复变函数与实变函数微积分领域浅析

复变函数与实变函数微积分领域浅析
15051254--唐亮
复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它研究复变数的函数，很幸运这个学期选到陈老师的复变函数，受益匪浅。

复变函数历史悠久，内容丰富，理论十分完美，应用也十分广泛。

首先略微简述一下复变函数的历史。

复数起源于求代数方程的根。

复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。

当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。

后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。

二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

以下我将对已学的复变函数微积分的相关知识做以总结和归纳。

复变函数的微积分理论
㈠复变函数的微分性质
我们知道函数的导数是由极限来定义的，所以我先把复变函数的极限理论做以梳理。

①复变函数极限的概念：函数ω=f(z)定义在z
0的去心邻域0＜│z-z
│＜
ρ内，如果有一确定的数A存在，对于任给的ε＞0，相应的必有一个正数δ(ε)
使得当0＜│z-z
0│＜δ（0＜δ≤ρ)时，有│f(z)-A│＜ε。

即称z→z
是的
极限。

另外复变函数的连续性叙述与实变函数中的叙述是相似的
②复变函数导数的概念：设函数ω=f(z)在包含z
的邻域D内有定义，如果
极限存在，那么f(z)在z
处可导（或可微）。

③复变函数的求导法则：与实变函数一样，求导法则大致相同。

由以上的定义及性质可以看出复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的。

④复变函数可微的必要、充分、充要条件
⒈必要条件，设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)可微，则必Ⅰ偏导数u
x 、u
y
、v
x
、v
y
在点(x,y)存在；Ⅱu(x,y) 、v(x,y)在点（x,y），满足柯西-黎曼方程
⒉充分条件，设函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在
D内一点z=x+iv可微的充分条件是Ⅰu
x 、u
y
、v
x
、v
y
在点（x,y）处连续；Ⅱu(x,
y) 、v(x,y)在点（x,y）处满足柯西-黎曼方程
⒊充要条件，设函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在D内一点z=x+iv可微的充要条件是Ⅰ二元函数u(x,y) 、v(x,y)在点（x,y）处可微Ⅱu(x,y) 、v(x,y)在点（x,y）处满足柯西-黎曼方程
㈡复变函数的积分性质
这一部分主要分为四个部分，分别为不定积分、定积分、柯西定理、积分的计算。

①复变函数的不定积分
区域D内f(z)的带有任意常数的原函数F（z）+C成为 f(z)在D内的不定积分，记为,F（z）+C，这里f(z)为被积函数，z为积分变量。

②复变函数的定积分
复变函数的定积分依然是以黎曼和的形式定义的。

函数ω=f(z)定义在区域D内，C为区域D内的起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意
分成n个弧段，设分点位A=z
0,z
1
, …z
k-1
,z
k
…z
n
=B,每个弧段(k=1、2…n)上任取
一点ζ
k 作和式S
n
=·(z
k
-z
k-1
)=·Δz
k
记δ=max{Δs
k
},(Δs
k
为)，当n无限增
加，且δ→0时，如果不论C的分法及的取法，S
n
有唯一极限，那么称这个极限
值为函数f(z)沿曲线C的积分。

③复变函数的柯西定理（柯西积分定理）
由柯西定理可知如果函数f(z)是单连通区域上的解析函数，则有以下性质：
⒈若C是D内连接两点z
及z的一条简单曲线，那么沿曲线C的积分的值不依
赖于曲线C，而只由z
0及z决定。

⒉固定z
,而z在D内任意取值，上述积分所
确定的函数F（z）在D被解析，且(z)=f(z)⒊若Φ（z）为f(z)在区域D内的原
函数，那么Φ（z）-Φ（z
0）这里z
,z为D内的点。

④复变函数积分的计算
⒈定义法，利用黎曼和式的极限来计算；
⒉利用复变函数积分与坐标曲线的联系；
⒊利用柯西积分定理；
⒋利用柯西积分公式；
⒌参数方程法
实变函数的微积分性质及与复变函数微积分的比较一实变函数导数的定义及性质
设函数y=f(x)在x
0的某个邻域U（x
）内有定义，当自变量x在x
处取得增
量时，相应地函数y取得增量=f(x
0+)-f(x
)，如果极限存在，则称函数y=f(z)
在点x
处可导。

二实变函数微分与导数的关系
函数y=f(x)在点x
0可微的充要条件是f(x)在点x
可导。

区别：由此可以看出复变函数与实变函数关于导数概念的叙述是相似的，即都是由函数值的差与自变量的差之商的极限来定义导数，它们的联系也是密切的，区别则是整个取值的差异。

复变函数在复数域中取值，实变函数在实数域内取值，但两种微分的几何意义是相同的。

——对于微分的性质，实变函数与复变函数有以下两大点的不同：
1解析函数零点的孤立性。

区域D内点点可微的复变函数成为区域D内的解析函数。

在《复变函数论》中，解析函数的零点总是孤立的。

而实变函数体现出的性质则截然相反。

2解析函数的无穷可微性.在复变函数中，若f(z)在区域D内解析，则f(z)在区域D内具有各阶导数，并且它们也在区域D内解析。

复变函数的这一性质称为解析函数的无穷可微性。

实变函数中区间上的可微函数，是不一定具有二阶导数的，更谈不上具有高阶导数，这样的例子很多。

三实变函数的不定积分
设F（x）是f(x)的一个原函数，则f(x)的全体原函数F(x)+C (C为任意的常数)称为f(x)的不定积分。

定积分的计算方法: 1，第一类换元法；2，第二类换元法
四实变函数的定积分
设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入n-1个分点，a=x
0＜x
1
＜x
2
＜…＜x
n =b,把区间[a,b]分成n个小区间[x
,x
1
],[x
1
,x
2
] …[x
n-1
,x
n
],个小区间的
长度依次为=x
1-x
， =x
2
-x
1
, …,= x
n
- x
n-1
,在每个小区间上任取一点ζ，做乘积
f()(i=1,2, …,n)，再作和式，如果不论[a,b]怎样分法，也不论[x
i-1,x
i
]上点
怎样取法，当λ→0时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。

复变函数积分性质与实变函数积分性质的区别
⑴复变函数积分的定义类似数学分析里积分的方法，采取的是分割、近似替代、求和、取极限等步骤来建立的，但形式像一元积分，而实质像曲线积分，也就是复变函数的积分在本质上与实变函数中第一类曲线积分相似。

⑵复变函数积分的牛顿—莱布尼兹公式与实一元函数的牛顿—莱布尼兹公式在形式和结果上几乎是完全一致，但实一元函数积分对函数的要求比复变函数积分对函数的要求要低得多。

用牛顿—莱布尼兹公式计算复变函数积分，首先要解决的是，积分上下限的两点是否可以包含在一个单连通域内，且被积函数f（z）
是否在该单连通域内解析。

⑶复变函数与实变函数积分最大的不同之处是复变函数积分主要研究简单闭曲线上的积分f（z）dz，方法不同于高等数学中的方法，但思想有相同之处。

复合闭路定理或留数定理，表达了边界与内部的联系，在高等数学中的牛顿－莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式同样表达了边界与内部的联系。

复变函数微积分理论应用
复变函数论的方法在力学、物理学、以及工程技术中都有应用，就是把流体力学、弹性力学、电磁学、热学、电工以及通讯中的一些问题转化为复变函数中的一些问题，用解析函数来解决。

而计算一些实积分可以采用留数定理。

①利用复变函数的微分性质研究平面向量场的相关问题。

以静电场为例。

我们知道场内没有其他物体带电的平面静电场既是无源场也是无旋场。

我们可以利用复变函数中的解析函数来构造场E的复势。

②复变函数积分的相关理论在流体力学中的应用
③留数的相关理论在积分计算中应用也较为广泛。

总结
复变函数博大精深，乐趣无穷，我只能浅显的论述一下，但前面还有无垠的真理之海等着我们去探索。