2020年高考教育部考试中心·考试说明·高考样卷12套·数学(文)

）
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学样卷（二）
注意:本试卷满分150分’考试总用时120分钟
第I卷
-、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中’只有-项是符合题目要求的.
: 1.若集合A＝｛r｜—1≤工≤2） ’B＝（0’1’2｝ ’则A∩B＝
: A° ｛工｜—1≤I≤2｝
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学样卷（ 一 ）
.
注意：本试卷满分 150分，考试总用时120分钟．
第I卷
－、选择题：本题共12 ,J、题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
，
I.已知集合A= {(x,y)lx+yζ2,x,y εN｝，则A中元素的个数为
A爷佰
B器
C憎
D器侗 -. 19,ˉ
第9题图
12.已知数列｛α″）’｛b＂｝都是等差数列’α3＝b1＝3’α15＝67≡15’设c厕＝（—1）″ 1 · b厕 ,则数列｛C厕〉的前202（）项的和为 α门α刀＋1
A—揣
B揣
o—粥
D滞
第Ⅱ卷
二｀填空题:本题共4小题,每小题5分’共20分.把答案填在题中横线上.
积为
.
15若／（堑）＋3／（÷）-延＋÷＿2｜。g:露对露e（0,＋。°）恒成立,且存在堑0e［2’4］,使得／（堑0）＞′″成立,则’烈的取值范围
为
l6将函数／（工）＝sin（°工＋帜〕（〃＞0,—÷≤帜＜÷）图象上每＿点的横坐标缩短为原来的＿半,纵坐标不变,再向右平移÷
个单位长度得到＂＝smr的图象,则／（÷）＝ ~
B° （0,1,2）
C° （-1,2〉
D. （0,1）
辙 2.复数惠＝旦二丝的虚部为
:
A.—2
B.—i
C. i
: 3.已知向量α＝（—3’1）’b＝（1’—2）,则向量α与b夹角的大小等于
D-1
! A÷
B÷
◎?
u￥
; 4.小张刚参加工作时月T资为5000元’各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼’目前月工资的各种用
三、解答题:共70分°解答应写出文字说明、证明或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生必须作答第22,23题为 选考题,考生根据要求作答. （-）必考题,共60分. 17. （本小题满分12分）
已知数列（α＂｝满足αl＝2’α″＋l＝2α＂（″〔N※）’设b″＝3log2α＂—2（″巴N※）’数列｛c″）满足c″＝α″b＂. （1）求证:数列｛b厕）为等差数列. （2）求数列（c＂）的前测项和S〃.
~ I’使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在’求出′的方程;若不存在’说明理由.
巴
零 夕刘~
21.（本小题满分12分）
已知函数／（工）＝ln工—2工2＋3’g（Z）＝／（Z）＋4工＋αlnZ（α≠0） （1）求函数／（工）的单调区间; （2）若关于Z的方程g（z）＝α有实数根’求实数α的取值范围ˉ
18。 （本小题满分12分）
已知四棱柱ABCD—AlBlClDl的底面ABCD是边长为2的菱形’AA1＝2佰,BD＿LA1A’ 么BAD＝乙AlAC＝60°’点M是棱AA1的中点.
（1）求证:AlC／／／平面BMD. （2）求点C1到平面BDD1B1的距离
D｜ C｜
~V ］
＿α
α＝α＋ ∑
O′（202α67）-α67;@在每＿个区间［隐’庶＋1）’医z上,／（工）都是增函数;O／（—÷）＜
／（÷）;o〗＝／（躯）的定义域是R.值域是［0,u
｜
其中真命题的序号是
否
A°O@
B.OO@
c。O@
DO@@
11。已知△ABC的边AB’AC的长分别为wenku.baidu.com0’18’乙BAC＝120°’则△ABC的角平分线AD的长为
A
B
C
D
第17题图
D
文科数学样卷（＿）
18. （本小题满分12分） 某学校为了调查学生数学素养的情况’从初中部、高中部各随机抽取10（）名学生进行测试. 初中部的100名学生的成绩（单位:分）的频率分布直方图如图所示.
~ ◎
频率
◎ ‖
』叫0ˉ＿-＿
035ˉ组组距距
◎ 030ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ
』『 ／≥b
八
尸
／
第19题图
20. （本小题满分12分）
设F』,Fb分另』为椭圆E磊＋酱≡1（刨＞b＞0）的左右焦点’点P（l,;）在椭圆E上,且点′和F1关于点C（0÷）对称
b
（1）求椭圆E的方程
（2）过右焦点F2的直线／与椭圆相交于A’B两点’过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q’问是否存在直线
A. 56%
B.14%
C.25%
D.67%
6若双曲线过点也/2）＇且渐近线方程为y＝ 士卡，则该双曲线的方程 是
古去
号＝ A.
2
y
一
1
号－ B
x 2=1
号＝ C.x 2 一
1
口号 一 户 1
7.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“当（chu）蕾（meng）者，下有袤有广，而上有袤元广．鱼，草 ／一一飞＼
· 025ˉ
‖
~◎
‖｝!二二琴厂ˉ
~‖ 010
三□— ＂5
O 40 50 60 70 80 90 10O测试分数
第18题图
高中部的100名学生的成绩（单位:分）的频数分布表如下:
测试分数 频数
｜
［50’60）
5
｜
［60,70）
20
［70,80）
35
［80,90）
25
［90’100］ ~ ~
15
把成绩分为四个等级:60分以下为D级’60分（含60）到80分为C级’80分（含80）到90分为B级’90分（含90）以上为
／（—2020）＝
A· 11
B·5
C.—9
D·＿l
8.在△ABC中’角A’B’C所对边长分别为α’b’c’若α2＋62＝3c2’则cosC的最小值为
赣 A÷
日÷
c粤
n:
9.已知命题户:】工eR’2—工＞e工,命题q:γα〔R＋’且α≠1’logα（α2＋1）＞0’则
A.命题户∧司q是真命题
B.命题户γ气q是假命题
（2）若直线0＝昔（′eR）与′的交点为M’与C的交点为A’B’且点M恰好为线段AB的中点’求α的值
23.（本小题满分10分）［选修4—5:不等式选讲］
已知函数j（堑）-卜—÷｜＋卜｛＋｜ .M为小等式广（瞩）＜2的解集
（1）求M;
（2）证明:当α’b巳M时’ ｜α＋6｜＜｜1＋αb .
煤
~
文科数学样卷（—）
人1
B. 5
我1 C.6
且无数个
2.已知复数z,z 是共辄复数，若 2i z= l 一i，其中i 为虚数单位，则lzl=
A. 1 2
B字
巳./2
D.2
3函数 f(x） ＝ 平的图象大致为
y
y
y
y
X
X
X
』E
布
A
B
C
D
(2x+ y二抖，
4.设实数 x,y 满足－｛ 3x-y二三1，则目标函数 z=x+y
A级.
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表’据此资料你是否有99％的把握认为学生数学素养成绩“A级”与“所在级部” 有关?
不是A级
A级
合计
初中部
高中部
合计
″（αd—bC）2
注:K2≡（α＋6）（c＋d）（α＋c）（b＋α）’其中n＝α＋b＋C＋α.
P（K2≥陶《）） 虎0
0.050 3.841
＾ ○ ］ ＾
19. （本小题满分12分）
如图,圆柱的轴截面是ABB1A1’D为下底面的圆心’C1C是母线,AC＝BC＝CC1＝2. （1）证明:AC1／′／平面BlCD. （2）求三棱锥A1ˉCDB1的体积.
文科数学样卷（—）
Cl一—ˉ～ Bl
／7『
了′于 】 】～′
□0 d
f
‖l 矿
J
｝擂汪甥 ／
′
≥
飞
｀ ＼
13在各项为正数的等比数列｛蜒′』｝中’若α:与鳃!＂的等比中项为粤则!og』嚏』＋｜og』α‘的值为
14.已知函数／（工）＝工3＋2ln工,若曲线／（工）在点（1’／（1））处的切线经过圆C:工2＋（〕＿α）2＝2的圆心,则实数α的值
为
｛《｝i
·h
落在线段AD上’如图◎,则这个四棱锥的体积的最大值为
（二）选考题,共10分.请考生从22,23题中任选-题作答·如果多做,则按所做的第-题计分. 22.（本小题满分10分）［选修4ˉ4:坐标系与参数方程］
…坐标系堑山巾,直线′的方程为阀…＋幽-0｀曲线C…方程为｜j二测!0（′为参数）L以坐标原点为极 域
点’工轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线′和曲线C的极坐标方程;
.
第16题图
三｀解答题:共70分.解答应写出文字说明｀证明或演算步骤第17～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为 选考题,考生根据要求作答. （-）必考题,共60分· 17. （本小题满分12分）
如图,在平面五边形ABCDE中,二ABC＝乙B〔D≡120。,乙AED＝60°,AB＝BC＝2’CD＝6. （1）求AD的长度; （2）求平面五边形ABCDE面积的最大值
D7000
5若sm（α＋厕）-＋,αe（—昔,0）则c°器厅l
A—平
B?
c平
u仔
6.已知数列｛α″｝满足（″＋1）α′』＝〃α厕＋l ’α2＝4’等比数列（b″）满足b1＝α1 ’b2＝α2’则｛b厕〉的前6项和为
A·—63
B.—126
C·63
D. 126
7.已知函数／（工）是R上的偶函数’且对任意的工〔R有／（工＋3）≡＿／（工）’当工e（—3’0）时’／（工）＝2虐r＿5’则
‖
‖■
γ
尸
尸
β冗
α
〗
γ
0·001
~ 10·828
（2）若这个学校共有9000名高中生,用频率估计概率’用样本估计总体,试估计这个学校的高中生的数学素养成绩为A 级的人数’并估计数学素养成绩的平均分（用组中值代表本组分数）.
（3）把初中部的A级同学编号为A1’A2’A3’A4’A5’高中部的D级同学编号为D1’D2’D3’Dl’D5’从初中部A级、高 中部D级中各选～名同学’求这两名同学的编号奇偶性相同的概率.
A. ./IT
B于
C.4
D.1
文科数学样卷（一 ）
9.中国古代数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺’竹长两尺’松日自半’竹
日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的—个程序框图’若输人的α’b分别为5’2’则输出
的″＝
A·5
B4
C·3
D°2
瞥
10.定义函数g（工）为不大于工的最大整数’对于函数／（工）＝工—g（工）有以下四个命题:
lx-2y《2,
人有最小值2，最大值3
B.有最小值2，无最大值 C.有最小值一1，最大值3
且既无最小值，也无最大值
!1 ！��； 3 s. 某创业公司共有 36名职工，为了了解该公司职工 的 年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图为 ，若用样本估计总体，年龄在G-s,;:+s） 内的人数占公司总人数的百分比是（精确到附
A·6≤3
B·b＜α
C。6＝α
D·b＞α
第Ⅱ卷
二｀填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
l3巳知椭圆蓑＋溃-］（鲤＞b＞0）直线!过左焦点且倾斜角为÷’以椭圆的长轴为育径的圆截!所得的弦长等于椭圆的焦
距’则椭圆的离心率为
14.若三棱锥尸ABC的四个顶点均在同—球面上’其中△ABC是正三角形’PA上平面ABC’PA＝2AB＝6,则该球的表面
途占比统计如下面的折线图已知目前的月就医费比刚参加I:作时少200元’则目前小张的月∏资为
斗＂
40％
〕洲
35％
〕删
3帆
∑跳
25％ 2删
~ ~
~ ~ ~
~ ~
l5％ ~ 10％ ~
~
＂
∑
珊
】
＂ ］珊
5％
＂
柯
0％
- 储蓄 衣食住旅行
就医
≡,ˉ 储蓄 衣食住旅行 就医
第4题图
A·5500
B°6000
C。6500
C.命题户γq是假命题
D命题户∧q是真命题
10设P是双曲线箭—溃＝］（埋＞0,b＞0）与陨｜涎2＋’2-“:＋6:在第＿象限的交点,F｜ .F′分别是双曲线的左右蝶点若
tan二PF2F1＝3,则双曲线的离心率为
／司ˉ∏
八硕
凰平
α侗
u徊
Dl
Cl
~
~
~
B｛
＝
11.在长方体ABCDAlB1ClDl中,AB＝4,AD＝AA1＝2,点p为CC1的中点’则异面直线Ap与A｜
也．薯，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一 条棱．鱼薯字面意思为茅草
巳丑 屋顶．”若鱼薯的三视图如图所示，主视图是上底为2，下底为4，高为1 的等腰梯形，左视图是底边
为2 的等腰三角形，则该几何体的体积为
左视图
•
A.-
一 B.11
C.2
D.4
3
8.已知直线 2x+my-8=0经过抛物线 x2=4y 的焦点，与抛物线相交于A,B两点，0为坐标原点，则60AB的面积为
~
D!ˉˉˉˉˉ厂～≤ˉ
ˉ√C
C1D1所成角的正切值为
〃
＝
f
卢
F＝尸
A
B
A乎
B乎
C￥
D÷
第u题圈
文科数学样卷（二）
厂
＼
T
l2巳知方程｜ ｜ogz（上—l） ｜—（÷）墅-0的根为工』和躯:（墅l＜钝）,且龋数f（塑）＝＋醚:—古α露2＋b塑＋c的极大值点极小值
点分别为rl ,工2,其中α,b,CeR’则有