教师版空间几何体知识点及 题型精选总结

一、空间几何体题型精选讲解

题型一 空间几何体的基本概念的考察

1、下列命题中正确的是 ( )

A ．以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥

B ．以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台

C ．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆

D ．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径等于圆锥底面圆的半径

解析：A符合圆锥的定义．B不符合圆台的定义．C中圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面，不是圆．D中圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长．所以选A.

答案：A

题型二 三视图的考察

1、(2009·海南、宁夏) 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积( 单位：cm2) 为（ )

A．48＋12 B．48＋24

C．36＋12 D．36＋24

解析：根据三视图可知，这个三棱锥的一个底面为等腰直角三角形、一个侧面垂直于底面．其直观图如图所示，其中PD⊥平面ABC，D 为BC中点，AB⊥AC，ED⊥AB.连结PE，由于AB⊥PD，AB⊥DE，故AB⊥PE，即PE为△PAB的底边AB上的高．在直角三角形PDE 中，PE＝5，侧面PAB，PAC的面积相等，故这个三棱锥的全面积是2××6×5＋×6×6＋×6×4＝48＋12.故选A.

答案：A

2、(2011·辽宁) 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2 ，它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )

A．4 B．2

C．2 D.

解析：设正三棱柱底面边长为a，利用体积为2，容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为，故所求矩形的面积为2.

答案：B

题型三 平面图的直观图（斜二测面法）

1、如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）

A．3 B. C．6 D．3

解析：由斜二测作图法，水平放置的△OAB为直角三角形，且OB＝2O ′B′＝4，OA＝O′A′＝3，则S＝×4×3＝6.

答案：C

2、如图所示为一平面图形的直观图，则这个平面图形可能

是（）

解析：由平行于x、y轴的直线仍然平行知C正确．

答案：C

题型四 其他类型：展开、投影、截面、旋转体等

1、面积为的等边三角形绕其一边中线旋转所得圆锥的侧面积是

________．

解析：设等边三角形的边长为l，则旋转所得的圆锥的母线长为l，底面圆的半径为，如图a，图b.因为S正三角形＝，所以l2＝，即l＝2.所以圆锥侧面积为S侧＝πl2＝2π.

答案：2π

2、如图，长方体ABCD －A1B1C1D1 中，交于顶点A 的三条棱长分别为AD ＝3 ，AA1 ＝4 ，AB ＝5 ，则从A 点沿表面到C1 的最短距离为 ( )

A．5 B. C．4 D．3

解析：长方体可分别沿三条边B1B、A1B1、BC展开，展开后为三个不同矩形，对角线为最短距离，分别为4，，3，因此，此题选B.

3、已知半径为5 的球的两个平行截面的周长分别为6π 和8π ，则两平行截面间的距离为 ( )

A ．1

B ．2

C ．1 或7

D ．2 或6

解析：由截面周长为6π和8π，知两截面圆半径分别为3和4，所以两截面可在某条直径的同侧或异侧．

同侧时，所求距离为－＝1；

异侧时，所求距离为＋＝7.

二、简单几何体的表面积与体积题型精选讲解

题型一 与三视图相结合

1、(2010· 天津) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________

解析：由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，由正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积为(1＋2)×2×1＝3.

2、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是：

A. B．2π

C. D.

解析：这个几何体是一个底面半径为1，高为2的圆锥和一个半径为1的半球组成的组合体，故其体积为π×12×2＋×π×13＝. 故选A

题型二 内接与外接的知识

1、(2008·福建)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是________．

解析：考查空间想象能力和创新能力．以已知三棱锥的三个侧面为侧面，可作一个棱长为的正方体．已知三棱锥的外接球即为正方体的外接球，易求半径和表面积．

2、(2011·全国新课标)已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目．

由圆锥底面面积是这个球面面积的，得所以＝，则小圆锥的高为R－＝，大圆锥的高为R＋R＝，所以比值为.

题型三 表面积与体积综合问题

1、(2010·全国)已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ( )

A．1 B. C．2 D．3

解析：设底面边长为a，则高h＝＝.

所以体积V＝a2h＝.

设y＝12a4－a6，则y′＝48a3－3a5，

当y取最值时，y′＝48a3－3a5＝0，

解得a＝0(舍去)或a＝4时，体积最大，此时h＝＝2.

2、如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1 的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时，圆的半径是( )

A. B. C. D.