2011届高三数学一轮巩固与练习：正、余弦定理

巩固

1．(2008年高考陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )

A. 6 B ．2 C. 3 D. 2

解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2

sin C

，

∴sin C ＝1

2.

又∵C 为锐角，∴C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.故选D.

2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，

b ＝1，△ABC 的面积为

3

2

，则a 的值为( ) A ．1 B ．2

C.3

2

D. 3 解析：选D.由已知得：12bc sin A ＝12×1×c ×sin60°＝3

2⇒c ＝2，

则由余弦定理可得：a 2＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3⇒a ＝ 3.

3．在△ABC 中，cos2B >cos2A 是A >B 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选 C.cos2B >cos2A ⇒1－2sin 2B >1－2sin 2A ⇒sin 2B sin B ⇒A >B .

4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝14

(b 2＋c 2

－a 2)，则∠A ＝________.

解析：由已知得：12bc sin A ＝14(b 2＋c 2

－a 2)⇒b 2＋c 2－a 22bc

＝sin A ，由

余弦定理可得cos A ＝sin A ⇒A ＝π

4

.

答案：π4

5．(原创题)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足a ＋b ＋c ＝2＋1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，则c ＝________；若C ＝π

3

，则△ABC 的面积S ＝________. 解析：依题意及正弦定理得a ＋b ＝2c ，且a ＋b ＋c ＝2＋1， 因此c ＋2c ＝2＋1，c ＝1，

当C ＝π

3时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝1，

∴(a ＋b )2－3ab ＝1.

又a ＋b ＝2，因此2－3ab ＝1，

∴ab ＝13

，

则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×13sin π3＝3

12.

答案：1 3

12

6．(2009年高考浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝25

5

，·＝3.

(1)求△ABC 的面积； (2)若c ＝1，求a 的值．

解：(1)因为cos A 2＝25

5

，

所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45. 又由·＝3，得bc cos A ＝3，所以bc ＝5. 因此S △ABC ＝1

2bc sin A ＝2.

(2)由(1)知，bc ＝5，又c ＝1，所以b ＝5，

练习

1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )

A.14

B.34

C.24

D.23

解析：选B.∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又由c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac

＝a 2＋4a 2－ac 2ac ＝5a 2－2a 24a 2＝34

.

2．(2008年高考四川卷)△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝5

2

b ，A ＝2B ，则cos B ＝( )

A.53

B.54

C.55

D.56

解析：选B.由正弦定理sin A a ＝sin B b ，又∵a ＝5

2

b ，A ＝2B ，

∴sin2B 52b ＝sin B b ，b ≠0，sin B ≠0，

∴2cos B 5

2＝1，∴cos B ＝54.故选B.

3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c 2

＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．等边三角形

解析：选A.∵2c 2

＝2a 2

＋2b 2

＋ab ，∴a 2

＋b 2

－c 2

＝－1

2

ab ，

∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－1

4<0.

所以△ABC 是钝角三角形．故选A.

4.在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么C 等于( )

A ．120°

B ．105°

C ．90°

D ．75°

解析：选A.依题意由正弦定理得sin C ＝3sin A ，又B ＝30°，∴sin C ＝3sin(150°－C )＝

32cos C ＋32sin C ，即－12sin C ＝3

2

cos C ，∴tan C ＝－ 3.又0°

5．满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m

的值为( )

A ．4

B ．2

C ．1

D ．不确定

解析：选A.由正弦定理a sin A ＝c

sin C

得sin C ＝c sin A a ＝6×

222＝3

2.

∵c >a ，∴C >A ＝45°， ∴C ＝60°或120°，

∴满足条件的三角形有2个，即m ＝2.∴a m ＝4.

6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且a

b

＝3，则角C 的值为( )

A ．45°

B ．60°