第28讲图形的相似与位似(原卷版)

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第28讲图形的相似与位似(解析版)

第28讲图形的相似与位似1．比例线段(1)比例线段：已知四条线段a，b，c，d，若ab＝cd或a∶b＝c∶d，那么a，b，c，d叫做成比例线段，a，d叫做比例外，b，c叫做比例内项；若有ab＝bc，则b叫做a，c的比例中项．(2)比例的基本性质及定理①ab＝cd⇒ad＝bc；②ab＝cd⇒a±bb＝c±dd；③ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)⇒a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.4．相似三角形的性质及判定(1)相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(2)相似三角形的判定①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；②两角对应相等，两三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；④三边对应成比例，两三角形相似；⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．5．射影定理如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．(1)AC2＝AD·AB；(2)BC2＝BD·AB；(3)CD2＝AD·BD；(4)AC2∶BC2＝AD∶BD；(5)AB·CD＝AC·BC.6．相似三角形的实际应用(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤： ①将实际问题所求线段长放在三角形中； ②根据已知条件找出一对可能相似的三角形； ③证明所找两三角形相似；④根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解．(2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题．如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比，即身高影长＝建筑物的高度建筑物的影长.7．相似多边形的性质(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 8．图形的位似(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．(3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标比等于k 或－k.(4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：①确定位似中心；②确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；③依次连接各对应点描出新图形考点1：相似三角形的性质【例题1】（2019湖南常德3分）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（）A．20 B．22 C．24 D．26【答案】D利用△AFH∽△ADE得到，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．【解答】解：如图，根据题意得△AFH∽△ADE，设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，∴S△ADE＝16，∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．故选：D．归纳：1.在三角形问题中计算线段的长度时，若题中已知两角对应相等或给出的边之间存在比例关系，则考虑证明三角形相似，通过相似三角形对应边成比例列关于所求边的比例式求解.2．判定三角形相似的五种基本思路：(1)若已知平行线，可采用相似三角形的基本定理；(2)若已知一对等角，可再找一对等角或再找该角的两边对应成比例；(3)若已知两边对应成比例，可找夹角相等；(4)若已知一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)若已知等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例．考点2：相似三角形的判定【例题2】在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长．解：分三种情况：设BP＝x.①当P在线段BC上时，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BAP＋∠APB＝90°.∵∠APQ＝90°，∴∠APB＋∠CPQ＝90°.∴∠BAP＝∠CPQ，∴△ABP∽△PCQ.∴ABBP＝PCCQ，∴4x＝4－x1，∴x1＝x2＝2.∴BP＝2；②当P在CB的延长线上时，如图2，同理，得BP＝22－2；③当P在BC的延长线上时，如图3，同理，得BP＝2＋2 2. 归纳：基本图形(1)斜边高图形有以下基本结论：①∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC；②△ADB∽△CDA∽△CAB.(2)一线三等角有以下基本结论：①∠B＝∠C，∠BDE＝∠DFC；②△BDE∽△CFD.特殊地：若点D为BC中点，则有△BDE∽△CFD∽△DFE.考点3：相似三角形的综合应用【例题3】(2017·河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E，D两点开挖一个涵洞．工程师从地面选取三个点A，B，C，且A，B，D三点在一条直线上，A，C，E也在同一条直线上，若已知AB＝27米，AD＝500米，AC＝15米，AE＝900米，且测得BC＝22.5米．(1)求DE的长；(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况，获得如下信息：信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天；信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍；信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费4 000元．若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算．【解析】：(1)连接DE.∵AB＝27米，AD＝500米，AC＝15米，AE＝900米，∴ABAE＝ACAD＝3100.又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED.∴BCDE＝22.5DE＝3100，即DE＝750米．(2)设甲工程队每天开挖涵洞x 米，则乙工程队每天开挖涵洞1.5x 米，依据题意，得 750x －7501.5x ＝25，解得x ＝10. 经检验，x ＝10是原方程的解．则1.5x ＝15.∴甲工程队打通这个涵洞的时间为75010＝75(天)，甲工程队打通这个涵洞所需的费用为 75×3 500＝262 500(元)；乙工程队打通这个涵洞的时间为 7501.5x ＝75015＝50(天)，乙工程队打通这个涵洞所需的费用为 50×4 000＝200 000. ∵200 000＜262 500， ∴选用乙工程队较合算．一、选择题：1. （2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（） A ．：B ．2：3C ．4：9D ．8：27【答案】C【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴其面积之比是4：9，故选：C ．2. （2018•临沂）如图．利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2m ，测得AB=1.6m ．BC=12.4m ．则建筑物CD 的高是（）A ．9.3mB ．10.5mC ．12.4mD ．14m【答案】B【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故选：B．3. （2019，四川巴中，4分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9【答案】D【解答】解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F是BC的中点，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．4. （2019▪贵州毕节▪3分）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【答案】A【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC＝AFAC＝13，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝25，∴AC＝65，BC＝125，∴剩余部分的面积＝×125×65﹣45×45＝100（cm2），故选：A．5. （2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴===，故选：C．二、填空题：6.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B （1，0），则点C的坐标为．【答案】（1，-1）【解答】：连接BC，∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，且B（1，0），即OB=1，∴OD=2，即B为OD中点，∵OC=DC，∴CB⊥OD，在Rt△OCD中，CB为斜边上的中线，∴CB=OB=BD=1，则C坐标为（1，-1），故答案为：（1，-1）7. （2019•山东省滨州市•5分）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）．【答案】（﹣1，2）或（1，﹣2）【解答】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A的坐标为（﹣2，4），∴点C的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．8. （2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，则AE的长为．【答案】4【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∴AE=2CE，∵AC=6=AE+CE，∴AE=4．9. （2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD 为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为.【答案】2，【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过点D作DF⊥AC于F，∴∠AFD=∠CBA，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ACB，∴△ADF∽△CAB，∴，∴，设DF=x，则AD=x，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=x=2，三、解答题：10. (2018·江西)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．【解析】：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD.∴∠D＝∠CBD.∴BC＝CD.∵BC＝4，∴CD＝4.∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE.∴ABCD＝AECE.∴84＝AECE.∴AE＝2CE.∵AC＝AE＋CE＝6，∴AE＝4.11. (2019湖北荆门)（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解答】解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴，，即：，∴，∴OE＝32，答：楼的高度OE为32米．12. (2018·福建)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.(1)求∠BDF的大小；(2)求CG的长．【解析】：(1)∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10.∴∠ABD＝45°.∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF.∴∠BDF＝∠ABD＝45°.(2)由平移的性质，得AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE＋∠DAB＝180°. ∵∠DAB＝90°，∴∠ADE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ACB.∴△ADE∽△ACB.∴ADAC＝AEAB.∵AC＝8，AB＝AD＝10，∴AE＝12.5，由平移的性质，得CG＝AE＝12.5.13.△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠B.(1)如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形；(2)如图2，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；(3)在图2中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当S△DEF＝14S△ABC时，求线段EF的长．【点拨】(1)由题意得AD⊥BD，DE⊥AC，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得∠BFD＝∠CDE，又由∠B＝∠C，可得△BDF∽△CED；由相似三角形的性质得BDCE＝DFED，进而有CDCE＝DFED，从而△CED∽△DEF；(3)首先利用△DEF的面积等于△ABC 的面积的14，求出点D 到AB 的距离，进而利用S △DEF 的值求出EF 即可．【解答】解：(1)图1中与△ADE 相似的有△ABD ，△ACD ，△DCE. (2)△BDF ∽△CED ∽△DEF.证明：∵∠B ＋∠BDF ＋∠BFD ＝180°，∠EDF ＋∠BDF ＋∠CDE ＝180°，又∵∠EDF ＝∠B ，∴∠BFD ＝∠CDE.由AB ＝AC ，得∠B ＝∠C ，∴△BDF ∽△CED.∴BD CE ＝DF ED .∵BD ＝CD ，∴CD CE ＝DFED.又∵∠C ＝∠EDF ，∴△BDF ∽△CED ∽△DEF.(3)连接AD ，过点D 作DG ⊥EF ，DH ⊥BF ，垂足分别为G ，H.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2－BD 2，∴AD ＝8. ∴S △ABC ＝12BC·AD ＝48.S △DEF ＝14S △ABC ＝12.又∵12AD·BD ＝12AB·DH ，∴DH ＝4.8.∵△BDF ∽△DEF ，∴∠DFB ＝∠EFD. ∵DG ⊥EF ，DH ⊥BF ，∴DH ＝DG ＝4.8. ∵S △DEF ＝12EF·DG ＝12，∴EF ＝5.14. (2019•湖南常德•10分)在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，作CM ⊥AB 交AB 于点M ，BN ⊥AC 交AC 于点N ．(1)在图1中，求证：△BMC ≌△CNB ；(2)在图2中的线段CB 上取一动点P ，过P 作PE ∥AB 交CM 于点E ，作PF ∥AC 交BN 于点F ，求证：PE+PF ＝BM ；(3)在图3中动点P 在线段CB 的延长线上，类似(2)过P 作PE ∥AB 交CM 的延长线于点E ，作PF ∥AC 交NB 的延长线于点F ，求证：AM•PF+OM•BN ＝AM•PE ．【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，利用AAS定理证明；(2)根据全等三角形的性质得到BM＝NC，证明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；(3)根据△BMC≌△CNB，得到MC＝BN，证明△AMC∽△OMB，得到＝，根据比例的性质证明即可．【解答】证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，在△BMC和△CNB中，，∴△BMC≌△CNB(AAS)；(2)∵△BMC≌△CNB，∴BM＝NC，∵PE∥AB，∴△CEP∽△CMB，∴，∵PF∥AC，∴△BFP∽△BNC，∴，∴，∴PE+PF＝BM；(3)同(2)的方法得到，PE﹣PF＝BM，∵△BMC≌△CNB，∴MC＝BN，∵∠ANB＝90°，∴∠MAC+∠ABN＝90°，∵∠OMB＝90°，∴∠MOB+∠ABN＝90°，∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，∴△AMC∽△OMB，∴∴AM•MB＝OM•MC，∴AM×(PE﹣PF)＝OM•BN，∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE．。

北师大版初三数学上册《图形的位似》知识讲解及例题演练

图形的位似--知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.【典型例题】类型一、位似多边形1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.A. B. C. D.【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形；而D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选D ．【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．举一反三【变式】在小孔成像问题中，根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的（）.A. 3倍B. 21 C. 31 D. 不知AB 的长度，无法判断【答案】C2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是： 1．在平面上任取一点O. 2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE. 3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA ＝ OB′:OB ＝OC′:OC ＝OD′:OD ＝OE′:OE ＝1.5. 4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.这样：A′B′AB ＝B′C′BC ＝C′D′CD ＝D′E′DE ＝A′E′AE＝1.5. 则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案与解析】作法：（1）在AB 上任取一点G′，作G′D′⊥BC ；（2）以G′D′为边，在△ABC 内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC 于F ；（4）作FG ∥CB ，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．类型二、坐标系中的位似图形3. 如图，在10×10的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，以点A 为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为2．A 1B 1C 1D 1E 1 A B C D E（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是三角形．【思路点拨】（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．4. 如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M 对应的点M′的坐标为．【思路点拨】（1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；（2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．【答案与解析】解：（1）图略；（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.。

北师大版-数学-九年级上册-“相似形”和“位似形”

“相似形”和“位似形”几何学是研究几何图形性质的一门科学．初等几何所研究的几何性质，则是以图形的形状、位置和大小为对象的．在工农业生产和日常生活中，经常遇到许多形状相同而大小不等的图形．例如，同一张底片用不同尺寸洗出来的两张照片，用不同的比例尺绘制的同一地图，同一机械零件的图样等等．像这样形状相同的图形叫做相似形．相似形的形状相同，大小并不一定相等．如果两个图形不仅形状相同，而且大小又相等，这两个图形就是全等形．所以，全等形一定是相似形，它是相似形的特例；相似形就不一定是全等形．两个边数相同的多边形，要是对应角都相等，对应边都成比例，叫做相似形．如图1，多边形ABCDE 和多边形A′B′C′D′E′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，∠E=∠E′，且AE EA E D DE D C CD C B BC B A AB ''=''=''=''=''，则多边形ABCDE ∽多边形A′B′C′D′E′．上面讲到了，两图形相似，只要形状相同就可以了，至于它们的大小和位置怎样，则是无关紧要的．但是，两个相似形有时具有某种特殊的位置关系．例如，电影胶片的图形与放到银幕上的形象，不仅是相似形，而且对应点的连线交于一点(光源)．其他如用放缩尺绘制图形以及用平板仪测量，也常见到类似的情况．像这样对应顶点的连线交于一点的相似形叫位似形．所以，成位似形的图形必定相似，但相似的图形则不一定位似．相似形对位似形而言，是较一般的概念；位似形对相似形而言，则是较特殊的概念．两个图形相似，不论它们的位置如何，都不失其相似性．两个图形位似，则其位置受“对应顶点的连线交于一点”条件的限制，这一点就叫做相似中心．相似中心的位置有多种情况，它可以在两图形对应顶点的连线上(图2)；也可以在对应顶点连线的延长线上(图3)；特别地，还可在某一图形的一边之上(图4)，或者有一个公共的顶点．。

北师大版九年级上册数学《图形的位似》图形的相似教学说课复习课件

横纵坐标×2
横纵坐标×-2
O′(0,0)
A′(-6,0)
A′(6,0)
B(2,3)
B(2,3)
B′(4,6)
B′(-4,-6)
知识讲解
在直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O
（0,0），A（5,0），B（5,3），C（2,4）.将点O，A，B，

C的横、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点
D．任意位置
课堂总结
本节课主要研究了位似图形及其有关概念，
利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小.
目标测试
1.如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换
得到的，若AB：FG=2：3，则下列结论正确的是（ B ）
A．2DE=3MN
B．3DE=2MN
C．3∠A=2∠F
D．2∠A=3∠F
B．（8，-4）或（-8，4）
C．（2，-1）
D．（8，-4）
目标测试
3.如图，在平面直角坐标系中有△ABC，以O点为位似中心，相似比为2，
将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标是（ D ）
A．（8，6）（6，2）（2，4）
B．（-8，-6）（-6，-2）（-2，-4）
C．（8，-6）（6，-2）（2，-4）或（-8，6）（-6，2）（-2，4）
比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为
（ B ）
A．8cm
B．20cm
C．3.2cm
D．10cm
强化训练
2.“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部
分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位
似图形（ B ）

第28课图形的相似与位似

相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
5．相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； (2)两角对应相等； (3)两边对应成比例且夹角相等； (4)三边对应成比例； (5)直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例； (6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 6．相似三角形性质：对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
2．运用相似三角形的判定解决其他问题
相似三角形的判定方法可用来判定两个三角形相似，也可以间接地说明角相等或线段成比例，还可为计算线段及角的大小
创造条件，在解决问题时，应从问题结论所需条件入手，灵活
转化．有时需把解题中涉及的线段转化到适当的三角形中去考虑，有时要找“中间比”来替换，使问题得以间接解决．
7．直角三角形相似的判定及成比例的线段：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形成比例，那么这两个直角三角形相似．
射影定理：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上
的高，则有下列结论． (1)AC2＝AD·AB；
(2)BC2＝BD·AB；
(3)CD2＝AD·BD； (4)AC2∶BC2＝AD∶BD；
b 5 ab 2.（2012 四川凉山）已知，则的值是【 D ab a 13 3 4 2 9 A． 3 B． 2 C． 4 D． 9
】
3．（2012 潍坊）已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将Δ ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=( B )． A．

图形的相似与位似(2015新湘教版中考总复习)

图形的相似与位似（2015新湘教版中考总复习）一、复习目标了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。

二、复习重点与难点（一）复习重点：熟练掌握比例的基本性质并运用其解决数学问题；（二）复习难点：灵活应用比例的性质解决有关计算问题三、复习过程（一）知识梳理1.比例基本性质及运用：（1）线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度，分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成a m=b n和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b叫做比的后项．注意：①针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；③其比值为一个不带单位的正数．（2）线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，或a：b=c：d，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果a c=b d那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 的第四比例项，当比例内项相同时，即a b b c=或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项．（3）比例的性质：①基本性质：如果a ：b=c ：d ，那么ad=bc ；反之亦成立。

②合比性质：若a c =b d ，则a b c d b d±±= ③等比性质：若a c e m b d f b d f n====+++≠（）……+n 0，则注意：灵活地运用比例线段的多种不同的变化形式，即由a c =b d 推出b d =a c 等，但无论怎样变化，它们都保持ad=bc 的基本性质不变．2、黄金分割：在线段AB 上有一点C ，若AC ：AB=BC ：AC ，则C 点就是AB 的黄金分割点．一条线段有两个黄金分割点。

（二）典例精析例1填空：（1）已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 .（2）已知32=y x ，则yx y x 3223-+= （3）已知a ＝4，b ＝9，则a 、b 的比例中项是（4）已知线段a ＝4cm ，b ＝9cm ，线段c 是a 、b 的比例中项，则线段c 的长为（5）在比例尺为1：10000的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.（7）已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB=10cm ，则AC= 。

《图形的位似》与图形的相似

详细描述
如果两个图形中对应顶点连线所在的直线交于一点，则这两个图形位似。
依据边判定位似
总结词
通过比较两个图形对应边的长度和夹角的大小来判断是否位似。
详细描述
如果两个图形中对应边长相等，且对应边之间的夹角相等，则这两个图形位似。
依据角度判定位似
总结词
通过比较两个图形中对应角的大小来判断是否位似。
确定相似关系
在几何作图中，位似关系可以帮助确定两个图形是否相似，从而判断它们的形状和大小是否符合要求。
放大或缩小图形
利用位似关系，可以将一个图形按照一定比例放大或缩小，这在建筑设计、机械制造等领域非常有用。
在解决实际问题中的应用
测量和计算
在土地测量、建筑规划等领域，位似图形可用于计算实际物体的尺寸和比例，为工程设计和施工
当一个位似图形进行反射时，即关于一条直线进行对称，其形状和大小保持不变。反射后，对称轴一侧的图形会出现在对称轴另一侧的位置上，这种反射性质也是位似图形的一个重要特性。
位似图形的平移性质
位似图形在平移时，其形状和大小保持不变，只是位置发生了平移。
当一个位似图形在平面上进行平移时，其形状和大小不会发生变化，只是整体位置沿着某一方向发生了平移。这种平移性质也是位似图形的一个重要特性，使得位似图形在几何学中具有广泛的应用。
理论作用
位似和相似的概念是几何学理论体系的重要组成部分，它们有助于理解图形的性质和关系，以及解决几何问题。
03
实际应用
在实际生活中，位似和相似的概念也有广泛的应用。例如，在建筑设计
、机械制造、测量等领域中，经常需要利用位似和相似的概念来处理和
分析图形数据。
05
位似图形的特殊性质

专题21图形的相似与位似(讲义)(原卷版)

专题21 图形的相似与位似核心知识点精讲1．理解掌握比例线段的相关概念；2．理解掌握比例的性质、黄金分割点等定义； 3．理解掌握平行线分线段成比例定理； 4．理解掌握什么是相似多边形、位似图形。

考点1 比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2.比例的性质（1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）dbc a =（交换内项） ⇒=d c b a acb d =（交换外项）abc d =（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质： 3.黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分nmb a =dc b a =割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB 考点2 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

2023中考数学复习：图形的相似与位似

∠ABC=90°,BC=2AB,则点D的坐标是( D )
A.(7,2)
1
B.(7,5)
2
3
4
C.(5,6)
5
6
7
8
9
D.(6,5)
10
11
12
13
14
15
挑战高分
基础全练
中考创新练
9.(2022·贵州贵阳)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,
AC ∶ AB=1 ∶ 2,则△ADC与△ACB的周长比是( B )
16
17
18
基础全练
挑战高分
中考创新练

∴△DBH≌△DEC.∴BH=EC.∴ = .∵DH∥AB,∴△EDH∽△EFB.

∴ = = .∴ = .∴ = ;

[问题拓展]解:如图2,取BC的中点H,连接DH.

∵D是AC的中点,∴DH∥AB,DH= AB.

(2)求的值.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
挑战高分
基础全练
中考创新练
(1)证明:①∵CD∥AB,∴∠D=∠A,∵∠CFD=∠BFA,∴△ABF∽△DCF;
②∵OB=CO,∴∠OCB=∠ABC=45°,∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°,
∵CD∥AB,∴∠OCD=180°-∠COB=90°,∴CD是☉O的切线;
∵AE=3,EF=2AF=4,∴ME=4,BM=2,BE=3,

专题22图形的相似-2021年中考数学真题分项汇编(原卷版)(第02期)

专题22图形的相似姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·四川内江·中考真题）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，某一高楼的影长为60m ，那么这幢高楼的高度是（） A ．18mB ．20mC ．30mD ．36m2．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，ABC 与111A B C △位似，位似中心是点O ，若1:1:2OA OA =，则ABC 与111A B C △的周长比是（）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．3．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m 时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm ，当测试距离为3m 时，最大的“”字高度为（）mmA ．4.36B ．29.08C ．43.62D ．121.174．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，//AB DC ，AC BC ⊥，5CD AD ==，6AC =，将四边形ABCD 向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是（）A ．11.4B ．11.6C ．12.4D ．12.65．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在ACD △中，6AD =，5BC =，()2AC AB AB BC =+，且DABDCA ，若3AD AP =，点Q 是线段AB 上的动点，则PQ 的最小值是（）A B CD ．856．（2021·四川巴中·中考真题）如图，ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且12AD AE DBEC，下列结论正确的是（）A ．DE ：BC ＝1：2B ．ADE 与ABC 的面积比为1：3 C ．ADE 与ABC 的周长比为1：2D ．DE //BC7．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝2AE ，DF ＝2CF ，点G ，H 分别是AC 的三等分点，则S 四边形EHFG ÷S 菱形ABCD 的值为（）A ．19B ．16C ．13D ．298．（2021·山东滨州·中考真题）在锐角ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向ABC 的外侧作等腰Rt ABM 和等腰Rt ACN ，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，连接MD 、MF 、FE 、FN ．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①MD FE =，①DMF EFN ∠=∠，①FM FN ⊥，①12CEF ABFES S =四边形△，其中结论正确的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．19．（2021·辽宁盘锦·中考真题）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得．设井深为x 尺，所列方程正确的是（）A ．50.455x =+ B ．50.45x = C ．550.4x x =+ D ．550.40.4x -= 10．（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P 是线段AB 上一点（AP ＞BP ），若满足BP APAP AB=，则称点P 是AB 的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x 满足的方程是（）A ．（20﹣x ）2＝20xB ．x 2＝20（20﹣x ）C ．x （20﹣x ）＝202D ．以上都不对11．（2021·西藏·中考真题）如图．在平面直角坐标系中，①AOB 的面积为278，BA 垂直x 轴于点A ，OB 与双曲线y ＝kx相交于点C ，且BC ①OC ＝1①2，则k 的值为（）A ．﹣3B ．﹣94C ．3D ．9212．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，矩形OABC 的面积为36，它的对角线OB 与双曲线y kx=相交于点D ，且OD ：OB ＝2：3，则k 的值为（）A ．12B ．﹣12C ．16D ．﹣1613．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图①，在矩形ABCD 中，H 为CD 边上的一点，点M 从点A 出发沿折线AH HC CB --运动到点B 停止，点N 从点A 出发沿AB 运动到点B 停止，它们的运动速度都是1cm/s ，若点M 、N 同时开始运动，设运动时间为()s t ，AMN 的面积为()2cm S ，已知S 与t 之间函数图象如图①所示，则下列结论正确的是（）①当06t <≤时，AMN 是等边三角形．①在运动过程中，使得ADM △为等腰三角形的点M 一共有3个．①当06t <≤时，2S =．①当9t =ADH ABM ∽．①当99t <<+39S t =-++ A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①14．（2021·湖南湘西·中考真题）已知点(,)M x y 在第一象限，且12x y +=，点(10,0)A 在x 轴上，当OMA ∆为直角三角形时，点M 的坐标为（） A ．(10,2)，(8,4)或(6,6) B ．(8,4)，(9,3)或(5,7) C ．(8,4)，(9,3)或(10,2)D ．(10,2)，(9,3)或(7,5)15．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB CE ∠=︒,是斜边AB 上的中线，过点E 作EF AB⊥交AC 于点F ．若4,BC AEF =△的面积为5，则sin CEF ∠的值为（）A ．35B C ．45D第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题16．（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线BD 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则线段EF 的长为 __．17．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点D ，E 分别在①ABC 的边AC ，AB 上，①ADE ①①ABC ，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，若AM AN＝12，则ADE ABCS S ＝__．18．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，ABC 的顶点B 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，顶点C 在x 轴负半轴上，//AB x 轴，AB ，BC 分别交y 轴于点D ，E ．若32BE CO CE AD ==，13ABCS =，则k =_____．19．（2021·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上，10OA =，点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，将OAD △沿直线OD 折叠后得到'OA D △，若反比例函数()0ky k x=≠的图象经过'A 点，则k的值为_______．20．（2021·山东济南·中考真题）如图，一个由8个正方形组成的“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB 的长为__________．21．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，1AB=，3AD=．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于12EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；①分别以点C，Q为圆心，以大于12CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为______．22．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，ABC 中，3AC =，4BC =，5AB =．四边形ABEF 是正方形，点D 是直线BC 上一点，且1CD =．P 是线段DE 上一点，且23PD DE =．过点P 作直线l 于BC 平行，分别交AB ，AD 于点G ，H ，则GH 的长是__________．23．（2021·山东青岛·中考真题）已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 上一点，连接AE 并延长，交BC 的延长线于点F ，过点D 作DG AF ⊥，交AF 于点H ，交BF 于点G ，N 为EF 的中点，M 为BD 上一动点，分别连接MC ，MN ．若14DCG FCE S S =△△，则MN MC +的最小值为__________．24．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，F 是线段OD 上的动点（点F 不与点O ，D 重合），连接CF ，过点F 作FG CF ⊥分别交AC ，AB 于点H ，G ，连接CG 交BD 于点M ，作//OE CD 交CG 于点E ，EF 交AC 于点N ．有下列结论：①当BG BM =时，AG =；①OH OFOM OC=；①当GM HF=时，2CF CN BC=⋅；①222CN BM DF=+．其中正确的是_______（填序号即可）．25．（2021·四川德阳·中考真题）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB1，则该矩形的周长为__________________．26．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，①MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1①OM交射线ON 于点B1，将①A1OB1沿A1B1折叠得到①A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2①OM交射线ON于点B2，将①A2OB2沿A2B2折叠得到①A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在①MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，A n B n交于点P1，P2，P3，…P n，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，A n＋1B n，交于点Q1，Q2，Q3，…，Q n．若点P1为线段A1B1的中点，OA1A n P n Q n A n＋1的面积为___________________（用含有n的式子表示）．27．（2021·广西百色·中考真题）如图，①ABC中，AB＝AC，①B＝72°，①ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______．28．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，矩形ABCD 中，AD ，点E 在BC 边上，且AE =AD ，DF ①AE 于点F ，连接DE ，BF ，BF 的延长线交DE 于点O ，交CD 于点G ．以下结论：①AF =DC ，①OF ：BF =CE ：CG，①S ①BCG ①DFG ，①图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是____．三、解答题29．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，点M ，N 分别是边BC ，DC 上的点，34BM BC =，34DN DC =．连接AM ，AN ，延长AN 交线段BC 延长线于点E ．（1）求证：ABM AND △≌△；（2）若4=AD ，则ME 的长是__________． 30．（2021·山东日照·中考真题）问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF=_____；①直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______．（2）小王同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE 的面积为______．31．（2021·青海西宁·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB AC =，AD 是O 的直径，交BC 于点E ，过点D 作//DF BC ，交AB 的延长线于点F ，连接BD ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知12AC =，15AF =，求DF 的长．32．（2021·山东青岛·中考真题）已知：如图，在矩形ABCD 和等腰Rt ADE △中，8cm AB =，6cm AD AE ==，90DAE ∠=︒．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动．速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm/s ．过点Q 作//QM BE ，交AD 于点H ，交DE 于点M ，过点Q 作//QN BC ，交CD 于点N ．分别连接PQ ，PM ，设运动时间为()()s 08t t <<．解答下列问题：（1）当PQ BD ⊥时，求t 的值；（2）设五边形PMDNQ 的面积为()2cm S ，求S 与t 之间的函数关系式；（3）当PQ PM =时，求t 的值；（4）若PM 与AD 相交于点W ，分别连接QW 和EW ．在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使AWE QWD ∠=∠若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．33．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直角ABC 的顶点A ，B 在函数()0,0ky k x x=>>图象上，//AC x 轴，线段AB 的垂直平分线交CB 于点M ，交AC 的延长线于点E ，点A 纵坐标为2，点B 横坐标为1，1CE =．（1）求点C 和点E 的坐标及k 的值；（2）连接BE ，求MBE △的面积．34．（2021·山东济南·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 在边BC 上，13BD BC =，将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE ，记旋转角为α，连接BE ，CE ，以CE 为斜边在其一侧制作等腰直角三角形CEF ．连接AF ．（1）如图1，当180α=︒时，请直接写出．．．．线段AF 与线段BE 的数量关系；（2）当0180α︒<<︒时，①如图2，（1）中线段AF 与线段BE 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；①如图3，当B ，E ，F 三点共线时，连接AE ，判断四边形AECF 的形状，并说明理由．35．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，0180BAC αα∠=︒<<︒（），过点A 作射线AM 交射线BC 于点D ，将AM 绕点A 逆时针旋转α得到AN ，过点C 作//CF AM 交直线AN 于点F ，在AM 上取点E ，使AEB ACB ∠=∠．（1）当AM 与线段BC 相交时，①如图1，当60α=︒时，线段AE ，CE 和CF 之间的数量关系为．①如图2，当90α=︒时，写出线段AE ，CE 和CF 之间的数量关系，并说明理由．（2）当4tan 3α=，5AB ＝时，若CDE △是直角三角形，直接写出AF 的长．36．（2021·广西河池·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，4AB =，3AC =，D ，E 分别是AB ，BC 边上的动点，以BD 为直径的O 交BC 于点F ．（1）当AD DF =时，求证：CAD CFD ≅；（2）当CED 是等腰三角形且DEB 是直角三角形时，求AD 的长．37．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数2k y x=的图象在第二象限交于C ，(6,2)D -两点，//DE OC 交x 轴于点E ，若13AD AC =．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）求四边形OCDE 的面积．38．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在Rt ABC 中，AC ＝BC ，①ACB ＝90°，点O 在线段AB 上（点O 不与点A ，B 重合），且OB ＝kOA ，点M 是AC 延长线上的一点，作射线OM ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转90°，交射线CB 于点N ．（1）如图1，当k ＝1时，判断线段OM 与ON 的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当k ＞1时，判断线段OM 与ON 的数量关系（用含k 的式子表示），并证明；（3）点P 在射线BC 上，若①BON ＝15°，PN ＝kAM （k ≠1），且CM AC ，请直接写出NC PC 的值（用含k 的式子表示）．39．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，小华遥控无人机从点A 处飞行到对面大厦MN 的顶端M ，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在点A 测得大厦底部N 的俯角为31°，两楼之间一棵树EF 的顶点E 恰好在视线AN 上，已知树的高度为6米，且12FN FB =，楼AB ，MN ，树EF 均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM 约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86， tan31°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75）40．（2021·辽宁锦州·中考真题）在①ABC 中，AC ＝AB ，①BAC ＝α，D 为线段AB 上的动点，连接DC ，将DC 绕点D 顺时针旋转α得到DE ，连接CE ，BE ．（1）如图1，当＝60°时，求证：①CAD①①CBE；（2）如图2，当tanα＝34时，①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；①若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE＋EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE＋EH的最小值；若不存在，请说明理由．41．（2021·广西桂林·中考真题）如图，四边形ABCD中，①B＝①C＝90°，点E为BC中点，AE①DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的①O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG．（1）求证：①ECD①①ABE；（2）求证：①O与AD相切；（3）若BC＝6，AB＝①O的半径和阴影部分的面积．42．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE①BF 于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH①GP交AB于点H，连接GH．（1）求证：BE＝CF；（2）若AB＝6，BE13=BC，求GH的长．43．（2021·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，60DAB∠=︒，2AB=，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF AE=，且CF、DE相交于点G（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；（2）当2CG=时，求AE的长；（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．44．（2021·江苏南通·中考真题）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设ABEα∠=．（1）求BCF∠的大小（用含α的式子表示）；（2）过点C作CG AF⊥，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（3）将ABE△绕点B顺时针旋转90︒得到CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当BFH△为等腰三角形时，求sinα的值．。

中考数学专题21图形的相似(全国通用原卷版)

图形的相似一．选择题（共24小题）1．（2022•凉山州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE ∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 2．（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（）A．54B．36C．27D．21 3．（2022•云南）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则＝（）A．B．C．D．4．（2022•武威）若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则＝（）A．B．C．D．5．（2022•十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm 6．（2022•台湾）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B＝∠F AC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF 与△ABC的面积比为何？（）A．1：3B．1：4C．2：5D．3：8 7．（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（）A．1B．C．2D．4 8．（2022•孝感）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C 为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1 9．（2022•山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割10．（2022•湘潭）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S △ADE：S△ABC＝（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4 11．（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m 12．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE ∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）A．B．3C．2D．4 14．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4B．6C．2D．3 15．（2022•扬州）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE ∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③16．（2022•泰安）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E 为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1 17．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．18．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE ＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④19．（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（）A．9B．12C．15D．18 20．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（）A．2B．C．D．21．（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（）A．B．1C．D．2 22．（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9 23．（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4B．6C．9D．16 24．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③B．①②③C．②③D．①②④二．填空题（共17小题）25．（2022•宜宾）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝．26．（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件，使△ADE∽△ABC．27．（2022•河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）AE＝．28．（2022•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为．29．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝．30．（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为．31．（2022•陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．32．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝m．33．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有（填结论对应的应号）．34．（2022•娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD 的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈DE．（精确到0.001）35．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B 的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为．36．（2022•湖州）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE ∥BC，＝．若DE＝2，则BC的长是．37．（2022•武威）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为cm．38．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．39．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD ⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是．40．（2022•达州）人们把≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．a＝，b＝，记S1＝+，S2＝+，…，S100＝+，则S1+S2+…+S100＝．41．（2022•成都）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是．三．解答题（共9小题）42．（2022•宜宾）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝，求EC的长．43．（2022•常德）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长．44．（2022•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．45．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB 到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO •FC．（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．46．（2022•孝感）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：＝；应用拓展：（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．47．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．48．（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．（1）若AB＝8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．49．（2022•江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD ＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．50．（2022•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE ＝3，求的值．【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG 平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．。

4.8 图形的位似(分层练习)(解析版)

第四章图形的相似4.8 图形的位似精选练习一、单选题1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系xOy中，矩形EFGO的两边OE，OG在坐标轴上，以y轴上的某一点P为位似中心，作矩形ABCD，使其与矩形EFGO位似，若点B，F的坐标分别为（4，4），（-2，1），则位似中心P的坐标为（）A．（0，1.5）B．（0，2）C．（0，2.5）D．（0，3）故选：B ．【点睛】此题主要考查了位似中心的概念和位似图形的性质等知识，熟练掌握位似中心的概念和位似图形的性质是解题的关键．2．（2022·江苏·西附初中八年级期末）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢是位似图形，点O 是位似中心，点A ¢是线段OA 的中点，那么以下结论正确的是（）A ．四边形ABCD 与四边形ABCD ¢¢¢¢的相似比为1：1B ．四边形ABCD 与四边形A BCD ¢¢¢¢的相似比为1：2C ．四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢的周长比为3：1D ．四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢的面积比为4：1【答案】D【分析】根据题意可判断OA ¢：1OA =：2，即得出A B ¢¢：1AB =：2，从而可判断四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢的相似比为2：1，由相似比即可求出其周长比和面积比，即可选择．【详解】Q 四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢是位似图形，点O 是位似中心，点A ¢是线段OA 的中点，∴OA ¢：1OA =：2，∴A B ¢¢：1AB =：2，\四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢的相似比为2：1，周长的比为2：1，面积比为4：1．故选D ．【点睛】本题考查由位似图形求相似比，周长比和面积比．掌握位似图形的定义和性质是解题关键．3．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）如图，在平面点角坐标系中V AOB 与V COD 是位似图形，以原点O 为位似中心，若2AC OA =，B 点坐标为(4，2)，则点D 的坐标为（）A ．( 8，4)B ．(8，6)C ．(12，4)D ．(12，6)4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为2：3，点A ，B 的对应点分别为点A ′，B ′．若AB ＝6，则A ′B ′的长为（）A ．8B ．9C ．10D ．156AB =Q ，9A B ¢¢\=，故选：B ．【点睛】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比．5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（）A ．（8，2）B ．（9，1）C ．（9，0）D ．（10，0）【答案】C 【分析】延长EB 、DA 交于点P ，根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可．【详解】解：延长EB 、DA 交于点P ，则点P 即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0），故选：C ．【点睛】本题考查的是位似变换的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．6．（2022·山东威海·八年级期末）如图，矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，点P 是位似中心．若点B 的坐标为(2,3)，点E 的横坐标为1-，则点P 的坐标为（）A ．(2,0)-B ．(0,2)-C ．3,02æö-ç÷D ．30,2æö-ç÷二、填空题7．（2022·广东·佛山市三水区三水中学附属初中九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将ABO V 扩大到原来的2倍，得到A B O ¢¢△，若点A 的坐标是()1,2，则点A ¢的坐标是______．【答案】()2,4--【分析】根据以原点O 为位似中心，将ABO V 扩大到原来的2倍，结合图形，可知将对应点的坐标应乘以2-，即可得出点A ¢的坐标．【详解】解：根据以原点O 为位似中心扩大到原来的2倍，A B O ¢¢△在第三象限，即对应点的坐标应乘以2-，∵点A 的坐标是()1,2，∴点A ¢的坐标是()2,4--，故答案为：()2,4--．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k 或k -是解题关键．8．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，ABC V 与△A B C ¢¢¢是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．【答案】（9，0）【分析】根据位似中心的概念解答即可．【详解】解：连接A A ¢和B B ¢并延长相交于点D ，则点D 即为位似中心，作图如下：点D 的坐标为（9，0），即位似中心的坐标为（9，0），故答案为：（9，0）．【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心．9．（2022·甘肃·平凉市第十中学九年级阶段练习）如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形'''A B CD E ，已知10cm OA =，'20cm OA =，则五边形ABCDE 的周长与五边形''''A B CD E 的周长比是______．【答案】1：2【分析】根据已知可得五边形ABCDE 的周长与五边形'''A B CD E 的位似比，然后由相似多边形的性质可证得：五边形ABCDE 的周长与五边形'''A B CD E 的周长比．【详解】Q 以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形'''''A B C D E ，10OA cm =，'20OA cm =，\五边形ABCDE 的周长与五边形'''''A B C D E 的位似比为：10：201=：2，\五边形ABCDE 的周长与五边形'''''A B C D E 的周长比是：1：2．故答案为1:2．【点睛】此题考查了位似图形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题关键．10．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）如图，ABC V 与111A B C △位似，位似中心是点O ，则1:1:2OA OA =，ABC V 的面积为3，则111A B C △的面积是___________．三、解答题11．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣3，2），B （﹣1，3），C （﹣1，1），请按如下要求画图：(1)以坐标原点O 为旋转中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到111A B C △，请画出111A B C △；(2)以坐标原点O 为位似中心，在x 轴下方，画出△ABC 的位似图形222A B C △，使它与△ABC 的位似比为2：1．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可．（1）解：如图，111A B C △即为所求．；（2）解：如图，222A B C △即为所求．【点睛】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．12．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，2），C （3，0）．(1)以原点O 为位似中心，在y 轴的右侧画出将△ABC 放大为原来的2倍得到的△A 1B 1C 1，请写出点B 的对应点B 1的坐标；(2)画出将△ABC 向左平移1个单位，再向上平移2个单位后得到的△A 2B 2C 2，写出点C 的对应点C 2的坐标；(3)请在图中标出△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的位似中心M ，并写出点M 的坐标．【答案】(1)图见解析，（4，4）(2)图见解析，（2，2）(3)图见解析，（﹣2，4）【分析】（1）把A ，B ，C 的横纵坐标都乘以2得到111,,A B C 的坐标，然后描点即可．（2）利用，点平移的坐标特征写出222,,A B C 的坐标，然后描点即可．（3）对应点连线的交点M 即为所求作．（1）如图△A 1B 1C 1即为所求作的三角形，点B 1的坐标（4，4）．（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求作的三角形点C 2的坐标（2，2）．（3）如图所示：点M 即为所求作．M （﹣2，4）．【点睛】本题考查了作图一位似变换:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -，也考查了平移变换．一、填空题1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△AOB 缩小为原来的12，得到△COD ，若点A 的坐标为（4，2），则AC 的中点E 的坐标是 _____．2．（2022·全国·九年级单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A （-4，2），B （-2，-2）．以坐标原点O 为位似中心把△AOB 缩小得到△A 1OB 1，△A 1OB 1与△AOB 的位似比为12，则点A 的对应点A 1的坐标为_______．3．（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点()2,1A -，()3,2B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO V 缩小，则点A 的对应点A ¢的坐标是______．【答案】11,2æö-ç÷或1(1,2-##1(1,)2-或1(1,2-4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，等边ABC V 与等边BDE V 是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A 、B 、D 在x 轴上，若等边BDE V 的边长为12，则点C 的坐标为_________．∵等边△ABC 与等边△BDE 是以原点为位似中心的位似图形，∴BC ∥DE ，∴△OBC ∽△ODE ，∴BC OB DE OD=，∵△ABC 与△BDE 的相似比为13，等边△BDE 5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知ABCD Y 的面积为24，以B 为位似中心，作ABCD Y 的位似图形EBFG Y ，位似图形与原图形的位似比为23，连接AG 、DG ．则ADG V 的面积为________．故答案为：4．【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．二、解答题6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的位似比为1．2【点睛】本题考查了位似的概念．位似比为对应点到位似中心的距离比．解题关键是根据位似比找到对应7．（2022·山东·聊城江北水城旅游度假区北大培文学校九年级阶段练习）已知：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，-3）、B（3，-2）、C（2，-4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC 向上平移6个单位得到的111A B C △；(2)以点C 为位似中心，在网格中画出222A B C △，使222A B C △与△ABC 位似，且222A B C △与△ABC 的位似比为2：1，并直接写出点2C 的坐标．【答案】(1)见解析(2)图见解析，2C 坐标为（2，-4）【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置即可得出答案；（2）直接利用位似图形的性质以C 为位似中心，将边长扩大为原来的2倍即可．（1）如图所示：111A B C △即为所求；（2）如图所示：222A B C △即为所求，2C 坐标为：（2，-4）．【点睛】本题考查了平移的性质，位似的性质，能根据性质的特点进行画图是解此题的关键．8．（2021·黑龙江绥化·期末）按要求完成下面各题：(1)三角形AOB 顶点B 的位置用数对表示是．(2)画出三角形AOB 绕点O 逆时针旋转90°后的图形．(3)按2∶1的比画出三角形AOB 放大后的图形．【答案】(1)（2，4）(2)见详解(3)见详解【分析】（1）根据网格即可得三角形AOB 顶点B 的位置；（2）根据旋转的性质即可画出三角形AOB 绕点O 逆时针旋转90°后的图形；（3）根据2：1的比即可画出三角形AOB 放大后的图形．（1）解：三角形AOB 顶点B 的位置用数对表示是（2，4）；故答案为：（2，4）；（2）如图三角形A OB ¢¢即为所求；（3）²²²即为所求．如图，三角形A O B【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．。

图形的相似图形的位似

2023-11-08contents •图形相似的基本概念•图形相似的判定方法•图形位似的基本概念•图形位似的应用•图形相似与图形位似的异同点•典型例题解析目录01图形相似的基本概念相似图形的定义如果两个图形形状相同，大小不同，且它们对应线段的长度成比例，则称这两个图形相似。

相似图形的判定方法根据相似图形的定义，可以通过比较两个图形对应线段的比例来判断它们是否相似。

相似图形的定义相似图形的性质相似图形具有相同的周长、面积和对应角的大小。

相似图形的对应线段相似图形的对应线段成比例，对应角的大小相等。

相似图形的性质根据相似图形的定义，可以将相似图形分为位似图形和非位似图形。

相似图形的分类位似图形的定义位似图形的性质如果两个图形不仅相似，而且对应线段所在的直线交于一点，则称这两个图形位似。

位似图形具有相同的周长、面积和对应角的大小，且对应线段所在的直线交于一点。

03相似图形的分类020102图形相似的判定方法通过定义直接判定定义如果两个图形的形状相同，大小可以不同，则这两个图形是相似图形。

判定方法直接观察两个图形的形状是否相同。

如果两个三角形对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形是相似三角形。

定义测量两个三角形对应角的大小和对应边的长度，判断它们是否满足对应角相等和对应边成比例的条件。

判定方法通过测量相似三角形的角度和边长判定矩阵变换和线性变换是图形变换的两种方式，通过这些变换可以将一个图形变为另一个图形。

判定方法通过矩阵变换和线性变换将一个图形变为另一个图形，判断它们是否满足相似图形的定义。

定义通过矩阵变换和线性变换判定VS03图形位似的基本概念位似是图形相似的一种特殊形式，是指两个图形在位似变换下保持相似。

位似变换是指将一个图形沿着某个方向拉伸或压缩，而保持其形状不变的变换。

位似的分类根据变换的方向和方式，位似可以分为单向位似和双向位似。

根据图形是否在平面上，位似可以分为平面位似和空间位似。

单向位似是指沿着某个方向进行拉伸或压缩变换，而双向位似是指在两个方向上进行拉伸或压缩变换。

4.7 图形的位似(9大题型)(分层练习)(原卷版)

第4章相似三角形4.7 图形的位似（9大题型）分层练习考查题型一位似图形的识别1．（2022秋·九年级单元测试）如图，下面三组图形中，位似图形有（）A．0组B．1组C．2组D．3组2．（2023·河北廊坊·校考三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对3．（2022春·全国·九年级专题练习）位似图形的性质（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于（2）位似图形相似图形，但相似图形4．（2020秋·安徽滁州·九年级校联考阶段练习）在如图所示的网格中，以点的位似图形，小明认为四边形边形NPMQ，你认为正确的是A．2、点P B2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，A．点M B．点3．（2023秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为4．（2022春·九年级课时练习）如图，在正方形()1,1--，则两个正方形的位似中心的坐标是(1)在图中标出ABC V 与111A B C △的位似中心点M 的位置，并直接写出点(2)若以点O 为位似中心，请你帮小明在图中画出△似比为2（只画出一个三角形即可）．考查题型三位似图形相关概念辨析1．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，ABC V 与DEF V 位似，点O 为位似中心，位似比为2:3，若DEF V 的周长为6，则ABC V 的周长是（）A．16B．2．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；4．（2023秋·九年级课时练习）如图，点=；ABCÐ=，Ð5．（2022春·九年级单元测试）如图，在68´的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O 和ABC V 的顶点均为小正方形的顶点．(1)在图中ABC V 的内部作A B C ¢¢¢V ，使A B C ¢¢¢V 和ABC V 位似，且位似中心为点O ，位似比为1:2；(2)连接（1）中的AA ¢，则线段AA ¢的长度是________．A ．1:2B ．2:12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形形，若四边形ABCD 与四边形A ．23：B ．49：C ．3．（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）面积为1，DEF V 面积为9，则OC CF 的值为4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）四边形1111D C B A 是位似图形，点A 与点么AB A B = ．(1)在图中画出ABC V 沿x 轴翻折后的11A B C △(2)以点()1,2M 为位似中心，作出111A B C △按(3)求点2A 的坐标以及ABC V 与222A B C △的周长比．考查题型五画已知图形放大或缩小n 倍后的位似图形1．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）以O 为位似中心，画出一个矩形，使得所画的矩形与矩形ABCD 位似，且位似比为1:2，则所画的矩形可以是（）A ．①B ．②C ．③D ．④A．P点B．Q点3．（2022春·九年级课前预习）总结画位似图形的一般步骤：（1）确定；（2）分别连接并延长和能代表原图的关键点；（3）根据，确定能代表所作的位似图形的关键点；（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．4．（2022春·九年级课前预习）把图中的四边形分析：把原图形缩小到原来的似中心的距离之比为作法：5．（2022秋·四川成都·九年级川大附中校考期中）在正方形网格中，OBC △的顶点分别为()00O ，，()31B -，，()21C ，．(1)以点()00O ，为位似中心，以位似比21：在位似中心的异侧将OBC △放大为OB C ¢¢△，放大后点B ，C 两点的对应点分别为B ¢，C ¢，请画出OB C ¢¢△；(2)在（1）中，若点()M a b ，为线段BC 上任一点，直接写出变化后点M 的对应点M ¢的坐标．（用含a ，b 的代数式表示）A．62．（2022秋·安徽合肥为位似中心，把△A．(9,6)B．3．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，()A-，OAB4,2V与OCDV4．（2023秋·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，位似中心的位似图形，点A、5,6，则点A点A的坐标为()5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为面直角坐标系后，ABC V 的顶点均在格点上，点C 的坐标为()41-,．(1)以O 为位似中心在第二象限作位似比为1:2变换，得到对应的111A B C △，画出111A B C △，并写出1C 的坐标；(2)以原点O 为旋转中心，画出把ABC V 顺时针旋转90°的图形222A B C △，并写出2C 的坐标．A ．2B ．33．（2022春·八年级单元测试）如图，四边形6,4,3OC CC AB ¢===，则A B ¢¢=4．（2023·山西运城·统考一模）在平面直角坐标系中，的坐标分别为()1,3-，()3,9-，则ABC V 5．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）A ．DEF VB ．DHF △2．（2023春·河北邯郸·九年级校考开学考试）在如图所示正方形网格图中，以大为原来的2倍，则A 的对应点为（A ．N 点B ．M 点3．（2023春·九年级单元测试）已知方形网格中，每个小正方形的边长是与ABC V 位似，且111A B C △与ABC V5．（2022春·湖南郴州·九年级校考开学考试）如图，平面直角坐标系中，点上．(1)以O 点为位似中心，位似比为2，将ABC V (2)若ABC V ，111A B C △的面积为S 、1S ，写出考查题型九在坐标系中画位似中心1．（2023春·云南昭通·九年级统考期中）如图，在直角坐标系中，ABC V 与ODE V 是位似图形，已知点()2,1A ，则位似中心的坐标是（）A ．()1,5B ．()4,22．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点ABC DEF V V 、成位似关系，则位似中心的坐标为（A ．()1,0-B ．()0,03．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，则位似中心的坐标是．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，分别为()()()104132-，，，，，．1A △(1)请画出点P 的位置，并写出点P 的坐标(2)以点O 为位似中心，在y 轴左侧画出V 内一点，则点M 在222A B C △内的对应点的坐标为1,2BA．()2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，四边形OE2A．4B．163．（2023秋·山东聊城·九年级校考开学考试）如图，在边长为V的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点标系，ABC相似比为2，则点B的对应点1B的坐标是（42，B．A．()4．（2023·山东日照·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，()-，，点C坐标为()20-，10A ．()3,2-B ．5．（2021春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）COD △的相似比是31：，且点A ．()2,4B ．7．（2023秋·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）将函数的新函数记作()g x ，我们称()f x 与(g x 8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，是位似中心，已知点()2,0A ，点(),C a b ，式子表示）9．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，ABO V 中心，将ABO V 缩小为原来的13，得到A B O ¢¢△10．（2022秋·湖南长沙位似比是1:3，已知11．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）如图，()2,4C -，请你画出以坐标原点并直接写出A 、B 的对应点的坐标．12．（2022秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，()()()0,02,11,2O A B -、、．(1)以原点O 为位似中心，在图中画出OAB V 的位似11OA B V ，使得点AB 、的对应点11A B 、均在y 轴的右侧，且11OA B V 与OAB V 的相似比为2:1；(2)在（1）的条件下，写出点1A 的坐标．13．（2023秋·山东临沂·七年级统考开学考试）（1）用数对分别表示出梯形四个顶点的位置：A （）B （）C （）D （）（2）把图中的梯形绕B 点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．（3）将原梯形按2:1放大，画出放大后的图形．14．（2023春·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC V 的三个顶点坐标分别为()1,4A ，()1,1B ，()3,1C ．(1)画出ABC V ，再画出ABC V 关于x 轴对称的111A B C △；(2)画出ABC V 以点O 为位似中心扩大2倍后的图形222A B C △．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知()0,2A -，()2,1B -，()3,2C ．(1)求线段AB 的长；(2)把A 、B 、C 三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到A ¢，B ¢，C ¢的坐标，画出A B C ¢¢¢V ，并求A B ¢¢的长；(3)ABC V 与A B C ¢¢¢V 是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比．。

图形的位似(五大类型)(题型专练)(原卷版)

专题04 图形的位似（五大类型）【题型1位似图形性质】【题型2 位似图形的点坐标】【题型3 判定位似中心】【题型4 位似图形-作图】【题型5 平移、轴对称、旋转和位似综合】【题型1位似图形性质】1．（2023春•乳山市期末）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝3，AC＝5，则＝（）A．B．C．D．2．（2023•开州区校级模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，且OD＝2AD，则S△ABC ：S△DEF＝（）A．3：2B．9：4C．9：1D．4：1 3．（2023•衡南县三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则（）A．B．C．D．4．（2023•宿豫区三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为（）A．12B．16C．21D．49 5．（2023•大理州模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积是（）A．6B．9C．12D．16 6．（2023春•石景山区期中）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的面积是100，则四边形EFGH 的面积是（）A．4B．16C．36D．7．（2023•汇川区模拟）如图，△ABC和△DEF是位似三角形，点O是位似中心，且AC＝9，DF＝3，OA＝6，则OD＝（）A．2B．4C．6D．8 8．（2023春•太仓市期末）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD 的面积比是（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9 9．（2023•岳麓区校级模拟）如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．若AD＝3OA，△ABC的周长为5，则△DEF的周长为（）A．10B．15C．25D．125【题型2 位似图形的点坐标】9．（2022秋•江北区校级期末）如图，在平面直角坐标系中△ABC与△A'B'C'位似，且原点O为位似中心，其位似比1：2，若点B（﹣2，﹣1），则其对应点B'的坐标为（）A．（2，4）B．（4，2）C．（2，1）D．（1，2）10．（2023•舟山三模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）11．（2023•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（2，0），已知△OA'B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA'B′的面积是△OAB面积的4倍，则点A对应点A′的坐标为（）A．B．或C．D．或12．（2023春•岱岳区期末）如图，△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，已知A（﹣4，2），△OAB与△OCD的相似比为2：1，则点C的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，2）13．（2023春•肥城市期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P 是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．D．14．（2023春•长寿区校级期中）如图，线段AB两个端点坐标分别为A（6，9），B（9，3），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后，得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，﹣1 ）D．（﹣2，﹣1）15．（2023•杜集区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'与△ABC 位似，位似中心为原点O，已知点A（﹣1，﹣1），C（﹣4，﹣1），A'C'＝6，则点C'的坐标为（）A．（2，2）B．（4，2）C．（6，2）D．（8，2）【题型3 判定位似中心】16．（2022秋•泉州期末）如图，在8×8网格中，△ABC和△A'B'C'位似，则位似中心为（）A．点O B．点P C．点Q D．点R 17．（2023•长安区模拟）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D 18．（2022秋•青县期末）如图中的两个三角形是位似图形，点M的坐标为（3，2），则它们位似中心的坐标是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，﹣1）D．（2，3 ）19．（2023春•烟台期末）如图，点A的坐标为（﹣3，1），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（0，﹣1）．（1）求出△ABC的面积；（2）请以点O为位似中心作一个与△ABC位似的△A1B1C1，使得△A1B1C1的面积为18．20．（2022秋•未央区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点都在正方形网格顶点上．以原点O为位似中心，相似比为1：2，在y轴的右侧，画出将△ABO放大后得到的△A1B1O．【题型4 位似图形-作图】21．（2023春•福山区期末）已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使相似比为1：1，若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为．【题型5 平移、轴对称、旋转和位似综合】22．（2023•碑林区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点均在网格格点上，且点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以原点O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1（点A、B的对应点分别为A1，B1）使△OA1B1与△OAB的相似比为2：1；（2）在（1）的条件下，计算△OA1B1的面积为．23．（2023•南山区校级一模）在平面直角坐标系内，△ABC的位置如图所示．（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，作出△A1B1C1．（2）以原点O为位似中心，在第四象限内作出△ABC的位似图形△A2B2C2，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1．24．（2023春•荣成市期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为（1，0）．（1）将△ABC向左平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△A1B1C1放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到△A2B2C2，在所给的方格纸中画出△A2B2C2；（3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是．25．（2023•碑林区校级模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．（1）请在网格中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．（3）①点B1的坐标为；②求△A2B2C2的面积．26．（2022秋•青羊区期中）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1；（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2：1；（3）求出△OA2B2的面积．。

图形的位似(能力提升)(原卷版)

专题4.3 图形的位似（能力提升）（原卷版）一、选择题。

1．（2021秋•石鼓区期末）如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（）A．3B．4C．6D．9 2．（2021•大渡口区自主招生）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为（）A．（2，5）B．（2.5，5）C．（3，5）D．（3，6）3．（2021•滦州市一模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C'．以下说法中错误的是（）A．△ABC∽△A'B'C'B．点C，O，C'三点在同一条直线上C．AO：AA'＝1：2D．AB∥A'B'4．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ADE是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点A在x轴上，若点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（2，1），则点D的坐标是（）A．（2，1）B．（2，2）C．（3，2）D．（3，3）5．（2022•南浔区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），若△ABC与△DEF是位似图形，则的值是（）A．B．C．D．6．（2021秋•宝安区校级期中）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC 的面积与△DEF面积之比为16：9，则CO：CF的值为（）A．3：4B．4：7C．4：3D．7：4 7．（2021•南山区校级二模）已知△ABC与△A1B1C1是以原点为中心的位似图形，且A（3，1），△ABC与△A1B1C1的相似比为，则A的对应点A1的坐标是（）A．（6，2）B．（﹣6，﹣2）C．（6，2）或（﹣6，﹣2）D．（2，6）8．（2021•昌平区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD和正方形BEFG 是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比是，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则点C的坐标为（）A．（6，2）B．（6，4）C．（4，4）D．（8，4）9．（2022春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD的面积比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9 10．（2021秋•西峡县期中）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，若OA：AA′＝2：1，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积之比等于（）A．1：2B．1：4C．2：3D．4：9二、填空题。

第28讲概率小题(原卷版)

第28讲概率小题一．选择题（共38小题）1．（2020秋•哈尔滨期末）抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么4X=表示的基本事件是() A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点2．（2020春•丰台区校级月考）抛掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么4ξ=表示的随机试验结果是( )A．2颗都是4点B．1颗是1点，另1颗是3点C．2颗都是2点D．1颗是1点、另1颗是3点，或2颗都是2点3．（2020春•金凤区校级期中）下列事件中是随机事件的个数有()①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90C︒会沸腾．A．1B．2C．3D．44．（2019秋•大连期末）关于频率和概率，下列说法正确的是()①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为23；②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次．A．②④B．①④C．①②D．②③5．（2020秋•海淀区校级月考）在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指()A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水D．明天该地区降水的可能性为85%6．（2020春•乐山期中）下列说法正确的是()A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是12，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况B．某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，这说明明天本地有80%的区域下雨C．概率是客观存在的，与试验次数无关D．若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖7．（2020秋•成都期末）袋中装有大小和材质均相同的红球4个，黄球2个，白球1个，从中随机取出一个球，记事件A为“取出的是红球”，事件B为“取出的是黄球”，则下列关于事件A和事件B的关系说法正确的是()A．不互斥但对立B．不互斥也不对立C．互斥且对立D．互斥但不对立8．（2020秋•丰台区期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为()A．互斥B．相互对立C．相互独立D．相等9．（2020秋•沈阳期末）从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是()A．“至少一个白球”和“都是红球”B．“至少一个白球”和“至少一个红球”C．“恰有一个白球”和“恰有一个红球”D．“恰有一个白球”和“都是红球”10．（2020秋•武汉期末）同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是()A．78B．58C．38D．1811．（2020秋•涪城区校级期中）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1344石，验得米内夹谷．抽样取米一把，数得120粒内夹谷15粒，则估计这批米内夹谷为() A．133石B．168石C．337石D．134412．（2020春•孝义市期末）某校3名教师和5名学生共8人去北京参加学习方法研讨会，需乘坐两辆车，每车坐4人，则恰有两名教师在同一车上的概率()A．13B．37C．67D．5613．（2020秋•芜湖期末）甲、乙两名党员报名参加进社区服务活动，他们分别从“帮扶困难家庭”、“关怀老人”、“参加社区义务劳动”、“宣传科学文化法律知识”这四个项目中随机选一项目报名，则这两名党员所报项目不同的概率为()A．14B．13C．23D．3414．（2020秋•平谷区期末）甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响．已知甲同学通过第一项考核的概率是45，通过第二项考核的概率是12；乙同学拿到该技能证书的概率是13，那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是()A．1315B．1115C．23D．3515．（2020秋•岳麓区校级期末）围棋起源于中国据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为()A．19B．827C．1627D．178116．（2020秋•大兴区期末）某班级举办投篮比赛，每人投篮两次．若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为()A．0.24B．0.36C．0.6D．0.8417．（2021•五模拟）投篮测试中，每人投5次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学未通过测试的概率为() A．0.00672B．0.00096C．0.00064D．0.0003218．（2021•十二模拟）大型场景式读书节目《一本好书》的热播，激起了某校同学的阅读兴趣，该校甲，乙两位同学决定利用3天假期到图书馆阅读图书，若甲，乙两位同学每天去图书馆的概率分别为23，12，且甲，乙两位同学每天是否去图书馆相互独立，那么在这3天假期中，恰有2天甲、乙两位同学都去了图书馆的概率为()A．23B．13C．49D．2919．（2020秋•安徽期末）某高中高二年级组织开展了“劳动美”社会实践活动，倡导学生回家帮父母做家务，体验父母的艰辛．某同学要在周一至周五任选两天做家务，则该同学连续两天做家务的概率为()A．710B．35C．12D．2520．（2020秋•淄博期末）2020年10月26日至29日，中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议在北京举行，审议通过了《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二O三五年远景目标的建议》．某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校十九届五中全会精神宣讲团，则选中的2人恰好都是女生的概率为()A．0.2B．0.3C．0.4D．0.521．（2020秋•潍坊期末）“养国子以道，乃教之六艺”出自《周礼保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是我国周朝时期贵族教育体系中要求学生必需掌握的六种基本才能．某班甲、乙两名同学分别选取其中的四艺进行学习，若“礼”“数”必选，其余两艺随机选择，那么这两名同学都未选到“御”的概率为()A．14B．34C．59D．4522．（2020秋•海淀区期末）从数字2，3，4，6中随机取两个不同的数，分别记为x和y，则xy为整数的概率是()A．16B．14C．12D．71223．（2021•十八模拟）连续抛掷一枚硬币4次，落地后第2次和第4次恰好都是正面向上的概率是()A．14B．34C．35D．2524．（2021•三模拟）河图洛书是远古时代流传下来的两幅神秘图案，起源于天上星宿，蕴含着深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，历来被认为是中华文明的源头．河图上，排列成数阵的黑点和白点，蕴藏着无穷的奥秘；洛书上，纵、横、斜三条线上的三个数字，其和皆等于15（如图）．现从1到9这9个数中任取三个数，则三个数之和为15的概率为()A ．114B ．142C ．221D ．32825．（2020秋•香坊区校级期末）已知袋中装有2个红球和2个白球，随机抽取2个球，则2球都是红球的概率为( )A ．23B ．16C ．13D ．82126．（2018春•新乡期末）向边长为1的正方形ABCD 内随机投入n 粒芝麻，假定这些芝麻全部均匀地落入该正方形中，发现有m 粒芝麻离点A 的距离不大于1，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．2n mB ．4m nC ．3m nD ．2m n27．（2020•咸阳模拟）边长为m 的正方形内有一个半径为()2m n n <的圆，向正方形中随机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为12，则圆周率π的值为( ) A ．2m n B ．222m n C ．2n m D ．222n m 28．（2020秋•广安期末）五铢钱是一种中国古铜币，奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统，这种钱币外圆内方，象征着天地乾坤．如图是一枚西汉五铢钱币，其直径为2.5厘米．现向该钱币上随机投掷一点，若该点落在方孔内的概率为1625π，则该五铢钱的穿宽（即方孔边长）为( )A ．0.8厘米B ．1厘米C ．1.1厘米D ．1.2厘米29．（2020秋•太原期末）在边长为4的正方形ABCD 内部任取一点P ，则满足APB ∠为钝角的概率为( )A ．4πB ．14π- C ．8π D ．18π-30．（2020秋•成都期末）把点M 随机投入长为5，宽为4的矩形ABCD 内，则点M 与矩形ABCD 四边的距离均不小于1的概率为( )A ．310B ．25C ．35D ．4531．（2020秋•农安县期末）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达时间是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A．34B．34C．12D．1332．（2019秋•广安期末）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美，按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆22:24O x y+=被一条关于原点对称的曲线分割为两个鱼形图案（如图），其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A．136B．118C．112D．1933．（2020秋•阳泉期末）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为60秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待25秒才出现绿灯的概率为()A．512B．58C．712D．7834．（2020秋•抚州期末）2020年国庆期间，小董与小方计划一起去旅游，她们决定从云南的昆明、大理、丽江以及广西的桂林、北海这五个城市中选取两个去旅游，则她们去了两个省旅游的概率为()A．25B．12C．35D．71035．（2021•山东模拟）小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是()A．0.8B．0.4C．0.2D．0.536．（2021•四模拟）某种灯泡的使用寿命为2000小时的概率为0.85，超过2500小时的概率为0.35，若某个灯泡已经使用了2000小时，那么它能使用超过2500小时的概率为()A．1720B．717C．720D．31737．（2020秋•新余期末）将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率(|)P A B等于()A．1011B．511C．518D．53638．（2020•天河区二模）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为()A．13B．25C．23D．45二．填空题（共6小题）39．（2020秋•榆林期末）某商店的有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为．40．（2020秋•广安期末）口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是．41．（2020秋•云南期末）同时掷两粒骰子，则点数之和为7的概率是．（结果用分数表示）42．（2020秋•天津期末）一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是．43．（2017春•回民区校级期中）在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则(4)P X==．（用数字表示）44．（2016春•晋江市校级期末）有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为．。

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