极坐标与参数方程基本题型-2018年高考一轮复习资料:四种基本题型
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极坐标与参数方程高考高频题型
除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外,还涉及
(一)有关圆的题型
题型一:圆与直线的位置关系(圆与直线的交点个数问题)----利用圆心到直线的距离与半径比较
相离,无交点;:r d > 个交点;相切,1:r d = 个交点;相交,2:r d < 用圆心(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离2
2
00B
A C By Ax d +++=
,算出d ,在与半径比较。
题型二:圆上的点到直线的最值问题(不求该点坐标,如果求该点坐标请参照距离最值求法) 思路:第一步:利用圆心(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离2
2
00B
A C By Ax d +++=
第二步:判断直线与圆的位置关系
第三步:相离:代入公式:r d d +=max ,r d d -=min 相切、相交:r d d +=max min 0d =
题型三:直线与圆的弦长问题
弦长公式222d r l -=,d 是圆心到直线的距离
延伸:直线与圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线、抛物线)的弦长问题 (弦长:直线与曲线相交两点,这两点之间的距离就是弦长) 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”
(二)距离的最值: ---用“参数法”
1.曲线上的点到直线距离的最值问题
2.点与点的最值问题
“参数法”:设点---套公式--三角辅助角
①设点: 设点的坐标,点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式:利用点到线的距离公式
③辅助角:利用三角函数辅助角公式进行化一
例如:【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中,曲线的参数方程为,
以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
(I )写出的普通方程和的直角坐标方程;
(II )设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标
的直角坐标方程为.
这里没有加减移项省去,直接化同,那系数除到左边
(Ⅱ)由题意,可设点的直角坐标为 因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值,
.
(欧萌说:利用点到直接的距离列式子,然后就是三角函数的辅助公式进行化一)
当时)(
13sin =+π
α即当时,的直角坐标为.
xOy 1C ()sin x y ααα⎧=⎪
⎨
=⎪⎩
为参数x 2C sin()4
ρθπ+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α()sin()2|3d π
αα=
=+-2()6
k k Z παπ=+∈()d αP 31
(,)22
(三)直线参数方程的几何意义
1.经过点P (x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数)
t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα
若A ,B 为直线l 上两点,其对应的参数分别为t 1,t 2,线段AB 的中点为M ,点M 所对应的参数为t 0,则以下结论在解题中经常用到: (1)t 0=
t 1+t 2
2
;
(2)|PM |=|t 0|=
t 1+t 2
2
;
(3)|AB |=|t 2-t 1|; (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|
(5)⎪⎩⎪⎨
⎧>+<-+=-=+=+0,0
,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当
(注:记住常见的形式,P 是定点,A 、B 是直线与曲线的交点,P 、A 、B 三点在直线上)
【特别提醒】直线的参数方程中,参数t 的系数的平方和为1时,t 才有几何意义且其几何意义为:|t |是直线上任一点M (x ,y )到M 0(x 0,y 0)的距离,即|M 0M |=|t |. 直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为12,t t ,则弦长12l t t =-; 2.解题思路
第一步:曲线化成普通方程,直线化成参数方程
第二步:将直线的参数方程代入曲线的普通方程,整理成关于t 的一元二次方程:02=++c bt at
第三步:韦达定理:a c
t t a b t t =
-=+2121,
第四步:选择公式代入计算。
例如:已知直线l :⎩
⎪⎨
⎪⎧
x =5+32
t ,y =3+1
2t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ.
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点M 的直角坐标为(5,3),直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求|MA |·|MB |的值. 解 (1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.①
将ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0.② (2)将⎩
⎪⎨
⎪⎧
x =5+32
t ,y =3+1
2t 代入②式,得t 2+53t +18=0.
设这个方程的两个实根分别为t 1,t 2,则由参数t 的几何意义即知,|MA |·|MB |=|t 1t 2|=18.
(四)一直线与两曲线分别相交,求交点间的距离
思路:一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标,利用极径相减即可。 例如:(2016•福建模拟)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为
(其中α为参
数),曲线C 2:(x ﹣1)2+y 2=1,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程; (Ⅱ)若射线θ=
(ρ>0)与曲线C 1,C 2分别交于A ,B 两点,求|AB|.
解:(Ⅰ)∵曲线C 1的参数方程为(其中α为参数),
∴曲线C 1的普通方程为x 2+(y ﹣2)2=7. ∵曲线C 2:(x ﹣1)2+y 2=1,
∴把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x ﹣1)2+y 2=1,
得到曲线C 2的极坐标方程(ρcos θ﹣1)2+(ρsin θ)2=1, 化简,得ρ=2cos θ. (Ⅱ)依题意设A (
),B (
),
∵曲线C 1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ﹣3=0,