离散数学课件第五章

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《定义》:给定f: X→Y,如果有 x1 x2 f (x1) f (x2 )
或者:f (x1) f (x2 ) x1 x2 则称f是入射函数。
入射函数满足: (1)|X|≤|Y| (2) Rf⊆Y
《定义》:给定函数f: X→Y,如果f既是满射函数, 又是入射函数,则称f为双射函数。
X Y { a,0Βιβλιοθήκη Baidu a,1 b,0 b,1 c,0 c,1 }
X Y 中,有 26 64 个子集。
每个子集对应一个二元关系,因此在集合X → Y上 可以产生64个二元关系。
但在64个关系中只有8个二元关系符合函数的定义。
这8个函数为:
abc f0 { a,0 b,0 c,0 } 000
双射函数满足: (1)|X|=|Y| (2) Rf=Y
例:在全班同学的集合中,设:X={学号},Y={姓名} 则:f: X→Y是一双射函数(学号和姓名的关系)
§ 3 函数的复合和逆函数
设 x, y R ,则 y, x R~
现在讨论函数能否像二元关系那样得到逆函数呢?
例:定义一函数 f如右图所示
f2 0a1b0c abc
f4 100 abc
f6 110
abc f1 001 f3 0a1b1c
abc f5 101
abc f7 111
讨论: (1)设|X|=m,|Y|=n,则函数f: X→Y中都是m个序偶的集
f g
∴函数的复合运算不满足交换律。
《定理》:函数的复合运算是可结合的,即如果f,g,h均 为函数,则有:
h (g f ) (h g) f
证明: ∵二元关系的复合是满足结合律的,而函数 也是
一种二元关系,∴函数的复合也是满足结合律 。
例:I是整数集合,f:I→I定义成f(i)=2i+1,求复合函数 f 3 (i)
第五章 函 数
§1 函数的概念 §2 特殊函数 §3 函数的复合和逆函数
§1 函数的概念
1.函数的定义 《定义》设A和B是任意两个集合,f是 A→B的一个二
元关系,若对于任意x∈A,集合B都存在 唯一的 元
素y , 使得<x,y>∈ f ,则称二元关系f为函数(映
射),并记为:f:A→B。
讨论定义: (1)若<x,y>∈ f,则称x为自变量,y称作函数f在x点处 的值。也可用y=f(x)表示<x,y>∈ f。 (2)二元关系f为集合A→B上的函数,则
《定理》:如果f: X→Y是双射函数,则 : 也为双射函数。
f 1 : Y X
《定义》:设f: X→Y和g:W→Z是二个函数,若 f ( X ) W 则:
g f { x, z | x X z Z y( y Y y f (x) z g( y))} 称g在函数f的左边可复合。
2(2(2i 1) 1) 1 8i 6 1 8i 7
《定理》:设f: X→Y,g:Y→Z, g f 是一合成函数,则:
(1)如果f和g都是满射函数,则 g f 也是满射函数; (2)如果f和g都是入射函数,则 g f 也是入射函数; (3)如果f和g都是双射函数,则 g f 也是双射函数。
解: f 3 (i) f ( f f (i)) f f (2i 1) f (2(2i 1) 1)
2(2(2i 1) 1) 1 8i 6 1 8i 7
f 3 (i) f ( f 2 (i)) 2 f 2 (i) 1 2(2 f (i) 1) 1
这是函数 (2)g { x, y | x, y R x y2}
这不是函数
2.函数相等
《定义》:给定函数f:A→B和g:C→D,如果A=C,B=D,
并对所有的 x A 或 x C 都有f(x)=g(x),则称
函数f和g是相等的 。
2.函数的构成
例:设X={a,b,c},Y={0,1},则
合;(即序偶个数=定义域的基数)
(2)X中每一个元素所对应的象点f(x)可能是Y中n个, 则从集合X-Y的所有函数个数为:
| Y||X | nm
§2 特殊函数
1.几种特殊函数 《定义》:给定函数f: X→Y,如果值域 Rf=Y
则称f为满射函数。
满射函数一定有: (1)|X|≥|Y| (2) Rf=Y
函数f的定义域为: dom f A
(3)对任意 x A ,其函数值f(x)是唯一的
(4)函数f 的值域: ranf B
例:判定下列关系是否为函数
Df X
Rf Y
是函数
Df X
不是函数
值不是唯一的 不是函数
例:设X=Y=R(实数) (1) f { x, y | x, y R y x2}
(1) ~f 的定义域不是Y,而是Y的子集 (2) ~f 不满足函数定义中值是唯一的条件
~f 是一种二元关系,而不是函数
(3)只有双射函数存在逆函数.
为了和逆关系相区别,函数f的 “逆函数” 用 f 1 来表示
《定义》:设 f : X Y 是一双射函数,称 f 1 : Y X
为f的逆函数。
例:sin(cos x),先求cos x,然后求sin(cos x)
讨论定义: 两个函数的复合可以形成一个新的函数。
例:设X={1,2,3}, Y={p,q}, Z={a,b} f: X→Y={<1,p><2,p><3,q>} g:Y→Z={<p,b><q,b>}
则: g f { 1,b 2,b 3,b } g f 是X→Z的函数
证明:(2)设任一 xi , x j X xi x j ∵f为入射函数,∴ f (xi ) f (x j )
又∵g为入射函数,且 f (xi ) f (x j )
g( f (xi )) g( f (x j )) 即 g f (xi ) g f (x j )
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