(完整word版)高中数学必修4课后习题答案
人教版高中数学必修4课后习题答案详解05042
第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB u u u r，BA u u u r . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ； 与FD u u u r相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r； 与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r u uu r5、AD =u u u r .6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r同向的共有6对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u u r反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对 2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r； （2）CB u u u r .4、（1）c r ； （2）f u r ； （3）f u r ； （4）g u r . 练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r. 3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r .说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BCuuu r与AB u u u r反向.3、（1）2b a =r r ； （2）74b a =-r r ； （3）12b a =-r r； （4）89b a =r r .4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -r r ； （2）111123a b -+r r； （3）2ya r . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r，所以AC ===u u u r 因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ； （2）AB u u u r ； （3）BA u u u r ； （4）0r ； （5）0r ； （6）CB u u u r ； （7）0r .5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ； （2）102210a b c -+r r r ； （3）132a b +r r ； （4）2()x y b -r .10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r . 11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r，34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =u u u r u u u r ；同理，12HG AC =u u u r u u u r，所以EF HG =u u u r u u u r .习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =u u u r u u u r，（第11题）（第12题）EHGFC AB丙（第1题）BC∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形.（3）四边形ABCD 为菱形.证明：∵AB DC =u u u r u u u r，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r所以BA CD =u u u r u u u r，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ； （2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r；（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ； （4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r.3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ； （2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r； （3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ； （4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u ur(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r（第4题(3)）（第5题）∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r.1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u ur .(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuur 共线. 7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r ，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r 习题2.3 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r uu r .所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积 练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r .2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r 35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r 88θ≈︒.习题2.4 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r 222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r .3、a b +==r r ，a b -==r r .4、证法一：设a r 与b r 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr 的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r()cos a b a b λλθ⋅=r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr 的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-r r r r r r()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+r r11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒. 8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r ， (8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r ，则2292x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是(55a =r或(55a =--r . 11、解：设与a r 垂直的单位向量(,)e x y =r ，则221420x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是,55e =-r或(55e =-r . 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，33(,)c x y =r .先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y ⋅=+r r ，1313a c x x y y ⋅=+r r由a b a c ⋅=⋅r r r r 得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--r r ，所以()0a b c ⋅-=r r r再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c ⋅-=r r r 得 123123()()0x x x y y y -+-=，即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+u u u r u u u r u u u r u u u r . 3、证明：构造向量(,)u a b =r ，(,)v c d =r .cos ,u v u v u v ⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v +=<>r r∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++r r 4、AB AC ⋅u u u r u u u r 的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r 又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r ，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r 所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r ∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r ∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113）（第4题）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r ，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩ 代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =.2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r （2）因为1()2AE a b =+u u u r r r 所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO CO OE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r ；（2）v r 在A v u u r 方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u r u u r . 4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r 的夹角为θ， 则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r ，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r .设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r 为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v g θu u r ，最大投掷距离为20sin 2v g θu u r .O DF E A B C （第2题） （第4题）2、解：设1v u r 与2v u u r 的夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r 的夹角为α，行驶距离为d . 则1sin 10sin sin v v v θθα==u r r r ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r .将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r 所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==- （2）32y x=- 解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos 44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩ 又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=- 第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2AD a b =+u u u r r r 4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2233AD a b =+u u u r r r ，1133BC a b =+u u u r r r 1133EF a b =--u u u r r r ，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u u r r r CE a b =-+u u u r r r 5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r ；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ； （3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r .6、AB u u u r 与CD u u u r 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u u r 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C === 11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r .12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519cos ,cos 820θβ== 第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-r r r r r r .222()2a b a b a b a b+=+=++⋅r r r r r r r r ，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅r r r r r r r r .因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，于是22a b a b a b +=+=-r r r r r r . 再证a b a b a b +=-⇒⊥r r r r r r .由于222a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r由a b a b +=-r r r r 可得0a b ⋅=，于是a b ⊥r所以a b a b a b +=-⇔⊥r r r r r r . 【几何意义是矩形的两条对角线相等】3、证明：先证a b c d =⇒⊥r r r u r22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=-r u r r r r r r r（第6题）又a b =r r ，所以0c d ⋅=r u r ，所以c d ⊥r u r 再证c d a b ⊥⇒=r u r r r .由c d ⊥r u r 得0c d ⋅=r u r ，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=r r r r r r所以a b =r r 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142AE a b =+u u u r r r 而34EF a =u u u r r ，14EM a =u u u u r r ，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=u u u u r u u u r u u u u r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r ，所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r 所以11OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒ 所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7、（18=（千米／时），沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为沿与水流方向成903︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ⋅=u u u r u u u r同理，0OA BC ⋅=u u u r u u u r ，0OC AB ⋅=u u u r u u u r ，所以点O 是ABC ∆的垂心.9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，P 2（第5题）夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =第三章 三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=. cos(2)cos2cos sin 2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=.4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β== 所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=. 练习（P131）1、（1； （2） （3 （4）22、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-； 所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅. 5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）； （5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-； （6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+； （2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+； （3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-； （4）原式=12(cos )cos sin sin ))2333x x x x x πππ=-=+. 7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=， 即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角， 于是4cos 5β===-. 因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(444525210πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α=，所以sin tan (2)cos ααα==-=4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos 8842πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题3.1 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈， 又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-+⨯=6、（1） （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β==.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD = ∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒ 13、（1）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-； （5； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9） （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cos sin ((3ϕϕϕ=-=-=-sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-（第12题）sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sin α==∴1sin 22sin cos 2()339ααα==⨯-⨯=-222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴78cos(2)cos2cos sin 2sin (444929218πππααα-+=-=-⨯--⨯=19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan2θ.习题3.1 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题3.2 A 组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- 1tan tan1142tan()1431tan tan 1()142πθπθπθ+-++===-⋅--⨯∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题3.2 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=. 于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章 复习参考题A 组（P146）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2； （3）2； （4） 提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒-=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒=︒⋅==︒︒6、（1）95； （2）2425；（3）223±. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-；（4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==.8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+ sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边 （4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=，13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=（第13题）。
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人教版高中数学必修4课后习题答案详解
第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =， 2.5CD =，3EF =，22GH =4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ； 与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ； 与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、33AD =. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD同向的共有3对，与AD 反向的也有6对；模的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ； （2）CB .4、（1）c ； （2）f ； （3）f ； （4）g . 练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =； （2）74b a =-； （3）12b a =-； （4）89b a =.4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -； （2）111123a b -+； （3）2ya . 6、图略.习题 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km； （3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =，所以228AC AB AD =+==因为tan4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）0； （2）AB ； （3）BA ； （4）0； （5）0； （6）CB ； （7）0.5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --； （2）102210a b c -+； （3）132a b +； （4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =， 34EC b =，1()8DN b a =-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC =，13AM AB =， 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.（第11题）（第12题）EHGFC AB丙乙（第1题）（第4题(2)）BCD证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形. 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-； （2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-； （3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=； （4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--； （2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-； （3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-； （4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩（第4题(3)）（第5题）∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-. 1(1,2)2AC AB ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)OC OA AC =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)OB OB '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=- 习题 B 组（P101）1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ； 当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --； 当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP =（2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积 练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略 练习（P107）1、2(3)5a =-=，252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒. 习题 A 组（P108）1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=- 2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==()cos a b a b λλθ⋅=()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a ba bθ⋅==-，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是35(,55a =或35(55a =--. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y xy ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是5(,55e =-或5(,55e =-. 习题 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=， 即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.cos ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -= ∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =.2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE =同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-； （2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d v θ=. 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-ODFEABC（第2题）（第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,22)AB =-.将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-CE a b =-+5、（1）(8,8)AB =-，82AB =；（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-； （3）33OA OB ⋅=.（第4题）6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b+=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅.因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-. 再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所（第3题）（第6题）示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18=（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为 沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =P 2（第5题）第三章 三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-+=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β==所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=. 练习（P131）1、（1； （2） （3（4）2 2、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-； 所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin )cos()2333x x x x x πππ=-=+.7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-.因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α=，所以sintan (2)cos ααα==-= 4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos 88πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-+⨯=6、（1）； （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β==.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒（第12题）13、（1）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-； （5）2； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9） （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cossin ((3ϕϕϕ=-=-=- sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sinα== ∴1sin 22sin cos 2(ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan2θ.习题 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题 A 组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- 1tan tan1142tan()1431tan tan 1()142πθπθπθ+-++===-⋅--⨯ ∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=.于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5； （2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章 复习参考题A 组（P146）（第4题）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2； （3）2； （4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒=︒⋅==︒︒6、（1）95； （2）2425；（3）. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-； （4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x +++==---1tan sin 2sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==+-由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示的三角函数式的值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。
人教版高中数学必修4课后习题答案详解
第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB u u u r，BA u u u r . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ； 与FD u u u r相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r； 与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r u uu r5、AD =u u u r .6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r同向的共有6对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u u r反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对 2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r； （2）CB u u u r .4、（1）c r ； （2）f u r ； （3）f u r ； （4）g u r . 练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r. 3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r .说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BCuuu r与AB u u u r反向.3、（1）2b a =r r ； （2）74b a =-r r ； （3）12b a =-r r； （4）89b a =r r .4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -r r ； （2）111123a b -+r r； （3）2ya r . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r，所以AC ===u u u r 因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ； （2）AB u u u r ； （3）BA u u u r ； （4）0r ； （5）0r ； （6）CB u u u r ； （7）0r .5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ； （2）102210a b c -+r r r ； （3）132a b +r r ； （4）2()x y b -r .10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r . 11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r，34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =u u u r u u u r ；同理，12HG AC =u u u r u u u r，所以EF HG =u u u r u u u r .习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =u u u r u u u r，（第11题）（第12题）EHGFC AB丙（第1题）BC∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形.（3）四边形ABCD 为菱形.证明：∵AB DC =u u u r u u u r，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r所以BA CD =u u u r u u u r，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ； （2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r；（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ； （4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r.3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ； （2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r； （3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ； （4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u ur(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r（第4题(3)）（第5题）∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r.1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u ur .(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuur 共线. 7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r ，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r 习题2.3 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r uu r .所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积 练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r .2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r 35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r 88θ≈︒.习题2.4 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r 222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r .3、a b +==r r ，a b -==r r .4、证法一：设a r 与b r 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr 的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r()cos a b a b λλθ⋅=r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr 的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-r r r r r r()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+r r11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒. 8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r ， (8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r ，则2292x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是(55a =r或(55a =--r . 11、解：设与a r 垂直的单位向量(,)e x y =r ，则221420x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是,55e =-r或(55e =-r . 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，33(,)c x y =r .先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y ⋅=+r r ，1313a c x x y y ⋅=+r r由a b a c ⋅=⋅r r r r 得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--r r ，所以()0a b c ⋅-=r r r再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c ⋅-=r r r 得 123123()()0x x x y y y -+-=，即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+u u u r u u u r u u u r u u u r . 3、证明：构造向量(,)u a b =r ，(,)v c d =r .cos ,u v u v u v ⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v +=<>r r∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++r r 4、AB AC ⋅u u u r u u u r 的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r 又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r ，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r 所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r ∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r ∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113）（第4题）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r ，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩ 代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =.2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r （2）因为1()2AE a b =+u u u r r r 所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO CO OE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r ；（2）v r 在A v u u r 方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u r u u r . 4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r 的夹角为θ， 则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r ，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r .设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r 为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v g θu u r ，最大投掷距离为20sin 2v g θu u r .O DF E A B C （第2题） （第4题）2、解：设1v u r 与2v u u r 的夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r 的夹角为α，行驶距离为d . 则1sin 10sin sin v v v θθα==u r r r ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r .将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r 所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==- （2）32y x=- 解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos 44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩ 又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=- 第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2AD a b =+u u u r r r 4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2233AD a b =+u u u r r r ，1133BC a b =+u u u r r r 1133EF a b =--u u u r r r ，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u u r r r CE a b =-+u u u r r r 5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r ；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ； （3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r .6、AB u u u r 与CD u u u r 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u u r 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C === 11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r .12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519cos ,cos 820θβ== 第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-r r r r r r .222()2a b a b a b a b+=+=++⋅r r r r r r r r ，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅r r r r r r r r .因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，于是22a b a b a b +=+=-r r r r r r . 再证a b a b a b +=-⇒⊥r r r r r r .由于222a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r由a b a b +=-r r r r 可得0a b ⋅=，于是a b ⊥r所以a b a b a b +=-⇔⊥r r r r r r . 【几何意义是矩形的两条对角线相等】3、证明：先证a b c d =⇒⊥r r r u r22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=-r u r r r r r r r（第6题）又a b =r r ，所以0c d ⋅=r u r ，所以c d ⊥r u r 再证c d a b ⊥⇒=r u r r r .由c d ⊥r u r 得0c d ⋅=r u r ，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=r r r r r r所以a b =r r 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142AE a b =+u u u r r r 而34EF a =u u u r r ，14EM a =u u u u r r ，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=u u u u r u u u r u u u u r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r ，所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r 所以11OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒ 所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7、（18=（千米／时），沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为沿与水流方向成903︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ⋅=u u u r u u u r同理，0OA BC ⋅=u u u r u u u r ，0OC AB ⋅=u u u r u u u r ，所以点O 是ABC ∆的垂心.9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，P 2（第5题）夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =第三章 三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=. cos(2)cos2cos sin 2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=.4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β== 所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=. 练习（P131）1、（1； （2） （3 （4）22、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-； 所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅. 5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）； （5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-； （6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+； （2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+； （3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-； （4）原式=12(cos )cos sin sin ))2333x x x x x πππ=-=+. 7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=， 即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角， 于是4cos 5β===-. 因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(444525210πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α=，所以sin tan (2)cos ααα==-=4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos 8842πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题3.1 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈， 又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-+⨯=6、（1） （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β==.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD = ∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒ 13、（1）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-； （5； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9） （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cos sin ((3ϕϕϕ=-=-=-sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-（第12题）sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sin α==∴1sin 22sin cos 2()339ααα==⨯-⨯=-222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴78cos(2)cos2cos sin 2sin (444929218πππααα-+=-=-⨯--⨯=19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan2θ.习题3.1 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题3.2 A 组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- 1tan tan1142tan()1431tan tan 1()142πθπθπθ+-++===-⋅--⨯∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题3.2 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=. 于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章 复习参考题A 组（P146）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2； （3）2； （4） 提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒-=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒=︒⋅==︒︒6、（1）95； （2）2425；（3）223±. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-；（4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==.8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+ sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边 （4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=，13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=（第13题）。
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练习(第5页》1. 锐角是第一象限你第•象限你不一定是锐角;直角不膩于任何一个象限•不属于任何•个象限的角不一・定丛亢如：饨介迢第二象Wfft.第二绘限角不一定址钝介.说阴认识•说升广、-直角”•“mr和係限角”的区别埒联系.2•三•三• it.说明本題的II的足将终边相同的仰的符',;哦示应川到找他周期件何題匕题||联系实臥把教科筋中的除数360换戍毎个凡期的夭数7.利川了-M余”(这里余数是3)來确定7怡无氐7 k JjiU 也祁見川期•.这样的练习不难.町以II答.3•⑴第一魏探伽(2)第阿糾W伽(3)第二録限角$⑷第三簽限如.说明能作出结定的仰.并判定是第儿feRlfft・用略.4. ⑴305°・挖・第冋象Oh <2) 35鴛・第一象限伽⑶24『30'・第垛限处•说明能住给定范鬧内找出勺指定的角终边相同的角•并判定圧笫儿象瞅也・5. (1) «0|0 1303m 360°. AW引.-496*42\ —136°42‘・ 223。
叭(2) 〃|0= 225°M • 360°. W \、585°. - 225\ 135：说明用集合花示法和符号指定和终边柜同的介的集令•并在给定范田内找;l「j描定的角终边HI同的介. 练习C第9页)1. (1)令. (2)孕⑶攀说明能进行度U加度的换贰2. (!) 15°；<2) 210°€Ci) 54°.说明能进行瓶度9度的换◎・3. (I) {a | o= kK. it^Z}: (Z) ”！a=专十阪点€紂・说明川弧废；《丧示终边分别轴和y轴I：的"啲集舍.4. (I) cos 0. 75°・cos (L 75; (Z) tan L 2°"<^nni L 2$说明体会1诃数値不同的位的角对应的三角函数値町能不同•并进-步认识两种尬位制.注盘先用计算器求Jh函数血之前.耍先对il•算器中和的模式进行设證.如求cox«.75^i%•變将仰模人设比为"EG(用处制)；求CON O.75之|條賞将巾校成设汽为RAIN丸懐制).r w5盲机说明通过分别込川佝加制和软度制下的孤氏公儿体会引人毎度制的必茨性・6. 如度数为1.2.说明进•少认沢弧直数的绝对備公式.匀題I. 1 (第9贡》A俎1. (I)95\第二彖服(2) «0\第一彖服(3) 236W.第三象Rh ⑷:iOO\第四象限.说明能任给定范附内找出习指定的角终边相同的角，并判定是第儿彖限角.2. S I cr A • |&)°・ itez}.说明将终边相I同的仰用集介表斥.3. ( I) {fl\p 60° + k - 360'• k^Z}.— 30O\ 60°；⑵ SI" -75+. 360°. «eZh 一75°. 285•:(3) SI” 一82十3()+・36(汽JtGZ). — 1(M'3()\ 255°30气⑷{p\p 475+• 3$(几翳幼-215% 115^⑸ }屮=90°+£・ 360°. &WZ). - 270°, 90°;<«)270° + 女• ：<6(代JteZ}. - 90\ 270%(7){P\P IKO Q I - 360°, XZ}・ 1«0\ 18(f|(«)出|陰*任(几圧2}・-360°. 0°.说明川集伶衣〃湫和符号诸护孑出与能定角终边郴何的角的集合•并住绻定范IR内找出号指崔的角终边柏胡的角.5. (1> (:.说明14 为 <^< aV9O°・所以0°V 2a< 180\(2> I).说明冈为◎ • 360°0<90°十& • 360\ Jt€Z.所以k• 180'V号<45°十点• 1«()\ k"、半k为奇数时•；址第垛限伽臥为偶数时.号是第一象限角.6. 不等『1知址这是因为等于半轻长的弧所对的阀心角为】孤度•而零干半径氏的弦所对的弧比半径长.说明了解瓠度的槪念.说明能逬行麼吋加度的换算.& （1）— 210°; （2）600°；（3） 80.21\ （4） 3& 2°.说明能进行加度勺度的换算.9. 61°.说明町以先运用麵度制下的如氏公式求岀関心介的弧度数•卩術弧度换算为度・也町以K接运川血度制下的就尺公式.10. 11 CDL说明町以先将度换笫为匏度•再运川弧度制下的如氏公式•也可以M接运川角皮制卜的颅辰公式.1. <1）〈略）<2）设m子的阀心巾为0•山-7—52--------- =0.618.討（2兀一4〉0=0・ 618（2 穴一0）.说明水題址一个数学实嘶动.Mil对“芙观的阳子"并没右给出标准.II的址止学生先占体验.然麻评运川所学知讲发现.大寥数血子之所以“芙观”是冈为射都満足舟Q・GI8（黄金分割比）的逍理.2. ⑴时针转了120\等于一竽弧喪）分针转了一14彳0°・筹于一&瓠度.（2）设经过八nin分针就9时针改合.川为两针31合的次数.因为分针旋转的如速朋为时什施转的如速度为矗5=盏（rad/min>-（計—希）用计算机或计算需作出函效戶誥的图象（如下页图）或汲格.从屮吋淸楚地介列时什'j分针每次1R 合所尙的吋间.因为HHI&E 转一夭所需的时何为24X60=1 440(min).所以等曲440. 川W22・故时fl 七分针一天内只会磴合22次.说明 通过时什与分针的旋转问題进…步地认识弧度的概念•并将何題引向深入•用南数思想进行 分析.在研究时针与分针一犬的亟合次数时.可利用计算器或计算机•从模拟的图形、衣格中的数 据.换数的解析式或图象等角度.不堆得到正确的结论.3・ 864\ 警• 15l ・27rna说明 通过W 轮的转动何题进一步地认识弧度的概念和弧长公式•当大垢轮转动•周时•小片轮转 动的加处器 X 360。
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第二章平面向量2．1 平面向量的实质背景及基本观点练习（P77）1、略.uuur uuur这两个向量的长度相等，但它们不等 .2、AB，BA .uuur uuur uuur uuur3、 AB2， CD 2.5 ， EF3，GH 2 2.4、（ 1）它们的终点同样；（2）它们的终点不一样 .习题 A 组（P77）1、（ 2 ）B45°O30°CAD.CA Buuur uuur uuuruuur uuur uuur3、与 DE 相等的向量有：AF , FC ；与 EF 相等的向量有： BD , DA ；uuur uuur uuur与 FD 相等的向量有： CE , EB .r uuur uuur uurr uuuur uuur4、与 a 相等的向量有：CO , QP, SR；与 b 相等的向量有： PM , DO ；r uuur uuur uuur与 c 相等的向量有： DC , RQ, STuuur 3 36、（1）×；（2）√；（3）√；（4）× .5、 AD.2习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量 .uuuur2、相等的向量共有24 对.模为 1的向量有 18对 . 此中与 AM 同向的共有 6uuuur uuur uuur对，与 AM 反向的也有 6 对；与 AD 同向的共有 3 对，与 AD 反向的也有 6 对；模为 2 的向量共有 4 对；模为 2 的向量有 2 对2．2 平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略 .2、图略 .uuur uuur3、（1） DA ； （2） CB .r ururur 4、（ 1） c ； （ 2） f ； （3） f ；（ 4） g . 练习（P87） uuuruuur uuur1、图略 . uuur uuur3、图略 .2、DB ，CA ， AC ，AD ，BA.练习（P90）1、图略 .5 uuur uuur 2 uuuruuur2、 ACAB ，BCAB .7 7uuur说明：此题可先画一个表示图，依据图形简单得出正确答案. 值得注意的是BCuuur与 AB 反向.rrr7rr1rr8r3、（ 1） b2a ；（2） b4 a ；（3） ba ；（4） ba .294、（ 1）共线；（ 2）共线 .r r（ 2）11r1rr6、图略 .5、（ 1） 3a2b ；12 ab ；（ 3） 2 ya .习题 A 组（P91）31、（ 1）向东走 20 km ； （2）向东走 5 km ； （3）向东北走 10 2 km ；（ 4）向西南走 5 2 km ；（ 5）向西北走 10 2 km ；（6）向东南走 10 2 km.2、飞机飞翔的行程为 700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞翔 500 km.uuur uuur3、解：如右图所示： AB 表示船速， AD 表示河水的流速，以 AB 、 AD 为邻边作 □ ABCD ，则uuurAC 表示船实质航行的速度 .uuur uuur在 Rt △ABC 中， AB 8 ， AD 2 ，uuuruuur 2uuur 2222 17所以 ACAB AD82 因为 tan CAD4 ，由计算器得 CAD 76BCAD水流方向所以，实质航行的速度是 2 17 km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为 76°.r uuur uuur r r uuur4、（1） 0； （2） AB ； （3） BA ； （4）0 ； （5）0 ； （6）CB ； （7） r0 .5、略6、不必定组成三角形 . 说明：联合向量加法的三角形法例，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段必定能组成三角形 .7、略. 8、（1）略； r r r r r r（2）当 a b 时， a b a b9、（1） r r rr r ；r 1 r（ 4）2( xr2a2b ； （ 2）10a 22b 10c （3）3a b ； y)b .r r ur r rur uur r r uruur 210、 a b 4e 1 ， a be 1 4e 2 ， 3a 2b3e 1 10e 2 .uuurr uuur r 11、如下图， OCa ， ODb ，uuur r r uuur r rDCb a ， BCa b .（第 11 题）uuur1ruuurr r uuur 1 r r uuur 3 r12、 AEb ， BCb a ， DE (b a) ， DBa ，44 1 uuuur4uuur3ruuur1 r r uuur 1 r rEC b ， DN8 (b a) ， AN 4 AM (ab) .4813、证明：在ABC 中， E, F 分别是 AB, BC 的中点，所以 EF //AC 且EF 1AC ，（第 12 题）Guuur 1 uuur2D即 EF 2 AC ；1 uuuruuur同理， HG AC ，H2 uuur uuur所以 EFHG .E习题 B 组（P92） A（第 13 题）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地 1400 km.乙2、不必定相等，能够考证在 r ra,b 不共线时它们不相等 .uuuur uuur uuuuruuur 1 uuur uuuur 1 uuur3、证明：因为 MN AN AM ，而 AN3 AC ， AMAB ，1 uuur1 uuur1 uuur 3uuuur1 uuur uuur所以 MN3 AC3 AB 3 ( AC AB) 3 BC .甲4、（ 1）四边形 ABCD 为平行四边形，证略（第 1 题）（ 2）四边形 ABCD 为梯形 .Cuuur 1 uuur证明：∵ AD BC ，3∴ AD//BC 且 AD BC∴四边形 ABCD 为梯形 .DCFB丙BA（ 3）四边形 ABCD 为菱形 .（第 4 题 (2)）uuur uuurB证明：∵ AB DC ，∴ AB/ /DC 且 AB DC C A∴四边形 ABCD 为平行四边形uuur uuurD又 AB AD（第 4题 (3)）∴四边形 ABCD 为菱形.M5、（ 1）经过作图能够发现四边形ABCD 为平行四边形.uuur uuur uuur uuur uuur uuur证明：因为 OA OB BA，OD OC CDuuur uuur uuur uuur A D而OA OC OB ODuuur uuur uuur uuur B C 所以 OA OB OD OCuuur uuurO所以 BA CD ，即AB∥CD.所以，四边形 ABCD 为平行四边形.（第 5题）2．3 平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）r r r r r r r r1、（ 1） a b(3,6) ， a b(7,2) ；（ 2） a b(1,11)， a b(7,5)；r r r r(4,6) ；r r r r(3,4) .（ 3） a b(0,0) ， a b（4） a b(3, 4) ， a b r r r r(12,5) .2、 2a 4b( 6,8) ， 4a3buuur(3, 4)uuur( 3,4) ；uuur(9,1)uuur(9,1)3、（ 1） AB， BA（2） AB， BA；uuur(0, 2)uuur(0,2)uuur uuur(5,0)（3） AB， BA；（4） AB(5,0) ， BA4、AB∥CD .uuur uuur(1,uuur uuur证明： AB(1, 1) ， CD1) ，所以 ABCD.所以AB∥CD .5、（1）(3, 2)；（ 2） (1,4) ；（3）(4,5) .6、(10,1)或(14,1)33uuur3uuur uuur3 uuur7、解：设 P( x, y) ，由点P在线段AB的延伸线上，且AP2PB ，得 AP2PBuuur uuur( x, y) (2,3)( x(4,3)(x, y)(4x,3y) AP2, y 3) ， PB3x23(4x)∴ ( x2, y3)x, 3 y)∴2(43( 32y3y)2x 8 ∴，所以点 P 的坐标为 (8, 15) .y15习题A 组（P101）1、（ 1） ( 2,1) ；（ 2） (0,8) ；（ 3） (1,2) .说明：解题时可设 B(x, y) ，利用向量坐标的定义解题 .uur uur uur 2、 F 1 F 2 F 3(8,0)uuur ( 1, uuur (53,6 (1)) (2,7)3、解法一： OA 2)，BCuuuruuur uuur uuuruuur uuur uuur (1,5) .所以点 D 的坐而 ADBC ，ODOAADOA BC标为 (1,5) .uuur ( x( 1), y ( 2)) ( x 1, y2) ，解法二：设 D( x, y) ，则 AD uuur (5 3,6 ( 1)) (2,7)BCuuur uuur1 2，解得点 D 的坐标为 (1,5) .由 ADBC 可得， xy 2 7uuur uuur2,4) .4、解： OA (1,1)， AB (uuur 1 uuuruuuruuuruuur1 uuur(1, 2) .ACAB ( 1,2) ， AD2 AB( 4,8) ， AE2AB2uuur uuur uuur(0,3) ，所以，点 C 的坐标为 (0,3) ； OC OA ACuuur uuur uuur ( 3,9) ，所以，点 D 的坐标为 (3,9)OD OA AD；uuur uuur uuur(2, 1) ，所以，点 E 的坐标为 (2,1) .OE OA AE r r (2,3)(x,6)，所以23，解得 x 4 .5、由向量 a,b 共线得x 6uuur (4, 4) uuur ( 8,uuur uuur uuuruuur 6、 AB ， CD 8)，CD 2AB ，所以 AB 与CD 共线 .uuuruuur(2, 4) ，所以点 A 的坐标为 (2, 4) ；7、 OA2OAuuur uuur ( 3,9)B 的坐标为( 3,9)OB 3OB ，所以点；故uuuur( 3,9) (2, 4) ( 5,5)A B 习题B 组（P101）uuur (1,2)uuur (3,3) . 1、 OA ， AB当 tuuur uuur uuur uuur(4,5) ，所以 P(4,5) ； 1时， OP OA AB OB当 t1 uuur uuur1 uuur(1,2) 3 35 7 ) ，所以 5 , 7时， OPOAAB( , ) ( , P( ) ；222 2 2 2 2 2uuur uuuruuur( 5, 4) ，所以 P( 5, 4)；当 t2时， OP OA 2AB(1,2) (6,6) 当 tuuur uuur uuur (7,8) ，所以 P(7,8) .2时， OP OA 2 AB (1,2) (6,6)uuur ( 4, 6) uuur uuur uuur2、（1）因为 AB ， AC (1,1.5) ，所以 AB4AC ，所以 A 、B 、C 三 点共线；uuuruuuruuur uuur（ 2）因为 PQ(1.5,2)，PR(6, 8) ，所以 PR 4PQ ，所以 P 、Q 、R 三点共线；uuuruuur( 8,( 1, uuur uuur（ 3）因为 EF4) ，EG 0.5) ，所以 EF 8EG ，所以 E 、F 、G三点共线 .uruur r ur uur3、证明：假定10 ，则由 1 e 12 e 2 0 ，得 e 12e 2 .1ur uurur uur 是平面内的一组基底矛盾 ,所以 e 1 ,e 2 是共线向量，与已知 e 1,e 2 所以假定错误，10 .同理 2 0 .综上 120 .uuuruuur ur uur4、（1） OP19 .（ 2）关于随意愿量 OP xe 1 ye 2 ， x, y 都是独一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理 .2．4 平面向量的数目积 练习（P106）ur rur r ur r 8 6124 .1、 p q p q cos p, q2r rr rABC 为直角三角形 .2、当 a b 0 时，ABC 为钝角三角形；当 a b 0 时，3、投影分别为 3 2 ， 0， 3 2 . 图略 练习（P107）r( 3)2 42r 52 22r r35427 .1、 a 5 ， b29 ， a br rr r rrr r rr r49 .2、 a b8 ， (a b)(a b)7 ， a (b c) 0 ， (a b)2r r rr74，88 . 3、 a b 1， a13 ， b习题 A 组（P108）r r r rr 2 r r r 2r r25 12 3.1、 a b6 3 ， (a b)2 a2a b b25 12 3 ， a buuur uuuruuur uuur 20 .2、 BC 与 CA 的夹角为 120°， BC CAr rr 2 r r r 2r rr 2 r r r 2 35 .3、 a ba 2ab b23 ， a ba 2ab br r4、证法一：设 a 与 b 的夹角为 .（ 1）当 0 时，等式明显建立；（ 2）当r r rr时， a 与 b ， a 与 b 的夹角都为 ，所以( r r r r r ra) b a b cosa b cos r rr r( a b)a b cosr r r r r r a ( b)ab cosa b cosr rr r r r所以 ( a) b(a b) a ( b) ；（ 3）当r r r r180时， a 与 b ， a 与 b 的夹角都为 ，则 (r r r r ) r r a) b a b cos(180 a b cosr r r r r r ( a b)a b cosa b cosr r r r )r r a ( b)ab cos(180a b cosr rr r r r 所以 ( a) b(a b) a ( b) ；综上所述，等式建立 .r r证法二：设 a (x 1, y 1 ) ， b ( x 2 , y 2 ) ，r r那么 ( a) b ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) x 1 x 2 y 1 y 2 r r( a b) ( x 1 , y 1 ) ( x 2, y 2 ) ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) x 1x 2 y 1 y 2r r a ( b) (x 1, y 1 ) ( x 2 , y 2 ) x 1x 2 y 1 y 2所以 (r rr r r ra) b (a b)a ( b) ；5、（ 1）直角三角形， B 为直角 .uuur( 1, 4)(5, 2) ( 6, 6)uuur(3, 4)(5, 2) ( 2, 2)证明：∵ BA ， BCuuur uuur 6 ( 2) ( 6)2 0∴ BA BCuuur uuur B 为直角，ABC 为直角三角形∴ BABC ， （ 2）直角三角形， A 为直角uuur (19,4) ( 2, 3) (21,7)uuur ( 1, 6) ( 2,3) (1, 3)证明：∵ AB ， ACuuur uuur21 1 7 ( 3) 0∴ AB ACuuur uuur A 为直角，ABC 为直角三角形∴ ABAC ，（ 3）直角三角形， B 为直角uuuruuur证明：∵ BA (2,5) (5, 2)( 3,3) ， BC(10,7) (5, 2) (5,5)uuur uuur 3 5 3 5 0∴BA BCuuur uuur B 为直角，ABC 为直角三角形∴ BABC ， 6、 135 . 7、120 .r r r r r 2 r r r 2 r r 6 ，(2a 3b)(2 a b)4a 4a b 3b 61 ，于是可得 a br r 1cosa b，所以 120 .r r2a b8、 cos23 ， 55 .40uuuruuur9、证明：∵ AB(5, 2) (1,0) (4, 2) ， BC(8, 4)(5, 2) (3,6) ，uuur(8, 4) (4,6) (4, 2)DCuuur uuur uuur uuur 4 3 ( 2) 6 0∴ AB DC ，AB BC∴ A, B,C , D 为极点的四边形是矩形 .r( x, y) ，10、解：设 ax 2y 2 9x 3 5x 3 5则y ，解得6 5 ，或 5 .x2y5 y6 55 5rr 3 5 , 6 5).于是 a (3 5 , 6 5) 或 a (5 55 5r r11、解：设与 a 垂直的单位向量 e (x, y) ，则 x2y 21x5或 x5，解得 5 5 . 4x2 y 0 y2 5 2 55 y 5r 5 ,r 5,2 5). 于是 e (2 5) 或 e (5555习题 B 组（P108）r r r r r rr rr r rr r r 1、证法一： a b a ca b a ca (b c)a(b c)rr r证法二：设 a( x 1 , y 1) ， b (x 2 , y 2 ) ， c ( x 3 , y 3 ) .r r r rr r r 先证 a b a ca(b c)r rr ra b x 1 x 2y 1 y 2 ， a c x 1 x 3 y 1 y 3r r r r由a b a c得x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 3 y 1 y 3，即x 1( x 2 x 3 ) y 1 ( y 2y 3 ) 0r rr r r而 b c ( x 2 x 3 , y 2y 3 ) ，所以 a (b c) 0rr r r r r r 再证 a(b c)a b a cr r r由 a (b c)0 得 x 1 (x 2x 3 ) y 1 ( y 2 y 3 )0 ，r rr r 即 x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 3 y 1 y 3 ，所以 a ba cuuur uuur2、 cos AOBOA OB cos cos sinsin .uuur uuurOA OBr r (c, d) .3、证明：结构向量 u (a,b) ， vr r r r r r，所以 acbda 2b 2c 2d 2 cos r ru v u v cos u,vu, v∴ (ac bd )2 (a 2 b 2 )(c 2d 2 ) cos 2 r r ( a 2 b 2 )( c 2 d 2 )u, vuuur uuur 4、 AB AC 的值只与弦 AB 的长相关，与圆的半径没关 .C证明：取 AB 的中点 M ，连结 CM ，则 CMuuuur 1 uuurAB，AM AB2uuuuruuur uuur uuur uuurBAC AM又AB AC AB AC cos BAC ，而uuurAC uuur uuur uuur uuuur1uuur 2所以 AB AC AB AM2ABuuur uuur 2uuur 25、（ 1）勾股定理：Rt ABC中，C902，则 CA CB ABuuur uuur uuur证明：∵ AB CB CAuuur 2uuur uuur uuur 2uuur uuur uuur 2∴ AB(CB CA)2CB2CA CB CA .uuur uuur由 C 90 ，有 CA CB，于是CA CB 0uuur 2uuur2uuur2∴ CA CB AB（2）菱形ABCD中，求证：AC BDuuur uuur uuur uuur uuur uuur证明：∵ AC AB AD， DB AB AD ,uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2uuur 2∴ AC DB (AB AD) (AB AD)AB AD .∵四边形 ABCD 为菱形，∴ ABuuur 2uuur 2 AD ，所以AB AD0uuur uuurBD∴ AC DB 0，所以AC（3）长方形ABCD中，求证：AC BDuuur uuur 证明：∵ 四边形 ABCD 为长方形，所以 AB0AD ，所以AB ADuuur 2uuur uuur uuur 2uuur 2uuur uuur uuur 2.∴ AB2AB AD AD AB2AB AD ADuuur uuur uuur uuur uuur2uuur2BD ∴ (AB AD )2 (AB AD )2，所以 AC BD，所以 AC （4）正方形的对角线垂直均分. 综合以上（ 2）（ 3）的证明即可 .2．5 平面向量应用举例习题 A 组（P113）1、解：设 P(x, y) ， R( x1 , y1)uuur uuur则 RA(1,0)(x1, y1 )(1x1,y1 ) ，AP(x, y)(1,0)( x1,0)uuur uuurx1,y1)2( x1, y) ，即x12x3由 RA2AP 得(1y12y代入直线 l 的方程得 y 2x . 所以，点 P 的轨迹方程为 y2x .A2、解：（1）易知， OFD ∽ OBC ， DF1BC ,2BF .2DF所以 BOuuur uuur 32 uuurr 2 1 r rr1rrOuuurAOBOBABF a3 ( ba)a(a b)uuurr323BCr E（2）因为 AE1(ab)2（第 2 题） uuur 2 uuurAO 所以 AOAE ，所以 A,O, E 三点共线，并且23OE同理可知：BO2,CO2 ，所以AOBO CO 2r uur uurOFODOEOFOD3、解：（1） v v B v A( 2,7) ；uurr uurrv v A 13 . （2） v 在 v A 方向上的投影为uurv A5（第 4题）uuruur ur ur uur4、解：设 F 1 ， F 2 的协力为 F ， F 与 F 1 的夹角为 ，ur uur uur uur则 F 3 1， 30 ； F 3 3 1 ， F 3 与 F 1 的夹角为 150°. 习题 B 组（P113）uuruuruur1、解：设 v 0 在水平方向的速度大小为v x ，竖直方向的速度的大小为v y ，uur uur uur uursin .则 v x v 0 cos ， v y v 0设 在 时 刻 t时 的 上 升 高 度 为 h ， 抛 掷 距 离 为 s， 则uur1gt,( g 为重力加快度 )hv 0 t sinuur2sv 0 t cosuur 2 uur 2v 0 sin2v 0 sin 2所以，最大高度为，最大扔掷距离为g.2guruur r uur r，行驶距离为 d .2、解：设 v 1 与 v 2 的夹角为 ，合速度为 v ， v 2 与 v 的夹角为 ur r则 sin v 1 sin 10sin ， d 0.5 v . d 1 .r r sin20sin ∴ r 20sinv v v所以当90 ，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短 .3、（ 1） (0, 1)uuur( x 1, y 2) . uuur2 2) .解：设 P( x, y) ，则 APAB(2,uuuruuur 7 将 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转到 AP ，相当于沿逆时针方向旋转到44uuur AP ，uuur7 2 7 7 2 7 (1,3)于是 AP( 2 cos2 sin, 2 sin2 cos )4444所以x1 1，解得 x0, y1y233（ 2） y2 xuuur后，点 P 的坐解：设曲线 C 上任一点 P 的坐标为 ( x, y) ， OP 绕 O 逆时针旋转4标为 (x , y )x x cosysin x2( x y)则44，即2yx siny cosy2y)4( x42又因为 x2y23，所以1( xy) 21( xy) 2 3 ，化简得 y32 22x第二章复习参照题 A 组（ P118）1、（ 1）√； （2）√；（3）×； （4）× .2、（1） D ；（2） B ；（3） D ；（4）C ；（5）D ；（6） B.uuur1rruuur 1 r r3、 AB(a b) ， AD 2( a b)2uuur uuur uuur uuur2 r 1r4、略解： DEBAMA MBab3 3uuur 2 r2 ruuur1 r1 rAD ab ， BC a b333 3uuur 1r1ruuuruuur 1 r 2rEFab ， FA DC ab3333uuur 1r2ruuur 2r1rCDab ， ABab33 3 3uuur r r CE abuuur (8, 8) uuur8 2 ；5、（ 1） AB ， AB（第 4题）uuur uuur( 8,8) ；uuur uuur（2） OC (2, 16) ， OD （3） OA OB 33.uuur uuur6、AB与CD共线.uuur uuur uuur uuur uuur uuur 证明：因为 AB(1, 1) ， CD(1, 1) ，所以 AB CD.所以 AB与CD 共线.7、D(2,0) .8、n 2 .9、1,0.30,cos C 410、cos A ,cos B55r ur ur r ur ur 21r ur ur11、证明：(2 n m) m2n m m 2cos600 ，所以 (2n m)m .12、 1 .r r r r1.14、cos5,cos19 13、a b13 ， a b820第二章复习参照题B组（P119）1、（1） A；（2）D；（3）B；（4）C；（5）C；（6）C；（7）D .r r r r r r2、证明：先证a b a b a b .r r r r r 2r 2r ra b(a b)2a b2a b，r r r r r2r2r ra b( a b)2a b2ab .r r r r r r r 2r 2r r因为 a b ，所以 a b0 ，于是 a b a b a b .r r r r r r再证 a b a b a b .r r r 2r r r 2r r r 2r r r 2因为 a b a2a b b， a b a2a b br r r r r r r r由 a b a b 可得 a b0 ，于是 a br r r r r r所以 a b a b a b .【几何意义是矩形的两条对角线相等】r r r ur3、证明：先证a b c dr ur r r r r r2r 2c d(a b) (a b)a br r r ur r ur又 a b，所以 c d0 ，所以 c dr ur r r再证 c d a b .r ur r ur r r r r r 2r 20（第 3题）由 c d 得 c d0，即 ( a b) (a b) a br r所以 a b【几何意义为菱形的对角线相互垂直，如图所示】uuur uuur uuuruuur 1rr uuur1r1r4、 AD AB BCCDa b ， AEa b P 3242uuur 3ruuuur 1 ruuuur uuuruuuur 1 r1 r1 r1 r r 而 EF4 a ， EM4 a ，所以 AM AEEMa b a (a b)4 2 4 25、证明：如下图，uuur uuur uuuuruuur uuuur uuur rOD OP OP ，因为 OP OPOP0 ，12 1 23 Ouuuruuuruuur所以 OP 3 OD ，OD 1uuuruuur uuurP 1P 2所以 ODOP PD11所以 OPP 1 2 30 ，同理可得OPP 1330D（第 5题）所以3 1 260 ，同理可得1 2360， 23 160 ，所以123为P PPPP PP P PPP P正三角形 .6、连结 AB.uuuur uuur r rN.由对称性可知， AB 是 SMN 的中位线， MN 2AB 2b 2a7、（ 1）实质行进速度大小为 42 (4 3) 2 8（千米／时），沿与水流方向成 60°的方向行进；（ 2）实质行进速度大小为 4 2 千米／时，MBA沿与水流方向成 90arccos 6的方向行进 .OSuuur uuuruuur uuur 3uuur uuur uuur uuur uuur （第 6题）8、解：因为 OA OBOB OC ，所以 OB (OA OC ) 0 ，所以 OB CA uuur uuur0 ， uuur uuur0 ，所以点 O 是 ABC 的垂心 .同理， OA BCOC AB9、（ 1） a 2 x a 1 y a 1 y 0 a 2 x 0 0 ； （2）垂直；（ 3）当 A 1B 2 A 2B 1 0时， l 1 ∥ l 2 ；当 A 1 A 2 B 1B 2 0时， l 1 l 2 ，夹角 的余弦 cosA 1A 2B 1B 2；A 1 2B 12A 22B 22Ax 0 By 0 C（ 4） dA 2B 2第三章 三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）1、 cos()coscossin sin0 cos1 sinsin .222cos(2) cos2 cossin2 sin 1 cos 0 sincos.2、解：由 cos3 , ( , ) ，得 sin 1cos 21 ( 3)24 ；525 5所以 cos()cos cossin sin 2 ( 3 ) 2 42 .4442 5 25 103、解：由 sin15 ， 是第二象限角，得 cos 1 sin 21(15 )28 ；171717所以 cos() cos cossin sin8 1 153 8 15 3 .33317 2 172344、解：由 sin2 , ( ,3) ，得 cos1 sin 21 (2 )25 ；3 23 3 又由 cos3 , (3,2 ) ，得 sin1 cos21 (3)27 .4244所以cos()cos cossin sin3 (5 ) ( 7) ( 2) 3 5 2 7 .43 4 312练习（P131）1、（ 1）6 2； （2）6 2； （3）62； （4）2 3.4442、解：由 cos3 , ( , ) ，得 sin 1 cos 21 ( 3)24 ；525 5所以 sin() sin coscos sin4 1 ( 3 ) 3 4 3 3 .3335 2 5 210 3、解：由 sin12 ， 是第三象限角，得 cos 1 sin 21( 12) 25 ；131313所以cos()cos cossinsin 3 ( 5 ) 1 (12) 5 3 12 .666213 2 1326tantan3 14、解： tan()4 2 .41 tantan 1 3 145、（ 1）1；（2）1；（3）1；（4）3 ；22（ 5）原式 = (cos34 cos26sin34 sin 26 )cos(3426 )cos601 ；2（6）原式= sin20cos70 cos20 sin70 (sin 20 cos70 cos20 sin70 ) sin901 .6、（ 1）原式 = cos cosx sinsin x cos( x) ；333（ 2）原式 = 2(3sin x1cosx)2(sin x coscosxsin) 2sin( x) ；22666（ 3）原式 = 2(2sin x2cos x) 2(sin x cos cos xsin 4) 2sin( x ) ；22 44（ 4）原式 = 2 2( 1cos x3sin x)2 2(cos3 cosx sin sin x)2 2 cos(x) .22337、解：由已知得 sin()cos cos()sin3 ，5即 sin[()]3， sin()355所以 sin3. 又 是第三象限角，5于是 cos1 sin 21 (3) 2 4 .55因此sin(5 ) sin cos 5cos sin 5( 3 )( 2 ) ( 4 )(2 ) 7 2 .444 52 5 210练习（P135）31、解：因为 812 ，所以82443sin 335 又由 cos，得 sin1 (2， tan85)5 84 4 885cos85所以 sinsin(2) 2sin cos2 (3) ( 4)24 488 85525 coscos(2) cos 2 sin 28( 4 )2 ( 3 )2 7 48 85 5 252tan82 3 3 16 24tantan(2)432 774821 (21 tan8 )42、解：由 sin()3，得 sin3，所以 cos 21 sin 21 ( 3)2 16555 25所以 cos2cos 2sin 216 ( 3) 2 725 5 253、解：由 sin2sin 且 sin0 可得 cos1 ，2又 由( 2 , )，得sin1 cos 21 ( 1 )23， 所以2 2tansin 3 ( 2) 3 .cos24、解：由tan21 ， 得 2tan1.所 以 tan 26tan1 0，所以3 1 tan 23tan3 105、（1）1sin30 1 ；（2）cos2sin2cos2 ；sin15 cos1582484 2（ 3）原式 = 1 2tan 22.51 tan45 1 ；（ 4）原式 = cos452 .2 1 tan 2 22.5 222习题A 组（P137）1、（ 1） cos(3)cos3cossin3sin0 cos( 1) sinsin；222（ 2） sin(3) sin3coscos3sin1 cos0 sincos ；222（ 3） cos() cos cos sin sin1 cos 0 sincos ；（ 4） sin( ) sin coscos sin0 cos( 1) sinsin .2、解：由 cos3,0，得 sin1 cos21 (3)24 ，55 5所以 cos() cos cos 6sinsin6 4 3 3 1 4 3 3 .65 25 2 103、解：由 sin2 , ( , ) ，得 cos1 sin 21( 2)25 ，3 233又由 cos3 , ( ,3) ，得 sin1 cos 21 ( 3) 27 ，4244所以cos() cos cossin sin5 ( 3 ) 2 ( 7 ) 3 5 2 7 .34 3 4 124、解：由 cos1 ， 是锐角，得 sin1 cos21 (1)24 3777因为 , 是锐角，所以 (0, ) ，又因 为sin( )1 cos2 ()1 (所以 coscos[( )( 11) 1 5 314 7 14 5、解：由 60150 ，得 90cos()11 ，所以1411)25 3 1414] cos()cossin()sin4 3 17230 180又由 sin(30)3，得 cos(30)1 sin 2(30)1 (3)2455 5所以 coscos[(30 ) 30 ] cos(30)cos30 sin(30)sin304 3 3 1 4 3 35 252106、（ 1）6 2 ；（2）24 6 ；（3） 2 3 .47、解：由 sin2 , (, ) ，得 cos 1 sin21 (2)25 .3233又由cos 3 ，是第三 象限角， 得4sin1cos 21 ( 3) 27 .4 4所以 cos() cos cossin sin5 ( 3 ) 2 ( 7 )3 4 3 4 3 52 712 sin() sincos cos sin2 ( 3) (5 ) ( 7 )3 4 3 46 35128、解：∵ sin A5 ,cos B3且 A, B 为 ABC 的内角13 5∴ 0 A,0 B， cos A12,sin B42135当 cos A12 时， sin( A B) sin AcosB cos Asin B 135 3 ( 12) 4 33 013 5 13565A B，不合题意，舍去∴ cos A12,sin B4135∴ cosCcos( A B)(cos AcosB sin Asin B)(123 5 4) 1613 5 13 5659、解：由 sin3 , ( , ) ，得 cos 1 sin21 (3)24 . 5255∴ tansin 3 ( 5 ) 3 . cos 5 44tantan 3 1 2∴ tan()43 21.1 tan tan1 ( )114 2tantan3 1tan()43 212 .1 tantan1 ( )4 210、解：∵ tan ,tan 是 2x 23x 7 0 的两个实数根 .∴ tantan3， tantan7 .22tantan3 1 ∴ tan( )21 tantan7.1 () 3211、解：∵ tan() 3,tan( ) 5∴ tan2tan[( )()]tan( ) tan()3 5 41 tan() tan( ) 1 3 57tan 2tan[()( )]tan() tan( ) 3511 tan() tan()1 3 5812、解：∵ BD : DC : AD2:3:6B∴ tanBD 1,tanDC 1AD3AD2D1 1tan tan∴ tan BAC tan(3 21)tantan1 111α3 2 AβC又∵ 0BAC180 ，∴ BAC45（第 12 题）13、（ 1）6 5 sin( x) ；（2） 3sin( x) ；（3） x) ；（4） 27 x) ；3 2sin(2sin(62612（5）2；（ 6） 1；（7）sin() ；（ 8） cos()；（9） 3 ； （10）22tan() .14、解：由 sin0.8,(0,) ，得 cos1 sin 21 0.820.62∴ sin22sin cos 2 0.8 0.6 0.96cos2 cos 2sin 20.620.820.2815、解：由 cos3,180270 ，得 sin1 cos 21( 3 ) 26333∴ sin 22sincos2 ( 6 ) ( 3)2 2333cos2cos 2sin 2(3 )2 ( 6 ) 2 13 3 3tan 2sin 2 2 2 (3)2 2cos2 316、解：设 sin Bsin C5，且0B 90 ，所以 cosB12 .1313∴ sin A sin(1802B) sin2 B 2sin Bcos B25 12 12013 13169cos A cos(1802B)cos2B(cos 2 Bsin 2 B)(( 12 )2 ( 5 )2 ) 11913 13169sin Atan Acos Atan 22tan 17、解： 1 tan 2120(169) 169 1192131 (1)2 3120 1193 ，tantan 21 3 7 41 . tan(2 )tan2141 tan 314718、解： cos()cossin()sin1cos[()]1，即 cos1333又( 3 ,2 ) ，所以 sin1 cos21 (1)22 2 233∴ sin 22sin cos2 ( 2 2 ) 14 23 39cos2cos 2sin 2( 1 )2( 2 2 ) 2733 9∴cos(2) cos2 cossin 2 sin7 2 4 2272 892(9 )184 44219、（1） 1 sin2；（2） cos2 ；（3） 1sin 4x ；（4） tan2 .4习题 B 组（P138）1、略.2、解：∵ tan A,tan B 是 x 的方程 x 2 p(x 1) 1 0 ，即 x 2px p 1 0 的两个实根∴ tan A tan B p ， tan A tan B p 1∴ tan C tan[(A B)]tan(A B)tan A tan B p 1 tan A tan B11 ( p 1)因为 0 C，所以 C3 .43、反响一般的规律的等式是（表述形式不独一）sin 2cos 2 (30 )sincos(30 )3 （证明略）4 此题是开放型问题，反应一般规律的等式的表述形式还能够是：sin 2 (30 ) cos 2sin(30 )cos34sin 2 (15 ) cos 2 (15 ) sin( 15 )cos(15 ) 34 sin2cos2sincos3，此中30 ，等等4思虑过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面找寻共同特色，进而作出概括 . 对认识三角函数式特色有帮助，证明过程也会促使推理能力、运算能力的提升 .4、因为 PAPP ，则 (cos() 1)2 sin 2 ()(coscos ) 2 (sinsin )21 2即 2 2cos() 2 2cos cos 2sin sin所以 cos() cos cossinsin3．2 简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略 .3、略 .4、（ 1） y1sin 4x . 最小正周期为，递加区间为 [8k , k ], k Z ，最222 82大值为 1；2（ 2） y cosx 2 . 最小正周期为 2 ，递加区间为 [2k ,22k ], k Z ，最大值为 3；（ 3） y 2sin(4 x) . 最小正周期 ， 增区 [5k , k ], k Z ，最32242 24 2大 2.A （ P143）1、（ 1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（ 3）略； （ 4）提示：用 sin 2 cos 2 取代 1，用 2sincos 取代 sin 2；（ 5）略；（ 6）提示：用 2cos 2 取代 1 cos2 ；（ 7）提示：用 2sin 2 取代 1 cos2 ，用 2cos 2 取代 1 cos2 ； （8）略.2、由已知可有 sincoscos sin1⋯⋯①， sincoscos sin1⋯⋯②23（1）②× 3－①× 2 可得 sin cos 5cos sin（2）把（ 1）所得的两 同除以 cos cos 得 tan5tan注意： 里 coscos0 含与①、②之中1. 于是 tan22tan2 (1) 4 3、由已知可解得tan221 tan 21 ( 1 ) 232tan tan1 11tan()42 141 tantan 1 ( ) 1 342∴ tan24tan()44、由已知可解得 x sin ， ycos ，于是 x 2 y 2 sin 2cos 21.5、 f ( x) 2sin(4 x) ，最小正周期是 ， 减区 [k , 7 k ], k Z .2 2423224B （P143）1、略.2、因为 76 2790 ，所以 sin76 sin(9014 ) cos14 m即 2cos 2 71 m ，得 cos7m 123、 存在 角,使22，所以23， tan(2)3 ，3tan tan又 tan tan23 ，又因 tan(2 ) 2，21 tan tan2所以 tantan tan()(1 tantan ) 33222由此可解得 tan1 ，4 ，所以.6经查验6 ，是切合题意的两锐角 .41(cos cos ), 1(sin sin)). 过M 作MM 1 垂4、线段 AB 的中点 M 的坐标为 (22直于 x 轴，交 x 轴于 M 1 ， MOM 1 1 ()1 () .y22B在 Rt OMA 中， OMOA cos2 cos2.CMA在 Rt OM 1 M 中， OM 1 OM cos MOM 1cos 2 cos ，2M 1 M OM sin MOM 1sincos .OM 1x22于是有1cos ) coscos，(cos2 221(sinsin ) sin2cos2（第 4题）25、当 x2 时， f ( ) sin 2 cos 2 1 ；当 x 4 时， f ( ) sin 4cos 4(sin 2cos 2 )2 2sin 2 cos 21 1 sin 22 ，此时有 1≤ f ( )≤1；2 2当x 6时，f ( ) sin 6cos 6(sin 2 cos 2 )33sin 2 cos 2 (sin 2 cos 2 )1 3 sin 22 ，此时有 1≤ f ( )≤1；4 4 由此猜想，当 x2k,k N 时，k11 ≤ f ( ) ≤ 126、（ 1） y 5( 3sin x4cosx) 5sin( x) ，此中 cos3,sin45 555所以， y 的最大值为 5，最小值为﹣ 5；（ 2） ya 2b 2 sin( x) ，此中 cosa ,sin a 2ba 2b 2b 2所以， y 的最大值为a 2b 2 ，最小值为a 2b 2 ；第三章复习参照题 A 组（ P146）。
必修四数学课后习题答案
必修四数学课后习题答案必修四数学课后习题答案数学是一门重要的学科，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要作用。
而数学课后习题则是巩固学习成果、提高解题能力的重要途径。
在必修四的数学课本中，有许多习题需要同学们进行思考和解答。
下面是一些常见习题的答案，供同学们参考。
一、函数与导数1. 函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导函数为f'(x) = 3x^2 + 4x - 3。
2. 函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1的导函数为f'(x) = 6x^2 + 6x - 4。
3. 函数f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)的导函数为f'(x) = 3(x - 1)(x - 2) + 2(x - 1)(x - 3) + (x - 2)(x - 3)。
4. 函数f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 2x^2 - x + 1的导函数为f'(x) = 12x^3 - 12x^2 + 4x - 1。
二、三角函数与导数1. 函数f(x) = sin(x)的导函数为f'(x) = cos(x)。
2. 函数f(x) = cos(x)的导函数为f'(x) = -sin(x)。
3. 函数f(x) = tan(x)的导函数为f'(x) = sec^2(x)。
4. 函数f(x) = cot(x)的导函数为f'(x) = -csc^2(x)。
三、不定积分1. ∫(2x + 3)dx = x^2 + 3x + C。
2. ∫(3x^2 + 2x + 1)dx = x^3 + x^2 + x + C。
3. ∫(4x^3 - 2x^2 + 5x)dx = x^4/4 - 2x^3/3 + 5x^2/2 + C。
4. ∫(e^x + 1/x)dx = e^x + ln|x| + C。
四、定积分1. ∫[0, 1] (2x + 1)dx = [x^2 + x] [0, 1] = 1 + 1 = 2。
高中人教A版数学必修4：第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值 Word版含解析
正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值一、选择题1．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间[0π2]上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数答案：D解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x 所以f (x )是偶函数故D 错． 2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A ⎝⎛⎦⎤－32，12 B ⎣⎡⎦⎤－12，32 C ⎣⎡⎦⎤32，1 D ⎣⎡⎦⎤12，1 答案：B解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3 故y max ＝cos π6＝32y min ＝cos 2π3＝－12所以所求值域为⎣⎡⎦⎤－12，32 3．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A ⎝⎛⎭⎫－π4，π4B ⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C ⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ⎝⎛⎭⎫3π2，2π 答案：C解析：画出y ＝|sin x |的图象如图．由图象可知函数y ＝|sin x |的一个递增区间是⎝⎛⎭⎫π，3π2 4．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°答案：C解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°由函数y ＝sin x 的单调性得sin11°<sin12°<sin80°即sin11°<sin168°<cos10°二、填空题7．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x 所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间即求y＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间易知为⎣⎡⎦⎤π2，π 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称那么|φ|的最小值为________．答案：π6解析：令2×43π＋φ＝k π＋π2k ∈Z 则φ＝k π－136πk ∈Z 当k ＝2时|φ|min ＝π69．函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为________． 答案：3解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x 得y (2－cos x )＝2＋cos x 即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)因为－1≤cos x ≤1所以－1≤2y －2y ＋1≤1解得13≤y ≤3所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3 三、解答题10．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos2x )．解：(1)由题意可知函数y ＝sin x 2的单调递减区间即为原函数的单调递增区间 由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π(k ∈Z ) 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π(k ∈Z )．∴函数y ＝1－sin x 2的单调递增区间为[4k π＋π4k π＋3π](k ∈Z )． (2)由题意得cos2x ＞0∴2k π－π2＜2x ＜2k π＋π2k ∈Z 即k π－π4＜x ＜k π＋π4k ∈Z ∵函数y ＝log 12x 在定义域内单调递减 ∴函数y ＝cos2x (x ∈(k π－π4k π＋π4)k ∈Z )的单调递减区间即为原函数的单调递增区间 ∴x 只需满足2k π＜2x ＜2k π＋π2k ∈Z ∴k π＜x ＜k π＋π4k ∈Z ∴函数y ＝log 12(cos2x )的单调递增区间为(k πk π＋π4)k ∈Z 11．设a ＞00≤x <2π若函数y ＝cos 2x －a sin x ＋b 的最大值为0最小值为－4试求a 与b 的值并求该函数取得最大值和最小值时x 的值．解：y ＝cos 2x －a sin x ＋b ＝－(sin x ＋a 2)2＋a 24＋b ＋1 由－1≤sin x ≤1a ＞0知①若0＜a 2≤1即0＜a ≤2 当sin x ＝－a 2时y max ＝a 24＋b ＋1＝0当sin x ＝1时y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝－4 解得a ＝2b ＝－2②若a 2＞1即a ＞2 当sin x ＝－1时y max ＝－(－1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝0 当sin x ＝1时y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝－4 解得a ＝2b ＝－2不合题意舍去．综上a ＝2b ＝－2当x ＝3π2时y max ＝0；当x ＝π2时y min ＝－4能力提升12．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如：1] 答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 解析：在同一直角坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象结合a *b 的新定义可知．f (x )的最小值为－1最大值为22故其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22 13．已知ω是正数函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数求ω的取值范围． 解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 据题意⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3π2ω≥π4ω>0解得0<ω≤32 故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32。
高中人教A版数学必修4：第30课时 二倍角的正弦、余弦和正切 Word版含解析
二倍角的正弦、余弦和正切一、选择题1．已知sin α＝35且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π那么sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．－34 B ．－32C 34D 32答案：B解析：sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α ∵sin α＝35α∈⎝⎛⎭⎫π2，π ∴cos α＝－45tan α＝－342tan α＝－32故选B 2．化简1＋sin8等于( )A ．sin4＋cos4B ．－sin4－cos4C ．sin4D ．cos4答案：B 解析：1＋sin8＝sin 24＋cos 24＋2sin4cos4＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4|∵4∈(π3π2)则sin4＋cos4<0 故1＋sin8＝－sin4－cos43．已知α为第三象限角且cos α＝－55则tan2α的值为( ) A ．－43 B 43C ．－34D ．－2 答案：A解析：由题意可得sin α＝－1－cos 2α＝－255∴tan α＝2∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43故选A 4．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为( )A ．1＋ 2B 2－1C 2D ．2答案：A解析：y ＝2sin x (sin x ＋cos x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x＝1－cos2x ＋sin2x ＝sin2x －cos2x ＋1 ＝2sin(2x －π4)＋1 ∴y 的最大值为2＋1二、填空题7．(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝________答案：－32解析：(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝cos 275°－sin 275°＝cos150°＝－sin60°＝－328．若θ∈(0π)且sin2θ＝－2425则cos θ－sin θ＝________答案：－75解析：∵sin2θ＝－2425θ∈(0π) ∴sin θ＞0cos θ＜0cos θ－sin θ＜0又(cos θ－sin θ)2＝1－sin2θ＝4925∴cos θ－sin θ＝－759．已知θ∈(0π)且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210则tan2θ＝________ 答案：－247解析：由sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210得22(sin θ－cos θ)＝210⇒sin θ－cos θ＝15解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎩⎨⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎨⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45因为θ∈(0π)所以sin θ>0所以⎩⎨⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意舍去所以tan θ＝43所以tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝⎛⎭⎫432＝－247 三、解答题10．已知tan α＝17tan β＝13且αβ均为锐角求α＋2β的值． 解：tan2β＝2tan β1－tan 2β＝34tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan αtan2β＝1 因为αβ均为锐角且tan α＝17<1tan β＝13<1 所以αβ∈⎝⎛⎭⎫0，π4所以α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，3π4 所以α＋2β＝π411．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋43sin x 2cos x 2cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的值域． 解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋43sin x 2cos x 2cos x ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋1＋3sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1 所以f (x )的值域为[03]．能力提升12．已知sin x 2－2cos x 2＝0 (1)求tan x 的值；(2)求cos2x cos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值． 解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0知cos x 2≠0 ∴tan x 2＝2∴tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43 (2)由(1)知tan x ＝－43∴cos2x cos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos2x －cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x ＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24 13．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋π4)＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1x ∈R (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)f (x )＝－2sin(2x ＋π4)＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1＝－2sin2x cos π4－2cos2x ·sin π4＋3sin2x －cos2x ＝2(sin2x －cos2x )＝2 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π8上是增函数 在区间⎣⎡⎦⎤3π8，π2上是减函数又f (0)＝－2f ⎝⎛⎭⎫38π＝2 2f (π2)＝2 故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2 2最小值为－2。
高中人教A版数学必修4：第24课时 平面向量数量积的物理背景及其含义 Word版含解析
平面向量数量积的物理背景及其含义一、选择题1．已知向量ab 满足|a |＝1a ⊥b 则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为( )A ．1B 77C ．－1D 277答案：A解析：设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为|a －2b |cos θ又cos θ＝(a －2b )·a |a －2b |·|a |＝a 2－2a ·b |a －2b |·|a |＝1|a －2b |故|a －2b |cos θ＝|a －2b |·1|a －2b |＝1 2．设向量ab 满足|a |＝1|b |＝2a ·(a ＋b )＝0则a 与b 的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案：D解析：设向量a 与b 的夹角为θ则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a |·|b |·cos θ＝1＋1×2×cos θ＝1＋2cos θ＝0∴cos θ＝－12又0°≤θ≤180°∴θ＝120°选D 3．若|a |＝|b |＝1a ⊥b 且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )则k ＝( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3答案：B解析：由题意得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0由于a ⊥b 故a ·b ＝0又|a |＝|b |＝1于是2k －12＝0解得k ＝64．在Rt △ABC 中∠C ＝90°AC ＝4则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16答案：D解析：AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝|AC →|2＝16二、填空题7．一物体在力F 的作用下沿水平方向由A 运动至B 已知AB ＝10米F 与水平方向的夹角为60°|F |＝5牛顿物体从A 至B 力F 所做的功W ＝__________答案：25焦耳解析：由物理知识知W ＝F·s ＝|F|·|s|cos θ＝5×10×cos60°＝25(焦耳)．8．如果aba －b 的模分别为237则a 与b 的夹角为________．答案：π3解析：设a 与b 的夹角为θ由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2得7＝13－12cos θ即cos θ＝12又0≤θ≤π故θ＝π39．已知在△ABC 中AB ＝AC ＝4AB →·AC →＝8则△ABC 的形状是________．答案：等边三角形解析：AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC 即8＝4×4cos ∠BAC 于是cos ∠BAC ＝12所以∠BAC ＝60°又AB ＝AC 故△ABC 是等边三角形．三、解答题10．已知e 1与e 2是两个夹角为60°的单位向量a ＝2e 1＋e 2b ＝2e 2－3e 1求a 与b 的夹角．解：因为|e 1|＝|e 2|＝1所以e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12 |a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7故|a |＝7|b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e 1·e 2＝7故|b |＝7且a ·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72所以cos 〈ab 〉＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12 所以a 与b 的夹角为120°11．已知向量ab 满足|a |＝1|b |＝4且ab 的夹角为60°(1)若(2a －b )·(a ＋b )；(2)若(a ＋b )⊥(λa －2b )求实数λ的值．解：(1)由题意得a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1×4×12＝2 ∴(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝2＋2－16＝－12(2)∵(a ＋b )⊥(λa －2b )∴(a ＋b )·(λa －2b )＝0∴λa 2＋(λ－2)a ·b －2b 2＝0∴λ＋2(λ－2)－32＝0∴λ＝12能力提升12．已知|a |＝2|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根则a 与b 的夹角的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤π3，π解析：由于|a |＝2|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根则|a |2－4a ·b ≥0设向量a与b 的夹角为θ则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12 ∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π13．设两向量e 1e 2满足|e 1|＝2|e 2|＝1e 1e 2的夹角为60°若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角求实数t 的取值范围．解：由已知得e 21＝4e 22＝1e 1·e 2＝2×1×cos60°＝1 ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7欲使夹角为钝角需2t 2＋15t ＋7<0得－7<t <－12设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7∴t ＝－142此时λ＝－14 即t ＝－142时向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π ∴当两向量夹角为钝角时t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12。
(2021年整理)人教版高中数学必修4课后习题答案
人教版高中数学必修4课后习题答案
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人教版高中数学必修4课后习题答案。
必修4数学教材习题答案
必修4数学教材习题答案必修4数学教材习题答案数学是一门重要的学科，它不仅对我们的日常生活有着深远的影响，也是其他学科的基础。
在学习数学的过程中，教材中的习题是非常重要的一部分。
通过解答习题，我们可以巩固知识，培养逻辑思维能力。
然而，对于一些复杂的习题，我们可能会遇到困难，无法找到正确的答案。
在这篇文章中，我将为大家提供必修4数学教材习题的答案，希望能够帮助大家更好地学习数学。
第一章函数与导数1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(2)的值。
答案：将x替换为2，得到f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 9。
2. 已知函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3，求f'(x)的表达式。
答案：对f(x)进行求导，得到f'(x) = 3x^2 - 4x + 1。
第二章二次函数与一元二次方程1. 解方程2x^2 + 5x - 3 = 0。
答案：可以使用因式分解或者求根公式来解这个方程。
通过求根公式可以得到x = -3/2或x = 1/2。
2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，求当x = 2时，f(x)的最小值。
答案：使用求导的方法，对f(x)进行求导，令导数等于0，解得x = -b/2a。
将x = 2代入得到f(2)的最小值。
第三章概率统计1. 有一袋中装有红球3个，绿球4个，蓝球5个，从中任取3个球，求至少有两个球颜色相同的概率。
答案：可以使用排列组合的方法来求解。
总共有12个球，从中取3个，共有C(12, 3)种取法。
至少有两个球颜色相同，可以分为两种情况：一种是三个球颜色相同，共有C(3, 1) * C(4, 3)种取法；另一种是两个球颜色相同，另一个球颜色不同，共有C(3, 2) * C(4, 2) * C(5, 1)种取法。
将两种情况的取法数相加，再除以总的取法数，即可得到概率。
2. 有一批产品，其中10%有瑕疵。
必修4参考答案数学
必修4参考答案数学必修4参考答案数学数学是一门抽象而又实用的学科，它在我们的日常生活中起着重要的作用。
而必修4是高中数学课程中的一门重要课程，它涵盖了许多基础的数学知识和技巧。
下面将为大家提供一些必修4的参考答案，希望对大家的学习有所帮助。
第一章：集合与函数1. 集合的概念与表示方法- 集合是由一些确定的对象所组成的整体。
- 用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
- 集合可以通过列举法、描述法和图形法表示。
2. 集合的运算- 并集：将两个或多个集合中的所有元素放在一起，形成一个新的集合。
- 交集：两个或多个集合中共有的元素构成的集合。
- 差集：从一个集合中减去另一个集合中的元素所得到的集合。
- 补集：对于给定的全集，除去一个集合中的元素所得到的集合。
3. 函数的概念与表示方法- 函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
- 函数可以用映射图、映射表和函数式表示。
第二章：三角函数1. 弧度制与角度制的转换- 弧度制：弧长等于半径的角度制。
- 角度制：以度为单位来度量角的大小。
2. 三角函数的定义与性质- 正弦函数：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值。
- 余弦函数：在直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值。
- 正切函数：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与邻边的比值。
3. 三角函数的图像与性质- 正弦函数的图像是一个周期性的波形，其最大值为1，最小值为-1。
- 余弦函数的图像也是一个周期性的波形，其最大值为1，最小值为-1。
- 正切函数的图像是一个周期性的波形，其在某些点上无定义。
第三章：解析几何1. 平面坐标系与直线方程- 平面直角坐标系：由两条相互垂直的直线所确定的坐标系。
- 直线的方程：直线可以用一般式、点斜式和两点式表示。
2. 圆的方程与性质- 圆的方程：圆可以用标准方程和一般方程表示。
- 圆的性质：圆的半径、直径、弦、弧等都有一些特殊的性质。
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