2011届高三数学一轮巩固与练习：正、余弦定理
高三数学一轮复习正弦定理和余弦定理
•∴sinA>0，sinB>0，
•∴sinAcosA＝sinBcosB.
整理课件
20
即 sin2A＝sin2B. 又 2A、2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B 或 2A＋2B＝π. 即 A＝B 或 A＋B＝π2. 因此△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
解析：根据正弦定理sianA＝sibnB得：sin2A＝sin630°⇒sinA
＝ 22，又a<b，∴A<B，A＝45°.
•答案：C
整理课件
8
2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、
b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于( )
1
3
A.4
B.4
2 C. 4
2 D. 3
整理课件
•a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]
•＝b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]
•∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.
•由正弦定理可得：
•sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA.
•即sinAsinB·(sinAcosA－sinBcosB)＝0.
•∵A、B∈(0，π)，
sAinBC＝sBinCA.
于是 AB＝ssiinnCABC＝2BC＝2 5.
(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得
cosA＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝2
5
5 .
于是 sinA＝ 1－cos2A＝整理5课5件.
14
从而 sin2A＝2sinAcosA＝45， cos2A＝cos2A－sin2A＝35.
由正弦定理得 sinB＝bsianA，
因为 b2＝ac 且∠A＝60°，
2011届高三数学一轮复习 3.7 正、余弦定理及应用举例随堂练习 新人教A版
第7讲 正、余弦定理及应用举例一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4 D.π3解析：由余弦定理得：cos∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝25＋9－492×5×3＝－12.∴∠BAC ＝2π3.答案：A2．(2010·改编题)△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A.53 B.54 C.55 D.56解析：由正弦定理得：sin A a ＝sin B b ，又a ＝52b ，A ＝2B ，∴sin 2B 52b ＝sin B b ，∴2cos B ＝52，∴cos B ＝54.答案：B3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 解析：∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，∴c ＝2，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋4－2×1×2cos π3＝3，∴a ＝ 3.答案：D4．(2010·山东烟台模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：由题意得：sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A >π3.因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.答案：D 二、填空题5．(2009·安徽合肥质检)在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则A 的大小是________；AB ＝________.解析：∵2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22，∴A ＝45°或135°(舍去)，∴C ＝180°－A －B ＝75°. ∵AB sin C ＝ABsin 75°＝6sin 60°，∴AB ＝3＋1.答案：45°3＋16．(2010·情景创新题)2009年8月9日，莫拉克台风即将登陆福建省霞浦县，如图，位 于港口O 正东方向20海里的B 处的渔船回港避风时出现故障．位于港口南偏西30°方 向，距港口10海里的C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直 线CB 去营救渔船，则拖轮到达B 处需要________小时．解析：由题意知，∠BOC ＝120°，因为BC 2＝OC 2＋OB 2－2·OC ·OB ·cos 120°＝700，所以BC ＝107，所以拖轮到达B 处需要的时间t ＝10730＝73(小时)． 答案：737．(2010·模拟精选)在△ABC 中，BC ＝4sin 10°，AC ＝2sin 50°，∠C ＝70°，则△ABC 的面积为________．解析：S ＝12ab sin C ＝12×4sin 10°×2sin 50°×sin 70°＝4sin 10°sin 50°sin 70°＝4cos 20°cos 40°cos 80° ＝8sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝4sin 40°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 80°cos 80°2sin 20°＝sin 160°2sin 20°＝12.答案：12三、解答题8．(2010·辽宁营口检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足3sin A －cos A ＝0，cos B ＝45，b ＝2 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由3sin A －cos A ＝0可得3sin A ＝cos A ， 得tan A ＝33，故A ＝π6. 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，且A ＝π6，cos B ＝45，所以C ＝5π6－B ，sin B ＝35，所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－B ＝12cos B ＋32sin B ＝12×45＋32×35＝4＋3310.(2)由(1)知sin A ＝12，sin C ＝4＋3310，sin B ＝35，又因为b ＝23，所以在△ABC 中，由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝533. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×533×23×4＋3310＝4＋332.9．(2009·全国Ⅱ卷)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B＝32，b 2＝ac ，求B .解：由cos(A －C )＋cos B ＝32及B ＝π－(A ＋C )得cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32，即cos A cos C ＋sin A sin C －(cos A cos C －sin A sin C )＝32，所以sin A sin C ＝34.又由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ， 故sin 2B ＝34，sin B ＝32或sin B ＝－32(舍去)，于是B ＝π3或B ＝2π3.又由b 2＝ac 知b ≤a 或b ≤c ，所以B ＝π3.10．(2009·福建厦门调研)在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A (3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2n mile 的C 处的缉私船奉命以 103n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC 中求出BC ，再在△BCD 中求∠BCD .设缉私船用t h 在D 处追上走私船，则有CD =103t ，BD =10t . 在△ABC 中，∵AB =3-1，AC =2，∠BAC =120°， ∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos 120°＝6， ∴BC =6，∵∠CBD =90°+30°=120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD =30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船．1．(2010·创新题)有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下： “在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知a ＝3，B ＝π4，________，求角A .”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝π6.试在横线上将条件补充完整．解析：(1)若破损处的条件为b 边的长度， 则由a sin A ＝bsin B得b ＝a sin Bsin A ＝3sinπ4sinπ6＝6；(2)若破损处的条件为c 边的长度，由A ＋B ＋C ＝π，知C ＝7π12，再用正弦定理，得c ＝32＋62. 故本题答案可以是b ＝6或c ＝32＋62. 答案：b ＝6或c ＝32＋622．(★★★★)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则∠A ＝________，△ABC 为________． 解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .又a 2－c 2＝ac －bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc . 在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.由b 2＝ac ，即a ＝b 2c，代入a 2－c 2＝ac －bc 整理得(b －c )(b 3＋c 3＋cb 2)＝0， ∴b ＝c .则△ABC 为正三角形． 答案：60° 正三角形。
高考数学一轮复习教案(含答案) 第3章 第7节 正弦定理、余弦定理应用举例
第七节 正弦定理、余弦定理应用举例[考纲传真] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．测量中的有关几个术语(2)南偏西α：1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°. ( )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. ( ) (3)方位角的大小范围是[0,2π)，方向角的大小范围一般是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.( )(4)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°. ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B 成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于()A．10 3 n mile B.1063n mileC．5 2 n mile D．5 6 n mile D[如图，在△ABC中，AB＝10，∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°，∴BCsin 60°＝10sin 45°，∴BC＝5 6.]3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B[如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°.]4．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 mD[设塔高为x m，则由已知可得BC＝x m，BD＝3x m，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]5．如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．50 3 m B．25 3 mC．25 2 m D．50 2 mD[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知AC sin B＝ABsin C，即50sin 30°＝ABsin 45°，解得AB＝50 2 m．]1．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)60 [如图所示，过A 作AD ⊥CB且交CB 的延长线于D .在Rt △ADC 中，由AD ＝46 m ，∠ACB ＝30°得AC ＝92 m.在△ABC 中，∠BAC ＝67°－30°＝37°，∠ABC ＝180°－67°＝113°，AC ＝92 m ，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC，得 92sin 113°＝BC sin 37°，即92sin 67°＝BC sin 37°， 解得BC ＝92sin 37°sin 67°≈60(m)．] 2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 103 [如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．]3．如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.32 [在△ABS 中，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得AB sin ∠ASB ＝BS sin ∠BAS，则 AB ＝82sin 45°sin 30°＝16，故此船的船速是160.5＝32 n mile/h.]4．如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________km.64[∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32(km)．在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64 km.]【例1】 (2019·黄山模拟)如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______m.1006 [由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．]如图，从某电视塔CO 的正东方向的A 处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B 处测得塔顶的仰角为45°，AB 间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．521 [如图，可知∠CAO ＝60°，∠AOB ＝150°，∠OBC ＝45°，AB ＝35米．设OC ＝x 米，则OA ＝33x 米，OB ＝x 米． 在△ABO 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos ∠AOB ，即352＝x 23＋x 2－233x 2·cos 150°，整理得x ＝521，所以此电视塔的高度是521米．]【例2】 某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．[解]如图所示，设所需时间为t小时，则AB＝103t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t cos 120°.整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)，∴舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝103，BC＝10.在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠CAB＝ABsin 120°，∴sin∠CAB＝BC·sin 120°AB＝10×3 2103＝1 2.∴∠CAB＝30°.所以舰艇航向为北偏东75°.B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．[解]在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝27 7.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝21 14.。
高考数学一轮总复习课件：正、余弦定理(一)
状元笔记
三角形形状的判定方法 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2RsinA，a2＋ b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系 进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系， 如sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A
方法二：同方法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA. 由正、余弦定理，得a2bb2＋2cb2c－a2＝b2aa2＋2ca2c－b2. ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)． 即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0. ∴a＝b或c2＝a2＋b2. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 【答案】 等腰三角形或直角三角形 【误区警示】 方法一：本题容易由sin2A＝sin2B只得出2A＝2B 而漏掉2A＝π－2B. 方法二：对于(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.容易只得出a2＝b2而漏解．
余弦定理
a2＝___b2_＋__c2_－_2_b_c_co_s_A___；b2＝__a_2＋__c_2－__2_ac_c_os_B____；
c2＝__a_2_＋_b_2_－_2_a_b_co_s_C___．
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
变式：cosA＝____2_b_c____；cosB＝_____2a_c_____；
授人以渔
题型一 利用正、余弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中，已知a＝ 2 ，b＝ 3 ，A＝45°，求
角B，C及边c. 【解析】 方法一：由正弦定理，得sinaA＝sibnB.
∴sinB＝basinA＝
32·sin45°＝
3· 2
22＝
23.
∵b>a，∴B>A＝45°，∴有两解B＝60°或120°.
高考数学人教版(理科)一轮复习课件：第3章第6讲正弦定理和余弦定理课后作业2
弦定理和余弦定理，得c·b2＋2cb2c－a2＝3a·a2＋2ba2b－c2，化简得c2－a2＝b22＝126＝
8.故选B.
解析
6．在△ABC中，C＝23π，AB＝3，则△ABC的周长为( )
A．6sinA＋π3＋3
B．6sinA＋π6＋3
C．2 3sinA＋π3＋3 D．2 3sinA＋π6＋3
答案
B＋C＝135°， (2)0°<B<90°， ⇒45°<C<90°，
0°<C<90° 又sibnB＝sincC＝sianA＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC， bc＝2sin(135°－C)·2sinC＝2sin(2C－45°)＋ 2. 又∵45°<2C－45°<135°⇒ 22<sin(2C－45°)≤1， ∴bc∈(2 2，2＋ 2]．
答案
所以cosA＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝
2h2＋ 10h2－2h2＝2 2· 2h· 10h
5
5.
10 h.
解析
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝1，c＝ 3，∠C＝23π，则△ABC的面积为________．
答案
3 4
解析 由余弦定理得a2＋1－2a× －12 ＝3，解得a＝1，再由三角形的
答案 解析
10．在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝72，则BC＝ ________.
答案 9
答案
解析 如图所示，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，EC.
因为AD是BC边上的中线， 所以AE与BC互相平分， 所以四边形ACEB是平行四边形， 所以BE＝AC＝7. 又AB＝4，AE＝2AD＝7，
高三数学一轮复习26正余弦定理学案
高三数学一轮复习 26.正余弦定理学案【学习目标】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．预习案1．正弦定理asin A＝＝＝2R 其中2R为△ABC外接圆直径．变式：a＝，b＝，c＝ .a∶b∶c＝∶∶ .2．余弦定理a2＝；b2＝；c2＝.变式：cos A＝；cos B＝；cos C＝ .sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A.3．解三角形(1)已知三边a、b、c.运用余弦定理可求三角A、B、C.(2)已知两边a、b及夹角C. 运用余弦定理可求第三边c(3)已知两边a、b及一边对角A. 先用正弦定理，求sin B：sin B＝b sin A a.①A为锐角时，若a<b sin A，；若a＝b sin A，；若b sin A<a<b，；若a≥b，．②A为直角或钝角时，若a≤b，；若a>b，．4．已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边．4．三角形常用面积公式 (1)S＝12a·h a(h a表示a边上的高)．(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A＝abc4R. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．【预习自测】1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角 A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π32．在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝ ( )A.1010B.105C.31010D.553．在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝π3，则∠C的大小为________．4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C ＝________.5．△ABC 中，已知c ＝102，A ＝45°，在a 分别为20,102，2033，10和5的情况下，求相应的角C .探 究 案题型一：利用正余弦定理解斜三角形例1.(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，A ＝45°，求B ，C 及边c .(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．拓展1：(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝________.(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.①求A ； ②若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .题型二：面积问题例2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .(1)求证：B －C ＝π2； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积．拓展2.△ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．题型三：判断三角形形状例3;(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为 ( )A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定(2)在△ABC中，已知a cos A＝b cos B，则△ABC为 ( )A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形拓展3. (1)在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．(2)在△ABC中，A、B、C是三角形的三个内角，a、b、c是三个内角对应的三边，已知b2＋c2＝a2＋bc. ①求角A的大小；②若sin B sin C＝34，试判断△ABC的形状，并说明理由．题型四：解三角形的应用例4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C.(1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.拓展4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－3sin A)cos B ＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围．我的学习总结：（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。
高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理
高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理： 1. 正弦定理： ____________________.强调几个问题：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明R Aa__sin =（R 为ABC ∆的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一； （4）公式的变形：①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；②sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===；③sin sin sin ::::A B C a b c =．（5）三角形面积公式：=∆ABC S ____ ____=______ ___=_____ ___． (6)正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边和一角。
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
2. 余弦定理： =2a _____________________；=2b ____________________； =2c _____________________.强调几个问题：(1)熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；(2)知三求一；(3)当夹角为90 时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）；(4)变形：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+=ac c b a C 2cos 222-+=．（5）余弦定理的应用范围：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3. 解斜三角形(1)．两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ①若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA②若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a三、基础检测：1. 在 中， ，则 等于（ ）A ．B ．C ．D ．2. 若 是 （ ）A ．等边三角形B ．有一内角是30°C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形 3. 在，面积，则BC 长为（ ）A ．B ．75C ．51D ．494．在 中，已知角 则角A 的值是（ ）A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°5． 中，sinB=23sin ,21=C ,则a ：b ：c 为（ ）A.1：3：2B.1：1：3C.1：2：3D.2：1：3或1：1：36. 如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===，则sin C 的值为A ．3B ．6C ．3D ．67.若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为________。
高三数学一轮复习课时作业22 正、余弦定理和三角形面积公式B 新人教A版 理
[时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．[2011·三明联考] 已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75° B．60° C．45° D．30°2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3D.32或343．[2011·衡阳模拟] 如图K22－1，在2011年日本地震引发的海啸灾难的搜救现场，一条搜救犬沿正北方向行进x m 发现生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 发现另一个生命迹象，这时它向右转x ＝( )A ．10 2 m B.1033 m C.1063m D ．10 m4．[2011·汕头一模] 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于________．能力提升5．[2011·株洲调研] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，sin B＋sin C ＝3sin A ，且△ABC 的面积为43sin A ，则角A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.53π 6．[2011·太原模拟] △ABC 中，a ，b ，c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 37．[2011·长沙模拟] 在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，若a ，b ，c 成等比数列，A ＝60°，则b sin Bc＝( )A.12 B ．1 C.22 D.328．△ABC 中，三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin B sin2C等于( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 9．在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．11．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A的值等于________，AC 的取值范围为________．12．(13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0.(1)若b ＝7，a ＋c ＝13，求此三角形的面积；(2)求3sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的取值范围．难点突破13．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋3cos A ＝2.(1)求角A 的大小；(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝45°；③c ＝3b .试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC 的面积(只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分)．课时作业(二十二)B【基础热身】1．B [解析] 由△ABC 的面积为33，得12·BC ·CA sin C ＝33，得sin C ＝32.又△ABC是锐角三角形，则C ＝60°，故选B.2．D [解析] 由正弦定理，有AB sin C ＝AC sin B ，得sin C ＝AB sin30°AC ＝32，C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝32；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC sin30°＝34，故选D.3．C [解析] 如下图，在△ABC 中，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，BC ＝10，∴∠BAC ＝60°，∴AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC，∴AB ＝BC sin ∠ACBsin ∠BAC ＝10×2232＝1063.4．2 [解析] 由正弦定理，有a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sinπ3a ＝12.又a >b ，即A >B ，则B ＝π6，C ＝π－(A ＋B )＝π2. ∴c ＝a 2＋b 2＝2.【能力提升】5．B [解析] 由sin B ＋sin C ＝3sin A 和正弦定理得b ＋c ＝3a ＝23，∴b 2＋c 2＝12－2bc .又△ABC 的面积为43sin A ，∴12bc sin A ＝43sin A ，∴bc ＝83， 故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，得A ＝π3.6．C [解析] 由题意得，2b ＝a ＋c ，S △ABC ＝12ac ·12＝12⇒ac ＝2，所以a 2＋c 2＝4b 2－4.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33，故选C. 7．D [解析] 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b c ＝ab，于是b sin Bc ＝a b ×sin B ＝sin A sin B ×sin B ＝sin A ＝sin60°＝32，故选D.8．B [解析] 由已知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，可设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－14.由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，则sin A ＝a 2R ＝m R ，sin B ＝b 2R ＝3m 2R ，sin C ＝c 2R ＝2mR，∴sin A －2sin B sin2C ＝sin A －2sin B2sin C cos C ＝1－2×322×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2，故选B.9．2 3 [解析] ∵cos C ＝13，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223，又S △ABC ＝43，即12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3.10.π6 [解析] 由sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1，所以B ＝π4.由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝2·si nπ42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)．11．2 (2，3) [解析] 由正弦定理，得AC sin2A ＝BC sin A ，即AC 2sin A cos A ＝1sin A ，∴ACcos A＝2.∵△ABC 是锐角三角形，∴0＜A ＜π2，0＜2A ＜π2，0＜π－3A ＜π2，解得π6＜A ＜π4，由AC ＝2cos A 得AC 的取值范围为(2，3)．12．[解答] 由已知及正弦定理，得 (2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0， 即2sin C cos B －sin(A ＋B )＝0.在△ABC 中，由sin(A ＋B )＝sin C ， 则sin C (2cos B －1)＝0.∵C ∈(0，π)，∴sin C ≠0， ∴2cos B －1＝0，所以B ＝60°. (1)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos60°＝(a ＋c )2－3ac ，即72＝132－3ac ，得ac ＝40，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝10 3.(2)3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，则3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈(]1，2.【难点突破】13．[解答] (1)依题意得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝1，∵0<A <π，∴π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝π2，∴A ＝π6.(2)方案一：选择①②；由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A＝2 2.∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64. ∴S ＝12ab sin C ＝12×2×22×2＋64＝3＋1.方案二：选择①③.由余弦定理b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，即b 2＋3b 2－3b 2＝4，解得b ＝2，c ＝23，所以S ＝12bc sin A ＝12×2×23×12＝ 3.说明：若选择②③，由c ＝3b 得，sin C ＝3sin B ＝62>1不成立，这样的三角形不存在．。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：3.7正弦定理和余弦定理Word版含答案
正、余弦定理掌握正、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．知识点 正弦定理和余弦定理 1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．易误提醒 (1)由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 必记结论 三角形中的常用结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A ，B ，C ≠π2)．[自测练习]1．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2解析：在△ABC 中，易知∠B ＝30°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4.∴b ＝2. 答案：A2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32 解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin B sin A＝32×2232＝2 3.答案：B3．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.答案：1534考点一 利用正弦、余弦定理解三角形|1．(2015·高考广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2D. 3解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝b 2＋12－6b ⇒b 2－6b ＋8＝0⇒(b －2)(b －4)＝0，由b <c ，得b ＝2.答案：C2．(2015·高考安徽卷)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 解析：因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin 45°＝6sin 60°，解得AC ＝2.答案：23．(2015·高考福建卷)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 解析：因为△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以103＝12×5×8×sin A ，解得sin A ＝32，因为角A 为锐角，所以cos A ＝12.根据余弦定理，得BC 2＝52＋82－2×5×8×cos A ＝52＋82－2×5×8×12＝49，所以BC ＝7.答案：7正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．考点二 利用正、余弦定理判断三角形形状|(2015·沈阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． [解] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12.又0<A <π，∴A ＝23π.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， ∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32， ∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B 、C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．判定三角形形状的两条途径(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·(a 2＋b 2－c 2)2ab ＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)△ABC 为等边三角形． ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334，∴bc ＝3，① ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，②由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等边三角形．考点三 三角形的面积问题|(2015·高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． 解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.7.三角变换不等价致误【典例】 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状． [解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )] ＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cosB.法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[易误点评] (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形． (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解． (3)结论表述不规范．[防范措施] (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断．(2)在三角变换过程中，一般不要两边约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解；在利用三角函数关系推证角的关系时，要注意利用诱导公式，不要漏掉角之间关系的某种情况．[跟踪练习] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A ＋tan B ＝2sin C cos A .(1)求角B 的大小；(2)已知a c ＋ca ＝3，求sin A sin C 的值．解：(1)tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B＝sin (A ＋B )cos A cos B ＝sin C cos A cos B， ∵tan A ＋tan B ＝2sin C cos A ，∴sin C cos A cos B ＝2sin Ccos A ，∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)a c ＋c a ＝a 2＋c 2ac ＝b 2＋2ac cos B ac， ∵a c ＋ca ＝3，∴b 2＋2ac cos B ac ＝3， 即b 2＋2ac cosπ3ac ＝3，∴b 2ca＝2，而b 2ca ＝sin 2B sin A sinC ＝sin 2π3sin A sin C ＝34sin A sin C， ∴sin A sin C ＝38.A 组 考点能力演练1．(2016·兰州一模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：因为在锐角△ABC 中，b ＝2a sin B ，由正弦定理得，sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝12，又0<A <π2，所以A ＝30°，故选A.答案：A2．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A 等于( )A.45 B ．－45C.1517D ．－1517解析：S ＋a 2＝(b ＋c )2⇒a 2＝b 2＋c 2－2bc ⎝⎛⎭⎫14sin A －1，由余弦定理得14sin A －1＝cos A ，结合sin 2A ＋cos 2A ＝1，可得cos A ＝－1517.答案：D3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C. 3D ．2解析：∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝3，故选C.答案：C4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53B.107C.57D.5214 解析：因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A ·sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.答案：C5．(2015·唐山一模)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )A.1010 B.31010C.55D.255解析：由已知条件可得图形，如图所示，设CD ＝a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ，∴cos ∠DAC ＝31010. 答案：B6．(2015·高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.答案：47．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.解析：由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×sin A sin C ×cos A ＝2×46×34＝1. 答案：18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.解析：∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B .由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35.答案：359．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23a sin B ＝5c ，cos B ＝1114.(1)求角A 的大小；(2)设BC 边的中点为D ，|AD |＝192，求△ABC 的面积． 解：(1)由cos B ＝1114得sin B ＝5314.又23a sin B ＝5c ，代入得3a ＝7c ， 由a sin A ＝csin C得3sin A ＝7sin C ， 3sin A ＝7sin(A ＋B )，3sin A ＝7sin A cos B ＋7cos A sin B ， 得tan A ＝－3，A ＝2π3.(2)AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝194，c 2＋⎝⎛⎭⎫76c 2－2c ·76c ·1114＝194，c ＝3，则a ＝7. S ＝12ac sin B ＝12×3×7×5314＝1534. 10．(2016·杭州模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C －12c ＝b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由a cos C －12c ＝b 得sin A cos C －12sin C ＝sinB.又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以12sin C ＝－cos A sin C .因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12. 又因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C . l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝1＋23⎝⎛⎭⎫12sin B ＋32cos B ＝1＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. 因为A ＝2π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， 所以B ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3. 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3∈⎝⎛⎦⎤32，1. 所以△ABC 的周长的取值范围为⎝⎛⎦⎤2，233＋1. B 组 高考题型专练1．(2015·高考广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________. 解析：由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b 12，所以b ＝1. 答案：12．(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 解析：由cos A ＝－14得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，故a ＝8.答案：83．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为1.4．(2015·高考湖南卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C . 解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B， 所以sin B ＝cos A .(2)因为sin C －sin A cos B ＝sin[180°－(A ＋B )]－sin A cos B ＝sin(A ＋B )－sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ，所以cos A sin B ＝34. 由(1)sin B ＝cos A ，因此sin 2B ＝34.又B 为钝角，所以sin B ＝32，故B ＝120°. 由cos A ＝sin B ＝32知A ＝30°，从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°. 综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°.5．(2015·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．解：(1)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2，得 tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得 sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B，得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.。
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理学习型教学案(有答案)
高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理学案（有答案）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第五章解三角形与平面向量学案23 正弦定理和余弦定理导学目标：1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．自主梳理．三角形的有关性质在△ABc中，A＋B＋c＝________；a＋b____c，a－b<c；a>b⇔sinA____sinB⇔A____B；三角形面积公式：S△ABc＝12ah＝12absinc＝12acsinB ＝_________________；在三角形中有：sin2A＝sin2B⇔A＝B或________________⇔三角形为等腰或直角三角形；sin＝sinc，sinA＋B2＝cosc2.2．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容________________＝2Ra2＝____________，b2＝____________，c2＝____________.变形形式①a＝__________，b＝__________，c＝__________；②sinA＝________，sinB＝________，sinc＝________；③a∶b∶c＝__________；④a＋b＋csinA＋sinB＋sinc＝asinA cosA＝________________；cosB＝________________；cosc＝_______________.解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.自我检测．若△ABc的三个内角满足sinA∶sinB∶sinc＝5∶11∶13，则△ABcA．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形c．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2．在△ABc中，内角A，B，c的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinc＝23sinB，则A等于A．30°B．60°c．120°D．150°3．在△ABc中，A＝60°，b＝1，△ABc的面积为3，则边a的值为A．27B.21c.13D．34．在△ABc中，角A，B，c所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．5．在△ABc中，若b＝1，c＝3，c＝2π3，则a＝________.探究点一正弦定理的应用例1 在△ABc中，a＝3，b＝2，B＝45°，求角A、c 和边c；在△ABc中，a＝8，B＝60°，c＝75°，求边b和c.变式迁移1 在△ABc中，若tanA＝13，c＝150°，Bc ＝1，则AB＝________；在△ABc中，若a＝50，b＝256，A＝45°，则B＝________.探究点二余弦定理的应用例2 已知a、b、c分别是△ABc中角A、B、c的对边，且a2＋c2－b2＝ac.求角B的大小；若c＝3a，求tanA的值．变式迁移2 在△ABc中，a、b、c分别为A、B、c的对边，B＝2π3，b＝13，a＋c＝4，求a.探究点三正、余弦定理的综合应用例3 在△ABc中，a、b、c分别表示三个内角A、B、c 的对边，如果sin＝sin，试判断该三角形的形状．变式迁移3 在△ABc中，AcAB＝cosBcosc.证明：B＝c；若cosA＝－13，求sin4B＋π3的值．．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．一、选择题．在△ABc中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于A．－223B.223c．－63D.632.在△ABc中AB＝3，Ac=2，Bc=，则AB→Ac→等于A．－32B．－23c.23D.323．在△ABc中，sin2A2＝c－b2c，则△ABc的形状为A．正三角形B．直角三角形c．等腰直角三角形D．等腰三角形4．在△ABc中，若A＝60°，Bc＝43，Ac＝42，则角B 的大小为A．30°B．45°c．135°D．45°或135°5．在△ABc中，角A，B，c所对的边长分别为a，b，c，若c＝120°，c＝2a，则A．a>bB．a<bc．a＝bD．a与b的大小关系不能确定题号2345答案二、填空题6．在△ABc中，B＝60°，b2＝ac，则△ABc的形状为________________．7．已知a，b，c分别是△ABc的三个内角A，B，c所对的边，若a＝1，b＝3，A＋c＝2B，则sinc＝________.8．在锐角△ABc中，AD⊥Bc，垂足为D，且BD∶Dc∶AD ＝2∶3∶6，则∠BAc的大小为________．三、解答题9.在△ABc中，角A，B，c所对的边分别为a，b，c，且满足，AB→Ac→=3.求△ABc的面积；若b＋c＝6，求a的值．0．在△ABc中，已知B＝45°，D是Bc边上的一点，AD ＝10，Ac＝14，Dc＝6，求AB的长．1．设△ABc的内角A、B、c的对边长分别为a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝42bc.求sinA的值；求2sinA＋π4sinB＋c＋π41－cos2A的值．答案自主梳理．π>>>12bcsinA A＋B＝π2 2.asinA＝bsinB＝csinc b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosB a2＋b2－2abcosc ①2RsinA 2RsinB 2Rsinc ②a2R b2R c2R ③sinA∶sinB∶sinc b2＋c2－a22bc a2＋c2－b22ac a2＋b2－c22ab自我检测．c 2.A 3.c4.π65.1课堂活动区例 1 解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABc中．已知a、b和A，求B.若A为锐角，①当a≥b时，有一解；②当a＝bsinA时，有一解；③当bsinA<a<b时，有两解；④当a<bsinA时，无解．若A为直角或钝角，①当a>b时，有一解；②当a ≤b时，无解．解由正弦定理asinA＝bsinB得，sinA＝32.∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，c＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsincsinB＝6＋22；当A＝120°时，c＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsincsinB＝6－22.综上，A＝60°，c＝75°，c＝6＋22，或A＝120°，c＝15°，c＝6－22.∵B＝60°，c＝75°，∴A＝45°.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinc，得b＝a•sinBsinA＝46，c＝a•sincsinA ＝43＋4.∴b＝46，c＝43＋4.变式迁移1 102 60°或120°解析∵在△ABc中，tanA＝13，c＝150°，∴A为锐角，∴sinA＝110.又∵Bc＝1.∴根据正弦定理得AB＝Bc•sincsinA＝102.由b>a，得B>A，由asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝25650×22＝32，∵0°<B<180°∴B＝60°或B＝120°.例2 解∵a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝12.∵0<B<π，∴B＝π3.方法一将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a. 由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝5714.∵0<A<π，∴sinA＝1－cos2A＝2114，∴tanA＝sinAcosA＝35.方法二将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a.由正弦定理，得sinB＝7sinA.由知，B＝π3，∴sinA＝2114.又b＝7a>a，∴B>A，∴cosA＝1－sin2A＝5714.∴tanA＝sinAcosA＝35.方法三∵c＝3a，由正弦定理，得sinc＝3sinA. ∵B＝π3，∴c＝π－＝2π3－A，∴sin＝3sinA，∴sin2π3cosA－cos2π3sinA＝3sinA，∴32cosA＋12sinA＝3sinA，∴5sinA＝3cosA，∴tanA＝sinAcosA＝35.变式迁移2 解由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB ＝a2＋c2－2accos23π＝a2＋c2＋ac＝2－ac.又∵a＋c＝4，b＝13，∴ac＝3，联立a＋c＝4ac＝3，解得a＝1，c＝3，或a＝3，c＝1.∴a等于1或3.例3 解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．解方法一∵sin＝sin⇔a2[sin－sin]＝b2[－sin－sin]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sinAsinB＝0，∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，得2A＝2B或2A＝π－2B，即△ABc是等腰三角形或直角三角形．方法二同方法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得a2b×b2＋c2－a22bc＝b2a×a2＋c2－b22ac，∴a2＝b2，即＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴三角形为等腰三角形或直角三角形．变式迁移 3 解题导引在正弦定理asinA＝bsinB＝csinc＝2R中，2R是指什么？a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2Rsinc的作用是什么？证明在△ABc中，由正弦定理及已知得sinBsinc＝cosBcosc.于是sinBcosc－cosBsinc＝0，即sin＝0.因为－π<B－c<π，从而B－c＝0.所以B＝c.解由A＋B＋c＝π和得A＝π－2B，故cos2B＝－cos＝－cosA＝13.又0<2B<π，于是sin2B＝1－cos22B＝223.从而sin4B＝2sin2Bcos2B＝429，cos4B＝cos22B－sin22B＝－79.所以sin4B＋π3＝sin4Bcosπ3＋cos4Bsinπ3＝42－7318.课后练习区．D 2.D 3.B 4.B 5.A6．等边三角形解析∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴ac＝a2＋c2－ac，∴2＝0，∴a＝c，又B＝60°，∴△ABc为等边三角形．7．1解析由A＋c＝2B及A＋B＋c＝180°知，B＝60°. 由正弦定理知，1sinA＝3sin60°，即sinA＝12.由a<b知，A<B，∴A＝30°，c＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°，∴sinc＝sin90°＝1.8.π4解析设∠BAD＝α，∠DAc＝β，则tanα＝13，tanβ＝12，∴tan∠BAc＝tan＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝13＋121－13×12＝1.∵∠BAc为锐角，∴∠BAc的大小为π4.9．解因为cosA2＝255，所以cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45.……………………………………………………又由AB→•Ac→＝3得bccosA＝3，所以bc＝5，因此S△ABc＝12bcsinA＝2.…………………………………………………………………由知，bc＝5，又b＋c＝6，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2－165bc＝20，所以a＝25.………0．解在△ADc中，AD＝10，Ac＝14，Dc＝6，由余弦定理得，cos∠ADc＝AD2＋Dc2－Ac22AD•Dc＝100＋36－1962×10×6＝－12，…………………………………………………………………∴∠ADc＝120°，∠ADB＝60°.…………………………………………………………在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD•sin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.…………………………………………………………………………1．解∵3b2＋3c2－3a2＝42bc，∴b2＋c2－a2＝423bc.由余弦定理得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝223，……………………………………………又0<A<π，故sinA＝1－cos2A＝13.……………………………………………………原式＝2sinA＋π4sinπ－A＋π41－cos2A………………………………………………………＝2sinA＋π4sinA－π42sin2A＝222sinA＋22cosA22sinA－22cosA2sin2A…………………………………………＝sin2A－cos2A2sin2A＝－72.所以2sinA＋π4sinB＋c＋π41－cos2A＝－72.……………………………………………………。
2011届高三数学一轮复习精品课件：正、余弦定理
基础知识梳理
2.余弦定理的适用条件是什么？ 余弦定理的适用条件是什么？ 余弦定理的适用条件是什么 思考·提示 提示】 (1)已知两边与 【思考 提示】 (1)已知两边与 夹角求第三边； 夹角求第三边； (2)已知三边解三角形 已知三边解三角形； (2)已知三边解三角形； (3)已知两边及一对角求第三边 已知两边及一对角求第三边( (3)已知两边及一对角求第三边( 利用方程思想) 利用方程思想)．
课堂互动讲练
cosB sinB 法二： 法二： ＝－ cosC 2sinA＋ sinC ＋ ＝－sinBcosC ∴2sinAcosB＋ cosBsinC＝－ ＋ ＝－ ∴2sinAcosB＋ sin(B＋C)＝ 0 ＋ ＋ ＝ ∴2sinAcosB＋ sinA＝ 0. ＋ ＝ 1 2 ∴cosB＝－ ，∴B＝ π. ＝－ ＝ 2 3
基础知识梳理
2．余弦定理 ． (1)基本形式：a2＝b2＋c2－2bccosA； 基本形式： 基本形式 ； b2＝a2＋c2－2accosB； ； c2＝a2＋b2－2abcosC. (2)变形式： 变形式： 变形式 2 2 2 2 2 2 a ＋c －b b ＋c －a cosA＝ cosB＝ ＝ ， ＝ ， 2ac 2bc a2＋b2－c2 cosC＝ . ＝ 2ab
课堂互动讲练
【思维总结】 判断三角形形 思维总结】 主要有如下两条途径： 状，主要有如下两条途径： (1)利用正、余弦定理把已知条件 利用正、 利用正 转化为边边关系，通过因式分解、 转化为边边关系，通过因式分解、配 方等得出边的相应关系， 方等得出边的相应关系，从而判断三 角形的形状； 角形的形状；
课堂互动讲练
、 、 例2 在△ ABC 中，a、b、c 分别是 cosB 角 A、B、C 的对边，且 、 、 的对边， ＝－ cosC b . 2a＋c ＋ (1)求角 B 的大小； 求角 的大小； (2)若 b＝ 13， a＋ c＝ 4， 求 ， ＋ ＝ ， 若 ＝ 的面积． △ABC 的面积．
4.6正弦定理和余弦定理课件高三数学一轮复习(1)
a sin
b
c
A＝s_i_n_B_＝_si_n_C_＝2R
b2＋c2－a2
cos A＝______2_b_c__；
常见
c2＋a2－b2
变形 cos B＝_____2_a_c___；
a2＋b2－c2 cos C＝______2_a_b___
(1)求角 A 的值；
解 若选①，由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btan A＝
(2c－b)tan B，
∴由正弦定理得
sin
sin B·cos
AA＝(2sin
C－sin
sin B)·cos
B B.
∵sin B≠0，∴sin Acos B＝2sin Ccos A－sin Bcos A， 即sin(A＋B)＝2sin Ccos A， 即sin C＝2sin Ccos A. ∵sin C≠0，∴cos A＝12. 又 0＜A＜π，∴A＝π3. 若选②，∵cos 2A＋2cos2A2＝1， 化简可得2cos2A＋cos A＝1， 解得 cos A＝21或－1，且 A∈(0，π)，∴A＝π3.
＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b
解的个数 __一__解__
__两__解__
a≥b __一__解__
a>b a≤b _一__解___ __无__解__
3.三角形常用面积公式 (1)S＝12a·ha(ha 表示 a 边上的高). (2)S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A＝a4bRc. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径).
高三数学(文)一轮复习课时作业1.3.7正弦定理与余弦定理 含答案
一、选择题
1．在△ABC中,若2cos B sin A＝sin C,则△ABC一定是（）A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
解析:方法一：由已知结合正、余弦定理得
2·错误!·错误!＝错误!，整理得a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC一定是等腰三角形．
方法二：∵sin C＝sin［π－（A＋B）］＝sin（A＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B，
∴由已知得sin A cos B－cos A sin B＝0,
即sin（A－B）＝0,又A－B∈(－π，π），
∴A－B＝0,即A＝B.
∴△ABC为等腰三角形．
答案:B
2．满足A＝45°,c＝6，a＝2的△ABC的个数记为m，则a m 的值为（)
A．4 B．2 C．1 D．不确定
解析:由正弦定理错误!＝错误!，得sin C＝错误!＝错误!＝错误!.
∵c＞a,∴C＞A＝45°，∴C＝60°或120°，
∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴a m＝4。
答案:A
3．在△ABC中，若错误!＝错误!＝错误!,则△ABC是（）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确
解析：由已知条件及正弦定理，得tan A＝tan B＝tan C,。
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巩固1．(2008年高考陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，∴C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.故选D.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2C.32D. 3 解析：选D.由已知得：12bc sin A ＝12×1×c ×sin60°＝32⇒c ＝2，则由余弦定理可得：a 2＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3⇒a ＝ 3.3．在△ABC 中，cos2B >cos2A 是A >B 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选 C.cos2B >cos2A ⇒1－2sin 2B >1－2sin 2A ⇒sin 2B <sin 2A ⇒sin A >sin B ⇒A >B .4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则∠A ＝________.解析：由已知得：12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)⇒b 2＋c 2－a 22bc＝sin A ，由余弦定理可得cos A ＝sin A ⇒A ＝π4.答案：π45．(原创题)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足a ＋b ＋c ＝2＋1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，则c ＝________；若C ＝π3，则△ABC 的面积S ＝________. 解析：依题意及正弦定理得a ＋b ＝2c ，且a ＋b ＋c ＝2＋1， 因此c ＋2c ＝2＋1，c ＝1，当C ＝π3时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝1，∴(a ＋b )2－3ab ＝1.又a ＋b ＝2，因此2－3ab ＝1，∴ab ＝13，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×13sin π3＝312.答案：1 3126．(2009年高考浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，·＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若c ＝1，求a 的值．解：(1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45. 又由·＝3，得bc cos A ＝3，所以bc ＝5. 因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又c ＝1，所以b ＝5，练习1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23解析：选B.∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又由c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－ac 2ac ＝5a 2－2a 24a 2＝34.2．(2008年高考四川卷)△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( )A.53B.54C.55D.56解析：选B.由正弦定理sin A a ＝sin B b ，又∵a ＝52b ，A ＝2B ，∴sin2B 52b ＝sin B b ，b ≠0，sin B ≠0，∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54.故选B.3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选A.∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14<0.所以△ABC 是钝角三角形．故选A.4.在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：选A.依题意由正弦定理得sin C ＝3sin A ，又B ＝30°，∴sin C ＝3sin(150°－C )＝32cos C ＋32sin C ，即－12sin C ＝32cos C ，∴tan C ＝－ 3.又0°<C <180°，因此C ＝120°.5．满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．不确定解析：选A.由正弦定理a sin A ＝csin C得sin C ＝c sin A a ＝6×222＝32.∵c >a ，∴C >A ＝45°， ∴C ＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m ＝2.∴a m ＝4.6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且ab＝3，则角C 的值为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 解析：选C.由b 2＋c 2－bc ＝a 2得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.又a b ＝3，∴sin A sin B ＝3， ∴sin B ＝33sin A ＝33×32＝12，∴B ＝30°，∴C ＝180°－A －B ＝90°.7．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝________.解析：由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝sin B sin A ·BC ＝2232·12＝23·12＝2·43＝4 6.答案：4 68．在△ABC 中，若AB ＝3，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝60°，则BC 等于________．解析：根据三角形内角和定理知 ∠BAC ＝180°－75°－60°＝45°. 根据正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB ，即BC sin45°＝3sin60°，∴BC ＝3sin45°sin60°＝3×2232＝ 6. 答案： 69．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：如图由余弦定理得：cos BB ＝π3，故AD ＝AB sin π3＝2×32＝ 3.答案： 310．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理，得 AB ＋BC ＋AC ＝2＋1. BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积＝12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13.由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，∴C ＝60°.11．(2009年高考全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .解：由cos(A －C )＋cos B ＝32及B ＝π－(A ＋C )得cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32，cos A cos C ＋sin A sin C －(cos A cos C －sin A sin C )＝32，sin A sin C ＝34.又由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，故sin 2B ＝34，sin B ＝32或sin B ＝－32(舍去)，于是B ＝π3或B ＝2π3.又由b 2＝ac 知b ≤a 或b ≤c ， 所以B ＝π3.12.△ABC 中，角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，且a (cos B ＋cos C )＝b ＋c .(1)求证：A ＝π2；(2)若△ABC 外接圆半径为1，求△ABC 周长的取值范围． 解：(1)证明：∵a (cos B ＋cos C )＝b ＋c∴由余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋c .∴整理得(b ＋c )(a 2－b 2－c 2)＝0.∵b ＋c >0，∴a 2＝b 2＋c 2.故A ＝π2.(2)∵△ABC 外接圆半径为1，A ＝π2，∴a ＝2.∴b ＋c ＝2(sin B ＋cos B )＝22sin(B ＋π4)．∵0<B <π2，∴π4<B ＋π4<3π4，∴2<b ＋c ≤2 2.∴4<a ＋b ＋c ≤2＋22，故△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．。