欧式期权定价(BS方法、delta值和隐含波动率计算)[内容浅析]
bs模型定价公式
bs模型定价公式一、布莱克 - 斯科尔斯（Black - Scholes，BS）模型定价公式概述。
1. 公式的基本形式。
- 对于欧式看涨期权的定价公式：C = S_0N(d_1)-Ke^-rtN(d_2)- 对于欧式看跌期权的定价公式：P = Ke^-rtN( - d_2)-S_0N( - d_1)- 其中：- S_0是标的资产的当前价格。
- K是期权的执行价格。
- r是无风险利率（连续复利）。
- t是期权的到期时间（以年为单位）。
- σ是标的资产价格的波动率。
- N(x)是标准正态分布的累积分布函数，x = d_1或者d_2。
- d_1=frac{ln(S_0 / K)+(r+frac{σ^2}{2})t}{σ√(t)}- d_2 = d_1-σ√(t)2. 公式中各参数的意义。
- 标的资产当前价格S_0- 这是在当前时刻标的资产（如股票、期货等）的市场价格。
它是确定期权价值的基础，如果标的资产价格上涨，看涨期权价值可能增加，看跌期权价值可能减少（在其他条件不变的情况下）。
- 执行价格K- 是期权合约中规定的，在到期日时可以按照该价格买入（对于看涨期权）或卖出（对于看跌期权）标的资产的价格。
执行价格与标的资产当前价格的相对关系对期权价值有重要影响。
当S_0> K（对于看涨期权）时，期权处于实值状态，有更大的内在价值。
- 无风险利率r- 无风险利率反映了资金的时间价值。
在BS模型中，无风险利率越高，执行价格的现值Ke^-rt越低，对于看涨期权价值有正向影响，对看跌期权价值有反向影响（因为看涨期权持有者希望以更低的现值购买资产，而看跌期权持有者希望以更高的现值出售资产）。
- 到期时间t- 期权距离到期日的剩余时间。
一般来说，到期时间越长，期权的价值越高（在其他条件不变的情况下）。
对于看涨期权，较长的到期时间给予标的资产更多的时间上涨超过执行价格；对于看跌期权，给予更多时间下跌低于执行价格。
- 标的资产价格的波动率σ- 波动率衡量了标的资产价格的波动程度。
4欧式期权定价BS方法delta值和隐含波动率计算
put = 6.3497 从以上结果可以看出，该股票欧式看涨期权价格为 13.6953，欧式看跌期权价格为6.3497。
4欧式期权定价BS方法delta值和隐含波动 率计算
8
1.3 欧式期权Delta值计算
4欧式期权定价BS方法delta值和隐含波动 率计算
9
欧式期权delta值函数调用方式
4
1.2 欧式期权价格函数
4欧式期权定价BS方法delta值和隐含波动 率计算
5
欧式期权定价函数调用方式
调用方式：
[call,put]=blsprice(price,strike,rate,time,volatility,yield)
%输入：
>> [call,put]=blsprice(price,strike,rate,time,volatility,yield)
Fixed-Income Toolbox GARCH Toolbox
参考书籍：《 MATLAB金融工具箱的应用》 《Matlab统计分析与应用》
4欧式期权定价BS方法delta值和隐含波动 率计算
2
1. 欧式期权定价
1.1 二叉树定价函数； 1.2 欧式期权价格函数； 1.3 欧式期权Delta值计算； 1.4 欧式期权隐含波动率；
6
例题1
股票价格为100，股票波动率标准差为0.5，无风险利率 为10%，期权执行价为95，存续期为0.25年，试计算该股 票欧式期权价格。
4欧式期权定价BS方法delta值和隐含波动 率计算
7
在MATLAB中执行如下命令： >> [call,put]=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5) 结果：
欧式期权定价(BS方法delta值和隐含波动率计算)
精品课件
1.3 欧式期权Delta值计算
精品课件
欧式期权delta值函数调用方式
[CallDelta,PutDelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Vol atility,Yield)
%输入：
>>
[CallDelta,PutDelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility
,Yield)
注：
Price %标的资产价格
Strike %执行价
Rate %无风险利率
Time %距离到期日的时间，即期权的存续期
Volatility %标的资产的标准差
ld)
%输入：
>>
[call,put]=blsprice(price,strike,rate,time,volatility,yie
ld)
注：
price %标的资产价格
Strike %执行价
Rate %无风险利率
Time %距离到期日的时间，即期权的存续期
Volatility %标的资产的标准差
Yield
%(Optional)可以忍受隐含波动率，默认
%(Optional)欧式期权种类， 如果是欧式看涨期权则输入Type
精品课件
例3
一个无股息股票上看涨期权的市场价格为2.5美元，股 票价格为15美元，执行价格为13美元，期限为3个月，无 风险利率为年率5%，隐含波动率是多少？
精品课件
在Matlab中执行如下命令： >> Volatility = blsimpv(15, 13, 0.05, 0.25, 2.5, [], 0, [], {'Call'}) Volatility =
BS期权定价公式
BS期权定价公式Black-Scholes 期权定价模型⼀、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循⼏何布朗运动，即dz dt SdS σµ+=。
其中，dz 为均值为零，⽅差为dt 的⽆穷⼩的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的⼀个随机值），µ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
µ和σ都是已知的。
简单地分析⼏何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个⽅⾯：⼀是单位时间内已知的⼀个收益率变化µ，被称为漂移项，可以被看成⼀个总体的变化趋势；⼆是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费⽤和税收，不考虑保证⾦问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续⽽均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被⾃由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，⽆风险利率r 保持不变，投资者可以此利率⽆限制地进⾏借贷。
6．在衍⽣品有效期间，股票不⽀付股利。
7．所有⽆风险套利机会均被消除。
⼆、Black-Scholes 期权定价模型（⼀）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适⽤于⽆收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分⽅程：rf Sf S S f rS t f =??+??+??222221σ其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分⽅程，Black 和Scholes 得到了如下适⽤于⽆收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为⽆收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量⼩于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
bs model公式(一)
bs model公式(一)BS Model公式及其解释在金融衍生品定价中，Black-Scholes (BS)模型是一个重要的数学模型，用于计算欧式期权的理论价格。
这个模型是由Fisher Black 和Myron Scholes在20世纪70年代提出的，他们因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
BS模型基于一些假设，包括股票价格的对数正态分布和市场的无套利机会。
以下是BS模型的相关公式及其解释：1. 股票价格模型•Geometric Brownian Motion(GBM)模型表示股票价格的演化：dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)–其中，S(t)代表股票价格在时间t的值。
–μ是股票价格的年化平均收益率。
–σ是股票价格的年化标准差。
–dW(t)是Wiener过程，代表随机波动项。
2. 期权定价公式•BS模型的期权定价公式基于Black-Scholes假设和股票价格模型：C=S(t)N(d1)−Xe−r(T−t)N(d2)P=Xe−r(T−t)N(−d2)−S(t)N(−d1)–其中，C和P分别表示欧式看涨期权和欧式看跌期权的理论价格。
–S(t)是期权到期日当天的标的资产价格。
–X是期权的行权价格。
–r是无风险利率。
–T是期权的到期时间。
–t是当前时间。
–N(x)是标准正态分布的累积分布函数。
–d1=ln(S(t)X)+(r+σ22)(T−t)σ√T−t和d2=d1−σ√T−t。
3. 解释示例假设有一只股票的当前价格为100元，行权价格为120元，无风险利率为5%，期权的到期时间为1年，标的资产的年化平均收益率为10%，股票价格的年化标准差为20%。
根据以上数据，我们可以应用BS模型来计算看涨期权和看跌期权的理论价格。
•计算d1和d2：d1=ln(100120)+(+22)(1−0)√1−0≈−d2=−−√1−0≈−•计算看涨期权价格：C=100N(−)−120e−(1−0)N(−)≈•计算看跌期权价格：P=120e−(1−0)N()−100N()≈因此，根据BS模型，该看涨期权的理论价格约为元，而该看跌期权的理论价格约为元。
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
欧式期权定价
原方程变为
方程 （1）
看涨 期权
看跌期 权
2、定理 （Poisson公式）齐次热传导方程
的解为
Poisson公 式
3、将方程（1）变为热传导方程 作函数变换 则
将它们代入方程（1）有
令 即 则方程（1）化为如下热传导方程形式
4、求方程的解析解 由Poisson公式有
看涨期权的 边界条件
令 则
一、 Black-Schole方程 基本假设
(a) 原生资产价格演化遵循几何Brown运动
(b) 无风险利率r是常数, (c) 原生资产不支付股息, (d) 不支付交易费和税收, (e) 不存在套利机会.
是期权的价格，则在期权的到期日时
构造投资组合 选取适当的 使得在
由Ito公式
看涨 期权
看跌 期权
则 3、ST的密度函数
ST的密度函数为
4、风险中性定价方法
所以
五、Black-Schole模型的推广（1）----支付红利
基本假设 1，原生资产的价格适合随机微分方程
2，无风险利率r=r(t), 3，原生资产连续支付股息（红利）红利率是q(t), 4，不支付交易费和税收, 5，不存在套利机会.
（一）构造投资组合
选取 ，使得 在[t,t+dt]内无风险，则
利用Ito公式，取 得
有红利情况下的期权定价 的Black-Scholes方程
（二）方程的求解 1，作变换消除方程中包含 和V的项, 设
到期日期权的持有人(购买者或多头)的总收益
---------------看涨期权 ---------------看跌期权 ---------期权金
到期日期权的出售人(空头)的总收益 ---------------看涨期权 ---------------看跌期权
欧式期权定价
到期日期权的出售人(空头)的总收益
PT p (ST K ) ---------------看涨期权
PT p (K ST ) ---------------看跌期权
PT
K
p
ST
购买(持有)欧式看涨期权 的收益
(欧式看涨期权的多头)
PT
K
ST
p
购买(持有)欧式看跌期权的收益
(欧式看跌期权的多头) PT
t
2
2 T t
0,
x0 x0
4、风险中性定价方法
V S,t erTtEQ ST K
EQ ST K
x K
K
x
1
e dx
ln
x S
r
2 2
2 2 T
T t
t
2
2 T t
K
1
e dx
ln
x S
r
2 2
2 2 T
T t
t
2
2 T t
K x
K
e dx
u x,
1
x 2
e
e K
e
2 2
d
2
1
x 2
e
e K
e
2 2
d
ln K 2
ln K
1
2
e1 Ke
x 2
e 2 2 d
V x,
u x,
e e u x, x
r
1 2
2
r
2 2
1 2
r
2 2
x
e
r
1 2
2
r
2 2
2
2
2
u
0
b-s期权公式课件
连续复利收益率的问题: 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是
横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是
2和024/的9/1对5 数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的
11
RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/15
16
结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
2024/9/15
17
参数的理解
μ:
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险 利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素， 因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，
益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率 （Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的 单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的
伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/15
9
为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”:
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的 信息。
这个随机过程dG的 (特 征 2:)dt dz 普通布朗运动: 恒定的2 漂移率和恒定的方差率。
BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK-SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(MyronScholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
BLACK-SCHOLES期权定价模型- 简介斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
BLACK-SCHOLES期权定价模型- 其假设条件(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布；（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
BS期权定价模型课件详解精讲
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
B-S公式小结
证券变化量满足伊藤随机过程——基于该 证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立 起衍生品价格的随机微分方程——构建该 证券与其衍生品的适当组合消除随机过 程，且该组合要满足瞬时无套利，得到 满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和 时间t的偏微分方程。
N (d )
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分 程，它适用于其价格取决于标的证券价 格S的所有衍生证券的定价。
方程的衍生品价格的解为f（s，t）,表示满足此方程的任何解都是满足某种衍生品的不会导致套利机会 的价格；若不满足此方程的衍生品价格f（s，t）也是一种价格，但这样的价格会导致无风险套利机会。
表示这样的对冲组合取得的价值不应该 比无风险利率下的时间价值大或者小。 应该与存放银行取得的收益是一致的， 必须至少获得无风险利率。既然已经不 包含随机过程， 则结果是无风 险确定的， 2 应该不存在 瞬时无风险套利。
（6.16） 将式（6.12）和（6.14）代入式 （6.16），可得： f 1 2 f 2 2 ( S )（ t 6.17） 2 t 2 S 在没有套利机会的条件下： r t
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
二、布朗运动
（一）标准布朗运动 z代表变 设t代表一个小的时间间隔长度， 量z在时间 t 内的变化，遵循标准布朗运 动的 z 具有两种特征： z和 t 的关系满足（6.1）： 特征1： z t （6.1） 其中，代表从标准正态分布（即均值为0、 标准差为1.0的正态分布）中取的一个随 机值。
基于MATLAB的欧式期权定价与隐含波动率应用
基于MATLAB的欧式期权定价与隐含波动率应用作者：刘俊材林若来源：《商场现代化》2010年第26期[摘要]期权价格依赖于标的产品的价格、执行价格、无风险利率、从目前到期权到期的时间、基础资产的波动率等变量。
欧式期权定价和银行波动率的应用是金融工程领域研究的重要内容。
本文利用MATLAB工具箱实现对欧式期权定价的求解,并进一步探讨隐含波动率在投资实践中的应用。
[关键词] MATLAB 欧式期权隐含波动率一、引言期权,是指双方当事人达成某种协议,期权买方向期权卖方支付一定费用,取得在未来到期日(Maturity Data)或到期前按协议买进或卖出一定数量某种基础证券(Underlying Assets)的权利,欧式期权则指买入期权的一方只能在期权到期日当天才能行使的期权。
一直以来,MATLAB在期权定价模型等金融工程方面有着极其重要的作用。
本文通过应用MATLAB,实现欧式期权和隐含波动率在实践中的应用。
二、Black-Scholes期权定价模型及MATLAB实现1.欧式期权的理论价格根据Black-Scholes期权定价模型可以得出欧式期权理论价格的表达式:其中,:标的资产市场价格X : 执行价格r : 无风险利率:标的资产价格波动率T – t: 距离到期时间2. MATLAB实现MATLAB中计算欧式期权价格的函数是blsprice>>[call, put]= blsprice(price, strike, rate, time, volatility)输入参数,Price是股票价格,Strike是执行价,Rate代表无风险利率,Time是指距离到期日的时间,即期权的存续期(单位:年),Volatility表示标定资产的标准差。
输出参数,Call表示欧式看涨期权价格,Put表示欧式看跌期权价格算例:考虑一只无分红的股票,若股票的现在价格为80,波动率的标准差为0.4,无风险利率为8%,期权的执行价格为90元,执行期为3个月,利用MATLAB计算欧式期权价格。
期权定价分析公式说明文档
2. 选定
, 代入 BS 公式计算期权价格得 。判断 是否成立， 若成立则 并且退出计算; 若不成立, 则继续 判断 是否成立，若成立，则赋值 ; 若不成立 则赋值 。 （波动率下限 , 波动率上限 ） 3. 把波动率上下限代入 BS 公式分别计算对应的期权价格， 记为 。 （其中我们采用边界条件： ） 4. 令 , 代入 BS 公式计算其相应 的期权价格，即为 , 判断 <0.001 是否成立，若成立则最后 ，并退出计算; 若不成立, 则判断 ，若成立，则进行赋 值 ， ；若不成立，则进行赋值 。然 后循环计算直到满足条件为止。
3.1.3 Gamma 的计算： Gamma 的定义为 . 以及二阶导数的近似公式为： 我们可以取 因此我们首先计算 最后得到： 情况下的值： , .
3.1.4 Vega 的计算： Vega 的定义为: 波动率值。选取 。同样的， 表示客户输入的 情况下，计算相应的 V 值记为
. 容易得到 vega 值为：
3.1.5 Rho 的计算： Rho 的定义为： . r 表示客户输入的无风险利
率。 同样选取不同的无风险利率： 0.9r, r, 1.1r, 用二叉树方法 计算相应的 V 值为： . 容易得到 Rho 值为：
3.2 BS 公式中的敏感性参数计算
BS 公式只能计算欧式期权，而且对于看涨看跌期权有不同 的敏感性参数计算公式。具体如下图所示：
5， 6，
表示二叉树中期权价格上涨的幅度，d 表示下跌的幅度。 表示风险中性概率 表示无风险利率, 表示标的价格的
波动率。上述两个 p 的表达式中，后者适用期货期权。 7， 表示时间步长，T 表示期权的到期日。以年为单位。
无红利的美式看跌期权的逆向递推公式为：
边界条件为：
BS期权定价模型及其应用
其中：
ln(S / K ) (r 2 / 2)(T t)
d1
(T t)
d2
ln(S
/
K)
(r
2
T t
/
2)(T
t)
d1
T t
此即 Black-Scholes 期权定价公式。
17
如何理解B-S期权定价公式
（1） SN (d1) 可看作证券或无价值看涨期权的多头； 可看K作er(KTt份)N (现d2 )金或无价值看涨期权的多头。
：股价收益率的瞬间标准差
3
波动率估计
1 观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ， 观测时间间隔为t（以年为单位）
2 计算每期以复利计算的回报率
ui＝Ln(Si / Si-1 ), i=1,……,n 3 计算回报率的标准差s
s
1 n 1
n i 1
(ui
u )2
4 波动率估计 ˆ s
给出其它具体数值，公司价值的波动率为0.3, 无风险利率为8%，根据B-S公司得到E=2824万元. 公司负债价值D=V-E=7176万元。
26
（2）确定贷款担保价值或担保费用
假设某银行为公司发行的债券提供了信用担
保。 1年之后，若公司价值VT大于债券面值时， 银行无须支付；若公司价值VT小于债券面值时, 银行须支付 VT – B。这相当于银行出售了一个欧 式put, 标的资产仍为公司价值，执行价格为债券 面值B。
券的期望收益率等于无风险利率）
15
用风险中性方法对欧式 Call 定价
假设股价期望收益率为无风险利率 r，则：
欧式 Call 到期时的期望收益为： Eˆ[max(ST K , 0)]
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据Black-Scholes期权定价模型是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，它基于以下假设：资产价格的波动性是已知且恒定的、市场无摩擦、无风险利率是已知且恒定的、欧式期权只能在到期日行使以获得支付。
根据Black-Scholes模型，欧式期权的价格可以通过以下公式计算：C=S*N(d1)-X*e^(-rT)*N(d2)P=X*e^(-rT)*N(-d2)-S*N(-d1)其中C表示认购期权的价格P表示认沽期权的价格S表示标的资产的当前价格X表示期权的行权价格r表示无风险利率T表示剩余期限，单位为年份d1 = (ln(S/X) + (r + σ^2/2)T) / (σ * √T)d2=d1-σ*√TN(d)和N(-d)是标准正态分布函数。
标准正态分布函数可以通过查找Z表或使用计算机程序进行近似计算。
在应用Black-Scholes模型时，需要提供以下数据：1.标的资产的当前价格（S）2.期权的行权价格（X）3.无风险利率（r）4.剩余期限（T）（以年为单位）5.标的资产的波动率（σ）下面举一个实例来说明如何使用Black-Scholes模型计算期权价格。
假设只股票的当前价格为100美元，期权的行权价格为105美元，无风险利率为5%，剩余期限为6个月（0.5年），股票的波动率为20%。
首先，根据给定的数据，计算d1和d2：d1 = (ln(100/105) + (0.05 + 0.2^2/2) * 0.5) / (0.2 * √0.5) d2=d1-0.2*√0.5然后，使用标准正态分布函数计算N(d1)、N(d2)、N(-d1)和N(-d2)的值。
假设N(d1)=0.6、N(d2)=0.5、N(-d1)=0.4和N(-d2)=0.3接下来，根据公式可计算出认购期权和认沽期权的价格：C=100*0.6-105*e^(-0.05*0.5)*0.5=7.16美元P=105*e^(-0.05*0.5)*0.3-100*0.4=3.84美元因此，在给定的条件下，该认购期权的价格为7.16美元，认沽期权的价格为3.84美元。
期权定价原理
期权定价原理永安期货研究院周博2013年5月⏹期权定价模型的演化历程⏹期权定价模型及原理⏹影响期权定价的因素⏹期权风险参数及其应用期权定价模型的演化历程⏹B-S模型之前的期权定价理论⏹B-S模型期权定价理论⏹B-S模型之后的期权定价理论B-S模型之前的期权定价理论（一）Bachelier（1900）（二）Sprenkle（1964）（三）Boness（1964）（四）Samnelson（1965）B-S模型期权定价理论Black与Scholes（1973）提出，推导出了无红利支付股票的衍生证券所需满足的微分方程，并根据欧式期权所确定的边界条件，给出了股票欧式期权价值的解析表达式。
B-S模型之后的期权定价理论（一）连续股利支付的B-S定价模型（Merton（1973））（二）随机无风险利率的B-S定价模型（Merton（1976））（三）带跳的B-S定价模型（Cox和Ross（1975））（四）波动率修正的B-S定价模型（Black和Cox（1976））“波动率微笑”效应（五）CRR二项式定价模型（Cox，Ross和Rubinstein（1979））（六）美式期权定价模型研究（Barone-Adesi和Whaley（1987））期权定价模型及原理⏹B-S期权定价模型（欧式现货期权）⏹Black（76）期权定价模型（欧式期货期权）⏹二叉树期权定价模型（欧式、美式、现货、期货）B-S期权定价模型⏹假设：标的价格服从标的价格波动率和预期收益率为常数的几何布朗运动，即⏹原理：通过卖出一手看涨期权，买入份股票，构造了一份无风险投资组合由无套利原理可知，该组合的收益率和无风险资产的收益率相同，即⏹场景：印度国家证券交易所（NSE）采取Black-Sholes模型为S&P CNX Nifty指数期权提供参考价。
⏹优点：封闭解析解，计算速度快，精确。
⏹缺点：适用范围有限，不能计算美式期权。
Black（76）期权定价模型⏹介绍：由Fischer Black在1976年的《商品合约的定价》一文中首次详述。
Black-Scholes期权定价公式与希腊值
内）看跌期权的Delta趋近-1，平值看跌期权的 Delta为-0.5，深虚值（价外）看跌 期权的Delta趋近于0。
Delta又称为每轮对冲值或对冲比率。它表示的是期权价格变化对标的价格变化 的敏感度，也就是说，当标的价格变动1元时理论上期权价格的变动量。比如 说，一个期权的Delta值如果是0.5，那么正股每上涨一元，期权的价格理论上会 上涨0.5元。 Delta（及其他希腊字母）具有可加性。（用仓位加权优于用权重加权）如果投 资者持有以下投资组合：表2 投资组合的delta值可以将所有部位的Delta值相加 即：1+2×0.47-3×0.53=0.35。可见，该交易者的总体持仓的Delta值为0.35，也就 是说这是一个偏多头的持仓，（在delta上看）相当于持有0.35的现货。
标的资产不同或到期期限不同则隐含波动率不同。 那么不同的期权，只要标的资产一样，到期期限一样，那么隐含波动率应该一样， 与行权价格k无关。但是实际情况下货币市场有波动率微笑（K很大和很小的隐含波 动率更高）和股票市场的波动率倾斜（K很小的情况下隐含波动率更大）。 “波动率微笑”即具有相同到期日和标的资产而执行价格不同的期权，其执行价格偏 离标的资产现货价格越远，隐含波动率越大。在实证研究中，通过传统BS期权定价 模型计算出来的隐含波动率呈现出一种被称为“波动率微笑”的现象。即价外期权和 价内期权（out of money和 in the money）的隐含波动率高于在价期权（at the money）的隐含波动率，使得波动率曲线呈现出中间低两边高的向上的半月形，也 就是微笑的嘴形，叫波动率微笑。
3，可见期权价格只受以上五个变量的影响。 其中σ不可直接观测，称之为“隐含波动率”，即其他参数给定，结合当前期权价 格，使用BS formula反推出来的波动率参数值。
期权定价方法综述
目录
01 一、期权定价方法
03 结论
02
二、应用前景与未来 发展
04 参考内容
期权定价是金融衍生品市场的重要部分，对于期权交易、投资组合构建以及 风险管理都有着至关重要的作用。本次演示将对期权定价的主要方法进行综述， 包括欧式期权、美式期权和日式期权，并分析比较它们的优缺点。此外，还将探 讨期权定价方法的应用前景和未来发展方向。
（2）蒙特卡洛模拟：该方法通过模拟大量股票价格路径，计算美式期权的 预期收益，从而得到期权价格。蒙特卡洛模拟的优点在于它可以处理复杂的期权， 如多资产、多期权等。然而，它需要大量的计算资源，且可能受到模拟误差的影 响。
3、日式期权定价方法
日式期权是指只有在到期日行权的期权，其定价方法主要有以下两种：
（1）Black-Scholes-Merton模型：该模型基于Black-Scholes模型，但允 许美式期权在到期日之前行权。这需要对Black-Scholes模型的公式进行修改， 并加入提前行权的条件。该模型的优点在于它可以处理美式期权，并考虑到提前 行权的风险。然而，它仍然受到Black-Scholes模型的一些限制。
（1）三叉树模型：该模型通过构造股票价格的三叉树图形，模拟期权在多 个时间段内的价格变化。三叉树模型考虑了分红的影响，适用于日式期权的定价。 然而，它需要主观设定一些参数，且对于大规模计算的要求较高。
（2）静态复制方法：该方法通过构建一个投资组合，使其在到期日的收益 与期权收益相同，从而得到期权的定价。静态复制方法的优点在于它简单易懂， 可以用于不同类型和执行价格的期权。然而，它可能受到市场流动性的限制。
影响因素
实物期权定价的影响因素十分复杂，主要包括以下几类：标的资产价格波动 率、无风险利率、行权价格、到期时间、标的资产潜在增长机会等。这些因素对 实物期权价格的影响程度并不相同，需要通过实证研究进行检验。
bs模型行权概率和delta
bs模型行权概率和delta
1、T到底是哪一段时期的大小，从哪一个时间点开始到到期日的时间我手推过BS模型,光书写，就能花费一个多小时。
T应该是T-t，t是现在的时间点，T是到期时间。
2、计算隐含波动率的时候，c和p也应该要已知吧？
期权定价中的几个变量，波动率、无风险利率、执行价格，标的物价格、到期日。
其中到期日、标的物价格、执行价格、无风险利率都已经知道了。
那么如果通过C,或者P的价格来倒推波动率，得到的就是隐含波动率。
如果用预测波动率计算C或者P，那么就是理论C或者P.计算隐含波动率肯定要知道C或者P,这个去交易软件就能看到，现在都不需要自己算。
3、BS方程可以给美式期权定价么
BS主要是给欧式，美式用二叉树，二叉树也能算欧式。
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业界荟萃
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实验题3
分别计算实验1的欧式看涨期权delta值以及实验2的欧 式看跌期权delta值，并说明其表达的含义。
业界荟萃
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实验4
股票价格为100美元，执行价为95美元，该标的资产 的欧式看涨期权价格为10美元，存续期为3个月，无风险 利率为7.5%，此外，假设你在隐含波动率不大于0.5的兴 趣（每年50%）。 求该隐含波动率为多少？
Matlab金融工具箱的简单使用
主讲人 ：崔帅 联系方式：15117992897 邮箱：ustncuishuai@
业界荟萃
1
Matlab金融工具箱的简单使用
金融工具箱模块
Financial Toolbox Financial Derivatives Toolbox Financial Time Series Toolbox
Fixed-Income Toolbox GARCH Toolbox
参考书籍：《 MATLAB金融工具箱的应用》 《Matlab统计分析与应用》
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1. 欧式期权定价
1.1 二叉树定价函数； 1.2 欧式期权价格函数； 1.3 欧式期权Delta值计算； 1.4 欧式期权隐含波动率；
业界荟萃
%输出：
Call
%欧式看涨期权价格
Put %欧式看跌期权价格
业界荟萃
6
例题1
股票价格为100，股票波动率标准差为0.5，无风险利率 为10%，期权执行价为95，存续期为0.25年，试计算该股 票欧式期权价格。
业界荟萃
7
在MATLAB中执行如下命令： >> [call,put]=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5) 结果：
0.5955 PutDelta =
-0.4045 看涨期权Delta值为0.5955，看跌期权Delta值为-0.4045
业界荟萃
12
1.4 欧式期权隐含波动率
已知欧式期权价格，也可以推导出隐含波动率的标准 差，然后用隐含波动率与实际波动率相比较，并作为投资 决策参考
业界荟萃
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隐含波动率函数调用方式
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学习要求
1、了解和掌握欧式期权定价函数的使用； 2、完成PPT中例题的运算； 3、完成实验报告并提交；
（报告要求：独立完成，截图程序操作过程并给出习题答案； 命名方式：班级+学号+姓名+报告题目）
业界荟萃
4
1.2 欧式期权价格函数
业界荟萃
5式：
[call,put]=blsprice(price,strike,rate,time,volatility,yield)
业界荟萃
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例3
一个无股息股票上看涨期权的市场价格为2.5美元，股 票价格为15美元，执行价格为13美元，期限为3个月，无 风险利率为年率5%，隐含波动率是多少？
业界荟萃
15
在Matlab中执行如下命令： >> Volatility = blsimpv(15, 13, 0.05, 0.25, 2.5, [], 0, [], {'Call'}) Volatility =
Yield % 标的资产的红利率，默认值为0
%输出：
CallDelta
%欧式看涨期权价格
PutDelta
%欧式看跌期权价格
业界荟萃
10
例题2
股票价格为50，股票波动率的标准差为0.3，无风险利 率为10%，期权执行价为50，存续期为0.25年，试计算该期 权Delta值。
业界荟萃
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在Matlab中执行如下命令： >>[CallDelta,PutDelta]=blsdelta(50,50,0.1,0.25,0.3,0) CallDelta =
%输入：
>> [call,put]=blsprice(price,strike,rate,time,volatility,yield)
注：
price %标的资产价格
Strike %执行价
Rate %无风险利率
Time %距离到期日的时间，即期权的存续期
Volatility %标的资产的标准差
Yield %（可选）标的资产的红利率，默认值为0
0.3964
在这些条件下，所有计算的隐含波动率为0.3130，或 39.64%，
业界荟萃
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实验题1
计算以下无股息股票的欧式看涨期权的价格，其中股 票价格为52美元，执行价格为50美元，无风险利率为年率 12%，波动率为30%，期限为3个月。
业界荟萃
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实验题2
计算以下无股息股票的欧式看跌期权的价格，其中股 票价格为69美元，执行价格为70美元，无风险利率为年率 5%，波动率为35%，期限为6个月。
call = 13.6953
put = 6.3497 从以上结果可以看出，该股票欧式看涨期权价格为 13.6953，欧式看跌期权价格为6.3497。
业界荟萃
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1.3 欧式期权Delta值计算
业界荟萃
9
欧式期权delta值函数调用方式
[CallDelta,PutDelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Vol atility,Yield)
%输入：
>> [CallDelta,PutDelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)
注：
Price %标的资产价格
Strike %执行价
Rate %无风险利率
Time %距离到期日的时间，即期权的存续期
Volatility %标的资产的标准差
业界荟萃
Volatility = blsimpv(Price, Strike, Rate, Time, Value, Limit, Yield,Tolerance, Type)
输入参数
Price
Strike
Rate
Time
Value Limit Yield Tolerance Type
%标的资产当前价格 %期权执行价 %无风险利率 %存续期 %欧式期权价格 %(Optional)欧式期权波动率上限，默认值是10 %(Optional)标的资产的分红，折合成年收益率 %(Optional)可以忍受隐含波动率，默认值为10 %(Optional)欧式期权种类， 如果是欧式看涨期权则输入Type = {‘call’}， 如果是欧式看跌期权则输入Type = {‘put’}， 默认值为欧式看涨期权