上海中考18题方法举例

18题方法举例：

一、作高，构造直角三角形

1、（杨浦）如图，扇形OAB 的圆心角为2α，点P 为AB 上一点，将此扇形翻折，当点O 和点P 重合时折痕恰巧过点B ，且

65AB PB =，则α正切值为 ▲ .

分析：取弧上一点P,因翻折，所以OB=PB,即AB ：OB=6：5，所以等腰三角形中作高。 2、（奉贤）如图,在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =9，AC =12，点D 在边AC 上，且CD =3

1AC ，过点D 作DE ∥AB ，交边BC 于点E ，将△DCE 绕点E 旋转，使得点D 落在AB 边上的D ’处，则Sin ∠DED ’= ▲ ；

分析：研究∠DED ’，只需旋转线段ED ，不必旋转EC,CD 。过点D ’作DE 的垂线段，得直角三角形，此垂线段长等于AD 所在的短直角边。

3、（浦东）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，23cos =

A ，如果将△ABC 绕着点C 旋转至△A'B'C 的位置，使点B' 落在

∠ACB 的角平分线上，A'B'

与AC 相交于点H ，那么线段CH 的长

等于 ▲ ．

A B O

A B O C A B E D C A B E D

分析：易知∠BCB ’=∠B ’CA=∠A ’CA=45°，∠A ’的三角比已知，作垂线段GH ，设CH=GH=x ，可得A ’H 和A ’C 的表达式，A ’C=2，可解x ，CG=2x 。

4、（松江）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =4，BC =3，点D 为AB 的中点，将△ACD

绕着点C 逆时针旋转，使点A 落在CB 的延长线A '处，点D 落在点D '处，则D B '长为 ．

分析：等腰三角形ACD 旋转得等腰三角形A ’CD ’,作垂线段D ’E ，用∠A ’的三角比计算D ’E ，A ’E ，可求BE ，可得D ’B 。

二、在旋转中找出等腰三角形，构建相似或直角三角形。

1、（浦东改造）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，2

3cos =

A ，如果将△ABC 绕着点C 旋转至△A'B'C 的位置，使点B' 落

在∠ACB 的角平分线上，A'B' 与AC

相交于点H ，那么线段AA ’的长等于

▲ ．

C

A B

D

分析：等腰三角形CBB ’和等腰三角形CAA ’相似，只需求出BB ’，可解比例求AA ’

2、在锐角△ABC 中，AB=5，BC=6，∠ACB=45˚（如图），将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到△A’B’C’（顶点A 、C 分别与A‘、C’对应），当点C 在

线段CA 的延长线上时，则AC'的长度为 .

分析：找出等腰三角形，可证直角，作高求AH 和BH ，再求AC ’。（如右图，AC'的长度为）

三、母子直角三角形中的射影定理（比例中项式）

1、（徐汇）如图已知ABC △中，90B ∠=︒，3BC =，4AB =，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将ADE △沿DE 翻折得到'A DE △，若'A EC △是直角三角形，则AD 长为 ▲ .

如图2，设AD=x ，AA ’=2x ，∠ABA ’=90°时，AC ×AA ’=AB ×AB ，

如图3，设AD=x ，∠EA ’B=90°，证∠A=∠AA ’E=∠A ’BC ，则CA ’×CA=BC ×BC

2、（金山）如图4，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4,3AC BC ==，D 是边AB 上一点，

联结CD，把△ACD沿CD所在的直线翻折，点A落在点E的位置，如果DE∥BC，那么AD的长为▲ .

分析：证出CE⊥AB，可见母子直角三角形，设AD=DE=x，解三角比得DF的表达式，

利用AC×AC=AF×AB解x。（∠A的三角比就是∠E的三角比）