量子力学习题问题详解

量子力学习题答案

1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ

由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ⨯）

，故： 2e E P /(2)=μ

69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm

--λ====⨯=⨯= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为

J 102.07K 1K J 10381.12

3

2323123---⨯=⨯⋅⨯⨯==

kT E 于是有

一维谐振子处于22

/2

()x

x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求：

1.归一化系数；

2.动能平均值。

（22

x e dx /∞-α-∞

=

α⎰）

解：1.由归一化条件可知：

22

*2x

(x)(x)dx A e dx1

A/1

∞∞

-α

-∞-∞

ψψ==

=α=

⎰⎰

取相因子为零，则归一化系数1/21/4

A/

=απ

2.

2222

2222

2222

2222

22

2

*2x/2x/2

22

2x/2x/2

2

2x/22x/2

22

22x2x/2

22

242x2

T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx

d

A e()e dx

2dx

d

A e(xe)dx

2dx

A{xe(xe)dx}

2

A x e dx A

22

∞∞

-α-α

-∞-∞

∞

-α-α

-∞

∞

-α-α

-∞

∞∞

-α-α

-∞

-∞

∞

-α

-∞

=ψψ=μ

=-

μ

=--α

μ

=--α--α

μ

=α=

μμ

⎰⎰

⎰

⎰

⎰

⎰

＝（）＝＝

22

2222

4x

2

2

24x x

2

22

222

24

2

1

()xd(e)

2

1

A(){xe e dx}

22

1A

A()

24

2

∞

-α

-∞

∞∞

-α-α

-∞

-∞

α-

α

=α---

μα

ππαα

α--

μμ

α

⎰

⎰

若α，则该态为谐振子的基态，T

4

ω

=

解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。

一维谐振子的哈密顿量为：

22

22

d 1

H x

2dx2

=-+μω

μ

它的基态能量

1

E

2

=ω选择为参量，则:

0dE 1d 2=ω；22

2dH d 2d 2

()T d dx 2dx

=-=-=μμ dH 2

0T d

= 由F-H 定理知：0dE dH 21

00T d d 2

===ω 可得：

1

T 4

=ω

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e r

e r -==

1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向(即向原点) 传播的球

面波。

解：分量只有和r J J 21

在球坐标中 ϕ

θθϕθ∂∂

+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0

r mr

k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r

r e r e r r e r m i m

i J ikr ikr ikr ikr

3

020

220

1*

1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )

(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1

与同向。表示向外传播的球面波。

r

mr

k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )

(m

2i J )2(3020

220

ik r ik r ik r ik r *

2*222

-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ

可见，r J

与2反向。表示向(即向原点) 传播的球面波。

2.3 一粒子在一维势场

⎪⎩

⎪

⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，

，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程

)()()()(22

2

2x E x x U x dx d m ψψψ=+-

在各区域的具体形式为

Ⅰ： )()()()(2 011122

2x E x x U x dx d m x ψψψ=+-

< ① Ⅱ： )()(2 0 222

2

2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332

2

2x E x x U x dx d m a x ψψψ=+-

> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须

0)(1=x ψ 3(x )0ψ= 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。