a14 的值等于（ ）
1
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
也就是： a1 an a2 an1 a3 an2
⑨若数列 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项的和， k N * ，那么 Sk ， S2k Sk ，
S3k S2k 成等差数列 如下图所示：
S3k a1 a2 a3 ak ak 1a2k a2k1a3k
11、在等差数列an 中， a2 a8 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 （ ）
A．18
B 27
C 36
D9
12、设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则 a7 a8 a9 （ ）
A．63
B．45
C．36
D．27
13、在等差数列 an 中， a1 a2 a3 15, an an1 an2 78 ， Sn 155 ，
则n
。
14、数列an 是等差数列，它的前 n 项和可以表示为 （
）
A. Sn An2 Bn C
C. Sn An2 Bn C a 0
B. Sn An 2 Bn
D. Sn An2 Bn a 0
小结 1、等差中项：若 a, A,b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且 A a b 2 2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
．
2
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
8、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2 1, a3 3,则S4＝（ ）
（A）12
（B）10
（C）8
（D）6
9、设数列 an 的首项 a1 7,且满足a n1 a n 2 (n N) ，则
a1 a 2 a17 ______.
75 ， Tn
为数列
Sn n
的前
n
项和，求 Tn
。
5
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
4、已知an 是等差数列， a1 2 ， a3 18 ；bn 也是等差数列， a 2 b2 4 ，
b1 b2 b3 b4 a1 a2 a3 。
（1）求数列bn 的通项公式及前 n 项和 Sn 的公式； （2）数列 an 与bn 是否有相同的项？ 若有，在 100 以内有几个相同项？若没有，
A. 1 n3n 4
2
B. 1 n3n 7 C. 1 n3n 4 D. 1 n3n 7
2
2
2
3、已知等差数列 an 满足 a1 a2 a3 a99 0 ，则 （
）
A. a1 a99 0
B. a1 a99 0 C. a1 a99 0 D. a50 50
4、在等差数列 an 中， a1 a2 a3 15, an an1 an2 78 ， Sn 155 ，
8、
若两个等差数列
an
和
bn
的前
n
项和分别是
Sn，Tn
，已知
Sn Tn
7n ，则 a5
n3
b5
等
于（ ）
Ａ． 7
Ｂ． 2 3
Ｃ． 27 8
Ｄ． 21 4
4
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
题型四、等差数列综合题精选 1、等差数列{ an }的前 n 项和记为 Sn.已知 a10 30, a20 50.
A.d＞ 8 3
B.d＜3
C. 8 ≤d＜3 3
D. 8 ＜d≤3 3
6、.在数列 { an } 中， a1 3 ，且对任意大于 1 的正整数 n ，点 ( an , an1 ) 在直
x y 3 0 上，则an =_____________.
7、在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则 a4＋a5＋…＋a10＝
则n
。
5、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S2 2, S4 10, 则S6等于 （
）
A．12
B．18
C．24
D．42
6、若等差数列共有 2n 1项 n N * ，且奇数项的和为 44，偶数项的和为 33，
则项数为 （ ）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
7、 设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则 a7 a8 a9
1、已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则 a5 等于（ ） (A)4 (B)5 (C)6 (D)7
2、设 Sn 是等差数列an 的前 n 项和，若 S7 35 ，则 a4 （ ）
A． 8
B． 7
C． 6
D． 5
3、 若等差数列 an 中， a3 a7 a10 8,a11 a4 4, 则 a7 __________ .
9、如果 a1 ， a2 ，…， a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d 0 ，则( )
3
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
（A） a1 a8 a4a5 （B） a8 a1 a4a5 （C） a1 + a8 a4 + a5 （D） a1 a8 = a4a5
10、若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和
C、4
D、8
9、已知
为等差数列， a1 a3 a5 105, a2 a4 a6 99 ，则 a20 等于（ ）
A. -1
B. 1
C. 3
D.7
10、已知an 为等差数列，且 a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0,则公差 d＝（ ）
A.－2
B.－ 1 2
C. 1
D.2
2
7
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
a 2d , a d , a, a d , a 2d … （ 公 差 为 d ）； 偶 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为 … ， a 3d , a d , a d , a 3d ,…（公差为 2 d ）
n(a1 an ) 2
⑥ Sn
na1
n(n 1) 2
d
对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数
知识点 5、 等差中项:
⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 即： A a b 或
2
2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它
（其中
S奇
nan ，S偶
n 1 an ）．
二、题型总结：
题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）
1、.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ )
A . -1
B.1
C .-2
D. 2
2．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，则 a101 的值为 （ ）
4、记等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S2 4 ，S4 20 ，则该数列的公差 d=（ ）
A．7
B. 6 C. 3 D. 2
5、等差数列{an} 中，已知 a1
1 3
，
a
2
a5
4，an
33 ，则
n
为（
）
（A）48 （B）49 （C）50
（D）51
6.、等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ ）
Sk
S2k Sk
S3k S2k
10 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 性 质 ： ① 若 项 数 为 2n n * ， 则
S2n n
an an1
，且
S偶
S奇
nd
，
S奇 S偶
an an1
．②若项数为 2n 1
n *
，则
S2n1
2n
1 an
，且
S奇
S偶
an
，
S奇 S偶
n n 1
请说明理由。
5、已知二次函数 y f (x) 的图像经过坐标原点，其导函数为 f ' (x) 6x 2 ，数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，点 (n, Sn )(n N ) 均在函数 y f (x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列{an} 的 通项公式；
(Ⅱ)设 bn
3 a n a n1
,Tn 是数列{bn} 的前
(A) 3
(B) 2
(C) 2
(D) 2 或 2
7、在等差数列 an 中， a p q, aq p( p q) ，则 apq （ ）
A、 p q
B、 ( p q)
C、0
D、 pq
8、设数列 an 是单调递增的等差数列，前三项和为 12，前三项的积为 48，则它的
首项是（ ）
A、1
B、2
A、11
B、22
C、29
D、12
3、设an 是公差为正数的等差数列，若 a1 a2 a3 15 ， a1a2a3 80 ，
则 a11 a12 a13 ( )
A．120
B．105
C． 90
D． 75
4、若等差数列{an}的公差 d 0 ，则（ ）
（A） a2a6 a3a5
（B） a2a6 a3a5
10、已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则 a5 = __________
11、已知数列的通项 an= -5n+2,则其前 n 项和为 Sn=
.
12、设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， S4 ＝14， S10 S7 30 ，则 S9 ＝
.
题型二、等差数列性质
(A)9 (B)10 (C)11
(D)12
7、设
Sn
是等差数列
a
n
的前
n
项和，若
a5 a3
5 ,则 S9 9 S5
（
）
A．1 B．－1 C．2
D． 1 2
8、已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0 则有( )
A．α1＋α101＞0 B．α2＋α100＜0 C．α3＋α99＝0 D．α51＝51
③等差中项：对于数列 an ，若 2an1 an an2 ，则数列 an 是等差数列
知识点 3、 等差数列的通项公式:
④如果等差数列an 的首项是 a1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为
an a1 (n 1)d
该公式整理后是关于 n 的一次函数
知识点 4、等差数列的前 n 项和:
⑤ Sn
A．49
B．50
C．51
D．52
3．等差数列 1，－1，－3，…，－89 的项数是（ ）
A．92
B．47
C．46
D．45
4、已知等差数列{an }中， a7 a9 16, a4 1,则a12 的值是(
)
(
)
A 15
B 30
C 31
D 64
5. 首项为－24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
（C） a2a6 a3a5
（D） a2a6 与 a3a5 的大小不确定
5、 已知an 满足，对一 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
Ａ． 0
Ｂ． 0
Ｃ． 0
Ｄ． 3
6、等差数列 an 中，a1 1,公差d 0,若a1, a2 , a5成等比数列，则d 为 （ ）
的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项
的等差中项
知识点 6、等差数列的性质:
⑦等差数列任意两项间的关系：如果 an 是等差数列的第 n 项，am 是等差数列的 第 m 项，且 m n ，公差为 d ，则有 an am (n m)d
8 对于等差数列 an ，若 n m p q ，则 an am a p aq
为 390，则这个数列有（ ）
（A）13 项 （B）12 项 （C）11 项
（D）10 项
题型三、等差数列前 n 项和
1、等差数列an 中，已知 a1 a2 a3 a10 p ，an9 an8 an q ，则其前 n
项和 Sn
．
2、等差数列 2,1,4, 的前 n 项和为
（）
（Ⅰ）求通项 an ； （Ⅱ）若 Sn=242，求 n.
2、已知数列{an} 是一个等差数列，且 a2 1， a5 5 。 （1）求{an} 的通项 an ；（2）求{an} 前 n 项和 Sn 的最大值。
3、设 an 为等差数列， Sn 为数列 an 的前 n 项和，已知 S7 7 ，
S15
等差数列知识点总结与题型归纳
一．等差数列知识点：
知识点 1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示
知识点 2、等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列an ，若 an1 an d (常数)，则数列an 是等差数列
n
项和，求使得 Tn
m 20
对所有 n N 都成立的
最小正整数 m
6
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
五、等差数列习题精选
1、等差数列{an}的前三项依次为 x ， 2x 1 ， 4x 2 ，则它的第 5 项为（ ）
A、 5x 5
B、 2x 1
C、5
D、4
2、设等差数列{an}中， a4 5, a9 17 ,则 a14 的值等于（ ）
1
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
也就是： a1 an a2 an1 a3 an2
⑨若数列 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项的和， k N * ，那么 Sk ， S2k Sk ，
S3k S2k 成等差数列 如下图所示：
S3k a1 a2 a3 ak ak 1a2k a2k1a3k
11、在等差数列an 中， a2 a8 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 （ ）
A．18
B 27
C 36
D9
12、设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则 a7 a8 a9 （ ）
A．63
B．45
C．36
D．27
13、在等差数列 an 中， a1 a2 a3 15, an an1 an2 78 ， Sn 155 ，
则n
。
14、数列an 是等差数列，它的前 n 项和可以表示为 （
）
A. Sn An2 Bn C
C. Sn An2 Bn C a 0
B. Sn An 2 Bn
D. Sn An2 Bn a 0
小结 1、等差中项：若 a, A,b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且 A a b 2 2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
．
2
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
8、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2 1, a3 3,则S4＝（ ）
（A）12
（B）10
（C）8
（D）6
9、设数列 an 的首项 a1 7,且满足a n1 a n 2 (n N) ，则
a1 a 2 a17 ______.
75 ， Tn
为数列
Sn n
的前
n
项和，求 Tn
。
5
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
4、已知an 是等差数列， a1 2 ， a3 18 ；bn 也是等差数列， a 2 b2 4 ，
b1 b2 b3 b4 a1 a2 a3 。
（1）求数列bn 的通项公式及前 n 项和 Sn 的公式； （2）数列 an 与bn 是否有相同的项？ 若有，在 100 以内有几个相同项？若没有，
A. 1 n3n 4
2
B. 1 n3n 7 C. 1 n3n 4 D. 1 n3n 7
2
2
2
3、已知等差数列 an 满足 a1 a2 a3 a99 0 ，则 （
）
A. a1 a99 0
B. a1 a99 0 C. a1 a99 0 D. a50 50
4、在等差数列 an 中， a1 a2 a3 15, an an1 an2 78 ， Sn 155 ，
8、
若两个等差数列
an
和
bn
的前
n
项和分别是
Sn，Tn
，已知
Sn Tn
7n ，则 a5
n3
b5
等
于（ ）
Ａ． 7
Ｂ． 2 3
Ｃ． 27 8
Ｄ． 21 4
4
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
题型四、等差数列综合题精选 1、等差数列{ an }的前 n 项和记为 Sn.已知 a10 30, a20 50.
A.d＞ 8 3
B.d＜3
C. 8 ≤d＜3 3
D. 8 ＜d≤3 3
6、.在数列 { an } 中， a1 3 ，且对任意大于 1 的正整数 n ，点 ( an , an1 ) 在直
x y 3 0 上，则an =_____________.
7、在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则 a4＋a5＋…＋a10＝
则n
。
5、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S2 2, S4 10, 则S6等于 （
）
A．12
B．18
C．24
D．42
6、若等差数列共有 2n 1项 n N * ，且奇数项的和为 44，偶数项的和为 33，
则项数为 （ ）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
7、 设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则 a7 a8 a9
1、已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则 a5 等于（ ） (A)4 (B)5 (C)6 (D)7
2、设 Sn 是等差数列an 的前 n 项和，若 S7 35 ，则 a4 （ ）
A． 8
B． 7
C． 6
D． 5
3、 若等差数列 an 中， a3 a7 a10 8,a11 a4 4, 则 a7 __________ .
9、如果 a1 ， a2 ，…， a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d 0 ，则( )
3
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
（A） a1 a8 a4a5 （B） a8 a1 a4a5 （C） a1 + a8 a4 + a5 （D） a1 a8 = a4a5
10、若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和
C、4
D、8
9、已知
为等差数列， a1 a3 a5 105, a2 a4 a6 99 ，则 a20 等于（ ）
A. -1
B. 1
C. 3
D.7
10、已知an 为等差数列，且 a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0,则公差 d＝（ ）
A.－2
B.－ 1 2
C. 1
D.2
2
7
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
a 2d , a d , a, a d , a 2d … （ 公 差 为 d ）； 偶 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为 … ， a 3d , a d , a d , a 3d ,…（公差为 2 d ）
n(a1 an ) 2
⑥ Sn
na1
n(n 1) 2
d
对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数
知识点 5、 等差中项:
⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 即： A a b 或
2
2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它
（其中
S奇
nan ，S偶
n 1 an ）．
二、题型总结：
题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）
1、.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ )
A . -1
B.1
C .-2
D. 2
2．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，则 a101 的值为 （ ）
4、记等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S2 4 ，S4 20 ，则该数列的公差 d=（ ）
A．7
B. 6 C. 3 D. 2
5、等差数列{an} 中，已知 a1
1 3
，
a
2
a5
4，an
33 ，则
n
为（
）
（A）48 （B）49 （C）50
（D）51
6.、等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ ）
Sk
S2k Sk
S3k S2k
10 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 性 质 ： ① 若 项 数 为 2n n * ， 则
S2n n
an an1
，且
S偶
S奇
nd
，
S奇 S偶
an an1
．②若项数为 2n 1
n *
，则
S2n1
2n
1 an
，且
S奇
S偶
an
，
S奇 S偶
n n 1
请说明理由。
5、已知二次函数 y f (x) 的图像经过坐标原点，其导函数为 f ' (x) 6x 2 ，数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，点 (n, Sn )(n N ) 均在函数 y f (x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列{an} 的 通项公式；
(Ⅱ)设 bn
3 a n a n1
,Tn 是数列{bn} 的前
(A) 3
(B) 2
(C) 2
(D) 2 或 2
7、在等差数列 an 中， a p q, aq p( p q) ，则 apq （ ）
A、 p q
B、 ( p q)
C、0
D、 pq
8、设数列 an 是单调递增的等差数列，前三项和为 12，前三项的积为 48，则它的
首项是（ ）
A、1
B、2
A、11
B、22
C、29
D、12
3、设an 是公差为正数的等差数列，若 a1 a2 a3 15 ， a1a2a3 80 ，
则 a11 a12 a13 ( )
A．120
B．105
C． 90
D． 75
4、若等差数列{an}的公差 d 0 ，则（ ）
（A） a2a6 a3a5
（B） a2a6 a3a5
10、已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则 a5 = __________
11、已知数列的通项 an= -5n+2,则其前 n 项和为 Sn=
.
12、设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， S4 ＝14， S10 S7 30 ，则 S9 ＝
.
题型二、等差数列性质
(A)9 (B)10 (C)11
(D)12
7、设
Sn
是等差数列
a
n
的前
n
项和，若
a5 a3
5 ,则 S9 9 S5
（
）
A．1 B．－1 C．2
D． 1 2
8、已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0 则有( )
A．α1＋α101＞0 B．α2＋α100＜0 C．α3＋α99＝0 D．α51＝51
③等差中项：对于数列 an ，若 2an1 an an2 ，则数列 an 是等差数列
知识点 3、 等差数列的通项公式:
④如果等差数列an 的首项是 a1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为
an a1 (n 1)d
该公式整理后是关于 n 的一次函数
知识点 4、等差数列的前 n 项和:
⑤ Sn
A．49
B．50
C．51
D．52
3．等差数列 1，－1，－3，…，－89 的项数是（ ）
A．92
B．47
C．46
D．45
4、已知等差数列{an }中， a7 a9 16, a4 1,则a12 的值是(
)
(
)
A 15
B 30
C 31
D 64
5. 首项为－24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
（C） a2a6 a3a5
（D） a2a6 与 a3a5 的大小不确定
5、 已知an 满足，对一 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
Ａ． 0
Ｂ． 0
Ｃ． 0
Ｄ． 3
6、等差数列 an 中，a1 1,公差d 0,若a1, a2 , a5成等比数列，则d 为 （ ）
的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项
的等差中项
知识点 6、等差数列的性质:
⑦等差数列任意两项间的关系：如果 an 是等差数列的第 n 项，am 是等差数列的 第 m 项，且 m n ，公差为 d ，则有 an am (n m)d
8 对于等差数列 an ，若 n m p q ，则 an am a p aq
为 390，则这个数列有（ ）
（A）13 项 （B）12 项 （C）11 项
（D）10 项
题型三、等差数列前 n 项和
1、等差数列an 中，已知 a1 a2 a3 a10 p ，an9 an8 an q ，则其前 n
项和 Sn
．
2、等差数列 2,1,4, 的前 n 项和为
（）
（Ⅰ）求通项 an ； （Ⅱ）若 Sn=242，求 n.
2、已知数列{an} 是一个等差数列，且 a2 1， a5 5 。 （1）求{an} 的通项 an ；（2）求{an} 前 n 项和 Sn 的最大值。
3、设 an 为等差数列， Sn 为数列 an 的前 n 项和，已知 S7 7 ，
S15