2008年考研数学一真题及答案详解

a x 2
n 0 n

n
在 x 0 处 收 敛 , 在 x 4 处 发 散 , 则 幂 级 数
a x 3
n 0 n
n
的收敛域为 .
(12) 设 曲 面 是 z
4 x2 y 2 的 上 侧 , 则
xydydz xdzdx x dxdy
y
x z A y 1 在正交变换 z
】
下的标准方程的图形如图，则 A 的正特征值个数为【
(A) 0. 【答案】 应选(B).
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
x2 y2 z 2 1． 故 a2 c2
【详解】 此二次曲面为旋转双叶双曲面， 此曲面的标准方程为
, xn , B 1, 0,
T
, 0 ,
(1)求证 A n 1 a .
n
(2) a 为何值,方程组有唯一解,求 x1 . (3) a 为何值,方程组有无穷多解,求通解. (22)(本题满分 11 分)
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设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 的概率分布为 P X i 密度为 fY y
3 (5)设 A 为 n 阶非零矩阵, E 为 n 阶单位矩阵. 若 A 0 ,则
(A) E A 不可逆, E A 不可逆 (C) E A 可逆, E A 可逆 (6)设 A 为 3 阶实对称矩阵,如果二次曲面方程
(B) E A 不可逆, E A 可逆 (D) E A 可逆, E A 不可逆
2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷
一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数 f ( x) (A)0 (C)2 (2)函数 f ( x, y ) arctan (A) i (C) j


三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 10 分) 求极限 lim
sin x sin sin x sin x . x 0 x4
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(16)(本题满分 10 分) 计算曲线积分
(18)(本题满分 10 分) 设 f x 是连续函数, (1)利用定义证明函数 F x
f t dt 可导,且 F x f x .
0
x
(2)当 f x 是以 2 为周期的周期函数时,证明函数 G x 2 以 2 为周期的周期函数. (19)(本题满分 10 分)
2
x
2
(B) F x F y (D) 1 F x 1 F y
(C) 1 1 F x
(8)设随机变量 X ~ N 0,1 , Y ~ N 1, 4 且相关系数 (A) P Y 2 X 1 1 (C) P Y 2 X 1 1
XY 1 ,则
(B) P Y 2 X 1 1 (D) P Y 2 X 1 1
二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程 xy y 0 满足条件 y 1 1 的解是 y . (10)曲线 sin xy ln y x x 在点 0,1 处的切线方程为 . (11) 已 知 幂 级 数
A 的正特征值个数为 1．故应选(B).
(0,1)
f y
0 ，于是 gradf ( x, y) (0,1) i .故应选(A).
(0,1)
（3）在下列微分方程中，以 y C1e x C2 cos 2 x C3 sin 2 x （ C1 , C2 , C3 为任意的 常数）为通解的是【 (A) (C) 】 (B) y y 4 y 4 y 0 . (D) y y 4 y 4 y 0 .
4 x2 0， 恒大于零， 所以 f ( x) 在 (, ) 上是单调 2 x2
递增的．又因为 f (0) 0 ，根据其单调性可知， f ( x) 至多有一个零点． 故 f ( x) 有且只有一个零点．故应选(B).
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（2）函数 f ( x, y ) arctan (A)
1 i 1, 0,1 , Y 的概率 3
1 0 y 1 ,记 Z X Y , 0 其它
1 X 0 . 2
(1)求 P Z

(2)求 Z 的概率密度. (23)(本题满分 11 分) 设 X1 , X 2 , 记X
, X n 是总体为 N ( , 2 ) 的简单随机样本.
( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 2 4)
3 4 2 4 3 2 4 4
所以所求微分方程为 y y 4 y 4 y 0 ．应选(D). （4） 设函数 f ( x) 在 (, ) 内单调有界， 下列命题正确的是 【 {xn } 为数列， (A) 若 {xn } 收敛，则 { f ( xn )} 收敛 敛 (C) 若 { f ( xn )} 收敛，则 {xn } 收敛. (D) 若 { f ( xn )} 单调，则 {xn } 收 敛 .
2
.
(13)设 A 为 2 阶矩阵, α1 , α 2 为线性无关的 2 维列向量, Aα1 0, Aα 2 2α1 α2 ,则 A 的非零特征值为 . (14)设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P X EX 2 .
(B) E A 不可逆， 则E A可 (D) E A 可逆， 则 E A 不可
( E A)( E A A2 ) E A3 E ， ( E A)( E A A2 ) E A3 E ．
故 E A ， E A 均可逆．故应选(C). （6）设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 x
0 x2
】
(A) 0. (B) 1. 【答案】应选(B).
(C) 2.
(D) 3．
【详解】 f ( x) ln(2 x2 ) 2 x 2 x ln(2 x 2 ) ． 显然 f ( x) 在区间 (, ) 上连续， 且 f (1) f (1) (2ln 3) (2ln 3) 0 ， 由 零点定理，知 f ( x) 至少有一个零点． 又 f ( x) 2 ln(2 x 2 )
i
x 在点(0,1)处的梯度等于【 y
】
(B) i .
(C)
j.
(D) j .
【答案】 应选(A).
1 x 2 f f x y y y 【详解】因为 ． ． 2 2 2 2 2 x x y x x y2 x y 1 2 1 2 y y
所以
f x
1，
1 n 1 n 1 2 , S ( X i X )2 , T X 2 S 2 X i n n 1 i 1 n i 1
(1)证明 T 是
2 的无偏估计量.
(2)当 0, 1 时 ,求 DT .
2008 年考研数学一试题分析、详解和评注
一、 选择题： (本题共 8 小题， 每小题 4 分， 共 32 分. 每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数 f ( x) ln(2 t )dt ，则 f ( x) 的零点个数为【
y y 4 y 4 y 0 . y y 4 y 4 y 0 .
【答案】 应选(D). 【详解】由 y C1e x C2 cos 2 x C3 sin 2 x ，可知其特征根为
1 1 ， 2,3 2 i ，故对应的特征值方程为
(4)设函数 f ( x) 在 (, ) 内单调有界, xn 为数列,下列命题正确的是 (A)若 xn 收敛,则 f ( xn ) 收敛 (C)若 f ( xn ) 收敛,则 xn 收敛 (B)若 xn 单调,则 f ( xn ) 收敛 (D)若 f ( xn ) 单调,则 xn 收敛
x ( x, y, z ) A y 1 在正交变换下的标准方程的图形 z
如图,则 A 的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2
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(D)3 (7)设随机变量 X , Y 独立同分布且 X 分布函数为 F x ,则 Z max X , Y 分布函数 为 (A) F
第，则 { f ( xn )} 收
【答案】 应选(B). 【详解】若 {xn } 单调，则由函数 f ( x) 在 (, ) 内单调有界知，若 { f ( xn )} 单调 有界，因此若 { f ( xn )} 收敛．故应选(B). （5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵．若 A3 0 ，则【 则下列结论正确的是： (A) E A 不可逆， 则 E A 不可逆. 逆. (C) E A 可逆， 则 E A 可逆. 逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C). 】

x
0
f (t )dt x f (t )dt 也是
0
2
f x 1 x (0 x ) ,用余弦级数展开,并求
2
n 1

1
n2
n 1
的和.
(20)(本题满分 11 分)
A ααT ββT , α T 为 α 的转置, βT 为 β 的转置.证明:
(1) r ( A) 2 . (2)若 α, β 线性相关,则 r ( A) 2 . (21)(本题满分 11 分)
2a 1 2 a 2a 设 矩 阵 A a2
, 现 矩 阵 A 满 足 方 程 AX B , 其 中 1 2 a n n
X x1 ,
sin 2 xdx 2 x
L
2
1 ydy , 其中 L 是曲线 y sin x 上从点 0, 0 到点
, 0 的一段.
(17)(本题满分 10 分)
x2 y 2 2z 2 0 已知曲线 C : ,求曲线 C 距离 XOY 面最远的点和最近的点. x y 3 z 5

x2
0
ln(2 t )dt 则 f ( x) 的零点个数
(B)1 (D)3
x 在点 (0,1) 处的梯度等于 y
(B)- i (D) j
(3)在下列微分方程中 ,以 y C1e x C2 cos 2 x C3 sin 2 x ( C1 , C2 , C3 为任意常数)为通 解的是 (A) y y 4 y 4 y 0 (C) y y 4 y 4 y 0 (B) y y 4 y 4 y 0 (D) y y 4 y 4 y 0