高中数学基础练习题答案解析
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(62)
1.1 集合的概念一、单选题1．已知3a =，{|2}A x x =≥，则（ ）A ．a A ∈B ．a A ∉C ．{}a A =D ．{}a a ∉答案：A解析：根据元素与集合的关系，即可求解.详解：由题意，集合{|2}A x x =≥，且3a =，因为32>，所以a A ∈.故选：A.2．设集合{1}A x Z x =∈-，则A ．A ∅∉B ．C ．2A ∈D ．{}2⊆A 答案：B详解：试题分析：集合A 表示大于1-的正数，因此B 项正确 考点：元素与集合的元素3．下列所给关系正确的个数是①π∈R 3Q ；③0∈*N ；④|−4|∉*N ．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B详解：由R(实数集)、Q(有理数集)、*N (正整数集)的含义知，①②正确，③④不正确．4．对于任意实数x x ，表示不小于x 的最小整数，如1.220.20=-=，．定义在R 上的函数()2f x x x =+，若集合(){}|10A y y f x x ==-，≤≤，则集合A 中所有元素的和为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-答案：B解析：根据x 的范围即可求出2x 的范围，根据x <>的定义即可求出2x x <>+<>的值，即得出集合A 的所有元素，从而得出集合A 的所有元素的和．详解：因为10x -，∴①1x =-时，22x =-，则：1x <>=-，22x <>=-；23x x ∴<>+<>=-；②10x -<时，220x -<，则：0x <>=，21x <>=-，或0； 21x x ∴<>+<>=-，或0；{3A ∴=-，1-，0}；∴集合A 中所有元素和为4-．故选：B点睛：本题主要考查对x <>的定义的理解，以及不等式的性质，意在考查学生对这些．5．集合5793,,,,234⎧⎫⎨⎬⎩⎭用描述法可表示为（ ） A ．*21|,2n n x x n N +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ B ．*23|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ C ．*21|,n x x n N n -⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ D ．*21|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭答案：D 解析：找出集合中元素的规律通式即可.详解： 由5793,,,,234，即3579,,,,1234，从中发现规律*21,n x n N n +=∈， 故可用描述法表示为*21|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭. 故选：D.点睛：本题考查集合的描述法，属于基础题.6．已知集合A 中元素x 满足x x N *∈，则必有（ ）A ．－1∈AB ．0∈ACD ．1∈A答案：D解析：利用列举法求解即可.详解：因为x ≤≤又x N *∈，所以x 的可能取值1,2.故选：D.点睛：本题主要考查了列举法.属于容易题.7．集合{1,2,3,5}A = ，当x A ∈时，若1,1x A x A -∉+∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据“孤立元素”的定义，依次研究各元素即可得答案.详解：解：对于元素1，112A +=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素2，213A +=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素3，312A -=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素5，514A -=∉，516A +=∉，故满足孤立元素的定义；故A 中孤立元素的个数为1个.故选：A.点睛：本题考查集合新定义问题，正确理解新定义是解题的关键，是基础题.8．已知集合{1,,1}A a a =-，若2A -∈，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1-或2-D ．2-或3-答案：C解析：由已知得2a =-或12a -=-，解之并代入集合中验证可得选项.详解：因为集合{1,,1}A a a =-，且2A -∈，所以2a =-或12a -=-，当2a =-时，{1,2,3}A =--，适合题意；当12a -=-时，1a =-，{1,1,2}A =--，也适合题意，所以实数a 的值为1-或2-.故选：C.点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.9．设集合222,3,3,7A a a a a⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，{}|2|,0B a =-，已知4A ∈且4B ∉,则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}-1，-2B ．{}-1，2C ．{}-2，4D ．{}4答案：D解析：由234a a -=或274a a ++=解出a 的值，再验证集合中元素的互异性.详解：当234a a -=时，可得4a =或1a =-，若1a =-，则274a a ++=，不合题意；若4a =，则2711.5a a ++=，|2|2a -=符合题意； 当274a a++=，可得1a =-或2a =-，若1a =-，则234a a -=，不合题意；若2a =-，则|2|0a -=，不合题意.综上所述：4a =.故选：D.点睛：本题考查了集合中元素的互异性，考查了分类讨论思想，属于基础题.二、填空题1．已知集合{}2|60A x x px =-+=，若3A ∈，则方程15x p -=的解为__________.答案：2x =解析：由题意可知，3是方程260x px -+=的根，解得5p =.方程15x p -=等价变形为155x -=，解得，即可.详解：3A ∈∴3是方程260x px -+=的根，即23360p -+=，解得5p =. 又方程155x p -==11x ∴-=，解得2x =.故答案为：2x =点睛：本题考查元素与集合的关系以及实数指数幂的运算，属于较易题.2．若－3∈x－2，2x 2－5x ，12}，则x ＝________．答案：－1，32，1解析：由已知得x －2＝－3或2x 2－5x ＝－3，解之再代入集合中检验集合的元素是否互异，可得答案.详解：由题意知，x －2＝－3或2x 2－5x ＝－3.①当x －2＝－3时，x ＝－1.把x ＝－1代入，得集合的三个元素为－3，7，12满足集合中元素的互异性；②当2x 2－5x ＝－3时，x ＝32或x ＝1，当x ＝32时，集合的三个元素为－12，－3，12，满足集合中元素的互异性；当x ＝1时，集合的三个元素为－1，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知x ＝－1，32，1.故答案为：－1，32，1.点睛：本题考查由集合与元素的关系求参数的值，注意集合中的元素需互异，属于基础题.3．设集合{}2|20x x x a ++=有且只有两个子集，则a =______________.答案：1a =解析：本题先将条件“集合{}2|20x x x a ++=有且只有两个子集”转化为“方程220x x a ++=有且仅有1个解”，再建立方程求a 的值.详解：解：因为集合{}2|20x x x a ++=有且只有两个子集，所以集合{}2|20x x x a ++=有且只有一个元素，所以方程220x x a ++=有且仅有1个解，所以2240a ∆=-=，解得1a =.故答案为：1a =.点睛：本题考查根据集合中元素的个数求参数的值，是基础题.4．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________答案：12(,]23解析：由f （x ）＝x 2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0可得x 2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1，即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1，则满足题意，结合图象即可求出．详解：f （x ）＝x 2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0，即x 2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1，分别令y ＝x 2﹣2x+1，y ＝a （x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A ＝x∈Z|f（x ）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴10{120 311a a a -≤--≤＜，解得12＜a 23≤故答案为（12，23]点睛：本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题5．设,a b ∈R ，集合{}{}2,0,a b a =，则b a -=_____________答案：1-解析：根据集合的互异性原则,可求得a 与b 的值,即可求得b a -的值.详解：因为集合{}{}2,0,a b a = 所以0a =或0b =当0a =时,集合20a =,因而元素重复,与集合的互异性原则相悖,所以舍去0a =当0b =时,可得2a a =,解得0a =(舍)或1a =综上可知, 1a =,0b =所以011b a -=-=-故答案为: 1-点睛：本题考查了集合的互异性原则及集合相等的应用,属于基础题.三、解答题1．写出集合2|,3n x x n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N 中最小的3个元素.答案：240,,33解析：让n 取自然数集中最小3个数代入即可得．详解：0,1,2n =时，三个元素为24033，，． 点睛：根据集合中元素的性质，取n 为自然数集中最小3个数代入可求得集合A 中最小的三个元素．2．已知数集{}()1212,,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的i、()1j i j n ≤≤≤，i j a a +，与j i a a -两数中至少有一个属于A ．（1）分别判断数集{}0,1,3,4与{}0,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：10a =，且()122n n na a a a =+++； （3）当5n =时，若22a =，求集合A ．答案：（1）集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明见解析. （3）{0,2,4,6,8}A =.解析：（1）利用i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .即可判断出结论.（2）先由0n na a A =-∈，得出10a =，令“,1j n i =>,由“i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ”可得n i a a -属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,1a 不符合不符合题意,2a 符合.同理可得:令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,倒序相加即可.（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,可得51i a a Ai -∈=51525354550a a a a a a a a a a ->->->->-=,则515533524a a a a a a a a a -=-=-= ,又34245a a a a a +>+=,可得34a a A +∉,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-.可得即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列是首项为0,公差为22a =等差数列.详解：解：（1）在集合{}0,1,3,4中，设{}0,1,3,4A =①011,101A A +=∈-=∈,具有性质P②033,303A A +=∈-=∈,具有性质P③044,404A A +=∈-=∈,具有性质P④134,312A A +=∈-=∉,具有性质P⑤145,413A A +=∉-=∈,具有性质P⑥347,431A A +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,1,3,4具有性质P ；在集合{}0,2,3,6中，设{}0,2,3,6B =,①022,202B B +=∈-=∈,具有性质P②033,303B B +=∈-=∈,具有性质P③066,606B B +=∈-=∈,具有性质P④235,321B B +=∉-=∉,不具有性质P⑤267,624B B +=∉-=∉,具有性质P⑥368,633B B +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,2,3,6不具有性质P .故集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明:令,1j n i =>由于120n a a a ≤<<<，则n n n a a a +>，故2n a A ∉ 则0n n a a A =-∈，即10a =i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ,i j a a ∴+不属于A ,n i a a ∴-属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,10a =不符合题意,2a 可以.如果是3a 或者4a ,那么可知31n n a a a --=那么231n n n a a a a a -->-=,只能是等于n a ,矛盾.所以令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,同理,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,∴倒序相加即可得到1232n n n a a a a a +++⋯+= 即()122n n na a a a a =+++⋯+（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P ,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,51,2,3,4,5i a a Ai ∴-∈=123451234500a a a a a a a a a a =<<<<=<<<<,51525354550a a a a a a a a a a ∴->->->->-=,则515524a a a a a a -=-=,533a a a -=,从而可得245532a a a a a +==,故2432a a a +=,即433230a a a a a <-=-<,又3424534a a a a a a a A +>+=∴+∈/ ,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-又54221a a a a a -==-544332212a a a a a a a a a ∴-=-=-=-=,即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列,{0,2,4,6,8}A ∴=点睛：（1）本问采用举反例的方法证明A 不具有P 性质;（2）采用极端值是证明这类问题的要点,一个数集满足某个性质,则数集中的特殊的元素（比如最大值、最小值）也满足这个性质;本问的第二个要点是集合的元素具有互异性,由互异性及题中给的性质P ,可得出等式;（3）利用在（2）中得到的结论得出12345,,,,a a a a a 之间的关系，再结合A 中元素所具有的P 性质即可得到结论.3．分别用列举法和描述法表示方程x 2+x –2=0的所有实数解的集合．答案：1，–2}，x|x=1或x=–2}解析：根据列举法和描述法的定义分别进行表示即可． 详解：由220x x +-= 得1x = 或2x =- ，所以用列举法表示解集为}{1,2- ，用描述法表示为}{{}22012.x x x x x x +-===-=-或点睛：本题主要考查集合表示的两种方法：列举法和描述法，比较基础，要注意两者之间的区别．。
高中数学练习题及答案
高中数学练习题及答案【一】函数与方程1. 已知函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x+1) = 3x^2 - 2x + 1\)，求 \(f(2)\) 的值。
答案：将 \(x+1\) 替换为 \(x\)，得到 \(f(x) = 3(x-1)^2 - 2(x-1) + 1\)。
将 \(x\) 替换为 2，得到 \(f(2) = 3(2-1)^2 - 2(2-1) + 1 = 4\)。
2. 解方程组：\[\begin{align*}2x + 3y &= 7 \\4x + 6y &= 14\end{align*}\]答案：将第一个方程两倍后与第二个方程相减，得到 \(0 = 0\)。
因此两个方程是同一直线上的无穷多解。
【二】数列与数列求和1. 求等差数列 \(1, 4, 7, 10, \ldots\) 的第 15 项。
答案：首项 \(a_1 = 1\)，公差 \(d = 4 - 1 = 3\)。
第 15 项为 \(a_{15} = a_1 + (15-1)d = 1 + 14 \times 3 = 43\)。
2. 求等比数列 \(3, 6, 12, 24, \ldots\) 的前 10 项和。
答案：首项 \(a_1 = 3\)，公比 \(r = \frac{6}{3} = 2\)。
前 10 项和为\(S_{10} = \frac{a_1(r^{10}-1)}{r-1} = \frac{3(2^{10}-1)}{2-1} = 3 \times (2^{10}-1) = 3072\)。
【三】平面解析几何1. 已知平面上点 \(A(-1, 2)\)，直线 \(l\) 过点 \(A\) 且与直线 \(x - y + 3 = 0\) 平行，求直线方程。
答案：直线 \(x - y + 3 = 0\) 的法向量为 \(\vec{n} = (1, -1)\)。
因为直线 \(l\) 平行于该直线，所以它的法向量也为 \(\vec{n}\)。
高中数学练习题及答案
高中数学练习题及答案高中数学练习题及答案高中数学是学生们学习过程中的一大挑战。
掌握数学的基本概念和解题技巧对于学生们来说是至关重要的。
然而，要真正掌握数学，仅仅依靠理论知识是不够的。
实践和练习是提高数学能力的关键。
本文将介绍一些高中数学练习题及其答案，帮助学生们更好地巩固和应用所学的知识。
一、代数题1. 解方程：2x + 5 = 17答案：x = 62. 化简表达式：(3x + 2y)²答案：9x² + 12xy + 4y²3. 因式分解：x² + 6x + 9答案：(x + 3)²二、几何题1. 计算三角形面积：已知三角形的底边长为8cm，高为6cm，求其面积。
答案：三角形的面积为24平方厘米。
2. 判断三角形形状：已知三条边长分别为3cm、4cm和5cm，判断该三角形是什么形状？答案：该三角形是直角三角形。
3. 计算圆的面积：已知圆的半径为5cm，求其面积。
答案：圆的面积为25π平方厘米。
三、函数题1. 求函数的定义域：已知函数f(x) = √(2x - 1)，求f(x)的定义域。
答案：2x - 1 ≥ 0，即x ≥ 1/2。
所以f(x)的定义域为[x ≥ 1/2)。
2. 求函数的值域：已知函数g(x) = x² + 3x + 2，求g(x)的值域。
答案：首先，g(x)是一个二次函数，开口向上，所以最小值为函数的顶点。
顶点的横坐标为-x/2a，即x = -3/2。
代入函数得到g(-3/2) = 1/4。
所以g(x)的值域为[g(x) ≥ 1/4)。
四、概率题1. 计算概率：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心的概率。
答案：一副扑克牌中有52张牌，其中红心有13张。
所以抽到红心的概率为13/52，即1/4。
2. 计算条件概率：在一副扑克牌中，已知抽到的牌是红心，求下一张牌是梅花的概率。
答案：由于已知抽到的牌是红心，所以剩下的牌中只有26张梅花牌。
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（ ） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
高中教材练习题及讲解答案数学
高中教材练习题及讲解答案数学### 高中数学练习题及讲解答案#### 一、基础练习题1. 题目一：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在 \( x = 2 \) 时的导数值。
2. 题目二：解不等式 \( |x - 3| < 5 \) 并表示解集。
3. 题目三：已知 \( a \) 和 \( b \) 是正数，求证\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \)。
#### 二、中等难度练习题4. 题目四：计算定积分 \( \int_{1}^{2} (4x - 3) \, dx \)。
5. 题目五：给定圆 \( x^2 + y^2 = 9 \)，求圆上点到直线 \( 2x - y + 6 = 0 \) 的最短距离。
6. 题目六：证明等差数列的前 \( n \) 项和公式 \( S_n =\frac{n(a_1 + a_n)}{2} \)。
#### 三、高难度练习题7. 题目七：已知 \( \sin(x) + \cos(x) = \frac{1}{2} \)，求\( x \) 的值。
8. 题目八：求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的极值点。
9. 题目九：解方程组：\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 4 \\x + y = 2\end{cases}\]#### 四、讲解与答案1. 解答一：首先求导 \( f'(x) = 6x - 2 \)，代入 \( x = 2 \)得 \( f'(2) = 10 \)。
2. 解答二：解不等式得 \( -5 < x - 3 < 5 \)，即 \( -2 < x < 8 \)。
3. 解答三：利用调和平均数的性质，\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 \times \frac{2ab}{ab} = 4 \)。
新教材人教版高中数学必修第二册 9-3 统计案例 公司员工的肥胖情况调查分析(基础练习题)解析版
第九章 统计9.3 统计案例 公司员工的肥胖情况调查分析(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用21,x x 表示，方差分别为 2221,s s 表示，则（ ）A.21x x >, 2221s s > B.21x x >, 2221s s < C.21x x <, 2221s s < D.21x x <, 2221s s >【答案】 B【解析】85988871=++++=x ， 2.751077661=++++=x ，故 21x x > .s 21；s22， 故s s 2221< , 故选：B.2．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是上海普通职工n(n ≥3，n ∈N *)个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入x n ＋1，则在这n ＋1个数据中，下列说法不正确的是（ ） A ．年收入平均数大大增大 B ．中位数可能不变 C ．方差变大 D ．方差可能不变【答案】D【解析】插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为加入此数据更加分散而变大.故选：D3．一组数据的方差为2s ，平均数为x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数分别为（ ） A ．212s ，12x B ．22s ，2x C ．24s ，2x D ．2s ，x【答案】C【解析】设该组数据为123,,,,n x x x x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，则有1232,22,,2,n x x x x ⋯，平均数为2x .又()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=⨯-+-++-⎢⎥⎣⎦，则新数据的方差为()()()22221212222224n x x x x x x s n ⎡⎤⨯-+-++-=⎣⎦， 故选：C.4．如图是某公司2020年1月到10月的销售额(单位：万元)的折线图，销售额在35万元以下为亏损，超过35万元为盈利，则下列说法错误的是（ ）A ．这10个月中销售额最低的是1月份B ．从1月到6月销售额逐渐增加C ．这10个月中有3个月是亏损的D ．这10个月销售额的中位数是43万元 【答案】B【解析】根据折线图知，这10个月中销售额最低的是1月份，为30万元，所以A 正确； 从1月到6月销售额是先增加后减少，再增加，所以B 错误；1月，3月和4月的销售额低于35万元，其它月份都高于35万元，所以C 正确； 这10个月的销售额从小到大排列为30,32,34,40,41,45,48,60,78,80万元， 其中位数是()14145432⨯+=万元，所以D 正确. 故选：B 5.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生的成绩（均为整数），其成绩的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数，众数和平均数分别是（ ）A．73.3，75，72 B．73.3，80，73C．70，70，76 D．70，75，75【答案】A【解析】由频率分布直方图知，小于70的有24人，大于80的有18人，则在[70，80]之间18人，所以中位数为70103+≈73.3；众数就是分布图里最高的小矩形底边的中点，即[70，80]的中点横坐标，是75；平均数为45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.25+95×0.05＝72．故选: A．二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A．甲的化学成绩领先年级平均分最多.B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.D ．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果. 【答案】A【解析】根据雷达图，可知物理成绩领先年级平均分最多，即A 错误； 甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分，即B 正确； 甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理，即C 正确；对甲而言，物理成绩比年级平均分高，历史成绩比年级平均分低，而化学、生物、地理、政治中优势最明显的两科为化学和地理，故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果，即D 正确. 故选：A.7．某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）变化情况如图所示，下列判断一定正确的是（ ）A ．该地区城乡居民储蓄存款年底余额总数逐年上升B ．到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额C ．城镇居民存款年底余额逐年下降D ．2017年城乡居民存款年底余额增长率大约为225% 【答案】AD【解析】由条形图可知，余额总数逐年上升，故A 项正确；由城乡储蓄构成百分比可知，2019年农村居民存款年底总余额占36.1%，城镇居民存款年底总余额占63.9%，没有超过，故B 项错误；城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降，但城镇居民存款年底余额2014年，2017年，2019年分别为6.8198（亿元），155.085（亿元），973.197（亿元），总体不是逐年下降的，故C 项错误，2017年城乡居民存款年底余额增长率大约为21165225%65-≈，故D 项正确.故选：AD. 8．如图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的统计图,如10月份销售任务是400台,完成率为90%,下列叙述正确的是（ ）A ．2018年3月的销售任务是400台B ．2018年月销售任务的平均值不超过600台C ．2018年总销售量为4870台D ．2018年月销售量最大的是6月份 【答案】ABC【解析】由题图可知选项A 正确; 2018年月销售任务的平均值为10020033003400500700800100045060012++⨯+⨯++++=<,故选项B 正确;2018年总销售量为1000.82001300(0.5 1.50.6)400(1.20.90.9)500 1.17000.8⨯+⨯+⨯+++⨯+++⨯+⨯800110000.74870+⨯+⨯=,故选项C 正确;2018年月销售量最大的是5月份,为800台,故选项D 不正确. 故选：ABC 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为_________ 【答案】0.7【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7． 故答案为:0.710．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 . 【答案】10【解析】设样本数据为：12345,,,,x x x x x ()1234557x x x x x ∴++++÷=()()222157754s x x ⎡⎤=-++-÷=⎣⎦()()22151********,35x x x x x x x ∴-++-=++++=若样本数据中的最大值为11，不妨设511x =，由于样本数据互不相同，与()()22157720x x -++-=这是不可能成立的，若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知两式均成立，此时样本数据中的最大值为 10, 故答案为:1011．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业 参加用户比脱贫率那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的______倍 【答案】 【解析】设贫困户总数为a，脱贫率，所以 .故 2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的 倍. 故答案为：四、解答题：（本题共3小题，共45分。
高一数学练习题及答案
高一数学练习题及答案高一数学练习题及答案数学是一门重要的学科，对于高中生来说，数学的学习尤为关键。
高一学年是数学知识的基础阶段，掌握好这个阶段的知识对于后续学习的顺利进行至关重要。
为了帮助同学们更好地复习和巩固高一数学知识，下面将给出一些高一数学练习题及答案。
一、函数与方程1. 已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(5) 的值。
答案：f(5) = 2(5) + 3 = 13。
2. 解方程 2x + 5 = 17。
答案：2x + 5 = 172x = 17 - 52x = 12x = 6。
二、平面几何1. 已知三角形 ABC，其中∠ABC = 90°，AB = 5 cm，BC = 12 cm，求 AC 的长度。
答案：根据勾股定理，AC² = AB² + BC²AC² = 5² + 12²AC² = 25 + 144AC² = 169AC = √169AC = 13 cm。
2. 已知正方形 ABCD，边长为 6 cm，求对角线 AC 的长度。
答案：对角线 AC 的长度等于正方形边长的平方根的两倍。
AC = 6√2 cm。
三、概率与统计1. 一枚硬币抛掷十次，求正面朝上的次数。
答案：由于硬币只有正反两面，所以正面朝上的次数只能是 0 到 10 之间的整数。
可以用组合数学的方法计算正面朝上的次数：正面朝上的次数 = C(10, 0) + C(10, 1) + C(10, 2) + C(10, 3) + C(10, 4) + C(10, 5) + C(10, 6) + C(10, 7) + C(10, 8) + C(10, 9) + C(10, 10)正面朝上的次数 = 1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1正面朝上的次数 = 1024。
数学高中练习题及讲解答案
数学高中练习题及讲解答案### 数学高中练习题及讲解答案#### 练习题一：函数的性质题目：已知函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \neq 0 \)，求证：\( f(-x) + f(x) = 2c \)。
解答：首先，将 \( -x \) 代入函数 \( f(x) \) 中，得到 \( f(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c \)。
展开得到 \( f(-x) = ax^2 - bx + c \)。
现在，将 \( f(x) \) 和 \( f(-x) \) 相加：\[ f(x) + f(-x) = (ax^2 + bx + c) + (ax^2 - bx + c) \]。
通过合并同类项，我们得到：\[ f(x) + f(-x) = 2ax^2 + 2c \]。
由于 \( a \neq 0 \)，我们可以将 \( 2a \) 约去，得到：\[ f(x) + f(-x) = 2c \]。
这就证明了题目中的等式。
#### 练习题二：三角函数的恒等变换题目：证明 \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)。
解答：利用三角函数的基本恒等式，我们知道：\[ \sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \]。
因此，我们有：\[ \sin^2(x) = \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \]。
由于 \( \cos^2 \) 函数的周期性，我们可以得到：\[ \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos^2(x) = 1 \]。
这就证明了 \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)。
#### 练习题三：数列的求和题目：已知等差数列的前 \( n \) 项和为 \( S_n \)，求 \( S_{2n} - S_n \)。
高中数学《指对数比较大小》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《指对数比较大小》基础知识与练习题（含答案解析）在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。
这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N−= （3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>（4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a = （令c b =） log log m na a n N N m= 二、典型例题：例1：设323log ,log 3,log 2a b c π===,,a b c 的大小关系是______________ 思路：可先进行0,1分堆，可判断出1,0b 1,0c 1a ><<<<，从而a 肯定最大，只需比较,b c即可，观察到,b c 有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：22311log 3log 3,log 2log 222b c ====，从而可比较出32log 21log 3<<，所以c b < 答案：c b a <<例2：设123log 2,ln 2,5a b c −===，则,,a b c 的大小关系是___________思路：观察发现,,a b c 均在()0,1内，,a b 的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：a b <，在比较和c 的大小，由于c 是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计,,a b c 值得大小：1215254c −==<=，可考虑以12为中间量，则331log 2log 32a =>=，进而12a c >>，所以大小顺序为b a c >> 答案：b a c >>例3：设ln2ln3ln5,,,235a b c === 则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >> 思路：观察到,,a b c 都是以e 为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。
高中数学6.2.2《平面向量的运算》基础过关练习题(含答案)
第六章 6.2 6.2.2A 级——基础过关练1．(多选)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD → D ．AD →＋CB →＝0【答案】ABD 【解析】A 项显然正确；由平行四边形法则知B 正确；C 项中AB →－AD →＝DB →，故C 错误；D 项中AD →＋CB →＝AD →＋DA →＝0.故选ABD ．2．化简以下各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →－AC →＋BD →－CD →；③OA →－OD →＋AD →；④NQ →＋QP →＋MN →－MP →.结果为零向量的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】①AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝AC →－AC →＝0； ②AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③OA →－OD →＋AD →＝(OA →＋AD →)－OD →＝OD →－OD →＝0； ④NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PM →＋MN →＝NM →－NM →＝0. 3．(2020年北京期末)如图，向量a －b 等于( )A ．3e 1－e 2B ．e 1－3e 2C ．－3e 1＋e 2D ．－e 1＋3e 2【答案】B 【解析】如图，设a －b ＝AB →＝e 1－3e 2，∴a －b ＝e 1－3e 2.故选B ．4．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB →＝BC →；②|AB →|＝|BC →|；③|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|；④|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C 【解析】由菱形的图形，可知向量AB →与BC →的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB →－CD →|＝|AB →＋DC →|＝2|AB →|，|AD →＋BC →|＝2|BC →|，且|AB →|＝|BC →|，所以|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|，即③正确；因为|AD →＋CD →|＝|BC →＋CD →|＝|BD →|，|CD →－CB →|＝|CD →＋BC →|＝|BD →|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3.故选C ．5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13)【答案】C 【解析】由于BC →＝AC →－AB →，则有|AB →|－|AC →|≤|BC →|≤|AB →|＋|AC →|，即3≤|BC →|≤13.6．若非零向量a 与b 互为相反向量，给出下列结论：①a ∥b ；②a ≠b ；③|a|≠|b|；④b ＝－a.其中所有正确命题的序号为________．【答案】①②④ 【解析】非零向量a ，b 互为相反向量时，模一定相等，因此③不正确．7．若a ，b 为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a ＋b|＝________，|a －b|＝________. 【答案】0 2 【解析】若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b|＝0.又a ＝－b ，所以|a|＝|－b|＝1.因为a 与－b 共线，所以|a －b|＝2.8．如图，已知向量a 和向量b ，用三角形法则作出a －b ＋a .解：如图所示，作向量OA →＝a ，向量OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ；作向量AC →＝a ，则BC →＝a －b ＋a .9．如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：AC →，AD →，AD →－AB →，AB →＋CF →，BF →－BD →. 解：AC →＝OC →－OA →＝c －a . AD →＝AO →＋OD →＝OD →－OA →＝d －a . AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .AB →＋CF →＝OB →－OA →＋OF →－OC →＝b －a ＋f －c . BF →－BD →＝OF →－OB →－(OD →－OB →)＝OF →－OD →＝f －d .10．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且|AB →|＝|AD →|＝1，OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，cos ∠DAB ＝12，求|DC →＋BC →|与|CD →＋BC →|.解：∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0， ∴OA →＝CO →，OB →＝DO →.∴四边形ABCD 为平行四边形．又|AB →|＝|AD →|＝1，∴▱ABCD 为菱形． ∵cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)，∴∠DAB ＝π3，∴△ABD 为正三角形．∴|DC →＋BC →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|＝2|AO →|＝3，|CD →＋BC →|＝|BD →|＝|AB →|＝1.B 级——能力提升练11．在平面上有A ，B ，C 三点，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m 与n 的长度恰好相等，则有( )A ．A ，B ，C 三点必在一条直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角D ．△ABC 必为等腰直角三角形【答案】C 【解析】以BA →，BC →为邻边作平行四边形ABCD ，则m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →，由m ，n 的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C ．12．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形【答案】B 【解析】因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →.所以AB CD ．故四边形ABCD 是平行四边形．13．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .又OA →，BC →的中点分别为D ，E ，则向量DE →等于( )A ．12(a ＋b ＋c )B ．12(－a ＋b ＋c )C ．12(a －b ＋c )D ．12(a ＋b －c )【答案】B 【解析】DE →＝DO →＋OE →＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(－a ＋b ＋c )．14．如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．①CF →；②AD →；③DA →；④BE →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →.【答案】① 【解析】OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →；CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →≠CF →；CA →－CD →＝DA →≠CF →；AB →＋AE →＝AD →≠CF →.15．已知|a|＝7，|b|＝2，且a ∥b ，则|a －b|的值为________．【答案】5或9 【解析】当a 与b 方向相同时，|a －b|＝||a|－|b||＝7－2＝5；当a 与b 方向相反时，|a －b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9.16．如图所示，点O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a ，b ，c ，d 的方向(用箭头表示)，使a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，并画出b －c 和a ＋d .解：因为a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，所以a ＝OA →，b ＝BO →，c ＝OC →，d ＝OD →.如图所示，作平行四边形OBEC ，平行四边形ODF A ．根据平行四边形法则可得，b －c ＝EO →，a ＋d ＝OF →.17．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，试证明：b ＋c －a ＝OA →.证明：(方法一)因为b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →，OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，所以b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.(方法二)OA →＝OC →＋CA →＝OC →＋CB →＋CD →＝c ＋DA →＋BA →＝b ＋c －AB →＝b ＋c －a .(方法三)因为c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →＝OA →＋AD →＝OA →－DA →＝OA →－b ，所以b ＋c －a ＝OA →.C 级——探索创新练18．已知|a |＝8，|b |＝15. (1)求|a －b |的取值范围；(2)若|a －b |＝17，则表示a ，b 的有向线段所在的直线所成的角是多少？ 解：(1)由向量三角不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |，得7≤|a －b |≤23. 当a ，b 同向时，不等式左边取等号， 当a ，b 反向时，不等式右边取等号． (2)易知|a |2＋|b |2＝82＋152＝172＝|a －b |2. 作OA →＝a ，OB →＝b ，则|BA →|＝|a －b |＝17， 所以△OAB 是直角三角形，其中∠AOB ＝90°. 所以表示a ，b 的有向线段所在的直线成90°角．。
高中数学(必修一)第二章 基本不等式练习题
高中数学（必修一）第二章 基本不等式练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：_____________一、解答题 1．已知a b ，比较2a ab +与23ab b -的大小，并证明.2．设a ，b 为正实数，求证：()()()2233338a b a b a b a b +++≥．3．求函数1(3)3y x x x =+>-的最小值.4．（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？5．已知圆C 的圆心在坐标原点，且过点(M . (1)求圆C 的方程；(2)已知点P 是圆C 上的动点，试求点P 到直线40x y +-=的距离的最小值；(3)若直线l 与圆C 相切，且l 与,x y 轴的正半轴分别相交于,A B 两点，求ABC 的面积最小时直线l 的方程.6．已知a ，b R +∈，求证：()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭．7．函数π()2sin()10,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭图像过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻对称轴间的距离为π2．(1)求,ωϕ的值；(2)已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2a =，求ABC 面积的最大值．8．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ （利润=累积收入+销售收入-总支出）9．高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm ，其中长边 AD 为 x cm ，将BCD △沿BD 向ABD △折叠，BC 折过去后交AD 于点E ．(1)用 x 表示图1中BAE 的面积；(2)已知镀金工艺是2元/2cm ，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，A 为锐角，cos cos 3cos b A a B c A +=． (1)求cos A ；(2)若2a =，求ABC 面积的最大值．11．已知(2,5)x ∈-，求(2)(5)y x x =+-的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2≥；(3)若0ab <，则2b aa b+≤-．13．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥(2)若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.14．已知x ＞2，求函数4()2f x x x =+-的最小值．15．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.16．如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围36m 长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为220m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？17．已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值．参考答案：1．见解析【解析】利用作差法比较大小. 【详解】解：223a ab ab b +>-，证明如下：()2222232()a ab ab b a ab b a b +--=-+=-.a b ≠2()0a b ∴-> 223a ab ab b ∴+>-【点睛】本题考查作差法比较两式的大小关系，属于基础题. 2．证明见解析【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为a ，b 为正实数，所以a b +≥222a b ab +≥，332a b +≥=当a b =时取等号，所以()()()223333228a b a b a b ab a b +++≥⨯=，即()()()2233338a b a b a b a b +++≥，当且仅当a b =时取等号；3．5【分析】式子化为1333x x +-+-，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为3x >， 所以30x ->，所以133353y x x =+-+≥=-， 当且仅当133x x -=-即4x =时取等号，此时取得最小值5.4．（1）当7x y ==时，x y +取得最小值14；（2）当6x y ==时，xy 取得最大值36【解析】（1）设0x >，0y >，49xy =，然后利用基本不等式求得x y +的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.（2）设0x >，0y >，12x y +=，然后利用基本不等式求得x y ⋅的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.【详解】（1）设0x >，0y >，49xy =，由均值不等式，得214x y xy +=， 当且仅当x y =时，取等号．由,49,x y xy =⎧⎨=⎩得7x y ==，即当7x y ==时，x y +取得最小值14．（2）设0x >，0y >，12x y +=，由均值不等式，得22123622x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当x y =时，取等号．由,12,x y x y =⎧⎨+=⎩得6x y ==．即当6x y ==时，xy 取得最大值36.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 5．(1)224x y +=(2)2(3)0x y +-【分析】（1）利用两点间距离公式可求得半径r ，由此可得圆C 方程； （2）利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离d ，可知最小值为d r -；（3）设():10,0x yl a b a b+=>>，由圆心到直线距离等于半径，结合基本不等式可知当a b ==ABC面积取得最小值，由此可得直线l 方程. （1）由题意知：圆心()0,0C ，半径2r CM ===，∴圆C 的方程为：224x y +=.（2）圆心到直线40x y +-=的距离d r ==，∴点P 到直线40x y +-=的距离最小值为2d r -=.（3）设直线():10,0x yl a b a b+=>>，即0bx ay ab ， 则圆心到直线l 距离2d ==，ab ∴=≥a b ==，解得：8ab ≥， ∴当a b ==ABC 面积取得最小值142ab =，则直线1l =，即0x y +-=. 6．见解析【分析】()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开并运用基本不等式即可得证.【详解】()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 7．(1)2ω=，π3ϕ=；(2)2+【分析】（1）由题干条件得到最小正周期，进而求出2ω=，待定系数法求出π3ϕ=；（2）先由32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出π6A =，利用余弦定理，基本不等式求出8bc ≤+. (1)由题意得：()f x 的最小正周期πT =，由于0>ω，故2ππω=，解得：2ω=，又2π32sin()11ϕ++=，所以2ππ,3k k Z ϕ+=∈，即2ππ,3k k Z ϕ=-∈，又π||2ϕ<，所以2πππ,32k k Z <∈-，解得：1766k <<，k Z ∈，故1k =，此时π3ϕ=，综上：2ω=，π3ϕ=； (2)2sin()33π12A f A ⎛⎫= ⎪⎝++=⎭，所以sin()1π3A +=，因为()0,πA ∈，所以ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ32A +=，解得：π6A =，又2a =，所以由余弦定理得：224cos 2b c A bc +-==，则224b c +=，由基本不等式得：222b c bc +≥，即42bc ≥，解得：8bc ≤+b c =时等号成立，故ABC 面积最大值为1sin 22bc A ≤8．（1）第三年；（2）第5年.【解析】（1）求出第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 【详解】（1）设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x ﹣[6x +x （x ﹣1）]﹣50＝﹣x 2+20x ﹣50（0＜x ≤10，x ∈N ）由﹣x 2+20x ﹣50＞0，可得10﹣＜x ＜，∈2＜10﹣＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出； （2）∈利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∈二手车出售后， 小张的年平均利润为(25)y x y x +-=＝19﹣（x +25x）≤19﹣10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立， ∈小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 【点睛】思路点睛：首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.9．(1)()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)当 AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元.【分析】（1）设ED a =cm ，根据条件可得222x x a x-+=，然后利用面积公式即得；（2）利用基本不等式即得.（1）因为AD x =cm ，所以()2AB x =-cm ， 设 ED a = cm ，则()AE x a =-cm ，因为AEB C ED '∠=∠，EAB DC E '∠=∠，AB DC '=， 所以Rt Rt BAE DC E '≌△△，所以BE ED a ==cm ， 在Rt BAE △中，由勾股定理得222BA AE BE +=， 即()()2222x x a a -+-=， 解得222x x a x-+=，所以22x AE x a x-=-=， 所以BAE 的面积()()22112232223cm 1222x x x S AB AE x x x x x x --+-⎡⎤⎛⎫=⋅=-⋅==-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 所以BAE 的面积()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）设一个会徽的镀金费用为y 元，则(26212312336BAE y Sx x ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⨯-+≤⨯-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当2xx=，12x <<，即x所以当AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元． 10．(1)1cos 3A =；【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式求cos A 的值；（2）由同角三角函数间的基本关系求sin A 的值，根据余弦定理和基本不等式求bc 的最大值，最后根据三角形的面积公式求ABC 面积的最大值即可． (1)因为cos cos 3cos b A a B c A +=，由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A +=， 所以()sin 3sin cos A B C A +=，所以sin 3sin cos C C A =． 在ABC 中，sin 0C ≠， 所以1cos 3A =；(2)由（1）知1cos 3A =，由22sin cos 1A A +=，A 为锐角，得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-=，因为2a =， 所以2233122b c bc +-=， 所以22212336bc b c bc +=+≥，所以3bc ≤，当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =△所以ABC 11．当32x =时，y 取得最大值494【解析】根据基本不等式，求得y 的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时x 的值.【详解】∈(2,5)x ∈-，∈20,50x x +>->，∈22549(2)(5)24x x y x x ++-⎛⎫=+-=⎪⎝⎭． 当且仅当25x x +=-，即32x =时，取等号．即当32x =时，y 取得最大值494．【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 12．(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. （1）取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥不成立； （2）0ab >，0,0a bb a∴>>，2，当a b =时等号成立. （3）0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 13．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用基本不等式证明即可；（2）由112111⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b ab 利用基本不等式求最值即可.（1）因为a ，b ，c 都是正数，所以 ()()()(1122++=+++++≥⎡⎤⎣⎦a b c a b b c a c=，当且仅当a b c ==时，等号成立，所以a b c ++≥ （2）211111122211111119142a b a b a b ab ab ab ab a b +⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+≥+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时等号成立. ∈11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 14．6【解析】利用基本不等式可求函数的最小值.【详解】解：∈2x >，∈20x ->，故44()222622f x x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当4x =时等号成立，故()f x 的最小值为6.15．(1)24y x =(2)1x y =±+【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，根据焦点弦的性质得到12||AB x x p =++，从而求出p ，即可得解； （2）设:1l x ty =+，联立直线与抛物线，消元、利用韦达定理得到M y ，从而得到M x ，则()1||12DEM M S DE x =⋅+最后利用基本不等式求出最小值，即可得解； （1）解：设()()1122,,,A x y B x y ，由题知12||43AB x x p p p =++=+=时，2p =，故抛物线方程为24y x =；（2）解：设:1l x ty =+，联立抛物线方程得2440y ty --=，∈1222M y y y t +==，2121M M x ty t =+=+，而21,D t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21,E t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()21141||1224||822||||DEM M S DE x t t t t ⎛⎫=⋅+=⋅⋅+=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当||1t =时等号成立，故直线l 的方程为1x y =±+．16．(1)长为9m 2，宽为18m 5(2)长为5m ，宽为4m【分析】（1）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，可得出4536x y +=，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，利用基本不等式可求得钢筋网总长45x y +的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论.（1）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，由已知可得4536x y +=，由基本不等式可得()2211458145m 202025x y S xy x y +⎛⎫==⋅⋅≤⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当454536x y x y =⎧⎨+=⎩，即当92185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为9m 2，宽为18m 5时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，钢筋网总长为()4540m x y +≥=，当且仅当4520x y xy =⎧⎨=⎩，即当54x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 17．2 【分析】将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦ ， 又由54x <，则540x ->，则()154254x x -+≥-， 当且仅当15454x x -=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2.。
(完整版)高中数学必修一练习题及解析非常全
必修一数学练习题及解析第一章练习一、选择题(每小题5分，共60分)1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为()A．3 B．6C．7 D．8解析：含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故有7个．答案：C2．下列五个写法，其中错误．．写法的个数为()①{0}∈{0,2,3}；②Ø{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈Ø；⑤0∩Ø＝ØA．1 B．2C．3 D．4解析：②③正确．答案：C3．使根式x－1与x－2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式x－1＋x－2有意义的x的允许值集合可表示为()A．M∪F B．M∩F C．∁M F D．∁F M解析：根式x－1＋x－2有意义，必须x－1与x－2同时有意义才可．答案：B4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于()A．N B．M C．R D．Ø解析：M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.答案：A5．函数y＝x2＋2x＋3(x≥0)的值域为()A．R B．[0，＋∞) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)解析：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴函数在区间[0，＋∞)上为增函数，故y≥(0＋1)2＋2＝3.答案：D6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于()A．20－2x(0<x≤10) B．20－2x(0<x<10)C．20－2x(5≤x≤10) D．20－2x(5<x<10)解析：C＝20＝y＋2x，由三角形两边之和大于第三边可知2x>y＝20－2x，x>5.答案：D7．用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的()甲乙图1解析：水面升高的速度由慢逐渐加快．答案：B8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y＝f(|x|) ②y＝f(－x) ③y＝xf(x) ④y＝f(x)＋xA．①③B．②③C．①④D．②④解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．①y＝f(|x|)为偶函数；②y ＝f(－x)为奇函数；③令F(x)＝xf(x)，所以F(－x)＝(－x)f(－x)＝(－x)·[－f(x)]＝xf(x)．所以F(－x)＝F(x)．所以y＝xf(x)为偶函数；④令F(x)＝f(x)＋x，所以F(－x)＝f(－x)＋(－x)＝－f(x)－x ＝－[f(x)＋x]．所以F(－x)＝－F(x)．所以y＝f(x)＋x为奇函数．答案：D9．已知0≤x ≤32，则函数f (x )＝x 2＋x ＋1( ) A ．有最小值－34，无最大值B ．有最小值34，最大值1C ．有最小值1，最大值194D ．无最小值和最大值解析：f (x )＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34，画出该函数的图象知，f (x )在区间[0，32]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )max ＝f (32)＝194.答案：C10．已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，函数y ＝f (x )的图象如图2甲所示，则函数f (|x |)的图象是图2乙中的( )甲乙图2解析：因为y ＝f (|x |)是偶函数，所以y ＝f (|x |)的图象是由y ＝f (x )把x ≥0的图象保留，再关于y 轴对称得到的．答案：B11．若偶函数f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( ) A ．f (－32)<f (－1)<f (2) B ．f (－1)<f (－32)<f (2) C ．f (2)<f (－1)<f (－32)D ．f (2)<f (－32)<f (－1)解析：由f (x )是偶函数，得f (2)＝f (－2)，又f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－32<－1，则f (2)<f (－32)<f (－1)．答案：D12.已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (52)的值是( )A ．0 B.12 C ．1 D.52解析：令x ＝－12，则－12f (12)＝12f (－12)，又∵f (12)＝f (－12)，∴f (12)＝0；令x ＝12，12f (32)＝32f (12)，得f (32)＝0；令x ＝32，32f (52)＝52f (32)，得f (52)＝0；而0·f (1)＝f (0)＝0，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (52)＝f (0)＝0，故选A.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分)13．设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，A ＝{a ，c ，d }，B ＝{b ，d ，e }，则∁U A ∩∁U B ＝________. 解析：∁U A ∩∁U B ＝∁U (A ∪B )，而A ∪B ＝{a ，b ，c ，d ，e }＝U . 答案：Ø14．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |－1≤x <2}，则∁U (A ∩B )＝________. 解析：A ∩B ＝{x |1≤x <2}，∴∁R (A ∩B )＝{x |x <1或x ≥2}． 答案：{x |x <1或x ≥2}15．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上为减函数，求实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的对称轴为x ＝1－a ，则由题知：1－a ≥3即a ≤－2. 答案：a ≤－216．若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)、f (1)、f (－2)从小到大的顺序是__________．解析：∵f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，∴m ＝0.∴f (x )＝－x 2＋2.∴f (0)＝2，f (1)＝1，f (－2)＝－2，∴f (－2)<f (1)<f (0)． 答案：f (－2)<f (1)<f (0)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)设A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}， (1)当x ∈N *时，求A 的子集的个数；(2)当x ∈R 且A ∩B ＝Ø时，求m 的取值范围． 解：(1)∵x ∈N *且A ＝{x |－2≤x ≤5}，∴A ＝{1,2,3,4,5}．故A 的子集个数为25＝32个． (2)∵A ∩B ＝Ø，∴m －1>2m ＋1或2m ＋1<－2或m －1>5， ∴m <－2或m >6.18．(12分)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠Ø且B ⊆A ，求a ，b 的值．解：(1)当B ＝A ＝{－1,1}时，易得a ＝0，b ＝－1； (2)当B 含有一个元素时，由Δ＝0得a 2＝b ， 当B ＝{1}时，由1－2a ＋b ＝0，得a ＝1，b ＝1 当B ＝{－1}时，由1＋2a ＋b ＝0，得a ＝－1，b ＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝xax ＋b(a ，b 为常数，且a ≠0)，满足f (2)＝1，方程f (x )＝x 有唯一实数解，求函数f (x )的解析式和f [f (－4)]的值．解：∵f (x )＝xax ＋b且f (2)＝1，∴2＝2a ＋b . 又∵方程f (x )＝x 有唯一实数解． ∴ax 2＋(b －1)x ＝0(a ≠0)有唯一实数解．故(b －1)2－4a ×0＝0，即b ＝1，又上式2a ＋b ＝2，可得：a ＝12，从而f (x )＝x 12x ＋1＝2xx ＋2，∴f (－4)＝2×(－4)－4＋2＝4，f (4)＝86＝43，即f [f (－4)]＝43.20．(12分)已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋(a 2－2a ＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值．解：f (x )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋2－2a .(1)当a2<0即a <0时，f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2＝3，解得：a ＝1－ 2. (2)0≤a 2≤2即0≤a ≤4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝2－2a ＝3，解得：a ＝－12(舍去)．(3)a2>2即a >4时，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18＝3，解得：a ＝5＋10， 综上可知：a 的值为1－2或5＋10.21．(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择．若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时，其他主要参考数据如下：问：如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小？ 解：设甲、乙两地距离为x 千米(x >0)，选用汽车、火车运输时的总支出分别为y 1和y 2. 由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表：于是y 1＝8x ＋1000＋(x50＋2)×300＝14x ＋1600， y 2＝4x ＋1800＋(x100＋4)×300＝7x ＋3000. 令y 1－y 2<0得x <200.①当0<x <200时，y 1<y 2，此时应选用汽车； ②当x ＝200时，y 1＝y 2，此时选用汽车或火车均可； ③当x >200时，y 1>y 2，此时应选用火车．故当距离小于200千米时，选用汽车较好；当距离等于200千米时，选用汽车或火车均可；当距离大于200千米时，选用火车较好．22．(12分)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，又当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围．解：(1)f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0，f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，f (8)＝f (2)＋f (4)＝2＋1＝3. (2)∵f (x )＋f (x －2)≤3，∴f [x (x －2)]≤f (8)，又∵对于函数f (x )有x 2>x 1>0时f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．∴⎩⎨⎧x >0x －2>0x (x －2)≤8⇒2<x ≤4.∴x 的取值范围为(2,4]．第二章 练习一、选择题(每小题5分，共60分)1．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6. 答案：D2．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：f (2)＝log 3(22－1)＝1，f (f (2))＝2e 1－1＝2e 0＝2. 答案：C3．如果log 12x >0成立，则x 应满足的条件是( ) A ．x >12 B.12<x <1 C ．x <1D ．0<x <1解析：由对数函数的图象可得． 答案：D4．函数f (x )＝log 3(2－x )在定义域区间上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．有时是增函数有时是减函数D ．无法确定其单调解析：由复合函数的单调性可以判断，内外两层单调性相同则为增函数，内外两层的单调性相反则为减函数．答案：B5．某种放射性元素，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下( ) A ．0.015克B ．(1－0.5%)3克C ．0.925克D.1000.125克解析：设该放射性元素满足y ＝a x (a >0且a ≠1)，则有12＝a 100得a ＝(12)1100.可得放射性元素满足y ＝[(12)1100]x ＝(12)x 100.当x ＝3时，y ＝(12)3100＝100(12)3＝1000.125. 答案：D6．函数y ＝log 2x 与y ＝log 12x 的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称D ．关于y ＝x 对称解析：据图象和代入式判定都可以做出判断，故选B. 答案：B 7．函数y ＝lg(21－x －1)的图象关于( ) A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．y ＝x 对称解析：f (x )＝lg(21－x －1)＝lg 1＋x 1－x ，f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，所以y ＝lg(21－x－1)关于原点对称，故选C.答案：C8．设a >b >c >1，则下列不等式中不正确的是( ) A ．a c >b c B ．log a b >log a c C ．c a >c bD ．log b c <log a c解析：y ＝x c 在(0，＋∞)上递增，因为a >b ，则a c >b c ；y ＝log a x 在(0，＋∞)上递增，因为b>c，则log a b>log a c；y＝c x在(－∞，＋∞)上递增，因为a>b，则c a>c b.故选D.答案：D9．已知f(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)，若当x∈(－1,0)时，f(x)<0，则f(x)是() A．增函数B．减函数C．常数函数D．不单调的函数解析：由于x∈(－1,0)，则x＋1∈(0,1)，所以a>1.因而f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．答案：A10．设a＝424，b＝312，c＝6，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b<c<a C．b>c>a D．a<b<c解析：a＝424＝12243，b＝12124，c＝6＝1266.∵243<124<66，∴12243<12124<1266，即a<b<c.答案：D11．若方程a x＝x＋a有两解，则a的取值范围为() A．(1，＋∞) B．(0,1)C．(0，＋∞) D．Ø解析：分别作出当a>1与0<a<1时的图象．(1)当a>1时，图象如下图1，满足题意．图1图2 (2)当0<a<1时，图象如上图2，不满足题意．答案：A1112．已知f (x )是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (1)，则x 的取值范围是( ) A ．(110，1)B ．(0，110)∪(1，＋∞) C ．(110，10)D ．(0,1)∪(0，＋∞)解析：由于f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以f (－1)＝f (1)，且f (x )在(－∞，0)上是增函数，应有⎩⎨⎧x >0，－1<lg x <1，解得110<x <10.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a ＝________. 解析：由互为反函数关系知，f (x )过点(－1,2)，代入得a －1＝2⇒a ＝12. 答案：1214．方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________． 解析：log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)⇔log 2(x －1)＝log 24x ＋1，即x －1＝4x ＋1，解得x ＝±5(负值舍去)，∴x ＝ 5.答案： 515．设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2007)))＝________. 解析：f 1(f 2(f 3(2007)))＝f 1(f 2(20072))＝f 1((20072)－1)＝[(20072)－1]12＝2007－1.答案：1200716．设0≤x ≤2，则函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值是________，最小值是________． 解析：设2x ＝t (1≤t ≤4)，则y ＝12·4x －3·2x ＋5＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12.12 当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝12×4＋12＝52. 答案：52 12三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，求(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值． 解：(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(12＋3＋1)－2＋(12－3＋1)－2＝(3＋32＋3)－2＋(3－32－3)－2＝16(7＋432＋3＋7－432－3)＝16[(7＋43)(2－3)＋(7－43)(2＋3)]＝16×4＝23. 18．(12分)已知关于x 的方程4x ·a －(8＋2)·2x ＋42＝0有一个根为2，求a 的值和方程其余的根．解：将x ＝2代入方程中，得42·a －(8＋2)·22＋42＝0，解得a ＝2. 当a ＝2时，原方程为 4x ·2－(8＋2)2x ＋42＝0，将此方程变形化为2·(2x )2－(8＋2)·2x ＋42＝0. 令2x ＝y ，得2y 2－(8＋2)y ＋42＝0. 解得y ＝4或y ＝22.当y ＝4时，即2x ＝4，解得x ＝2； 当y ＝22时，2x ＝22，解得x ＝－12. 综上，a ＝2，方程其余的根为－12.19．(12分)已知f (x )＝2x －12x ＋1，证明：f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数．证明：设任意x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，则13f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2＋1)－(2x 2－1)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2x 1－2x 2－(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1).∵x 1<x 2，∴2x 1<2x 2，即2x 1－2x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数．20．(12分)已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，且f (12)＝0，求不等式f (log a x )>0(a >0，且a ≠1)的解集．解：f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上递增，f (12)＝0，∴f (x )在(－∞，0)上递减，f (－12)＝0，则有log a x >12，或log a x <－12. (1)当a >1时，log a x >12，或log a x <－12，可得x >a ，或0<x <aa ； (2)当0<a <1时，log a x >12，或log a x <－12，可得0<x <a ，或x >aa . 综上可知，当a >1时，f (log a x )>0的解集为(0，aa )∪(a ，＋∞)； 当0<a <1时，f (log a x )>0的解集为(0，a )∪(aa ，＋∞)．21．(12分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 都满足f (x ＋y )＝f (y )＋(x ＋2y ＋1)x ，且f (1)＝0， (1)求f (0)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)当x ∈[0，12]时，f (x )＋3<2x ＋a 恒成立，求a 的范围．解：(1)令x ＝1，y ＝0，则f (1)＝f (0)＋(1＋1)×1，∴f (0)＝f (1)－2＝－2. (2)令y ＝0，则f (x )＝f (0)＋(x ＋1)x ，∴f (x )＝x 2＋x －2.(3)由f (x )＋3<2x ＋a ，得a >x 2－x ＋1.设y ＝x 2－x ＋1，则y ＝x 2－x ＋1在(－∞，12]上是减函数，所以y ＝x 2－x ＋1在[0，12]上的范围为34≤y ≤1，从而可得a >1.22．(12分)设函数f (x )＝log a (1－ax )，其中0<a <1.14 (1)求证：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)解不等式f (x )>1.解：(1)证明：设任意x 1，x 2∈(a ，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log a (1－a x 1)－log a (1－ax 2)＝log a1－ax11－a x 2＝log a 1－a x 2＋a x 2－a x11－a x2＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋a x 2－a x 11－a x 2＝log a (1＋ax 1－ax 2x 1x 2－ax 1)＝log a [1＋a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )]．∵x 1，x 2∈(a ，＋∞)且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,0<a <x 1<x 2，x 2－a >0.∴a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )<0，∴1＋a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )<1，又∵0<a <1，∴log a [1＋a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )]>0，∴f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝log a (1－a x )在(a ，＋∞)上为减函数．(2)因为0<a <1，所以f (x )>1⇔log a (1－ax )>log a a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－a x >0，①1－ax <a .②解不等式①，得x >a 或x <0.解不等式②，得0<x <a 1－a .因为0<a <1，故x <a 1－a ，所以原不等式的解集为{x |a <x <a 1－a}．15第三章 练习一、选择题(每小题5分，共60分)1．二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R )的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：∵Δ＝b 2＋4×2×3＝b 2＋24>0，∴函数图象与x 轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点． 答案：C2．函数y ＝1＋1x 的零点是( ) A ．(－1,0) B ．－1 C ．1D ．0解析：令1＋1x ＝0，得x ＝－1，即为函数零点． 答案：B3．下列给出的四个函数f (x )的图象中能使函数y ＝f (x )－1没有零点的是( )解析：把y ＝f (x )的图象向下平移1个单位后，只有C 图中图象与x 轴无交点． 答案：C4．若函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．无法判断D ．等于零解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．16 答案：C5．函数f (x )＝e x －1x 的零点所在的区间是( ) A ．(0，12) B ．(12，1) C ．(1，32)D ．(32，2)解析：f (12)＝e －2<0， f (1)＝e －1>0，∵f (12)·f (1)<0，∴f (x )的零点在区间(12，1)内． 答案：B6．方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无穷多个解析：方程log 12x ＝2x －1的实根个数只有一个，可以画出f (x )＝log 12x 及g (x )＝2x －1的图象，两曲线仅一个交点，故应选B.答案：B7．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝0.1x 2－11x ＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于( )A ．55台B ．120台C ．150台D ．180台解析：设产量为x 台，利润为S 万元，则S ＝25x －y ＝25x －(0.1x 2－11x ＋3000) ＝－0.1x 2＋36x －3000＝－0.1(x －180)2＋240，则当x ＝180时，生产者的利润取得最大值． 答案：D8．已知α是函数f (x )的一个零点，且x 1<α<x 2，则( ) A ．f (x 1)f (x 2)>0 B ．f (x 1)f (x 2)<0 C ．f (x 1)f (x 2)≥0D ．以上答案都不对17解析：定理的逆定理不成立，故f (x 1)f (x 2)的值不确定． 答案：D9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水( )A ．10吨B ．13吨C ．11吨D ．9吨解析：设该职工该月实际用水为x 吨，易知x >8. 则水费y ＝16＋2×2(x －8)＝4x －16＝20， ∴x ＝9. 答案：D10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象为( )答案：A11．函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|－k 只有两个零点，则( ) A ．k ＝0B ．k >1C ．0≤k <1D ．k >1，或k ＝0解析：令y 1＝|x 2－6x ＋8|，y 2＝k ，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D.答案：D12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.0 1.41.82.22.63.0 3.4 … y ＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.4824.595 6.063 8.0 10.556 … y ＝x 20.04 0.361.01.963.244.846.769.011.56…18 那么方程2x＝x2的一个根所在区间为()A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)解析：设f(x)＝2x－x2，由表格观察出x＝1.8时，2x>x2，即f(1.8)>0；在x＝2.2时，2x<x2，即f(2.2)<0.综上知f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8,2.2)内．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是__________．解析：设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．答案：(2,3)14．已知函数f(x)＝ax2－bx＋1的零点为－12，13，则a＝__________，b＝__________.解析：由韦达定理得－12＋13＝ba，且－12×13＝1a.解得a＝－6，b＝1.答案：－6 115．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.已知篱笆的总长为定值l，则这块场地面积y与场地一边长x的关系为________．图1解析：由题意知场地的另一边长为l－2x，则y＝x(l－2x)，且l－2x>0，即0<x<l 2.19答案：y ＝x (l －2x )(0<x <l2)16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解析：设过滤n 次才能达到市场要求，则2%(1－13)n≤0.1% 即(23)n ≤0.12，∴n lg 23≤－1－lg2， ∴n ≥7.39，∴n ＝8. 答案：8三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．解：设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意知：c ＝3，－b2a ＝2.设x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则x 21＋x 22＝10，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，∴(－b a )2－2c a ＝10，∴16－6a ＝10， ∴a ＝1.代入－b2a ＝2中，得b ＝－4.∴f (x )＝x 2－4x ＋3. 18．(12分)求方程x 2＋2x ＝5(x >0)的近似解(精确度0.1)． 解：令f (x )＝x 2＋2x －5(x >0)． ∵f (1)＝－2，f (2)＝3，∴函数f (x )的正零点在区间(1,2)内．取(1,2)中点x 1＝1.5，f (1.5)>0.取(1,1.5)中点x 2＝1.25，f (1.25)<0. 取(1.25,1.5)中点x 3＝1.375，f (1.375)<0.取(1.375,1.5)中点x 4＝1.4375，f (1.4375)<0.取(1.4375,1.5)． ∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，20 ∴方程x 2＋2x ＝5(x >0)的近似解为x ＝1.5(或1.4375)．19．(12分)要挖一个面积为800 m 2的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m 的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值．解：设所建矩形鱼池的长为x m ，则宽为800x m ，于是鱼池与路的占地面积为 y ＝(x ＋2)(800x ＋4)＝808＋4x ＋1600x ＝808＋4(x ＋400x )＝808＋4[(x －20x )2＋40]．当x ＝20x，即x ＝20时，y 取最小值为968 m 2. 答：鱼池与路的占地最小面积是968 m 2.20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P 和Q (万元)，这两项利润与投入的资金x (万元)的关系是P ＝x 3，Q ＝103x ，该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元，其中投入养殖业为x 万元，获得总利润y (万元)，写出y 关于x 的函数关系式及其定义域．解：投入养殖加工生产业为60－x 万元．由题意可得，y ＝P ＋Q ＝x 3＋10360－x ， 由60－x ≥0得x ≤60，∴0≤x ≤60，即函数的定义域是[0,60]．21．(12分)已知某种产品的数量x (百件)与其成本y (千元)之间的函数关系可以近似用y ＝ax 2＋bx ＋c 表示，其中a ，b ，c 为待定常数，今有实际统计数据如下表：(1)试确定成本函数y ＝f (x )；(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p ＝p (x )；(3)据利润函数p ＝p (x )确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏)解：(1)将表格中相关数据代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧36a ＋6b ＋c ＝104100a ＋10b ＋c ＝160，400a ＋20b ＋c ＝370解得a ＝12，b ＝6，c ＝50.所以y ＝f (x )＝12x 2＋6x ＋50(x ≥0)．(2)p ＝p (x )＝－12x 2＋14x －50(x ≥0)． (3)令p (x )＝0，即－12x 2＋14x －50＝0， 解得x ＝14±46，即x 1＝4.2，x 2＝23.8，故4.2<x <23.8时，p (x )>0；x <4.2或x >23.8时，p (x )<0， 所以当产品数量为420件时，能扭亏为盈； 当产品数量为2380件时由盈变亏．22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f (x )(万件)如表所示：x 1 2 3 4 f (x )4.005.587.008.44(1)画出2000～2003年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．(3)2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？解：图2(1)散点图如图2：(2)设f (x )＝ax ＋b .由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＝43a ＋b ＝7，解得a ＝32，b ＝52，∴f(x)＝32x＋52.检验：f(2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1；f(4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴模型f(x)＝32x＋52能基本反映产量变化．(3)f(7)＝32×7＋52＝13，由题意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件．全册书综合练习题及解析一、选择题(每小题5分，共60分)1．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝() A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}解析：∵A∩B＝{1,2}，∴(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}．答案：D2．如图1所示，U表示全集，用A，B表示阴影部分正确的是()图1A．A∪B B．(∁U A)∪(∁U B)C．A∩B D．(∁U A)∩(∁U B)解析：由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影部分为(∁U A)∩(∁U B)．答案：D3．若f(x)＝1－2x，g(1－2x)＝1－x2x2(x≠0)，则g⎝⎛⎭⎪⎫12的值为()A．1 B．3C．15 D．30解析：g(1－2x)＝1－x2x2，令12＝1－2x，则x＝14，∴g⎝⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C. 答案：C4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2(x <1)，4－x －1(x ≥1)，则使得f (－1)＋f (m －1)＝1成立的m 的值为( )A ．10B ．0，－2C ．0，－2,10D ．1，－1,11解析：因为x <1时，f (x )＝(x ＋1)2，所以f (－1)＝0.当m －1<1，即m <2时，f (m －1)＝m 2＝1，m ＝±1.当m －1≥1，即m ≥2时，f (m －1)＝4－m －2＝1，所以m ＝11.答案：D5．若x ＝6是不等式log a (x 2－2x －15)>log a (x ＋13)的一个解，则该不等式的解集为( ) A ．(－4,7)B ．(5,7)C ．(－4，－3)∪(5,7)D ．(－∞，－4)∪(5，＋∞)解析：将x ＝6代入不等式，得log a 9>log a 19，所以a ∈(0,1)．则⎩⎨⎧x 2－2x －15>0，x ＋13>0，x 2－2x －15<x ＋13.解得x ∈(－4，－3)∪(5,7)．答案：C6．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最大值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析：2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，且2x ＋1>0， ∴12x ＋1在(－∞，＋∞)上递减且无最小值． 答案：A7．方程(13)x ＝|log 3x |的解的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：图2在平面坐标系中，画出函数y 1＝(13)x 和y 2＝|log 3x |的图象，如图2所示，可知方程有两个解．答案：C8．下列各式中，正确的是( ) A ．(－43)23<(－54)23B ．(－45)13<(－56)13C ．(12)12>(13)12D ．(－32)3>(－43)3解析：函数y ＝x 23在(－∞，0)上是减函数，而－43<－54，∴(－43)23>(－54)23，故A 错； 函数y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数，而－45>－56，∴(－45)13>(－56)13，故B 错，同理D 错．答案：C9．生物学指出：生态系统在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3这个食物链中，若能使H 3获得10 kJ 的能量，则需H 1提供的能量为( )A ．105 kJB ．104 kJC ．103 kJD ．102 kJ解析：H 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＝10，∴H 1＝103.答案：C10．如图3(1)所示，阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的图象是如图3(2)所示的( )图3解析：当h ＝H2时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h 的增大，S 随之减小，故排除A ，B ，D.答案：C11．函数f (x )在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若f (1－m )＋f (－m )<0，则m 的取值范围是( )A ．(0，12) B ．(－1,1) C ．(－1，12)D ．(－1,0)∪(1，12)解析：f (1－m )<－f (－m )，∵f (x )在(－1,1)上是奇函数，∴f (1－m )<f (m )，∴1>1－m >m >－1， 解得0<m <12，即m ∈(0，12)． 答案：A12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧ log 2(1－x )，f (x －1)－f (x －2)，x ≤0x >0，则f (2009)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由题意可得：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，从而f (x －1)＝f (x －2)－f (x －3)． 两式相加得f (x )＝－f (x －3)，f (x －6)＝f [(x －3)－3]＝－f (x －3)＝f (x )， ∴f (2009)＝f (2003)＝f (1997)＝…＝f (5)＝f (－1)＝log 22＝1. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分) 13.log 2716log 34的值是________．解析：log 2716log 34＝23log 34log 34＝23.答案：23 14．若函数y ＝kx ＋5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围为__________．解析：kx 2＋4kx ＋3恒不为零．若k ＝0，符合题意，k ≠0，Δ<0，也符合题意．所以0≤k <34.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪0≤k <34 15．已知全集U ＝{x |x ∈R }，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k <x <k ＋1，k ∈R }，且(∁U A )∩B ＝Ø，则实数k 的取值范围是________．解析：∁U A ＝{x |1<x <3}，又(∁U A )∩B ＝Ø， ∴k ＋1≤1或k ≥3， ∴k ≤0或k ≥3.答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)16．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只数y (只)与时间x (年)的关系可近似地由关系式y ＝a log 2(x ＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的只数约为________．解析：当x ＝1时，y ＝a log 22＝a ＝100，∴y ＝100log 2(x ＋1)， ∵2016－1986＋1＝31，即2016年为第31年， ∴y ＝100log 2(31＋1)＝500， ∴2016年麋鹿的只数约为500. 答案：500三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)用定义证明：函数g (x )＝kx (k <0，k 为常数)在(－∞，0)上为增函数． 证明：设x 1<x 2<0，则g (x 1)－g (x 2)＝k x 1－k x 2＝k (x 2－x 1)x 1x 2.∵x 1<x 2<0，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0，又∵k <0，∴g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)，∴g (x )＝kx (k <0，k 为常数)在(－∞，0)上为增函数．18．(12分)已知集合P ＝{x |2≤x ≤5}，Q ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，当P ∩Q ＝Ø时，求实数k 的取值范围．解：当Q ≠Ø，且P ∩Q ＝Ø时，⎩⎨⎧ 2k －1<2，2k －1≥k ＋1，或⎩⎨⎧k ＋1>5，2k －1≥k ＋1.解得k >4；当Q ＝Ø时，即2k －1<k ＋1，即k <2时，P ∩Q ＝Ø.综上可知，当P ∩Q ＝Ø时，k <2或k >4.19．(12分)已知f (x )为一次函数，且满足4f (1－x )－2f (x －1)＝3x ＋18，求函数f (x )在[－1,1]上的最大值，并比较f (2007)和f (2008)的大小．解：因为函数f (x )为一次函数，所以f (x )在[－1,1]上是单调函数，f (x )在[－1,1]上的最大值为max{f (－1)，f (1)}．分别取x ＝0和x ＝2，得⎩⎨⎧4f (1)－2f (－1)＝18，4f (－1)－2f (1)＝24，解得f (1)＝10，f (－1)＝11，所以函数f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝11.又因为f (1)<f (－1)，所以f (x )在R 上是减函数，所以f (2007)>f (2008)．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上单调递增．故⎩⎨⎧ f (2)＝2f (3)＝5，即⎩⎨⎧ 4a －4a ＋2＋b ＝29a －6a ＋2＋b ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝0 ②当a <0时，f (x )在[2,3]上单调递减．故⎩⎨⎧ f (2)＝5f (3)＝2，即⎩⎨⎧ 4a －4a ＋2＋b ＝59a －6a ＋2＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， 由题意知2＋m 2≤2或2＋m2≥4，∴m ≤2或m ≥6. 21．(12分)设函数y ＝f (x )，且lg(lg y )＝lg3x ＋lg(3－x )． (1)求f (x )的解析式和定义域； (2)求f (x )的值域； (3)讨论f (x )的单调性．解：(1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，即lg y ＝3x (3－x )，y ＝103x (3－x )．又⎩⎨⎧3x >0，3－x >0，所以0<x <3，所以f (x )＝103x (3－x )(0<x <3)．(2)y ＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－3x ＋94＋274＝－3(x －32)2＋274.当x ＝32∈(0,3)时，u 取得最大值274，所以u ∈(0，274]，y ∈(1,10274]．(3)当0<x ≤32时，u ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274是增函数，而y ＝10u 是增函数，所以在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32上f (x )是递增的；当32<x <3时，u 是减函数，y ＝10u 是增函数，所以f (x )是减函数．22．(12分)已知函数f (x )＝lg(4－k ·2x )(其中k 为实数)， (1)求函数f (x )的定义域；(2)若f (x )在(－∞，2]上有意义，试求实数k 的取值范围． 解：(1)由题意可知：4－k ·2x >0，即解不等式：k ·2x <4， ①当k ≤0时，不等式的解为R ，②当k >0时，不等式的解为x <log 24k ，所以当k ≤0时，f (x )的定义域为R ； 当k >0时，f (x )的定义域为(－∞，log 24k )．(2)由题意可知：对任意x ∈(－∞，2]，不等式4－k ·2x >0恒成立．得k <42x ，设u ＝42x ，4又x∈(－∞，2]，u＝2x的最小值1.所以符合题意的实数k的范围是(－∞，1)．。
高中数学8.6.2《直线与平面垂直》基础过关练习题
第八章 8.6 8.6.2A 级——基础过关练1．已知直线m ，b ，c 和平面α，下列条件中，能使m ⊥α的是( ) A ．m ⊥b ，m ⊥c ，b ⊥α，c ⊥α B ．m ⊥b ，b ∥α C ．m ∩b ＝A ，b ⊥α D ．m ∥b ，b ⊥α【答案】D 【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D 正确．2．△ABC 所在的平面为α，直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，直线m ⊥BC ，m ⊥AC ，则直线l ，m 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．不确定【答案】C 【解析】因为l ⊥AB ，l ⊥AC 且AB ∩AC ＝A ，所以l ⊥平面ABC ．同理可证m ⊥平面ABC ，所以l ∥m .故选C ．3．已知直线m ，n 是异面直线，则过直线n 且与直线m 垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．至多一个 C ．有一个或无数个D ．不存在【答案】B 【解析】若异面直线m ，n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在． 4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( ) A ．23B ．33 C ．23D ．63【答案】B 【解析】如图所示，连接BD 交AC 于点O ，连接D 1O .由于BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角．设D 到平面ACD 1的距离为d ，DD 1与平面ACD 1所成的角为θ.由VD -ACD 1＝VD 1-ACD 得13×34×(2)2·d ＝13×1×1×12×1，解得d ＝33.所以sin θ＝d DD 1＝33.5．(2020年石嘴山月考)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列判断正确的是( )A ．A 1C ⊥平面AB 1D 1 B ．A 1C ⊥平面AB 1C 1D C ．A 1B ⊥平面AB 1D 1 D ．A 1B ⊥AD 1【答案】A 【解析】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，又CC 1⊥B 1D 1，且A 1C 1∩CC 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，则A 1C ⊥B 1D 1，同理A 1C ⊥AB 1，则A 1C ⊥平面AB 1D 1，故A 正确，B 不正确；连接D 1C ，AC ，则∠AD 1C 为A 1B 与AD 1所成角，为60°，故C ，D 不正确．故选A ．6．(多选)已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，则下列结论中正确的是( )A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．PD ⊥BD D ．P A ⊥BD【答案】ABD 【解析】P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥BD ，D 正确；⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥BC平面ABCD 为矩形⇒AB ⊥BC ⇒BC ⊥平面P AB ⇒BC ⊥PB ．故A 正确；同理B 正确；C 不正确．7．若a ，b 表示直线，α表示平面，给出下列命题：①a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α；③a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α；④a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b .其中正确的命题为________．(填序号)【答案】①④ 【解析】由线面垂直的性质知①、④正确．②中b 可能满足b ⊂α，故②错误；③中b 可能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③错误．8．如图所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．【答案】4 【解析】⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥平面ABC BC ⊥AC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥BCAC ⊥BC P A ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC ．9．如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：AE ⊥BE .证明：∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE . 又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC ．∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF . 又∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .10．如图所示，三棱锥A -SBC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC ．求直线AS 与平面SBC 所成的角．解：因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC．如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC．设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝2a，CD＝SD＝22a.在Rt△ADC中，AD＝AC2－CD2＝22a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD．又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC．因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝22a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.B级——能力提升练11．(2019年汕头期末)在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()A．①B．①②C．②③D．④【答案】A【解析】如图．在①中，∵BE⊥CD，AE⊥CD，BE∩AE＝E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴AB ⊥CD，故①正确；在②中，∵CD∥AE，△ABE是等边三角形，∴AB与CD异面，且所成角为60°，故②错误；在③中，CD∥BE，∠ABE＝45°，∴AB与CD异面，且所成角为45°，故③错误；在④中，CD∥BE，tan∠ABE＝AEBE＝2，∴AB与CD异面，且不垂直，故④错误．故选A．12．(2020年延边月考)已知三棱锥P-ABC中，若P A，PB，PC两两互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】D【解析】连接AO并延长，交BC于D，连接BO并延长，交AC于E.因为P A⊥PB，P A⊥PC，故P A⊥平面PBC，故P A⊥BC．因为PO⊥平面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥平面P AO，故AO⊥BC，即AD⊥BC．同理可证BE⊥AC．故O是△ABC的垂心．故选D．13．如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则PEEC＝________.【答案】1【解析】在三棱锥P-ABC中，因为P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB ⊥平面APC．因为EF⊂平面P AC，所以EF⊥AB．因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以P A∥EF.因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以PEEC＝1.14．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E为AD的中点，F为BC的中点，则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为________．【答案】33【解析】连接EF，根据题意，BC⊥AF，BC⊥DF.∵AF∩DF＝F，∴BC⊥平面ADF.∴∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角．设BC＝2，则BF＝1，BE＝3，∴sin∠BEF＝13＝33.15．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.【答案】13【解析】如图，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5.在Rt△ECD中，EC ＝12，∴ED＝52＋122＝13.16．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．【答案】4【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA 在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．17．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B．又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.(2)连接A1D．设AB＝AC＝AA1＝1.∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝12B1C1＝2 2.在Rt△A1DA中，AD＝A1D2＋A1A2＝62.∴sin ∠A 1DA ＝A 1A AD ＝63，即AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为63.C 级——探索创新练18．(多选)如图，等边三角形ABC 的边长为1，BC 边上的高为AD ，沿AD 把△ABC 折起来，则( )A ．在折起的过程中始终有AD ⊥平面DB ′C B ．三棱锥A -DB ′C 的体积的最大值为348C ．当∠B ′DC ＝60°时，点A 到B ′C 的距离为154D ．当∠B ′DC ＝90°时，点C 到平面ADB ′的距离为12【答案】ABCD 【解析】因为AD ⊥DC ，AD ⊥DB ′，且DC ∩DB ′＝D ，所以AD ⊥平面DB ′C ，故A 正确；当DB ′⊥DC 时，△DB ′C 的面积最大，此时三棱锥A -DB ′C 的体积也最大，最大值为13×32×12×12×12＝348，故B 正确；当∠B ′DC ＝60°时，△DB ′C 是等边三角形，设B ′C 的中点为E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥B ′C ，即AE 为点A 到B ′C 的距离，AE ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫342＝154，故C 正确；当∠B ′DC ＝90°时，CD ⊥DB ′，CD ⊥AD ，故CD ⊥平面ADB ′，则CD 就是点C 到平面ADB ′的距离，则CD ＝12，故D 正确．19．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，D 是A 1B 1的中点．(1)求证C 1D ⊥平面AA 1B 1B ；(2)当点F 在BB 1上的什么位置时，会使得AB 1⊥平面C 1DF ？并证明你的结论． 证明：(1)∵ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°. 又D 是A 1B 1的中点，∴C 1D ⊥A 1B 1. 又∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C ． ∴AA 1⊥C 1D ．又A1B1∩AA1＝A1.∴C1D⊥平面AA1B1B．(2)作DE⊥AB1交AB1于点E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点．∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.。
高中数学必修1基础练习题及答案解析
高中数学必修1基础练习题及答案解析一、选择题1.已知全集I＝{0，1，2}，且满足CI ＝{2}的A、B 共有组数 A. B. C. D.11.如果集合A＝{x|x＝2kπ+π，k∈Z}，B＝{x|x＝4kπ+π，k∈Z}，则A.ABB.BAC.A=BD.A∩B=?23.设A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}，则B的元素个数是 A.5B.4C.D.2.若集合P＝{x|3 D.＝的值域为集合N，则集合{2,－2,－1,－3}中不属于N的元2－x素是 A. B.－C.－1 D.－3.已知f是一次函数，且2f－3f＝5，2f－f＝1，则f的解析式为 A.3x－B.3x＋C.2x ＋D.2x－8.下列各组函数中，表示同一函数的是 A.f＝1，g ＝xx2－4B.f＝x＋2，g＝x－2D.f＝x，g＝2?x x≥0C.f＝|x|，g＝?－x x＜02xx＞09. f＝?πx＝0，则f{f［f］}等于0 x＜0A.0B.πC.π2D.9x10.已知2lg＝lgx＋lgy，则的值为yA.1B.4C.1或41D. 或411.设x∈R，若a1 C.0 12.若定义在区间内的函数f＝log2a满足f>0，则a的取值范围是1A.21?B.2D.二、填空题 13.若不等式x＋ax＋a－2>0的解集为R，则a可取值的集合为__________.214.函数yx＋x＋1 的定义域是______，值域为__ ____.2115.若不等式3x?2ax>x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______.3x?1??3?x?＝?，则f值域为_____ _. 1?x??3?x??1,117.函数y＝的值域是__________.2＋118.方程log2＋x＋99＝0的两个解的和是______.第Ⅱ卷一、选择题二、填空题三、解答题 19.全集U＝R，A＝{x||x|≥1}，B＝{x|x2－2x－3＞0}，求∩.20.已知f是定义在上的增函数，且满足f＝f＋f，f ＝1. 求证：f＝3求不等式f－f>3的解集.21.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？22.已知函数f＝log12x－log1x+5，x∈［2，4］，求f 的最大值及最小值.44a－23.已知函数f＝是R上的增函数，求a的取值范围. a－2高一数学综合训练答案二、填空题13. ? 14. R ［313+∞) 15. － 16. 18. －99三、解答题 19.全集U＝R，A＝{x||x|≥1}，B＝{x|x2－2x－3＞0}，求∩.∩＝{x|－1＜x＜1}20.已知f是定义在上的增函数，且满足f＝f＋f，f ＝1. 求证：f＝3求不等式f－f>3的解集. 考查函数对应法则及单调性的应用. 由题意得f＝f＝f＋f＝f＋f＝f＋f＋f＝3f 又∵f＝1 ∴f＝3不等式化为f>f+3∵f＝∴f>f＋f＝f ∵f是上的增函数16?8?0∴?解得2 7x821.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？考查函数的应用及分析解决实际问题能力.当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为以这时租出了88辆.设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为 x－3000x－3000f＝－×505050x212整理得:f＝－＋162x－2100＝－＋3070505050∴当x＝4050时，f最大，最大值为f＝307050 元22.已知函数f＝log12x－log1x+5，x∈［2，4］，求f 的最大值及最小值.443600－3000＝12，所50考查函数最值及对数函数性质.令t＝log1x ∵x∈［2，4］，t＝log1x在定义域递减有441log14 244412191∴f＝t2－t＋5＝＋,t∈［－1,－］242123∴当t＝－时，f取最小值24当t＝－1时，f取最大值7.a－23.已知函数f＝是R上的增函数，求a的取值范围. a－2考查指数函数性质.f的定义域为R，设x1、x2∈R，且x1 ax?xx?x a－2a1xxx21a－2a?a由于a>0，且a≠1，∴1＋1>0 ax1ax2x2∵f为增函数，则>0x22a?2?0?a?2?0于是有?x，或?xx1x122a?a?0?a?a?0解得a>或0 . . .必修1 高一数学基础知识试题选说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷60分，共120分,答题时间90分钟.第Ⅰ卷一、选择题：1．已知集合M??{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有3个个个个2．已知S={x|x=2n,n∈Z}, T={x|x=4k±1,k∈Z},则S??T T??SS≠T S=T23．已知集合P=y|y??x?2,x?R， Q=?y|y??x?2,x?R?，那么P?Q等 ??，{，} {1，2} ?y|y?2?4．不等式ax?ax?4?0的解集为R，则a的取值范围是16a0a116a0a05. 已知f=?2?x?5，则f的值为f36.函数y?x?4x?3,x?[0,3]的值域为[0,3] [-1,0] [-1,3] [0,2]7．函数y=x+b在上是减函数，则 k>21111 k? .k 28.若函数f=x+2x+2在区间a≤-a≥-3a≤ a≥39．函数y?a是指数函数，则a的取值范围是a?0,a?1 a?1 a? a?1或a?210．已知函数f?4?ax?12x的图象恒过定点p，则点p的坐标是11.函数y?的定义域是 [1,+?] [12.设a,b,c都是正数，且3a?4b?6c，则下列正确的是1122112212 1 C C ?a?b?a?bc?a?bc?a?b第Ⅱ卷二、填空题：13．已知在映射 f下的象是，则在f下的象是，原象是。
高中数学必修1基础练习题(附详细答案)
➢•高中数学必修一基础练习题班号姓名❖❖集合的含义与表示1．下面的结论正确的是()A．a∈Q，则a∈N B．a∈Z，则a∈NC．x2－1＝0的解集是{－1，1} D．以上结论均不正确2．下列说法正确的是()A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1，2，3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程x2－4＝0和方程|x－1|＝1的解构成了一个四元集3．用列举法表示{(x，y)|x∈N＋，y∈N＋，x＋y＝4}应为()A．{(1，3)，(3，1)} B．{(2，2)}C．{(1，3)，(3，1)，(2，2)} D．{(4，0)，(0，4)}4．下列命题：(1)方程x－2＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；(2)集合{y|y＝x2－1，x∈R}与{y|y＝x－1，x∈R}的公共元素所组成的集合是{0，1}；(3)集合{x|x－1<0}与集合{x|x>a，a∈R}没有公共元素．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．32，4，6，8，若a∈A，则8－a∈A，则a的取值构成的集合是________．5．对于集合A＝{}6．定义集合A*B＝{x|x＝a－b，a∈A，b∈B}，若A＝{1，2}，B＝{0，2}，则A*B中所有元素之和为________．7．若集合A＝{－1，2}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则求实数a，b的值．8．已知集合A＝{a－3，2a－1，a2＋1}，a∈R.(1)若－3∈A，求实数a的值；(2)当a为何值时，集合A的表示不正确．➢•集合间的基本关系1．下列关系中正确的个数为()①0∈{0}；②∅{0}；③{(0，1)}⊆{(0，1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．A．1 B．2 C．3 D．42．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A B C．B A D．A⊆B3．已知{1，2}⊆M{1，2，3，4}，则符合条件的集合M的个数是() A．3 B．4 C．6 D．84．集合M＝{1，2，a，a2－3a－1}，N＝{－1，3}，若3∈M且N M，则a的取值为() A．－1 B．4 C．－1或－4 D．－4或15．集合A中有m个元素，若在A中增加一个元素，则它的子集增加的个数是__________．6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．8．设集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|－2＜x＜3}，(1)若A B，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a使B⊆A?☺☺并集与交集1．A∩B＝A，B∪C＝C，则A，C之间的关系必有()A．A⊆C B．C⊆A C．A＝C D．以上都不对2．A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为() A．0 B．1 C．2 D．43．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}的关系的韦恩(V enn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．2个B．3个C．1个D．无穷多个4．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是()A．k≤3 B．k≥－3 C．k＞6 D．k≤65．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<－2或x>5}，则M∪N＝________，M∩N＝________．6．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x，x∈R}，则A∩B中的元素个数为___．7．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－px－2q＝0}，且A∩B＝{－1}，求A∪B.8．已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0，m∈R}，当A∩B＝B时，求m的取值范围． 集合的补集运算1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M ＝{1，3，5，7}，N ＝{5，6，7}， 则∁U (M ∪N )＝( ) A ．{5，7}B ．{2，4}C ．{2，4，8}D ．{1，3，5，6，7}2．已知全集U ＝{2，3，5}，集合A ＝{2，|a －5|}，若∁U A ＝{3}，则a 的值为( ) A ．0B ．10C ．0或10D ．0或－103．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x >4}， 那么集合A ∩(∁U B )等于( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}4．如图所示，U 是全集，A ，B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．A ∩B B ．A ∪BC ．B ∩(∁U A )D ．A ∩(∁U B )5．已知全集S ＝R ，A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |0≤x ≤5}，则(∁S A )∩B ＝________．6．定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{2，4，5}，则A *B 的子集的个数是________．7．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(1)求A ∩B ； (2)求(∁U B )∪P ； (3)求(A ∩B )∩(∁U P )．8．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，求a 的取值范围．函数的概念1．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集 合N 的函数关系的是( ) 2．f (x )＝2x －x的定义域是( )A ．(－∞，1]B ．(0，1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，1]D ．(0，＋∞)3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为( ) A ．{－1，0，3} B ．{0，1，2，3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}4．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f [f (－1)]＝－1，那么a 的值是( ) A ．1B ．0C ．－1D ．25．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域是________．6．设f (x )＝11－x，则f [f (x )]＝________． 7．求下列函数的定义域：(1) f (x )＝2x －1－3－x ＋1； (2) f (x )＝4－x 2x ＋1.8．已知函数f (x )＝x 21＋x 2， (1)求f (2)＋f (12)，f (3)＋f (13)的值； (2)求证f (x )＋f (1x )是定值。
高一数学练习题带答案
高一数学练习题带答案高一数学是高中数学学习的重要基础阶段，涵盖了代数、几何、函数等多个领域。
以下是一些高一数学练习题及答案，供同学们练习和参考。
练习题一：代数基础1. 解不等式：\( 2x - 5 < 3x + 1 \)2. 化简表达式：\( \frac{3x^2 - 7x + 2}{x - 1} \)3. 求多项式\( 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \)的因式分解。
答案一：1. 解不等式：首先将不等式两边的\( x \)项合并，得到\( -x < 6 \)，然后两边同时除以-1，注意不等号方向要改变，得到\( x > -6 \)。
2. 化简表达式：通过长除法或多项式除法，可以得到\( 3x - 5 \)。
3. 因式分解：首先提取公因式\( x - 1 \)，得到\( x - 1 (4x^2 - 4x + 2) \)，然后对余下的二次多项式继续分解，得到\( x - 1 (2x - 1)(2x - 2) \)。
练习题二：几何问题1. 在直角三角形ABC中，角C为直角，已知AB=5，AC=3，求BC的长度。
2. 已知圆的半径为7，求圆的面积。
3. 已知点P(1,2)，求点P到直线\( x - 2y + 3 = 0 \)的距离。
答案二：1. 根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 - AC^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \)，所以BC=4。
2. 圆的面积公式为\( A = \pi r^2 \)，代入半径r=7，得到\( A =49\pi \)。
3. 点到直线的距离公式为\( d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2+ B^2}} \)，代入点P(1,2)和直线方程\( x - 2y + 3 = 0 \)，得到\( d = \frac{|1 - 4 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} =\frac{0}{\sqrt{5}} = 0 \)。
高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题(含答案解析)
高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题（含答案解析）作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。
所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。
一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。
（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。
（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内） 例：()[]223,1,4f x x x x =−−∈−解：()()214f x x =−−∴对称轴为：1x = ()[]4,5f x ∴∈−（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称 （2）当,0x y →+∞→ 当,0x y →−∞→（4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > 注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a = ② 极值点：,x a x a ==− ③ 极值点坐标：()(),2,,2a a a a −−④ 定义域：()(),00,−∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎤⎡−∞−+∞⎦⎣（5）函数：()0ay x a x=−> 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =± ③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。
高中数学《求参数的取值范围》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《求参数的取值范围》基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。
常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围① 椭圆（以()222210x y a b a b +=>>为例），则[],x a a ∈−，[],y b b ∈−② 双曲线：（以()22221,0x y a b a b−=>为例），则(],x a ∈−∞−（左支）[),a +∞（右支）y R ∈③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>（3）点与椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b +< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0ay x a x=+>；③ 反比例函数；④ 分式函数。
若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。
（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。
3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F 是其左右焦点，离心率为3，且经过点()3,1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12,A A 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1AQ 斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭，求直线Q A 2斜率的取值范围；解：（1）3c e a ==::a b c ∴=∴椭圆方程为：222213x y b b +=代入()3,1可得：24b =22312a b ∴== ∴椭圆方程为：221124x y +=（2）由（1）可得：()()12,A A − 设(),Q x y ， 则k =2A Q k =22212A Qy k k x ∴⋅==− Q 在椭圆上 ()222211121243x y y x ∴+=⇒=−2221123A Qy k k x ∴⋅==−− 213A Q k k∴=−11,23k ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭12,133k ⎛⎫∴−∈ ⎪⎝⎭即22,13A Q k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10xy C a b a b +=>>，其左，右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线l交椭圆C 于,E G 两点，且2EGF 的周长为 （1）求椭圆C 的方程（2）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25PA PB −<t 的取值范围 解：（1）2c e a ==::a b c ∴= 2EGF 的周长4C a a ==⇒=1b ∴=∴椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线AB 的方程为()2y k x =−，()()1122,,,A x y B x y ，(),P x yOA OB tOP += 1212x x txy y ty +=⎧∴⎨+=⎩ 联立直线与椭圆方程：()()222222212882021y k x k x k x k x y =−⎧⎪⇒+−+−=⎨+=⎪⎩ ()()()22228412820k k k ∴∆=−+−>，解得：212k <()23121212222884,44212121k k kx x y y k x x k k k k k +=+=+−=−=−+++()()222821421k x t k k y t k ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=−⎪+⎩，代入2212x y +=可得：()()2222284222121k k t k t k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2221612k t k∴=+ 由条件25PA PB −<可得：25AB <123AB x ∴=−<()()22121220149kx x x x ⎡⎤∴++−<⎣⎦，代入22121222882,2121k k x x x x k k −+==++可得： ()()()222222228822014411413021219k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫−+−⋅<⇒−+>⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦214k ∴>211,42k ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭22221618=16,411232k t k k ⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 262,,233t ⎛⎫⎛⎫∴∈−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=>>的离心率为2，且在所有（1）求椭圆方程（2）若过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,EF （E 在,B F 之间），求三角形OBE 与三角形OBF 面积比值的范围 解：（1）2c e a == ::a b c ∴=由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为22b a =1,b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）设:2l y kx =+，()()1122,,,E x y F x y112211,22OBEOBFSOB x x S OB x x ∴=⋅⋅==⋅⋅= 1122OBE OBFx S x Sx x ∴==联立直线与椭圆方程：()222221286022y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()()22238241202k k k ∴∆=−+>⇒>12122286,01212k x x x x k k+=−=>++ 12,x x ∴同号 ()()22221212212212832122631212k x x k x x k x x x x k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭∴===++++232k > ()22232321164,1333122k k k⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 122116423x x x x <++< 设120x t x =>，所解不等式为：124111612333t t tt t t⎧++>⇒≠⎪⎪⎨⎪++<⇒<<⎪⎩()121,11,33x x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即()1,11,33OBE OBFS S⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，直线:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆1C 的方程（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程 （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C 上，且满足0QR RS ⋅=，求QS 的取值范围解：（1）c e a a ==⇒= :2l y x =+与圆222x y b +=相切O l d b −∴== b ∴= 3a c = 22222b a c c ∴=−=即21c =，解得1c =a ∴=221:132x y C ∴+=（2）由（1）可得1:1l x =−线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M2PM MF ∴=即12M l d MF −=M ∴的轨迹为以2F 为焦点，1l 为准线的抛物线，设为()220y px p =>()21,0F 2p ∴= 22:4C y x ∴=（3）思路：由已知可得()0,0Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则所求QS 为关于2y 的函数，只需确定2y 的范围即可，因为0QR RS ⋅=，所以有可能对2y 的取值有影响，可利用此条件得到2y 关于1y 的函数，从而求得2y 范围。
高中数学数列基础练习及参考答案
高中数学数列基础练习及参考答案一、填空题1. 已知等差数列的首项为5，公差为3，求第10项。
解：首项 a1 = 5，公差 d = 3，要求第10项 an，可以使用等差数列通项公式 an = a1 + (n-1)d。
将已知的数值代入：an = 5 + (10-1)3 = 5 + 9 × 3 = 5 + 27 = 32。
2. 某等差数列的前四项依次是4, 7, 10, 13，求公差。
解：已知数列的前四项分别为4, 7, 10, 13，设公差为d。
根据等差数列的性质，第2项减去第1项等于公差，第3项减去第2项仍然等于公差，以此类推。
则可得到以下方程组：7 - 4 = d10 - 7 = d13 - 10 = d解以上方程组可得公差 d = 3。
3. 某等差数列的前四项和为30，公差为2，求首项。
解：已知数列的前四项和为30，公差为2，设首项为a1。
根据等差数列的性质，可得到以下方程：(1/2)[2a1 + 3(2a1+2)] = 30化简得：[2an + 3an + 6] = 60整理得：5an = 54则 an = 10.8因为 a1 = 10.8 - 3(2) = 4.8，所以首项为4.8。
二、选择题1. 若等差数列的首项为3，公差为2，求第6项的值。
A. 8B. 11C. 13D. 15解：根据等差数列通项公式，第6项 an = a1 + (n-1)d = 3 + (6-1)2 =3 + 5 × 2 = 3 + 10 = 13。
所以选项 C. 13 正确。
2. 若等差数列的公差为-4，前五项的和为10，求该等差数列的首项。
A. -5B. -4C. -2D. 1解：设等差数列的首项为 a1，则根据等差数列和的公式，前五项和为：S5 = (5/2)[2a1 + 4d] = 10化简得：a1 + 2d = 2代入公差d为-4，得到 a1 - 8 = 2整理得：a1 = 10所以选项 D. 1 正确。
高中数学练习题及讲解及答案
高中数学练习题及讲解及答案### 高中数学练习题及讲解及答案#### 练习题1：函数的奇偶性题目：判断函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的奇偶性，并说明理由。
解答：首先，我们需要确定函数的定义域，该函数的定义域为全体实数\( \mathbb{R} \)。
接下来，我们计算 \( f(-x) \)：\[ f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x \]由于 \( f(-x) = -f(x) \)，我们可以得出结论，函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 是奇函数。
#### 练习题2：不等式的解法题目：解不等式 \( |2x - 1| < 4 \)。
解答：首先，我们考虑绝对值不等式的性质，将其分为两个不等式：\[ -4 < 2x - 1 < 4 \]接着，我们分别解这两个不等式：\[ -3 < 2x < 5 \]然后，我们将不等式两边同时除以2，得到：\[ -1.5 < x < 2.5 \]所以，不等式 \( |2x - 1| < 4 \) 的解集为 \( (-1.5, 2.5) \)。
#### 练习题3：三角函数的图像与性质题目：已知 \( \sin A = \frac{1}{2} \)，求 \( \cos 2A \) 的值。
解答：根据二倍角公式，我们有：\[ \cos 2A = 1 - 2\sin^2 A \]将已知的 \( \sin A = \frac{1}{2} \) 代入公式中，计算得：\[ \cos 2A = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 -2\left(\frac{1}{4}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]因此，\( \cos 2A = \frac{1}{2} \)。
#### 练习题4：数列的通项与求和题目：数列 \( \{a_n\} \) 的首项 \( a_1 = 2 \)，公差 \( d = 3 \)。
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高中数学基础练习题答案解析2013-2014学年度学校3月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．．已知函数f =2sin的部分图象如图所示，则函数f 的一个单调递增区间是 A．B．C．2．如果空间三条直线a, b, c两两成异面直线，那么与a, b, c都相交的直线有A．0条 B．1条 C．多于1条但为有限条 D．无数条）。
4A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln2）试卷第1页，总15页6．倾斜角为135?）7）ABCD8） A9积之比值是 A． D．10．, 则a、b应满足的关系式是 11．则下列命题中为真命题的是 A B CD12．已知，则ABCD13．下列给出的赋值语句中正确的是 A．3=A B． M=-M C． B=A=D． 14．.3的虚部为试卷第2页，总15页A.8iB.－8iC.D.－81516A．x=0 B．x> C．x 1或x>4D．x=－217．已知f为Rx的取值范围是A.B.D.ABCD19A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件0ABC．1＋2iD．1－2i1．A B． C D．22A、0B、3C、-3D、7试卷第3页，总15页23．长方形桌球台的长和宽之比为7：5，某人从一个桌角处沿45角将球打到对边，然后经过n次碰撞，最后落到对角，则n=10 1224．△ABC为锐角三角形，Po） A．1B． D25ABC．1 D．226．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于AＢＣＤ2811A．196B．13C．8D．7729R关系是A．f = f B．f f D．不能确定0．：名学生和2位教师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数为ABCD31．已知m、n表示直线，α、β、γ 表示平面，给出下列四个命题，其中真命题．．．为①α∩β=m，n≌αn⊥m则a⊥β ②a⊥β，a∩γ=m，β∩γ=n 则n⊥m ③m⊥a，m⊥β，则α∥β ④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β A．①② B．③④ C．②③ D．②④32．已知复共轭复数， x–y–=0恒过的定点的坐标是39．已知集合M={2i，1}，N={2+i2009}，且M∩N实数m的值为A、－2或－32或C、－2或 D、－20 ）以上都不对1．42．设二元一次不等式表示的平面区域使函数试卷第5页，总15页基础练习一、选择题1.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a5，a2=1，则a1= A.1B. C.22D. ，则等于2.已知为等差数列，A. -1B. 1C.D.73.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S8?32,则S10等于 A. 18B. C. 0 D. 0 .4设Sn是等差数列?an?的前n项和，已知a2?3，a6?11，则S7等于A．13B．35C．4D．35.已知?an?为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝－－11226.等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是A.0B. 100 C. 145D. 190.设x?R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{?1?15?1}，[],22A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：. 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.28B.102C.1225D.1378129.等差数列?an?的前n项和为Sn，已知am?1?am?1?am?0，S2m?1?38,则m?3010 . 10.设?an?是公差不为0的等差数列，a1?2且a1,a3,a6成等比数列，则?an?的前n项和Sn=n27nn25nn23nA．? B．? C．?332444D．n2?n11.等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是A.0B. 100C. 1D. 190 . 二、填空题1设等比数列{an}的公比q?1S，前n项和为Sn，则4?a42.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，3.在等差数列{an}中,a3?7,a5?a2?6,则a6?____________.4.等比数列{an}的公比q?0, 已知a2=1，an?2?an?1?6an，则{an}的前4项和T16成等比数列． T12S4= .三．解答题11.已知点是函数f?ax?c,数列{bn}的首项为c，且前n 项和Sn满足Sn－Sn?1=Sn+Sn?1.求数列{an}和{bn}的通项公式；若数列{正整数n是多少? .210001前n项和为Tn，问Tn>的最小2009bnbn?12设Sn为数列{an}的前n项和，Sn?kn2?n，n?N*，其中k是常数．求a1及an；若对于任意的m?N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．3.设数列{an}的通项公式为an?pn?q. 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是11使得不等式an?m成立的所有n中的最小值.若p?,q??，求b3；23若p?2,q??1，求数列{bm}的前2m项和公式；是否存在p和q，使得bm?3m?2？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.基础练习参考答案一、选择题1.B设公比为q,由已知得a1q?a1q?2a1q正数，所以q?28?42?,即q2?2,又因为等比数列{an}的公比为故a1?a2,选B ??q232.∵a1?a3?a5?105即3a3?105∴a3?35同理可得a4?33∴公差d?a4?a3??2∴a20?a4??d?1.选B。
B23.答案：C由a4?a3a7得2?得2a1?3d?0,再由S8?8a1?56d?322得a1?7d?8则d?2,a1??3,所以S10?10a1?4.解: S7?90d?60,.故选C77749.故选C.22?a2?a1?d?3?a1?1??或由?, a7?1?6?2?13.a?a?5d?11d?2?1?6所以S7?77??49.故选C.21B5.a7－2a4＝a3＋4d－2＝2d＝－1 ? d＝－6.B设公差为d，则2?1?.∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100.B可分别求得数列.8.C由图形可得三角形数构成的数列通项a?n?????1，]?1.则等比数列性质易得三者构成等比2n，同理可得正方形数构成的数列2n知an必为奇数，故选C.通项bn?n2，则由bn?n2可排除A、D，又由a?n29.C因为?an?是等差数列，所以，am?1?am?1?2am，由am?1?am?1?am?0，得：2am－am＝0，所以，am＝2，又S2m?1?38，即＝10，故选.C。
2＝38，即×2＝38，解得m21或d?0210.A解析设数列{an}的公差为d，则根据题意得2?2?，解得d?n1n27n，所以数列{an}的前n项和Sn?2n?24411.B设公差为d，则?1?.∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100二、填空题421.此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前n项和的知识联系．a1s41?q43对于s4?,a4?a1q,??3?151?qa4q2.答案：T8T12此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比,T4T8数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力.:设等差数列{an}的公差为d,则由已知得??a1?2d?7?a1?4d?a1?d?6解得??a1?3,所以?d?2a6?a1?5d?13.答案:13.:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.15由an?2?an?1?6an得：qn?1?qn?6qn?1，即q2?q?6?0，q?0，解得：q21115＝2，又a2=1，所以，a1?，S4?＝。
221?24.三、解答题1?1?1.Qf?1??a?,?f?x3?3?x12f2?c?f1?ca1?f?1??c??c ,a2, ?39 2f3?c?f2?ca3?? . ???2742a21又数列?an?成等比数列，a1?2c ，所以 c?1； a3?3327a12?1?又公比q?2?，所以ana133?3?QSn?Sn?1?n?1?1???2??n?N* ；?3?n??n?2?又bn?0?0, ?1；数列构成一个首相为1公差为11??n?1??1?n ， Sn?n25基础训练答案1答案一、 1.D .B .D二、4.{1,5,7,11,13,17,19} .1.[1,??)三、7.－或x>3},{x|x≤1或x>2},U, ? .{0,1,－18.{x|2≤x≤3或x=1},{2},{x|x 1}.提示：不要忽视B=?的情形.2答案一、1.D .C .B二、4.－1.{x|－4≤x≤－2}三、6.∪7.－3≤a58.a=0或1时，x∈?;a>1或a 3答案一、1.A .B .A二、4.必要必要 .x+y不是偶数，则x、y不都是奇数三、6.充分不必要7.真.略答案一、1.D .C .A 二、4. . 三、6. 1－x2 .f1=1+x?－?x?2??x?2x?2x?1－1f=?.y=?2x?1?x?6x?10???4?x5答案一、1.D .D .B二、4. .7三、6.x2－17.{x|5≤x 3??3π)∪∪令u=2x,t=log2x那么中间变量u、t的值域都相同，由u=2x,x222211∈［－1,1］,∴≤2x≤2,则≤log2x≤2,∴2≤x≤4,故f的定义域为［2，4］.8.f=－22??42lx?lxx26答案一、1.C .C .D 二、4. .②④ 三、6.略－3 ?2?1g的最小值7答案一、1.D .B .C 二、4. .7.g=?0 2?2?为0.提示：讨论对称轴x=－1与区间?ahref=“http:///fanwen/shuoshuodaquan/”targe t=“_blank” class=“keylink”>说鉻,t+1的关系.8.［8答案一、1.C .D .B 二、4.529,18］1253b?2c?at2?3t?35... .8.y=a a=16,x=612324?34?三、6. 1.10.既不是奇函数，也不是偶函数 a43139答案一、1.D .C .D二、4..4≤－131113时，f最小值为－a;－时，f最小值是a+.42224 9910答案一、1.C .C .B二、4.－.an=10n+2n－1三、6..1017718.1是第10或第20项，32不是bn= ?2∴第7项或第8项最大，最大值为152175882?2219231355315.三、6.1557.Tn=n2?n.S10=－T10? 11答案一、1.B .C .A二、4.或443216832124xan=2n－10,Sn=2n1n1229) anSn≤0，得n=5,6,7,8,9不是{anSn}中的项.知an=,∴a1+a2+…+an=?1?n?1.1221?212答案一、1.C .B .D二、4.332n+.［4,+∞)三、6.707.f －12n?2?nn,0).半径知An,Bn两点坐标分别为和，以AnBn为直径的圆的圆心Cn坐标是7.α是第三象限，原式=－；α是243第四象限，原式=31?28.ymax=,ymin不存在213?7?,k??］提.5.±2885??三、6.{x|2kπ－ 14答案一、1.A .C.3.A二、4.［kπ+Z}.ymax=3?222?3,ymin?.8.a=3,b=－1,或a=－1,b= k≤－142222f?1?3a?b?2,又k??a?b??a2?≤－1.415答案一、1.C .D .D二、4.2+.－16答案一、1.C .C .C 二、4.、 .1?2397 三、6.sinα= tanα=7.－ .247292634三、6.－1 .?e2－e1,=e2,=2e2－e1,11111BC. BD=e2－e1.8.,∴DE2222231614232,) . 三、6.7.8.k=1,h=4219152212717答案一、1.D .B3.B二、4.－sin］=b2［sin+sin］?b2?c2?a2a2?c2?b22a22cosAsinB=b22sinAcosB?a22b=b2a?=0.2bc2ac22220答案一、1.B .D .B二、4.充分而不必要必要而不充分非充分非必要5.－≤＜0三、226.略7.a2－2ab+2b2＞2a－38.当a＞1时，11t?1t?1logat≤loga. ;当0＜a＜1时，logat≥loga222221答案一、1.B .A .A二、4.＜ .P三、6.证略7.证略8.证略1232a2222答案一、1.D .D .D二、4.＜a＜15.三、6.1＜a＜10.7.y=?2a2.当109xx=2a时，DE取最小值2a;当x=2a时，DE取最大值3a.8.［9,18］1223答案一、1.B .C .B二、4.130°5. －1 {a|a∈R,a≠－1，且a≠3}三、6.x=1或4x－3y－10=0; x=－1或3x+2y－1=0;x+y－1=0或4x+3y=0.7.3x－9y－1=0或9x+3y－13=0.8.24答案一、1.B .B .B二、4. .三、6.图略，封闭图形面积是18.7.38.m=±2,n??或n??122222;a∈∪∪∪.222213264)?2?5525答案一、1.D .A .D二、4.x=1或4x－3y+5=0 .x2+y2－3ax－3ay+2a2=0三、6.略；60°或120°x2+y2－x－2y+1=06答案一、1.C .D .C二、4..1 三、6.?17.以MN所在直线为x轴，线段MN的中垂线为y轴2 ?42y2x2y22?1.8.??1 建立坐标系，可得椭圆方程为x? ［0,］21535025225x4y2y2x2x2y2??1或??1 .1 三、??1.1 .∪528答案一、1.B .B .C二、4.x2=±2y或x2=±18y .2 4439x7.略8.y2=－43|a|x; m三、6.y2=713当|a|≥1时，直线不存在；当0＜|a|＜1时，直线PQ 存在且倾斜角为arccota2?a4或??arccota2?a4.29答案一、1.D .B .B二、4.－p.14三、6.y2=4x或y2=－36x.7.k＜－2或k?2;k=±1或±2；－2＜k＜2且k≠1.8.4;面积最大值为1，此时l:2x－2y±=0.2230答案一、1.A .A .B二、4.y=2 .10－2三、6.+22=1 927.所求轨迹为圆心在，半径为3的圆，除去和两点；或圆心在，半径为3的圆，除去和两点.8.231答案一、1.C .A .B二、4.不一定 .6三、6.证明O1、M、A既在平面AB1D1内又在平面ACC1A1内.反证法证四边形EFGH是菱形8.先证MNQP是梯形，PM与QN交于一点K，K在面A1B1BA内又在面A1D1DA内，故在其交线AA1上32答案一、1.C .D .D二、4.相等相等 .平行或斜交三、6.△的重心将中线分成2∶1的两段即可证.略8.反证法33 答案一、1.D .B .C二、4.重直 .3三、6.BC?AC???BC?面PAC?面PBC?面PACBC?PA?7.略8.A在面SBC上的射影为△SBC的外心即△SBC的斜边的中点D，∴AD⊥面SBC，面AD?ABC，故面ABC⊥面SBC 33答案一、1.D .C .A二、4.存在实数x、y,使得AD?xAB?yAC;); .60°三、6. z=7.?,?,?若设?x?y则?3x?y?9?x?2?=所以?4x?2y?14由得?把它代入也成立所以?y?3?5x?2y?16??2?3所以A、B、C、D四点共面.设=a，=b，=c,34 答案一、1.D .C .A二、4.30° .2、4、6三、6 .BC⊥面PAE，在△PAE中EF⊥PA 即EF的长为2320a cm7.60° 45° 30°8.3353415.0°＜θ≤60°三、6.∠A=arccos7. S△ABC=321323134 答案一、1.A .C .A二、4.|CD|??621?68.略45°2442363a 三、6.7.arccos2249535答案一、1.A .B .A二、4.arctan5.8.45°3a 123.1三、6.a .略45°8.略60° arccos31736答案一、1.C .B .D二、4.arctan37答案一、1.B .B .D二、4.3V12a .3∶8三、6.cm .R2arccos8.S83a38答案一、1.C .A .D二、4.4.11三、6.46 n= n=2,3,4,57.1、4同色有5343134=80种，1、4不同色时，有5343333=180种，共有260种8.43=6443332=24分三类考虑：第一类三个盒内各放一球，此时只要确定出空盒就确定了一种放法，有4种方法.第二类一个盒内放一球另一盒内放二个球，分两步进行，先从4个盒中任选一个放进一球，有4种方法，再从余下的三个盒中选一个放二个球，有3种方法，故有433=12种方法；第三类一盒放三个球，有4种方法.因此共有4+12+4=20种方法.22221212139答案一、1.B .C .C二、4.1.2520三、6.C6?C6?C5?C6?55场.C15C4?C5C4?C4C5?90323118.4343434=256；A44=24；C4C4?A3?144C4C2?824=9640答案一、1.D.B .C二、4.100.4三、6.270x223405x .A=90°,B=60°,C=30°8.2 30263141答案一、1.B .B .C二、4.2022C5C5?C23765445.三、6. P==0.76. . P1=2?; P2=； ?213100189C9C9 12C1135?C4?C4P3=.8.P=P=P+P=0.24+0.28=0.52.∴P=1－P=1－0.71=0.29. ?218C942答案一、1.A .C .A二、4.25.0.2048三、6.P1=0.8030.9030.90=0.64P2=0.803=0.7927.P==0.00 P?P?P=0.32 1－1413131603? P=C6??2733729135791?3?5?7?95.3答案一、1.B .D .A二、4.0.0..1.2三、6.4545454545459P=0.3888.P=?7.Eξ=－1313157205;Dξ= σξ=D??Eη=2Eξ+3= Dη=4Dξ=.8.Eξ1=Eξ2=1. Dξ1=0.41393Dξ2=1.21故两人平均水平基本一致，但乙技工的波动性较大，故应选甲参赛.44答案一、1.B .A .C二、4.200 .10 三、6.每200人抽取1人，将全体学生按从1号到6000号分成30组，，.利用随机数表从第一组中确定一个随机号42号，然后每隔200号抽取1人，抽到第242号、第442号、第642号、…、第5842号一共30人为所确定的样本.7.乙种棉花的苗长得高；甲种棉花的苗长得齐.8.P=Φ∴P=1－P查Φ表，得Φ=0.故45答案一、1.A .B .B二、4.?2?37?3)－Φ=0.971022C?3=0,∴C=2115.4三、6.137.原式=limnn??ba?bn111?a;若｜a｜?lim?.若｜a｜＞｜b｜.则原式=lim n??bn2n?1?nn??111an??1a?1?＜｜b｜,则原式=－b.8.an=22tn－1,limn??3n??a?1n?1?46答案一、1.B .B .D二、4..－1三、6.. 237.12?11211。