2012年全国硕士研究生入学考试数学二试题及解析

2012年全国硕士研究生入学考试数学二试题及解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线

22

1

x x

y x +=-渐进线的条数________

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

（2）设函数2()(1)(2)()

x

x nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，

则(0)________f '= （A ）1

(1)

(1)!

n n --- （B ）(1)(1)!n

n -- （C ）1

(1)

!

n n --

（D ）(1)!n

n -

（3）设0(1,2,3)

n

a

n >=L ，123n

n

S

a a a a =++++L ，则数列{}n

S 有

界是数列{}n

a 收敛的_______.

（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分也非必要 （4）设2

sin (1,2,3)k x k

I e xdx k π

==?，则有______

（A ）1

2

3

I I I << （B ）

3

2

1

I I I <<

（C ）2

31

I I I <<

（D ）2

1

3

I I I <<

（5）设函数(,)f x y 为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x ?>?，(,)0f x y y ?

1

2

2

(,)(,)f x y f x y >成立

的一个充分条件是 （A ）1

2x x >，1

2

y

y < （B ）1

2

x x >，1

2

y

y > （C ）1

2

x x <，1

2

y

y <

（D ）1

2

x x <，1

2

y

y >

（6）设区域D 由曲线sin y x =，2

x π=±，1y =围成，则5

(1)D

x y dxdy -=??

（A ）

π

（B ）2

（C ）2- （D ）π- （7）设

1100c α??

?

= ?

???

，2201c α??

?

= ?

???

，3311c α??

?

=- ?

???

，4411c α-??

?

= ?

???

，其中1

2

3

4

,,,c c c c

为任意常数，则线性相关的向量组为

（A ）1

2

3

,,ααα （B ）1

2

4

,,ααα （C ）1

3

4

,,ααα

（D ）2

3

4

,,ααα

（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且

1112P AP -??

?

= ?

???

，

1

2

3

(,,)P ααα=，1

223(,,)

Q αααα=+则1

Q

AQ -=

（ ） （A ）

100020001?? ? ? ???

（B ）

100010002??

? ? ???

（C ）

200010002??

? ? ???

（D ）

200020001??

? ? ???

二、填空题：9-14小题，每小题4分。请将答案写在答题纸指定位置上。 （9）设()y y x =是由方程2

1y

x y e -+=所确定的隐函数，

则

22

x d y dx ==

____________

（10）2

2222

111

lim ()12n n n

n n n →∞

+

++=

+++L ____________

（11）设1(ln )z f x y =+，其中函数()f n 可微，则2z z x

y x y

??+=??____________

（12）微分方程2

(3)0ydx x y dy +-=满足条件1

1

x y ==的解

为____________ （13）曲线2

(0)

y x

x x =+<2

的点的坐标是

____________

（14）设A 为3阶矩阵，3A =，*

A 为A 的伴随矩阵，

若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则

*BA =

____________

三、解答题：15-23，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。 （15）（本题满分10分）

已知函数11()sin x f x x x

+=-，记0

lim ()x a f x →=

（Ⅰ）求a 的值

（Ⅱ）若当0x →时，()f x a -是k

x 的同阶无穷小，求k 。

（16）

（本题满分10分） 求222

(,)x y f x y xe +-=的极值

（17）（本题满分12分）

过点(0,1)作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又切线与x 轴交于B 点，区域D 由L 与线段AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

（18）（本题满分10分）

计算二重积分D

xyd σ??，其中区域D 为曲线

1cos (0)

r θθπ=+≤≤与极轴围成

（19）（本题满分10分）

已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及

()()2x

f x f x e '+=，

（Ⅰ）求()f x 的表达式；

（Ⅱ）求曲线2

2

()()x

y f x f t dt =-?的拐点。

（20）（本题满分10分）

证明：2

1ln cos 1,11

12

x x x x x x ++≥+-<<-

。

（21）（本题满分10分） （Ⅰ）证明方程11

n

n x

x x -+++=L （1n >的整数），在区

间1(,1)2

内有且有唯一个实根； （Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为n

x ，证明lim n

n x →∞

存在，并

求此极限。

（22）（本题满分11分）

设

1

00010001001a a A a a

??

?

?= ?

?

??

，1100b ?? ?- ?= ? ???

（Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）当实数a 为何值时，线性方程组Ax b =有无穷多解，并求其通解。

（23）（本题满分11分） 已知1

1011100

1A a a ?? ?

?= ?

- ?-??，二次型

123(,,)()T T f x x x x A A x

=的秩为

2.

（Ⅰ）求实数a 的值

（Ⅱ）求利用正交变换x Qy =将f 化为标准型。

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、选择题： （1）【答案】C

【分析】本题考查渐近线的概念与求法. 【详解】水平渐近线： 因为

22lim lim 11

x x x x

y x →∞→∞+==-，所以该曲线只有一条

水平渐近线； 垂直渐近线： 函数

22

1

x x y x +=-的定义域为

1

x ≠±，又因为

2211lim lim 1

x x x x

y x →→+==∞-，22111

lim lim 12

x x x x y x →-→-+==-，所以该曲线只有一

条垂直渐近线； 斜渐近线： 因为

22lim lim 11

x x x x

y x →∞→∞+==-，所以该曲线没有斜渐近线。

故应选(C). （2）【答案】A

【分析】考查导数定义或求导公式。本题既可以用导数定义求，也可求出导函数再代入点。

【详解】法一：由题设知(0)0f =

而0

()(0)

(0)lim x f x f f x

→-'=

2200(1)(2)()(2)()lim lim x x nx x nx x x e e e n x e e n x x

→→-----==L L

210

lim(2)()(1)(1)!

x

nx n x e

e n n -→=--=--L

法二：因为22()(2)()(1)2()

x

x

nx x x nx f x e e e n e e e n '=--+--L L

2(1)(2)x x e e ++--L L

所以1

(0)1(1)(2)((1))(1)

(1)!

n f n n -'=----=--L ，故应选

（A ）

（3）【答案】B

【分析】本题考查数列的性质和级数的性质。

【详解】法一：充分性：因为0

n

a

>，所以数

列n

S 单调递增，又因为数列{}n

S 有界，所以数列{}n

S 收敛，从而1

lim lim()0n

n

n n n a S S -→∞

→∞

=-=。

非必要性：令1

n

a n

=

，则数列{}n

a 收敛，而数列{}

n

S 无界；

故应选（B ）。 法二：充分性：因为0

n

a

>，所以数列n

S 单调递

增，又因为数列{}n

S 有界，所以数列{}n

S 收敛，从而级数1n n a ∞

=∑收敛，有级数收敛的必要条件可得

lim 0

n n a →∞

=

非必要性：令1

n

a n

=

，则数列{}n

a 收敛，而数列{}

n

S 无界；

故应选（B ）。

（4）【答案】D

【分析】考查定积分性质、定积分换元积分法。

【详解】法一:先比较1

I 与2

I 大小

由于2

221

sin 0,x I I e xdx π

π

-=

sin 0

x <），所以1

2

I

I >；

再比较2

I 与3

I 的大小

由于2

33

2

2sin 0,x I I e xdx π

π

-=>?（因为(2,3)x ππ∈时，

sin 0

x >），所以3

2

I

I >；

最后比较1

I 与3

I 的大小

由于2

2

2

3233

1

2sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx π

π

π

πππ

-==+??? 2

2

22()sin sin x u e xdx e udu π

π

πππ

+=-??

22

2()[]sin 0

x x e e xdx π

ππ

+=->?，所以3

1

I

I >；

故应选（D ）。 法二:2

1

sin x I e xdx π

=?；

2

2

2

2

222210

sin sin sin sin x x x x I e xdx e xdx e xdx I e xdx

π

π

π

π

ππ

==+=+????，

因为(,2)x ππ∈时sin 0x <，

2

x e >，所以2

sin 0

x e

x <，并且2

sin x e

x

连续，所以2

2sin 0

x e xdx π

π

，因此2

1

I

I <；

2

22

2

32330

2sin sin sin sin x x x x I e xdx e xdx e xdx e xdx

π

π

π

π

π

π

==++???? 2

2

2312sin sin x x I e xdx e xdx

π

π

π

π

=++??

令x u π=+，则2

2

32()2sin sin()()

x u e xdx e u d u π

π

ππ

π

ππ+=--??

2

2

22()()sin sin u x e

udu e

xdx

π

π

πππ

π

++=-=-??

从而2

2

232sin sin x x e xdx e xdx

π

π

π

π

+?

?

2

2

2

2

222()()sin sin ()sin x x x x e xdx e xdx e e xdx

π

π

π

πππ

π

π

++=-=-???

当(,2)x ππ∈时，显然有2

2

()x

x π<+，所以

2

2

()0

x x e e π+-<，sin 0x <，

从而2

2

()()sin 0

x x e e x π+->，又因为2

2

()()sin x x e e

x

π+-连续，所以有2

2

2()()sin 0x x e e

xdx π

ππ

+->?，

故1

3

I

I <。

综上2

13

I

I I <<，故应选（D ）。

（5）【答案】A

【分析】本题考查偏导数与导数关系、单调的判定定理。

【详解】因为(,)0f x y x ?>?，若1

2

x x >，则1

1

2

1

(,)(,)f x y f x y >；

又因为(,)0f x y y ?

2

y

y <，则2

1

2

2

(,)(,)f x y f x y >，

所以当1

2

x x >，1

2

y

y <时， 1

1

2

2

(,)(,)f x y f x y >，故应选（A ）

（6）【答案】D

【分析】二重积分的计算，首先应画出区域

D

，观察其是否具有某种对称性，如具有对称性,

则应先考虑利用对称性化简二重积分，然后选择适当坐标系化为二次积分计算。 【详解】法一：画出积分区域D 的草图如右图所示。用曲线sin y x =-将D 划分为如图所示

12

34

D D D

D D =+++

显然1

2

D D +关于x 轴对称，3

4

D D +关于y 轴对称，从而由对称性可得 ：

1234

5

55(1)D

D D D D D

D

x y dxdy x ydxdy x ydxdy dxdy dxdy

++-=+

-=-????

??????

1

222sin 2

2

2

(1sin )x

dx dy x dx dx π

π

π

ππππ

--

-

=-=--=-=-??

??

故应选（D ）

（7）【答案】C

【分析】 考查向量组线性相关的判定.三个三维向量构成的向量组既可以用行列式是否为

零来判是否线性相关，又可以利用矩阵的秩来讨论。本题利用行列式判定快速、直接。

【详解】 因为1

2

3

112

3

001(,,)0

1

1c c c c ααα=-=-；

124112

4

01(,,)0

1

1c c c c ααα-==； 1341

3

4

11(,,)0

110c c c ααα-=-=；

234342

3

4

2

34

4

11001

(,,)1

111

01()c c c c c c c c c ααα--=-==++。

由于1

2

3

4

,,,c c c c 为任意常数，所以1

3

4

,,ααα线性相关。故应选（C ）。 （8）【答案】B

【分析】考查矩阵的运算。将Q 用P 表示，即

100110001Q P ??

?= ?

???

，然后代入计算即可。

【详解】由于

123(,,)

P ααα=，所以

1223100(,,)110001Q P αααα??

?

=+= ?

???

，则

1

111

100100110110001001Q P P ----????

? ?==- ? ? ? ?????

，故

11100100110110001001Q AQ P AP --???? ? ?

=- ? ?

? ?????

100100100100110010110010001002001002????????

????? ?=-= ????? ? ????? ?????????

故应选（B ）。 二、填空题 （9）【答案】1

【分析】考查隐函数求导数，常用方法是用微商或隐函数求导法则完成。

【详解】法一：将0x =代入方程2

1y

x

y e -+=，可

得0y =。

方程2

1y

x

y e -+=两端对x 导数，得2y

x y e y ''-=，所

以2'1

y

x

y e =+，故'(0)0y =； 方程2y

x y e y ''-=两端再对x 求导数，得

22()y y y y e e y '''''

-=?+?，从而可以得到(0)1y ''=。

法二：将0x =代入方程2

1y

x y e -+=，可得0y =。

方程2

1y

x

y e -+=两端微分得：2y

xdx dy e dy -=，从而

21y

dy x

dx e =

+，且(0)0y '=

又2

2

22[(1)]2[(1)]1(1)(1)

y y y y

y y y x dy d

e xe d y

e dx xe dy e dx dx

dx e dx e +-+-+===++，从而

(0)1

y ''=。

（10）【分析】考查定积分的概念及n 项和数列求极限。

【详解】2

2222

111

lim ()12n n n

n n n

→∞

+

+++++L

12021

111lim 14()1n n i dx i n x n

π→∞====

++∑?

（11）【答案】0

【分析】考查多元复合函数求偏导数，利用复合函数的链式法则或微分完成。

【详解】法一：由于1

z f x x

?'=??，2

1()z f y y ?'=?-?，于是2

0z z x y x

y

??+=??。

法二：

2111

(ln )()

dz f d x f dx dy y x y

''=?+=?-，从而

1

z f x x

?'=??，

2

1()z f y y ?'=?-?，故2

0z

z

x y x

y

??+=??。

（12）【答案】2

x y =

【分析】将变量x 当做函数，变量y 做自变量，则方程为一阶线性微分方程，用公式求出通解，代入初始条件即可。

【详解】方程可整理为1

3dx x y dy y

+=，将x 看做

因变量，为一阶线性非齐次微分方程，通解

1

1

(3)

dy

dy

y y x e

ye

dy c -

??=+?，即2

c x y

y

=+

。

由1

1x y

==，解得0c =，所以所求特解为2

x y =。

（13）【答案】(1,0)-

【分析】考查曲率的概念与计算。代入公式计算便可。

【详解】由于21y x '=+，2y ''=，所以可得

3

22

222

[1(21)]

x =

++，解得1x =-，此时0y =，

故所求曲线上的点为(1,0)-。

（14）【答案】*

27

BA

=-

【分析】考查伴随矩阵的性质与矩阵行列式的性质与运算。

【详解】由于3B A =-=-，2

*

9

A

A ==，所以

*27

BA =-。

三、解答题

（15）【分析】（Ⅰ）求未定式的极限，主要考查等价无穷小代换、洛必达法则或泰勒公式；（Ⅱ）考查无穷小比较，可用无穷小比较的定义写出一个极限式，由极限的逆问题算出k 。

【详解】（Ⅰ）法一：

200011sin lim ()lim()lim

sin sin x x x x x x x

a f x x x x x

→→→++-==-=

2200sin 21cos lim lim 2x x x x x x x x x

→→+-+-==

2sin lim 12

x x →+== 法二：

200011sin lim ()lim()lim

sin sin x x x x x x x

a f x x x x x

→→→++-==-= 2220())

lim 1x x x x o x x

→+-+==（

（Ⅱ）法一：由于211sin sin ()1sin sin x x x x x x

f x a x x x x

++---=--=

由题设

0()lim k

x f x a

c x →-=（非零常数），即

20sin sin lim sin k x x x x x x

c x x x

→+--=?（非零常数） 所以

21

00sin sin 21cos cos sin lim lim

(2)k k x x x x x x x x x x x x

c x x x k x +→→+--+---==??+

2cos cos sin sin lim (2)(1)k

x x x x x x

k k x

→--++=++ 1

cos 3sin cos lim (2)(1)k x x x x x k k kx

-→++=++ 要使上极限存在且非零，必有1k =。 法二：由于

211sin sin ()1sin sin x x x x x x

f x a x x x x

++---=--=

而3

31sin ()

3!x x x

o x =-+，所以

24

41sin ()3!

x x x x o x =-

+，

223324411

sin sin (())(())3!3!

x x x x x x x x x o x x x o x +--=+--

+--+

33

4

4

3

3

111

()()()3!

3!3!

x o x x o x x o x =

-+-=+ 综上可知：3

32001()

()113!lim lim sin 3!

x x x o x f x x x x →→+-==，故1k =

（16）【分析】二元显函数求极值，先求出所有驻点，然后利用无条件极值的充分条件判定每一个驻点是否是极值点，是极大还是极小，并求出极值点的函数值。

【详解】由于

2

222

22

222

2

2

(1)x y x y x y f e x e

x e

x

+++--

-

?=-=-?，

2

22

x

y f

xye y

+-?=-?

解方程组：

222

222

2

(1)0

x y x y f

x e x

f

xye y

+-

+-??=-=??????=-=???

可得：10

x y =??

=?

或1

0x y =-??=?

。所以函数(,)f x y 全部驻点为(1,0)、(1,0)-。 又

2

222

22

22

2

2

[2(1)](3)x

y x y f x x x e x x e

x ++--

?=---=-?

2

222

2

(1)x y f y x e x y

+-?=-??

2222222

222

2

2

2

(1)x y x y x y f

xe

xy e x y e

y

+++-

--

?

=-+=-?

对驻点(1,0)，由于

122

2

(1,0)

20

f A e

x

-?==-

2(1,0)

f B x y ?==??，

122

2

(1,0)f C e

y

-

?==-? 所以

2120

B A

C e --=-<，且

A <，从而

12

(1,0)f e

-=为极大值；

对驻点 (1,0)-，由于

122

2

(1,0)

20

f A e

x

-

-?==>?，

2(1,0)

f B x y -?==??，

1

22

2

(1,0)

f C e

y

-

-?==>? ，所以2

120

B

AC e --=-<，且0A >，从而

12

(1,0)f e

--=-为极小值。

（17）【分析】本题主要考查导数的几何应用与定积分的几何应用。先根据题设求出切点，进而写出切线方程求出B 点坐标，利用面积和旋转体体积公式求出面积和体积。

【详解】设切点A 的坐标为0

(,ln )x x ，由于

1

(ln )y x x

''==

，由题意知曲线在A 点的切线过(0,1)点，

从而00

ln 11

0x x x

-=-，解得2

x e =，故切点A 的坐标是2

(,2)e ，

所以切线C 方程为2

2

1:2()C y x e e -=-，即2

1:1C y x e =+，

易求得切线C 与x 轴交点2

(,0)B e -，从而区域D 的

面积

2

22220[(1)]1(22)1

y S e e y dy e e e =--=---=-?

或

2

22221

1

(1)ln 1

e e e S x dx xdx e e -=+-=-??

D

绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积 2

2

2

2

2

00

2[(1)]22(1)y

y

V y e e y dy ye dy e y y dy πππ=?--?=--???

2

22

3

2

20

11

2()22()32

y

y ye e e y y πππ=---

2

2

2

82

222(2)233

e e e πππππ=+--=+ 或

222222

2111122ln 33

e e V r h y dx e xdx

ππππ=-=??-?? 2222

118(ln 2ln )

3

e e e x x xdx ππ=--? 2222

18(442ln )

3

e e e e xdx ππππ=--+?

22

23

e ππ=+

（18）【分析】考查初等函数的二重积分，化为极坐标系下的二次积分计算。

【详解】1cos 30

sin cos D

xyd d r dr

π

θ

σθθθ+=???

?

144

0111sin cos (1cos )(1)44

d u u du πθθθθ-=

+=+??

124

41011[(1)1](1)(1)(1)44u u d u t t dt -=+-++=-??

652011116()46515

t t =-=

（19）【分析】（Ⅰ）求出方程()()2()0f x f x f x '''+-=的通解代入方程()()2x

f x f x e '+=确定任意常数即可，或

方程

()()2x

f x f x e '+=两端求导数与()()2()0f x f x f x '''+-=解

出();f x （Ⅱ）将（Ⅰ）中得到的函数表达式代入2

2

()()x

y f x f t dt =-?，然后利用常规方法求得拐点。

【详解】（Ⅰ）法一：()()2()0f x f x f x '''+-=的特征方程为2

20

λ

λ+-=，解得1

2

2,1

λλ

=-=,所以21

2()x

x

f x C e

C e -=+；

将

212()x x

f x C e C e -=+代入'()()2x

f x f x e +=，得

21222x x x

C e C e e --+=，所以1

0C

=，2

1

C

=，故()x

f x e =。

法二：方程()()2x

f x f x e '+=两端求导数得

()()2x

f x f x e '''+=

将上式代入()()2()0f x f x f x '''+-=，可得()x

f x e =。 （Ⅱ）由于2

2

x

x t y e e dt -=?，从而 2

2

21x

x t y xe e dt -'=+?

2

22

22

2

220

2422(12)2x

x

x

x

t x

t x

t y e e dt x e e dt x x e e dt x

---''=++=++?

?

?

从而定义域内y ''为零或不存在点只有0x =，而 当0x >时，2

2

2(12)0x x e +>，因为2

0t e ->，所以2

0x

t e dt ->?，

20

x >，所以0y ''> 当0x <时，2

2

2(12)0

x x e

+>，因为2

t e

->，所以2

x

t e dt -

，

20

x <，所以0y ''<

又(0)0y =，所以(0,0)是曲线2

20

()()x

y f x f t dt

=-?

的拐点。

（20）【分析】证明函数不等式，由于不等式的形状为()()f x g x ≤，故用最大最小值法完成。