《计算机常用算法与程序的设计案例教程》习题解答
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
《计算机常用算法与程序设计案例教程》
习题解答提要
习题1
1-1 分数分解算法描述
把真分数a/b 分解为若干个分母为整数分子为“1”的埃及分数之和: (1) 寻找并输出小于a/b 的最大埃及分数1/c ; (2) 若c>900000000,则退出;
(3) 若c ≤900000000,把差a/b-1/c 整理为分数a/b ,若a/b 为埃及分数,则输出后结束。
(4) 若a/b 不为埃及分数,则继续(1)、(2)、(3)。 试描述以上算法。
解:设)(int a
b d = (这里int(x)表示取正数x 的整数),注意到1+< b d ,有 ) 1()1(1 1+-+++=d b b d a d b a 算法描述:令c=d+1,则 input (a,b) while(1) {c=int(b/a)+1; if(c>900000000) return; else { print(1/c+); a=a*c-b; b=b*c; // a,b迭代,为选择下一个分母作准备 if(a==1) { print(1/b);return;} } } 1-2 求出以下程序段所代表算法的时间复杂度 (1)m=0; for(k=1;k<=n;k++) for(j=k;j>=1;j--) m=m+j; 解:因s=1+2+…+n=n(n+1)/2 时间复杂度为O(n2)。 (2)m=0; for(k=1;k<=n;k++) for(j=1;j<=k/2;j++) m=m+j; 解:设n=2u+1,语句m=m+1的执行频数为 s=1+1+2+2+3+3+…+u+u=u(u+1)=(n−1)(n+1)/4 设n=2u,语句m=m+1的执行频数为 s=1+1+2+2+3+3+…+u=u2=n2/4 时间复杂度为O(n2)。 (3)t=1;m=0; for(k=1;k<=n;k++) {t=t*k; for(j=1;j<=k*t;j++) m=m+j; } 解:因s=1+2×2!+ 3×3!+…+ n×n!=(n+1)!−1 时间复杂度为O((n+1)!). (4)for(a=1;a<=n;a++) {s=0; for(b=a *100−1;b>=a *100−99;b −=2) {for(x=0,k=1;k<=sqrt(b);k+=2) if(b%k==0) {x=1;break;} s=s+x; } if(s==50) printf("%ld \n",a);break;} } 解:因a 循环n 次;对每一个a,b 循环50次;对每一个b,k 2次。因而k 循环体的执行次数s 满足 250(1250250s L L <<< 时间复杂度为O(n n )。 1-3 若p(n)是n 的多项式,证明:O(log(p(n)))=O(logn)。 证:设m 为正整数,p(n)=a1×n m +a2×n m-1+…+am ×n , 取常数c>ma1+(m-1)a2+…+am, 则 log(p(n))=ma1×logn+(m-1)a2×logn+…=(ma1+(m-1)a2+…)×logn 因而有O(log(p(n)))=O(logn)。 1-4 构建对称方阵 观察图1-5所示的7阶对称方阵: 图1-5 7阶对称方阵 试构造并输出以上n阶对称方阵。 解:这是一道培养与锻炼我们的观察能力与归纳能力的案例,一个一个元素枚举赋值显然行不通,必须全局着眼,分区域归纳其构造特点,分区域枚举赋值。 (1)设计要点 设方阵中元素的行号为i,列号为j。 可知主对角线:i=j;次对角线:i+j=n+1。两对角线赋值“0”。 按两条对角线把方阵分成上部、左部、右部与下部4个区,如图1-6所示。 图1-6 对角线分成的4个区 上部按行号i赋值;下部按行号函数n+1-i赋值。 左部按列号j赋值;右部按列号函数n+1-j赋值。(2)程序实现 #include void main() {int i,j,n,a[30][30]; printf(" 请确定方阵阶数n: "); scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) {if(i==j || i+j==n+1) a[i][j]=0; // 方阵对角线元素赋值if(i+j a[i][j]=i; // 方阵上部元素赋值if(i+j a[i][j]=j; // 方阵左部元素赋值if(i+j>n+1 && i>j) a[i][j]=n+1-i; // 方阵下部元素赋值if(i+j>n+1 && i a[i][j]=n+1-j; // 方阵右部元素赋值 } printf(" %d阶对称方阵为:\n",n); for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=n;j++) // 输出对称方阵 printf("%3d",a[i][j]); printf("\n"); } } 1-5 据例1-2的算法,写出求解n个“1”组成的整数能被2011整除的程序。修改程序,求出n至少为多大时,n个“1”组成的整数能被2013整除?解:程序为 #include void main() { int a,c,p,n; p=2011; c=1111;n=4; // 变量c与n赋初值 while(c!=0) // 循环模拟整数竖式除法 { a=c*10+1;