极坐标与参数方程基本题型-2018年高考一轮复习资料：四种基本题型
2018年高考数学分类汇编：极坐标与参数方程
《2018年高考数学分类汇编》：极坐标与参数方程一、填空题 1.【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin a(a 0)与圆=2cos 相切，贝y a= ___________ rx 1 —t, 2.【2018天津卷12】)已知圆x2 y2 2x 0的圆心为C,直线2y 3邑2 (t为参数)与该圆相交于A , B两点，则△ ABC的面积为 __________ .二、解答题112018全国一卷22】在直角坐标系xOy中，曲线G的方程为y k|x| 2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2 2 cos 3 0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求G的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x 2cos 0,为参数)，直线I的参数方程为y 4sin 00(1) 求C 和I 的直角坐标方程；(2) 若曲线C 截直线I 所得线段的中点坐标为(1,2)，求I 的斜率.3. 【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy 中，O O 的参数方程为(1) 求的取值范围；(2) 求AB 中点P 的轨迹的参数方程.4. 【2018江苏卷2忙】在极坐标系中，直线1的方程为叫)2, 曲线C 的方程为 4cos ，求直线I 被曲线C 截得的弦长. 参考答案 一、 填空题 1.1 22.2二、 解答题1.解： (1 )由x cos , y Sin 得C 2的直角坐标方程为(x 1)2 y 2 4.(2)由(1)知C 2是圆心为A( 1,0)，半径为2的圆.X 1 t COS a , y 2 tsin a(t 为参数).X cos , ysin为参数)，过点0 ,2且倾斜角为 的直线I 与O O 交于由题设知，C1是过点B(o,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为11, y轴左边的射线为12.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于11与C2只有一个公共点且12与C2有两个公共点，或12与C2只有一个公共点且11与C2有两个公共点.当11与C2只有一个公共点时，A到11所在直线的距离为2，所以1rr2；2，故k 彳或k 0.k 1 3经检验，当k 0时，11与C2没有公共点；当k 4-时，11与C2只有3一个公共点，12与C2有两个公共点.当12与C2只有一个公共点时，A到12所在直线的距离为2，所以|k 2| t 4TFT ，故k 0或k i.经检验，当k 0时，h与C2没有公共点；当k彳时，12与C2没有公3共点/、八、、・综上，所求C i的方程为y 3|x| 2 .32 22.解：(1)曲线C的直角坐标方程为——1 .4 16当cos 0时，I的直角坐标方程为y tan x 2 tan ,当cos 0时，I的直角坐标方程为x 1 .(2)将I的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1 3cos2 )t2 4(2cos sin )t 8 0 .①因为曲线C截直线I所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1 , t2，则t1 t2 °.又由①得t1 t2 塑空一A，故2cOs sin 0,1 3 cos于是直线1的斜率k tan 2.3.解：(1) e O的直角坐标方程为x2 y2 1 .当2时，I与eO交于两点.当时，记ta n k，则I的方程为y kx -、2 . I与eO交于两点当且仅当l^^l 1，解得k 1或k 1，即卩(：,；)或V1 k 4 2综上，的取值范围是（；，）.4 4 x t cos ,（2） l 的参数方程为 石（t为参数，）.y Q2 tsi n44设A , B , P 对应的参数分别为t A , tB , t p ，则t p 占，且t A , tB满足t 2 2.2t sin 1 0 . 于是 t A t B 2 2sin, t p .2sin .又点P 的坐标（x, y ）满足x t p cos , y - 2 t P sin近i 2x sin 2 ,2ycos 22 247).则直线1过A （ 4,o ）,倾斜角为n ，所以点P 的轨迹的参数方程是（为参数,所以A为直线I与圆C的一个交点.设另一个交点为B,则/ OAB=6连结0B,因为OA为直径，从而/ OBA=二2所以AB 4cos n2 3 .6因此，直线I被曲线C截得的弦长为2 3 .。
2018年高考数学分类汇编专题十三极坐标与参数方程
《2018年高考数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线21,232⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 二、解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ过点且倾斜角为的直线与交于两点． （1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 参考答案 一、填空题1.21+2.21 二、解答题1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2221k =+，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． (02，αl O ⊙A B ，αAB P当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，221k =+，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， 于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2απ=l O当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 2απ≠tan k α=l 2y kx =-l O 22||11k <+1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 222sin 10t t α-+=22sin A B t t α+=2sin P t α=P (,)x y cos ,2sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩P 2sin 2,22cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos236AB==因此，直线l被曲线C截得的弦长为23。
2018年高考文科数学分类汇编：专题十三极坐标与参数方程
《2018年高考文科数学分类汇编》第十三篇: 极坐标与参数方程解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系中, 曲线的方程为.以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线的极坐标方程为.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点, 求的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系/中, 曲线/的参数方程为/（/为参数）, 直线/的参数方程为/（/为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线/截直线/所得线段的中点坐标为/, 求/的斜率.3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系/中, /的参数方程为/（/为参数）, 过点/且倾斜角为/的直线/与/交于/两点.（1）求的取值范围；（2）求/中点/的轨迹的参数方程.4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中, 直线l 的方程为, 曲线C 的方程为, 求直线l 被曲线C 截得的弦长.参考答案解答题1.解: （1）由, 得的直角坐标方程为.（2）由（1）知是圆心为, 半径为的圆.由题设知, 是过点且关于轴对称的两条射线. 记轴右边的射线为, 轴左边的射线为. 由于在圆的外面, 故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点, 或与只有一个公共点且与有两个公共点.C l当与只有一个公共点时, 到所在直线的距离为, 所以, 故或.经检验, 当时, 与没有公共点；当时, 与只有一个公共点, 与有两个公共点. 当与只有一个公共点时, 到所在直线的距离为, 所以, 故或.经检验, 当时, 与没有公共点；当时, 与没有公共点.综上, 所求的方程为．2.解: （1）曲线的直角坐标方程为.当/时, /的直角坐标方程为/,当/时, /的直角坐标方程为/.（2）将/的参数方程代入/的直角坐标方程, 整理得关于/的方程．①因为曲线/截直线/所得线段的中点/在/内, 所以①有两个解, 设为/, /, 则/. 又由①得, 故/,于是直线/的斜率/.3.解: （1）/的直角坐标方程为/.当/时, /与/交于两点.当/时, 记/, 则/的方程为/. /与/交于两点当且仅当/, 解得/或/, 即/或/.综上, /的取值范围是/.（2）/的参数方程为/为参数, //.设/, /, /对应的参数分别为/, /, /, 则/, 且/, /满足/.于是/, /. 又点/的坐标/满足/所以点/的轨迹的参数方程是//为参数, //.4.解: 因为曲线C 的极坐标方程为,所以曲线C 的圆心为（2, 0）, 直径为4的圆.因为直线l 的极坐标方程为,则直线l 过A （4, 0）, 倾斜角为,所以A 为直线l 与圆C 的一个交点.设另一个交点为B, 则∠OAB=.连结OB, 因为OA 为直径, 从而∠OBA=,22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=所以π4cos 6AB == 因此, 直线l 被曲线C 截得的弦长为.。
高考极坐标与参数方程常见题型
极坐标与参数方程一、基础知识点梳理（一）极坐标 极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3、极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4、常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和。
2018年高考数学总复习 极坐标与参数方程
第二节 极坐标与参数方程(选修4-4)考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程,了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 8.掌握参数方程化普通方程的方法.命题趋势探究本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现.参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注.知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示).这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. xθOρ(,)M ρθ图 16-31yxθOρ(,)M x y图 16-32三、极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图16-33所示).五、圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.六、椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.七、双曲线的参数方程000(,)M x yO(,)M x ytyx图16-33双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z . 八、抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.题型归纳即思路提示题型196 极坐标方程化直角坐标方程思路提示对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩. 例16.7 在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R )的距离是 .分析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.解析 极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：33y x =，即30x y -=.圆心(0,2)到直线30x y -=的距离为22|023|31(3)-=+.变式1 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .变式2 ⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-.(1)把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的直角坐标方程.变式3 已知一个圆的极坐标方程是53cos 5sin ρθθ=-，求此圆的圆心和半径. 例16.8 极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（ ）A. 两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线 分析 将极坐标方程化为直角坐标方程.解析 因为(1)()0(0)ρθπρ--=≥，所以1ρ=或θπ=(0)ρ≥.2211x y ρ=⇒+=，得221x y +=，表示圆心在原点的单位圆；(0)θπρ=≥表示x 轴的负半轴，是一条射线.故选C .变式 1 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线 变式2 在极坐标系中，点(2,)6P π-到直线:sin()16l πρθ-=的距离是 . 变式3 （2012陕西理15）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .题型197 直角坐标方程化为极坐标方程思路提示如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角坐标与极坐标关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将直角坐标方程化为极坐标方程.例16.9 （2012辽宁理23）在直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：22(2)4x y -+=.（1）在以O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆1C , 2C 的极坐标方程，并求出圆1C , 2C 的交点坐标（用极坐标表示）; （2）求出1C 与2C 的公共弦的参数方程.解析 （1）圆1C 的极坐标方程为2ρ=，圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.24cos ρρθ=⎧⎨=⎩解得2ρ=，3πθ=±，故圆1C 与圆2C 的交点的坐标为 (2,),(2,)33ππ-.注：极坐标系下点的表示不唯一.（2）解法一：由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得圆1C 与圆2C 的交点的坐标分别为(1,3),(1,3)-.故圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1(33)x t y t =⎧-≤≤⎨=⎩. 解法二： 将1x =代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos 1ρθ=，从而1cos ρθ=.于是圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1()tan 33x y ππθθ=⎧-≤≤⎨=⎩.变式1 (2012 江西理 15)曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，以原点为极点，x 轴的正半轴为极抽建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 _.题型198 参数方程化普通方程思路提示已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法，三角法)转化为普通方程解答. 例16.10 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)没有公共点，则实数m的取值范围是 .解析 将圆的参数方程1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)化为普通方程22(1)(2)1x y -++=，圆心(1,2)-，半径1r =.直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，|38|15m -+>|5|5m ⇒->，得10m >或0m <，即m 的范围是(,0)(10,)-∞+∞. 变式1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程33x t y t =+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θ∈π），则圆C 圆心坐标为 _，圆心到直线l 的距离为 .变式2 (2013湖北理16)在庄角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>），在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为2sin()42m πρθ+=（m 为非零数）与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 .变式3 参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数）的普通方程是 .例16.11 已知动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=（,a b 是正常数，a b ≠，θ是参数），则圆心的轨迹是 .解析 由动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=得222222(cos )(sin )cos sin x a y b a b θθθθ-+-=+.圆心坐标为(cos ,sin )a b θθ（θ为参数），设cos x a θ=，sin y b θ=，则221x y a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b +=为所求轨迹方程，所以圆心的轨迹是椭圆.变式1 方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是（ ） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线变式2 已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点.当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.题型199 普通方程化参数方程思路提示对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代数换元（如抛物线22y px =的参数方程222x pt y pt=⎧⎨=⎩）或三角换元（如椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩）.例16.12 在平面直角坐标系xOy 中，设(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值.分析 利用椭圆的参数方程，建立,x y 与参数θ的关系，运用三角函数最值的求法，求解x y +的最大值.解析 点(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，则3cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），[0,2]θ∈π，则3cos sin x y θθ+=+2sin()3πθ=+，[0,2]θ∈π，故max ()2x y +=.变式1 已知点(,)P x y 是圆2220x y y +-=上的动点.(1)求2x y +的取值范围；(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 变式2 直线l 过(1,1)P ，倾斜角6πα=.（1） 写出l 的参数方程；（2）l 与圆224x y +=相交于,A B 两点，求P 到,A B 两点的距离之积.变式3 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)M m在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点.(1)若1m =时，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.题型200 参数方程与极坐标方程的互化思路提示参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，先将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）.例16.13 已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .分析 把曲线C 的参数方程化为普通方程，求出切线l 的普通方程，然后把求出的直线l 的普通方程化为极坐标方程.解析 由22sin cos 1t t +=得曲线C 的普通方程为222x y +=，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为1-，所以切线l 的方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的方程可得cos sin 20ρθρθ+-=，即2sin()204πρθ+-=，化简得sin()24πθ+=.变式1 设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .最有效训练题60(限时45分钟)1.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A. 一条射线和一个圆B. 两条直线C. 一条直线和一个圆D. 一个圆 2.圆22(sin cos )ρθθ=-的圆心的一个极坐标是（ ）A. (2,2)-B. (2,)4πC. 3(2,)4π D. 7(2,)4π3.在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是(2,)4A π，5(2,)4B π.那么顶点C 的坐标可能是（ ）A. 3(4,)4π B. 3(23,)4πC. (23,)πD. (3,)π 4.直线的参数方程为sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），则直线的倾斜角为（ ）A. 40B. 50C. 140D. 130 5.过点(2,3)A 的直线的参数方程为232x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若此直线与直线30x y -+=相交于点B ，则||AB =（ ）A. 5B. 25C. 35D.3526.设曲线C 的参数方程23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 的距离为71010的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.已知直线l 的极坐标方程为2sin()42πρθ-=，圆M 的参数方程为22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，则圆M 上的点到直线l 的最短距离为 . 8.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为5cos 5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和21222x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为 .9.已知抛物线的参数方程为222x pty pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p = .10.在极坐标系中，O 为极点，已知两点,M N 的极坐标分别为2(4,)3π，(2,)4π,求△OMN 的面积.11.已知椭圆221164x y +=，O 为坐标原点，,P Q 为椭圆上的两动点，若OP OQ ⊥，求22||||OP OQ +的最大值.12. 已知曲线12cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2247:23cos 016C ρρθ-+=. （1）若,P Q 分别是曲线1C 和曲线2C 上的两个动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）若曲线1C 上与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 点，P 是曲线1C 上第一象限内的动点，O 是坐标原点，试求四边形OAPB 面积的最大值.。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
(3)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值及此时P的直角坐标.
7.在坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin =2 .
极坐标系与参数方程
题型一与圆有关的问题
1.已知曲线C1的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 .（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
2.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈ .(1)求C的参数方程.(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
题型二 根据椭圆参数方程求最值
6.曲线C1的参数方程为 (θ为参数),将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的 倍,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.
(1)求曲线C2和直线l的普通方程.
9．以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐标为 ，若直线l的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 ，（ 为参数).
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）设直线l与曲线 交于 两点，求 .
10.在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .
极坐标与参数方程题型和方法归纳.doc
极坐标与参数方程题型和方法归纳题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。
方法如下：x cos(1) 极坐标方程y sin直角坐标方程2x 2y 2或x 2y2tany ( xx(2) 参数 方程消参（代 入法、加 减法、 sin 2+cos21等）直角坐 标方程圆、椭圆 、直线的参数方程(3) 参数方程 直角坐标方程 (普通方程 ) 极坐标方程1、已知直线 l 的参数方程为x1 1 t（ t 为2y3 3t参数）以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的方程为sin3 cos 2.（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标 .题型二：三个常用的参数方程及其应用（1）圆(x a)2( y b)2r 2的参数方程是：( 为参数)x a r cosy b r sinx2y2（2）椭圆a2b21(a0, b0, a b) 的参数方程是：x a cos,( 为参数 )y b sin（3）过定点P( x0, y0)倾斜角为的直线l的标准x x0 t cos参数方程为：y y0 ,( t为参数 )t sin对（ 3）注意：P点所对应的参数为 t 0 0 ，记直线l 上任意两点A, B 所对应的参数分别为 t1 ,t2，则①AB t1t2,②PA PA t1t2 t1 t2 ,t1 t2 0，t1 t 2 , t1 t2 0③PA PA t1t2t 1t22、在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为x a cost（ t 为参数， a 0 ）以坐标原点 O y 2sin t为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为4 .l cos2 2（Ⅰ）设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 a2时，求点 P 到直线 l 的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方，求 a 的取值范围.x 12cos3、已知曲线C1：y 4sin（参数R ），以坐标原点 O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为3，点 Q 的极坐标为 (4 2, ) ．cos( ) 43（1）将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点 Q 的直角坐标；（2）设P为曲线C1上的点，求PQ中点M到曲线 C2上的点的距离的最小值．x 1 1 t4、已知直线 l ：2（ t 为参数），曲线 C 1 ： y3t2xcos（ 为参数） .y sin（ 1）设 l 与 C 1相交于两点 A, B ，求 | AB |；（ 2）若把曲线 C 1上各点的横坐标压缩为原来的 1倍，纵坐标压缩为原来的 22曲线 C 2，设点 P 是曲线 C 2上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值 .5、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C :x 3 cos（ 为参数），在以坐标原点 O 为极 y sin点，以 x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系 中，直线 l 的极坐标方程为2 )1．cos(24（ 1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（ 2）过点 M ( 1,0) 且与直线 l 平行的直线 l 1交 C（3倍，得到于 A, B 两点，求弦AB 的长．6、面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为x＝5 cosα，（α为参数）．以坐标原点O y＝sin α为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，π直线 l 的极坐标方程为ρcos(θ＋4)= 2．l 与 C交于 A、B 两点.（Ⅰ）求曲线 C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点 P(0,－2),求：①| PA| ＋| PB| ，1 1②PA PB ,③PA PB,④ AB题型三：过极点射线极坐标方程的应用出现形如：（1）射线OP： 6 （0）；（1）直线OP： 6（R ）7、在直角坐标系xOy中，圆C的方程为( x3) 2 ( y 1)2 9，以O为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线OP：6（R）与圆 C 交于点 M 、N，求线段 MN 的长．8、在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x 5cosy( 为参数),以坐标原点为极点，x 6 5sin轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为足 tan 0 5 , l 与C交于A, B两点，求2 .0，其中0满AB的值.9、在直角坐标系xOy中，直线l经过点P( 1,0)，其倾斜角为，以原点 O 为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 C 的极坐标方程为 2 6 cos 5 0 ．（Ⅰ）若直线l 与曲线 C 有公共点，求的取值范围；（Ⅱ）设 M ( x, y) 为曲线C上任意一点，求x y 的取值范围．10、在直角坐标系中xOy 中，已知曲线 E 经过点 P 1, 2 3，其参数方程为x a cos （为参3 y2 sin数），以原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A、B，且OA OB，求证：为定值，并求出这个定值．1 2 1 2OA OB11、在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1和C2的2x cos , 参数方程分别是x 4t（ t 是参数）和y 1 siny 4t（ 为参数） .以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .（ 1）求曲线 C 1的普通方程和曲线 C 2的极坐标方程；（2）射线 OM :( [6 , 4 ])与曲线 C 1的交点为 O ，P，与曲线C2的交点为 O ， Q ，求 |OP| |OQ |的最 大值 .。
2018高考备考极坐标和参数方程专题
专题1 极坐标与参数方程【基本方法】1．两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)；2．基本转化公式：cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩，222(0)tanx yxyxρθ⎧=+⎪≠⎨=⎪⎩；3．参数方程：()()x f ty g t=⎧⎨=⎩，消去参数t得关于,x y的普通方程，引入参数t得参数方程；4．直线的参数方程00cos sinx x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，注意参数t的几何意义；5．用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问.【三年真题】1．(2017全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l的参数方程为4,1,x a tty t=+⎧⎨=-⎩（为参数）.(1)若1a=-，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到la.2．(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为cos1sinx a ty a t=⎧⎨=+⎩(t为参数，a>).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.(I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(II)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.3．(2015全国I)在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为()4θρπ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.【自主研究】4．(2016届佛山二模)已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3ρθπ=-，以极点为原点， 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． (I)求曲线C 的直角坐标方程；(II)若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ (其中)ϕ∈R ，求PQ 的最大值．5．(2016届河南八市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩＝(θ为参数)，以原点O 为起点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2，－3π)，直线l 的极坐标方程为ρcos(3π＋θ)＝6．(Ⅰ)求点P 到直线l 的距离；(Ⅱ)设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线l 的距离的最大值．6．(2016年全国卷II )在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)， l 与C 交于,A B两点，||AB =，求l 的斜率．7．(2015年全国卷II)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，t ≠ 0)，其中0α≤<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=.(I)求C 2与C 3交点的直角坐标；(II)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值.8．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2:1x tl y t=-⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线C 交于,M N 两点．(I)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (II)求22||||PM PN +的值．9．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)，曲线C 2的参数方程为2cos 22sin x y ββ=⎧⎨=+⎩ (β为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(I)求C 1和C 2的极坐标方程； (II)已知射线1l ：(0)2θααπ=<<，将1l 逆时针旋转6π得到2:6l θαπ=+，且1l 与C 1交于O ，P 两点，2l 与C 2交于O ，Q 两点，求||||OP OQ g取最大值时点P 的极坐标．10．(2017届衡水中学第二次调研考试)在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C上的点M 对应的参数3ϕπ=，4θπ=与曲线2C交于点)4D π.(I)求曲线1C 的极坐标方程及2C 的普通方程； (II)12(,),(,)2A B ρθρθπ+是曲线1C 上的两点，求221211ρρ+的值.11．(2012年全国新课标)已知曲线1C 的参数方程是2cos (3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B CD 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π.(1)求点,,,A B C D 的直角坐标；(2)设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围.12．(2014年全国新课标I)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.13．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，曲线 2C的极坐标方程为cos sin 40ρθθ--=．(1)求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；(2)设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求PQ 的最小值．14．在直角坐标系中，圆C 的方程是2240x y x +-=，圆心为C ，在以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 1：ρθ=-与圆C 相交于,A B 两点．(I)求直线AB 的极坐标方程；(II)若过点(2,0)C的直线222:12x C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(t 是参数)交直线AB 于点D ，交y 轴于点E ，求||||CD CE 的值．15．在平面直角坐标系xOy 中，1C的参数方程为1,21,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=.(Ⅰ)说明2C 是哪种曲线，并将2C 的方程化为普通方程；(Ⅱ)1C 与2C 有两个公共点,A B ，定点P的极坐标为)4π，求线段AB 的长及定点P 到,A B 两点的距离之积.16．(2017届江西省第三次联考)在直角坐标系xOy 中，曲线()221:11C x y -+=，曲线2C 的参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(θ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系.(1)求12 C C ，的极坐标方程；(2)射线()0y x x =≥与1C 的异于原点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .17．(2017届安徽省合肥市一模)已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为2sin cos 0θθ=.(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.18．(2017届广东省汕头市一模)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0,]2θπ∈.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.19．(2017届广东省肇庆市二模)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是sin()4ρθπ+=(Ⅰ)直接写出1C 的普通方程和极坐标方程，直接写出2C 的普通方程； (Ⅱ)点A 在1C 上，点B 在2C 上，求AB 的最小值.20．(2017届安庆市期末监测)已知在极坐标系中，曲线Ω的方程为6cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是4cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，(t 为参数，θ∈R )．(Ⅰ)求曲线Ω的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线Ω于A 、C 两点，过点(41)-，且与直线l 垂直的直线0l 交曲线Ω于B 、D 两点． 求四边形ABCD 面积的最大值．21．在直角坐标系中x O y 中，已知曲线E 经过点P(1，3)，其参数方程为cos x a y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线E 的极坐标方程；(2)若直线l 交E 于点A 、B ，且OA ⊥OB ，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值．22． (2017届山西省适应性测试)已知曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x a y b θθ=⎧⎨=⎩(0a b >>，θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为r ρ=(0r >)．(Ⅰ)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数； (Ⅱ)若b r a <<，求由两曲线1C 与2C 交点围成的四边形面积的最大值.23．(2017届四川省绵阳市二模)已知曲线C的参数方程是(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).(1)将C 的参数方程化为普通方程；(2)在直角坐标系xOy 中，(0,2)P ，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 0,Q ρθθ++=为C 上的动点， 求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最小值.24．(2017届江西省高三下学期调研考试)在平面直角坐标系中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数，[]0,α∈π)，直线l 的极坐标方程为4)4ρθ=π-.(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为曲线C 上任意一点，Q 为直线l 任意一点，求PQ 的最小值.25．(2017届泉州市考前适应性模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为224240x y x y +--+=.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求l 的普通方程与C 的极坐标方程； (II)已知l 与C 交于,P Q ，求PQ .26．(2017届广东省高三第三次六校联考)在平面直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)．(Ⅰ)以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系(与平面直角坐标系的单位长度相同)，当60α︒＝时，求直线l 的极坐标方程；(Ⅱ)已知点()10P ，，直线l 与椭圆2212x y +=相交于点A 、B ，求PA PB ⋅的取值范围．27．已知在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为3cos ,13sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩(ϕ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.(Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线6θπ=(R ρ∈)与曲线1C 交于P ，Q 两点，求线段PQ 的长度.28．(2017届河南省豫北名校联考试题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (1)求曲线C 的普通方程；(2)经过点(2,1)M (平面直角坐标系xOy 中点)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若M 恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的斜率．29．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，),(3,)23A B ππ，圆C 的方程为θρcos 2=.(1)求在平面直角坐标系xOy 中圆C 的标准方程； (2)已知P 为圆C 上的任意一点，求ABP ∆面积的最大值.30．在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线()2:cos 4cos C ρρθθ=+．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为122(x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)． (1)求12,C C 的直角坐标方程 ；(2)C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,H I J K ，求||||||HI JK -的值．31．(2017届安徽省蚌埠市质检)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，0α≤<π)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线1:1C ρ=．(I)若直线l 与曲线1C 相交于点(),,1,1A B M ，证明：MA MB ⋅为定值；(II)将曲线1C 上的任意点(),x y 作伸缩变换''x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后，得到曲线2C 上的点()',y'x ，求曲线2C 的内接矩形ABCD 周长的最大值．32. 在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的方程为2220x x y -+=，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4θρπ=∈R （）.(Ⅰ)写出C 的极坐标方程，并求l 与C 的交点M ，N 的极坐标；(Ⅱ)设P 是椭圆2213x y +=上的动点，求PMN ∆面积的最大值.33．(2017届南昌市调研)将圆224x y +=每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求：过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.34．(2017届江西省重点中学联考)在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(Ⅰ)写出曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设点M 的极坐标为4π)，过点M 的直线l 与曲线C 相交于,A B 两点， 若||2||MA MB =，求AB 的弦长．专题1 极坐标与参数方程参考答案1．解：(1)由3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩得2219x y +=，由41x a ty t=+⎧⎨=-⎩得44x y a +=+， 当1a =-时，由221943x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或30x y =⎧⎨=⎩，故而交点为2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭或()3,0； (2)点(3cos ,sin )θθ到直线11144y x a =-+-的距离为d =≤3cos 4sin 417a θθ++-≤，化简可得()()1743cos 4sin 174a a θθ---≤+≤--，根据辅助角公式可得()135sin 21a a θϕ--≤+≤-，又()55sin 5θϕ-≤+≤， 解得8a =-或者16a =. 2．解：(I)由cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩得222(1)x y a +-=，∴1C 是圆心为(0,1)，半径为a 的圆，将cos ,sin x y ρθρθ==代入222(1)x y a +-=得222sin 10a ρρθ-+-=， ∴C 1的坐标方程为222sin 10a ρρθ-+-=；(II )∵0a >，曲线C 1与C 2的公共点满足222sin 104cos a ρρθρθ⎧-+-=⎨=⎩，若0ρ≠时，2216cos8sin cos 10a θθθ-+-=，又tan 2θ=，得216cos 8sin cos 0θθθ-=，∴210a -=⇒1a =或1a =-(舍去)， 若0ρ=，极点也为C 1与C 2的公共点，在3C 上，有1a =， ∴1a =.3．解：(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.(Ⅱ)将=4θπ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN △的面积o 11sin 452⨯=12. 4．解：(I)∵4sin()3ρθπ=-，∴4(sin cos cos sin )33ρθθππ=-，…………………1分∴22sin cos ρρθθ=-，……………………………………………………………2分∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y y ++-=．…………………………………5分(II)曲线C 可化为22((1)4x y ++-=，∴曲线C 是圆心，半径为2的圆，∵点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ，∴点Q 在圆O ：221x y +=，…………………8分∴125PQ OC ≤++=，即PQ 的最大值为5．……………………………………10分5．解：(Ⅰ)点(2,)3P π-的直角坐标为[2cos(),2sin()]33ππ--，即(1,…………2分由直线l ：cos 63ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()1cos 62ρθθ-=.则l 的直角坐标方程为：120x --= ………………………………………………4分 点P 到l 的距离131242d +-== …………………………………………………………5分(Ⅱ)可以判断，直线l 与曲线C 无公共点，设)Q θθ …………………6分则点Q 到直线120x --=的距离为6cos 1262d θπ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==…………………………………8分所以当cos 16θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max 9d = ………………………………………………10分 6．解：(Ⅰ)由22(6)25x y ++=得2212110x y x +++=， …………………………4分∴圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=；………………………………………5分 (Ⅱ)直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ， 将直线:l θα=代入212cos 110ρρθ++=得212cos 110ρρα++=，…………6分 ∴121212cos ,11ρραρρ+=-=，………………………………………………………7分∴12||||AB ρρ=-==8分由||AB =23cos 8α=，则tan α=，………………………………………9分∴直线l或.…………………………………………………………10分 7．解：(I)由2sin ρθ=得22sin ρρθ=，即曲线C 2的普通方程为2220x y y +-=，………………………………………………2分由ρθ=得2cos ρθ=，即曲线C 3的普通方程为220x y +-=，……………………………………………3分由2222200x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………………………………4分 ∴C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和3)22；…………………………………………5分 (II)曲线1C 的极坐标方程为(,0)θαρρ=∈≠R ，其中0α≤<π，…………………6分因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα，………………………8分∴|||2sin |4|sin()|3AB αααπ=-=-，………………………………………9分 当32αππ-=，即6α5π=时，||AB 取得最大值4.……………………………………10分 8．(Ⅰ)由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以22y x =；根据21x ty t=-⎧⎨=--⎩(t 为参数)，消去t 得，30x y --=，…………………………………4分故曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是22y x =，30x y --=． ……5分 (Ⅱ)将直线l的标准参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)代入22y x =中，……………7分整理得260t --=．设t 1，t 2是该方程的两根，则12126t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，……………8分由参数的几何意义，可知22222121212()244PM PNt t t t t t +=+=+-=． ………10分9．解：(I)曲线C 1的直角坐标方程为22(1)4x y -+=，………………………………1分 所以C 1极坐标方程为4cos ρθ=，………………………………………………………2分 曲线C 2的直角坐标方程为22(1)4x y +-=，……………………………………………3分 所以C 2极坐标方程为4sin ρθ=；………………………………………………………4分 (II)设点P 极点坐标1(,4cos )ρα，即14cos ρα=，……………………………………5分 点Q 极坐标为2(,4sin())6ραπ+，即24sin()6ραπ=+，……………………………6分 则12||||4cos 4sin()6OP OQ ρρααπ==+gg 116cos cos )2ααα=+8sin(2)46απ=++，………………………………………………………………………8分因为(0,)2απ∈，所以2(,)666αππ7π+∈，………………………………………………9分当262αππ+=，即6απ=时，||||OP OQ g 取最大值，此时P极点坐标)6π．10分10．解：(I)将(M 及时对应的参数3ϕπ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩得2cos3,sin 3a b π⎧=⎪⎪π= ∴42a b =⎧⎨=⎩，故1C 的普通方程为221164x y +=，……………………………………………2分 其极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，即22(13sin )16ρθ+=， ………………3分设圆2C 的方程为()222x R y R -+=，点)4D π的直角坐标为(1,1)，∴()22211R R -+=，得1R =，…………………………………………………………4分∴圆2C 的普通方程为()2211x y -+=；…………………………………………………5分(II)曲线1C 的方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将12(,),(,)2A B ρθρθπ+代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222cos ()sin ()221164ρθρθππ+++=，………………7分所以2222221211cos sin sin cos 11516416416416θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………10分11．解：(1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ…………………3分 点,,,A B C D的直角坐标为1,1)--………………………5分 (2)设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++25620sin [56,76]ϕ=+∈……10分12．解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，…………………………2分由直线l ：222x ty t =+⎧⎨=-⎩得260x y +-=，…………………………………………………3分∴直线l 的普通方程为：260x y +-=；…………………………………………………5分(Ⅱ)在曲线C 上任意取一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=. …………8分当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为5；…………………………9分当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为5.………………………………10分13．解：(1)由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数θ得，曲线1C 的普通方程得22184x y +=．由cos sin 40ρθθ--=得，曲线2C 的直角坐标方程为40x -=．……5分(2)设()P θθ，则点P 到曲线2C 的距离为44cos()d θπ-+===……………8分当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d 有最小值0，所以PQ 的最小值为0．……………………10分 14．解：(I)在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系， 极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C 1：ρ=sinθ，∴ρ2=﹣ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣y ，∴曲线C 1：x 2+y 2，∴直线AB 的普通方程为：(x 2+y 2－4x)－(x 2+y 2， ∴y=－3x ，∴ρsinθ=－3ρcosθ，∴tanθ=－3，……………………………………4分 ∴直线AB 极坐标方程为：()6θρπ=-∈R ．…………………………………………5分 (II)根据(I)知，直线AB 的直角坐标方程为y=﹣3x ，…………………………………6分 根据题意可以令D(x 1，y 1)，则11112212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又点D 在直线AB 上，所以12t 1=－3(2+2t 1)， 解得 t 1=|CD|=|t 1，…………………………8分同理，令交点E(x 2，y 2)，则有2222212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又点E 在直线x=0上，令2=0，∴t 2=，∴|CE|=|t 2，……………9分 ∴|CD|：|CE|=1：2．………………………………………………………………………10分 15．解：(Ⅰ)2C 是圆，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=，化为普通方程：22230x y x +--=即：()2214x y -+=.……………………………5分(Ⅱ)定点P 的直角坐标在直线1C 上，将1C的参数方程为1,21,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)代入22230x y x +--=中得：…………6分22112130222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得：230t +-=.设两根分别为12,t t，由韦达定理知：12123,t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩………………8分所以AB 的长12AB t t =-===9分定点P 到,A B 两点的距离之积123PA PB t t ==.…………………………………10分 16．解：(1)将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线1C 的方程：()2211x y -+=，可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，………………………………………………2分曲线2C 的普通方程为2212x y +=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入， 得到2C 的极坐标方程为()221sin 2ρθ+=.……………………………………………5分 (2)射线的极坐标方程为()06θρπ=≥，与曲线1C 的交点的极径为12cos 6ρπ==分 射线()06θρπ=≥与曲线2C 的交点的极径满足2221sin 26ρπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2ρ=分所以12AB ρρ=-= (10)分 17．解：(Ⅰ)2sin cos 0θθ-= ，22sin cos 0ρθθ∴= ，即20y = ；…………………………………………………………………………5分(Ⅱ)将112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，代入20y =21102t ⎫+=⎪⎭，即0t =，从而，交点坐标为(，…………………………………………………………………9分 所以，交点的一个极坐标为(2,)3π . ……………………………………………………10分 18．解：(1)由题意知：θρcos 2=，[0,]2θπ∈，所以θρρcos 22=，[0,]2θπ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y tx sin cos 1(t 为参数，0t ≤≤π).………………………………5分(2)设)sin ,cos 1(t t D +，由(1)知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3t π=，故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即)23,23(.…………………………………………………………………………………10分 19．解：(Ⅰ)1C 的普通方程是()2224x y ++= ， …………………………………2分1C 的极坐标方程4cos ρθ=- ， ………4分，2C 的普通方程40x y +-=. ……6分(Ⅱ)方法一：1C 是以点()2,0-为圆心，半径为2的圆；2C 是直线. ………………7分 圆心到直线2C2=>，直线和圆相离. ……………………8分 所以AB的最小值为2. ……………………………………………………10分 方法二：设()22cos ,2sin A θθ-+，因为2C 是直线，…………………………………7分所以AB的最小值即点A到直线的距离d的最小值，d==9分2=. ………………………………………………10分20．解：(Ⅰ)将方程6cosρθ=的两边同乘以ρ，得26cosρρθ=，所以226x y x+=，22(3)9x y⇒-+=，即为所求的曲线Ω的直角坐标方程．直线4cos:1sinx tly tθθ=+⎧⎨=-+⎩，，(t为参数，Rθ∈)．…………………………………………2分当2kπθπ=+，Zk∈时，直线l的普通方程是4x=；………………………………3分当2kπθπ≠+，Zk∈时，消去参数t，得直线l的普通方程是(4)tan1y xθ=--.4分(Ⅱ)将4cos1sinx ty tθθ=+⎧⎨=-+⎩，，代入226x y x+=，整理得22(cos sin)70t tθθ+--=．设两点A、C对应的参数分别为1t、2t，则12122(cos sin)7.t tt tθθ+=--⎧⎨=-⎩，………………5分所以12AC t t=-===6分设直线l的参数方程为04cos1sinx ty tθθ=+⎧⎨=-+⎩，，(t为参数，θ为直线l的倾斜角)．同理可得BD=．因为0l l⊥，所以02πθθ-=，那么sin2sin20θθ+=．所以BD=7分所以四边形ABCD面积为12S AB CD =⋅=8分因为()()8sin 28sin 216θθ-++= ．故16S ≤．……9分 四边形ABCD 面积的最大值为16． ……………………10分21．解：(1)将点P(1，3)，代入曲线E的方程：1cos 3a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得23a =，3分所以曲线E 的普通方程为22132x y +=，…………………………………………………4分其极坐标方程为222cos sin ()132θαρ+=；………………………………………………5分(2)由OA ⊥OB ，不妨设点A ，B 的极坐标分别为A(ρ1，θ)，B(ρ2，2θπ+)，………6分 则代入曲线E 的极坐标方程，可得221211115326ρρ+=+=，……………………………9分 即2211||||OA OB +为定值56．……………………………………………………………10分 22．解：(Ⅰ)1C ：22221(0)x y a b a b+=>>，2C ：222x y r +=(0r >)． …………2分当r a =或b 时，两曲线有两个公共点；…………………………………………………3分 当b r a <<时，两曲线有四个公共点；……………………………………………………4分 当0r b <<或r a >时，两曲线无公共点．………………………………………………5分 (Ⅱ)由于曲线1C 与曲线2C 关于x 轴、y 轴以及原点对称，所以四边形也关于x 轴、y 轴以及原点对称，……………………………………………6分 设四边形位于第一象限的点为(cos ,sin )a b θθ，………………………………………7分 则四边形的面积为4cos sin 2sin 22S a b ab ab θθθ=⋅=≤．…………………………9分当且仅当sin 21θ=，即4πθ=时，等号成立．…………………………………………10分23．解：(1)消去参数得1322=+y x ． …………………………………………………5分(2)将直线l 的方程化为普通方程为0323=++y x ．设Q (ααsin cos 3，)，则M (ααsin 211cos 23+，)，∴ d ==，∴ 最小值是4636-．…………………………………………………………………10分 24．解：(1)曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，(α为参数，[]0,α∈π)，消去参数α，可得()2211x y -+=，……1分由于[]0,α∈π，∴0y ≥，…………2分 故曲线C 的轨迹方程是上半圆()()22110x y y -+=≥.………………………………3分∵直线4:)4l ρθ=π-，即4θθ⎫=⎪⎪⎝⎭， 即sin cos 4ρθρθ-=，故直线l 的直角坐标方程为40x y -+=.…………………………………………………6分 (2)由题意可得点Q 在直线40x y -+=上，点P 在半圆上，半圆的圆心()1,0C 到直线40x y -+==，即PQ1-.…………10分25．解：(I)曲线C的普通方程为221()(122x y -+-=，…………………………2分 把cos ,sin x y ρθρθ==代入，化简得：曲线C 的极坐标方程为2cos()3ρθπ=-；4分 (II)将()012θρπ=>代入曲线C的极坐标方程，得ρ=A极坐标)12π，设(),M ρθ为直线l 上除点A 外的任意一点，则在OAM ∆中，由正弦定理得sin sin OM OAOAM OMA=∠∠，……………………………8分即3sin sin()43ρθ=ππ-，即sin()13ρθπ-=为直线l 的极坐标方程. ………………10分26．解：(Ⅰ)由直线l的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去t0y --．将cos sin x y ρθρθ==，代入，得直线lcos sin 0θρθ--=；…………………………………4分 (Ⅱ)将参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，代入椭圆方程2212x y +=，得()2222sincos 2cos 10t t ααα++-=，(其判别式0∆>恒成立)．12222112sin cos sin 1PA PB t t ααα⋅===++．…………………………………………8分 20sin 1α≤≤，所以112PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦，．………………………………………………10分 27．解：(Ⅰ)因为3cos ,13sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩故(()2219x y -++=，故22x y +-250y +-=，故曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ-+2sin 50ρθ-=.因为2cos ρθ=，故22cos ρρθ=，故2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=(或写成()2211x y -+=).(Ⅱ)设P ，Q 两点所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将6πθ=(R θ∈)代入2cos ρθ-2sin 50ρθ+-=中，整理得2250ρρ--=，故122ρρ+=，125ρρ=-，故12PQ ρρ=-==28．解：(1)由曲线C 的参数方程，得cos ,4sin ,2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以曲线C 的普通方程为221164x y +=．…………………………………………………3分 (2)设直线l 的倾斜角为1θ，则直线的参数方程为112cos ,1sin ,x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)． ……4分代入曲线C 的直角坐标方程，得()()2221111cos 4sin 4cos 8sin 80t t θθθθ+++-=， ………………………………6分所以111222111222114cos 8sin ,cos 4sin 8.cos 4sin t t t t θθθθθθ+⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩ ……………………………………………………7分由题意可知122t t =-． ……………………………………………………………………8分所以22111112sin 16sin cos 3cos 0θθθθ++=，即2121630k k ++=． (9)分解得46k -±=．所以直线l 的斜率为46-． …………………………………10分 29．解：(1)由θρcos 2=，可得：θρρcos 22=，所以x y x 222=+ ……………4分 故在平面直角坐标系中圆的标准方程为()2211x y -+= ……………………5分(2)在直角坐标系中，(A，3,22⎛⎫B ⎪ ⎪⎝⎭所以3)33233()023(22=-+-=AB ，……………………………………………6分所以圆心到直线AB 的距离34333=-=d ， ……………………………………8分又圆C 的半径为1，所以圆C 上的点到直线AB 的最大距离为13+故ABP ∆面积的最大值为233331321+=⨯+=）（S …………………10分 30．解：(1)因为cos ,sin x y ρθρθ==，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=；……3分由()cos 4cos ρρθθ=+，得22sin 4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为24y x =．………………5分 (2)不妨设四点在C 上的排列顺次至上而下为,,,H I J K ， 它们对应的参数分别为1234,,,t t t t ，如图，连接1,C J ，则1C IJ ∆为正三角形 ，所以1IJ =，…………………………………………7分()141411HI JK HI IK IJ t t t t -=-+=-+=-++， 把1222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =， 得：23824t t =-，即238320t t +-=，故1483t t +=-，所以113HI JK -=．10分 31．解：(I)曲线221:1C x y +=．…………………………………………………………1分 ()2221cos 1sin 2cos sin 101x t y t t t x y αααα=+⎧⎪=+⇒+++=⎨⎪+=⎩，∴121MA MB t t ⋅=⋅=．……………………………………………………………………5分 (II)伸缩变换后得222:13x C y +=．其参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩． …………………7分不妨设点(),A m n 在第一象限，由对称性知： 周长为())4,4sin m n θθ=+8sin 83θπ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，∴(6θπ=时取等号)周长最大为8．………………………………………………………10分 32．解：(Ⅰ)因为θρθρsin ,cos ==y x ，所以C 的极坐标方程为θρcos 2=，…2分直线l 的直角坐标方程为x y =， 联立方程组⎩⎨⎧=+-=0222y x x x y ，解得⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==11y x ，………………………………4分 所以点N M ,的极坐标分别为)4,2(),0,0(π. …………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)易得||MN =……………………………………………………………6分因为P 是椭圆2213x y +=上的点，设P 点坐标为)sin ,cos 3(θθ，…………………7分 则P 到直线x y =的距离2sin cos 3θθ-=d ，………………………………………8分所以12)6cos(22sin cos 322121≤+=-⨯⨯==∆πθθθd MN S PMN ，…………9分当,6k k πθπ=-∈Z 时，PMN S ∆取得最大值1. ………………………………………10分33．解：(I)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，…………………2分 依题意得：圆224x y +=的参数方程为2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩(t 为参数)………………………3分所以C 的参数方程为2cos sin x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．……………………………………………5分(II)由2214220x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩或01.x y =⎧⎨=⎩……………………………………………6分所以P 1(2，0)，P 2(0，1)，则线段P 1P 2的中点坐标为1(1,)2，所求直线的斜率k ＝2，于是所求直线方程为12(1)2y x -=-，并整理得423x y -=………………………8分 化为极坐标方程，4cos 2sin 3ρθρθ-=，即34cos 2sin ρθθ=-.………………10分34．解：(1)由2cos 22cos x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)，得2240x y y +-=，即24sin 0ρρθ-=，所以4sin ρθ=……………………………………………………………………………5分(2)设直线l 的参数方程是1cos 1sin x t y t θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(θ为参数)(1)曲线C 的直角坐标方程是2240x y y +-=，(2)联立方程可得22(cos sin )20t t θθ+--=，所以122t t ⋅=-，且||2||MA MB =，所以122t t =-，则122,1t t ==-或122,1t t =-=，所以12||||3AB t t =-=……………………………10分。
2018年高考数学试题汇编极坐标和参数方程及详细解析
2018年高考数学试题汇编极坐标和参数方程及详细解析1、（2018年高考数学全国卷I理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．2、（2018年高考数学全国卷II理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．3、（2018年高考数学全国卷III理科22）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=ta nα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．4、（2018年高考数学天津卷理科12）（5分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．5、（2018年高考数学北京卷理科10）（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=1+．【解答】解：圆ρ=2cosθ，转化成：ρ2=2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．则：=1，解得：a=1±．a＞0则负值舍去．故：a=1+．6、（2018年高考数学江苏卷理科23）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．6、（2018年高考数学全国卷I文科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．7、（2018年高考数学全国卷II文科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．8、（2018年高考数学全国卷III文科22）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）。
极坐标与参数方程-题型归纳
极坐标与参数方程-题型归纳高考高频题型整理汇总——《极坐标与参数方程》除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及以下部分问题。
一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较根据圆心到直线的距离公式，即可算出圆心到直线的距离d，再与半径r比较大小，得出圆与直线的位置关系。
当d>r 时，圆与直线相离，无交点；当d=r时，圆与直线相切；当d<r时，圆与直线相交，有两个交点。
题型二：圆上的点到直线的最值问题根据圆心到直线的距离公式，算出圆上任意一点到直线的距离d，再根据圆与直线的位置关系，分别代入公式dmax=d+r和dmin=d-r，得出圆上距离直线最远的点和距离直线最近的点。
题型三：直线与圆的弦长问题根据圆心到直线的距离公式，算出圆心到直线的距离d，再根据弦长公式l=2√(r^2-d^2)，得出直线与圆的弦长。
延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题弦长公式为l=t1-t2，其中t1和t2为直线与曲线的交点在曲线参数方程中的参数值。
二）距离的最值：用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题参数法”：设点的坐标用该点在所在曲线的参数方程来表示，利用点到线的距离公式求出该点到直线的距离，再利用三角函数辅助角公式进行化简，得出距离的最值。
解：1）将圆C的参数方程化为普通方程：x = 3\cos t。
y = 3\sin t$则圆C的普通方程为：x^2 + y^2 = 9$将直线l的极坐标方程$r=2\cos\theta$化为直角坐标方程：r^2 = x^2 + y^2$r\cos\theta = x$代入$r=2\cos\theta$中得：x = 2\cos^2\theta$r\sin\theta = y$代入$r=2\cos\theta$中得：y = 2\sin\theta\cos\theta$则直线l的直角坐标方程为：x = 2y$2）在极坐标系中，圆C的半径为3，直线l的极坐标方程为$r=2\cos\theta$，则直线l与圆C的交点分别为$(\frac{4}{3},\frac{2\sqrt{2}}{3})$和$(\frac{4}{3},-\frac{2\sqrt{2}}{3})$。
(完整word版)极坐标与参数方程(近年高考题和各种类型总结)
极坐标与参数方程（近年高考题和各种类型总结）一、最近8年极坐标与参数方程题型归纳（2018）【点差法】在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (1)求C 和l 的直角坐标方程(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率（2017）【极坐标求轨迹问题】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16=⋅OP OM ，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为)3,2(π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.（2016）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB =,求l 的斜率.(2015）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.（2014）【根据极角范围求轨迹】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.（2013）【轨迹问题】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．（2012）【参数坐标求最值、范围】已知曲线1C 的参数方程是)(3s i n y 2c o s x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
高考数学极坐标与参数方程题型归纳一、极坐标题型1.圆的极坐标方程圆的极坐标方程为r=a，其中a为常数。
题目中常常给出一个圆的直角坐标方程，要求将其转化为极坐标方程。
2.同一直线与圆的极坐标方程给定一条直线的极坐标方程，如$r=k\\theta$，同时给出一个与该直线相交于两点的圆的极坐标方程，求该圆的半径和圆心的极坐标。
3.圆内切于另一圆与直线的极坐标方程给定一个圆的极坐标方程，要求找出与该圆相切的另一个圆和直线的极坐标方程。
4.线段与圆的极坐标方程给定一段线段的两个端点的极坐标和长度，要求求出与该线段相切的圆的极坐标方程。
二、参数方程题型1.直线的参数方程给定一条直线的直角坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
2.圆的参数方程给定一个圆的直角坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
3.曲线方程的参数化表示给定一个曲线的直角坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
三、极坐标与参数方程的转换题型1.极坐标转换为参数方程给定一个极坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
2.参数方程转换为极坐标给定一个参数方程，要求将其转化为极坐标方程形式。
四、解析法求参数方程的题型1.螺线的参数方程给定一个螺线的解析方程，要求求出其对应的参数方程。
2.抛物线的参数方程给定一个抛物线的解析方程，要求求出其对应的参数方程。
3.椭圆的参数方程给定一个椭圆的解析方程，要求求出其对应的参数方程。
五、参数方程与直角坐标系之间的关系1.参数方程的直角坐标系方程给定一个参数方程，要求将其转化为直角坐标系方程。
2.直角坐标系方程的参数方程给定一个直角坐标系方程，要求将其转化为参数方程。
以上是高考数学中关于极坐标与参数方程的常见题型归纳。
掌握了这些题型的解题方法和转换技巧，就能够更好地应对高考数学中的相关题目。
在解题时，可以根据题目给出的信息选择合适的坐标系，利用相应的公式和性质进行计算，从而得出准确的答案。
希望同学们通过对这些题型的学习和练习，能够在高考中取得优异的成绩！。
2018年高中数学高考一轮复习：坐标系与参数方程
-10知识梳理
考点自测
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. (× ) (2)点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标 方程. (× ) (3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为 ������ = -1-������, (t 为参数)所表示的图形是直线. ( √ ) ������ = 2 + ������ (5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ. (× ) (4)参数方程 2, 4 .
������ = ������cos������, + 2 =1(a>b>0)的参数方程为 (θ 为参 ������ = ������ sin ������ ������
2
数).
������ = 2������������ 2 , (4)抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为 (t 为参数). ������ = 2������������
1
-9知识梳理
考点自测
(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为 参数).
������2 (3)椭圆方程 2 ������ ������2
������ = ������ + ������cos������, (θ 为 ������ = ������ + ������sin������.
2
-8知识梳理
考点自测
6.曲线的参数方程 定义:在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y ������ = ������(������), 都是某个变量 t 的函数 并且对于 t 的每一个允许值,上式所 ������ = ������(������), 确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的 参数方程 , 其中变量 t 称为 参数 . (1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为 ������ = ������0 + ������cos������, ������ = ������0 + ������sin������ (t 为参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的数量,即|t|=|������0 ������|,t 可正,可负.使用该式时直线上任意两点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参数 为2(t1+t2).
专题79 极坐标与参数方程-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽(原卷版)
考纲要求:极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。
题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题基础知识回顾:（一）极坐标：1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系2、点坐标的刻画：用一组有序实数对(),ρθ确定平面上点的位置，其中ρ代表该点到极点的距离，而θ表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：[)0,0,2ρθπ>∈3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴重合，则同一个点可具备极坐标(),ρθ和直角坐标(),x y ，那么两种坐标间的转化公式为：222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=⇒+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ，然后进行整体代换即可）（二）参数方程：1、如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩，那么()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数 2、参数方程与一般方程的转化：消参法 （1）代入消参：()323323x t y x y t =+⎧⇒=+-⎨=+⎩（2）整体消参：2211x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由222112t t t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可得：22x y =+（3）平方消参：利用22sin cos 1θθ+=消去参数3、常见图形的参数方程：（1）圆：()()222x a y b r -+-=的参数方程为：[)cos 0,2sin x a r y b r θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中θ为参数，其几何含义为该圆的圆心角（2）椭圆：()222210x y a b a b +=>>的参数方程为[)cos 0,2sin x a y b θθπθ=⎧∈⎨=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为椭圆的离心角（3）双曲线：()222210x y a b a b -=>>的参数方程为[)10,2cos tan x ay b θπθθ⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为双曲线的离心角（4）抛物线：()220y px p =>的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩，其中t 为参数（5）直线：过(),M a b ，倾斜角为θ的直线参数方程为cos sin x a t t R y b t θθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中t 代表该点与M 的距离注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解应用举例:例1．【2018届高三南京市联合体学校调研测试】已知在平面直角坐标系xoy 中， O 为坐标原点，曲线C ：3{3x cos sin y sin cos αααα=+=-（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，有相同单位长度的极坐标系中，直线l ： sin 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)求与直线l 平行且与曲线C 相切的直线的直角坐标方程。
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极坐标与参数方程高考高频题型
除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及
（一）有关圆的题型
题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较
相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2
2
00B
A C By Ax d +++=
，算出d ，在与半径比较。
题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法） 思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2
2
00B
A C By Ax d +++=
第二步：判断直线与圆的位置关系
第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =
题型三：直线与圆的弦长问题
弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离
延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”
（二）距离的最值： ---用“参数法”
1.曲线上的点到直线距离的最值问题
2.点与点的最值问题
“参数法”：设点---套公式--三角辅助角
①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式
③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一
例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，
以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标
的直角坐标方程为.
这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为 因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，
.
（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）
当时）（
13sin =+π
α即当时，的直角坐标为.
xOy 1C ()sin x y ααα⎧=⎪
⎨
=⎪⎩
为参数x 2C sin()4
ρθπ+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α()sin()2|3d π
αα=
=+-2()6
k k Z παπ=+∈()d αP 31
(,)22
（三）直线参数方程的几何意义
1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）
t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα
若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=
t 1＋t 2
2
；
(2)|PM |=|t 0|=
t 1＋t 2
2
；
(3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|
（5）⎪⎩⎪⎨
⎧>+<-+=-=+=+0,0
,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当
（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上）
【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |. 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路
第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程
第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at
第三步：韦达定理：a c
t t a b t t =
-=+2121,
第四步：选择公式代入计算。
例如：已知直线l ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝5＋32
t ，y ＝3＋1
2t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①
将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.② (2)将⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝5＋32
t ，y ＝3＋1
2t 代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.
（四）一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离
思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。
例如：（2016•福建模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
（其中α为参
数），曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）若射线θ=
（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|．
解：（Ⅰ）∵曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），
∴曲线C 1的普通方程为x 2+（y ﹣2）2=7． ∵曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，
∴把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入（x ﹣1）2+y 2=1，
得到曲线C 2的极坐标方程（ρcos θ﹣1）2+（ρsin θ）2=1， 化简，得ρ=2cos θ． （Ⅱ）依题意设A （
），B （
），
∵曲线C 1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ﹣3=0，
将（ρ＞0）代入曲线C
1
的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，
同理，将（ρ＞0）代入曲线C
2
的极坐标方程，得，
∴|AB|=|ρ
1﹣ρ
2
|=3﹣．
（五）面积的最值问题
面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题
例题2016•包头校级二模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为
，A，B两点的极坐标分别为．
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．
解：（1）由，化简得：，
消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，
∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．
由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，
即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，
则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；
（Ⅱ）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），
∴|AB|==2，
设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），
∴P点到直线l的距离为d==，
∴d
min
==2，
则△PAB面积的最小值是S=×2×2=4．。