《添加平行线构造相似三角形》教学设计
《相似三角形的判定—SAS判定定理》精品教学方案
第3课时：相似三角形的判定-SAS判定定理第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定第二十七章相似27.2.1.3相似三角形的判定-SAS判定定理一、教学目标1.体会利用类比全等三角形的方法研究三角形相似的判定；2.掌握三角形相似的SAS判定定理的内容，并能简单应用；3.理解SSA不能判定三角形相似的原因，使得学生更加深刻理解SAS定理;4.探究经历“试验、猜想、证明”的过程，感受几何命题的合理性，并通过证明确认命题正确，培养学生发现问题、解决问题的能力.二、教学重难点重点：掌握三角形相似的SAS判定定理的内容，并能简单应用．难点：理解SSA不能判定三角形相似的原因，使得学生更加深刻理解SAS定理．三、教学用具教学课件.四、教学过程设计【复习回顾】相似三角形的判定方法，我们已经得到了SSS定理，还有哪些判定方法呢？分析：【教学建议】通过复习回顾，引起学生的认知冲突，为新课的学习进行铺垫.【启发思考】相似三角形与全等三角形是一般与特殊的关系，可以类比全等三角形得到相似三角形的判定定理【猜想】两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.【证明】两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 方法与步骤：先写出已知、求证，并画出图形，再写出证明过程，最后获得定理 【证明】已知:如图，在△ABC A'B'C'△和中，∠A =∠A '，AB ACA'B'A'C'，求证:△ABC A'B'C'△∽.分析:通过作辅助线，构建与△ABC 全等，并且与A'B'C'△相似的三角形即可辅助线的作法:A'B'C'△A'B'在的(A'C'或)上截取()A'D=AB A'E =AC ,再过D (或E )B'C'作的平行线.证明:在AB 上取一点D AD=A'B'，使，过 点D 作BC 的平行线交AC 于点E .∴△ABC ∽△ADE AB ACAD AE =∴.AD=A'B'且， AB ACA'B'A'C'=∵， AC ACAE A'C'=∴. AE =A'C'∴. A A'∠∠=又∵ ∴△ADE A'B'C'△≌. ∴△ABC A'B'C'△∽. 【归纳】经过严格的证明，我们得到了相似三角形的判定定理： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.符号语言：在△ABC A'B'C'△和中， AB ACA'B'A'C'A A'∠∠=∵，且， ∴△ABC A'B'C'△∽.注意事项：1、两组对应边及其夹角，不是边所对的角2、两组边和夹角这两个条件缺一不可3、在比例式中，对应边的位置要正确【反思】总结相似三角形判定定理的证明方法和思路，你有哪些收获？A'DE △启发：通过添加平行线，构造出,然后再经过下面两步【教学建议】通过探究环节的设计，引导学生逐步完成本节课重难点的学习任务【交流、定理辨析】如图，∠A =∠D =135°，网格中的这两个三角形相似吗？理由是什么？解：相似，理由如下：设小正方形的边长为1，由勾股定理可得: 2AB =,22DE =21222AB DE ==∴. 2142AC DF ==又∵， AB ACDE DF∴， 又∵∠A =∠D =135°∴△ABC ∽△DEF (SAS 定理). 依据SAS 定理前面，证明了图(1)中的两个三角形相似,如图（2），如果两边对应成比例，但夹角不相等，还能相似吗？答案:不相似判定定理：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.猜想:如果把“夹角”换成“其中一边的对角”定理还成立吗？ 答案:不成立.如右图，在△ABC A'B'C'△和中，以C '为圆心,B 'C '为半径画圆与A'B'相交于点D ，连接C'D ,虽然2A'C'DC'AC BC==,°45A'A ==∠∠, 但ABC A'B'C'△与不相似【做一做】在网格中，计算各三角形的边长和角的大小，判断每组中△ABC 与△DEF 相似吗？依据是什么？解：图12AB BCDE EF ==，∵且B E ∠∠=,∴△ABC ∽△DEF依据：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似 图2=3AB BC ACDE EF DF==，∵∴△ABC ∽△DEF 依据：三边对应成比例的三角形相似 图32AC BCDF EF==AD ∠、∠，∵但是，是对应边的对角，不是夹角 ∴不相似【教学建议】通过做一做环节，检验学生对知识点的掌握程度，做到当堂检测的目的 【典型例题】例1 根据下列条件，判断△ABC 与△A'B'C'是否相似，并说明理由.∠A =120°，AB =7 cm ，AC =14 cm ，∠A'=120°，A'B'=3 cm ，A'C'=6 cm ．73AB A B =''解：∵,14763AC A C =='' AB AC A B A C =''''∴．又∵∠A =∠A'， ∴△ABC ∽△A'B'C'．例2 一个直角三角形两条直角边的长分别为6cm ，4cm ，另一个直角三角形两条直角边的长分别为9cm ，6cm ，这两个直角三角形是否相似？为什么？9362AB A'B'==解：如图，∵，6342BC B'C'==，AB ACA B A C =''''∴． 又∵∠B =∠B'=90°， ∴△ABC ∽△A'B'C'．问题：你还有其他办法来证明吗？【教学建议】教师适当引导，学生自主完成，并引导学生对解题过程中的方法进行总结 【随堂练习】如图，点E 在AB 上，CE//BD ，BE =3EA ，BD =3EC, 求证：△BDE ∽△ECA ．证明：∵CE//BD ∴∠CEA =∠B ∵BE =3EA ，BD =3ECBE BD EA EC =∴ ∴△BDE ∽△ECA ．【教学建议】教师给出练习，随时观察学生完成情况【课堂小结】以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.【教学建议】教师通过思维导图，将本节课的内容进行归纳，帮助学生梳理知识脉络和重难点。
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例教学设计
在讲授新知环节，教师应注重知识的逻辑性和系统性，让学生逐步掌握相似三角形的判定方法。
1.讲解平行线分线段成比例定理：从定义、性质、应用等方面进行详细讲解，让学生理解并掌握该定理。
2.演示相似三角形的判定方法：结合具体实例，通过画图、计算等方式，向学生展示如何运用比例关系判断相似三角形。
1.基础练习：针对本节课的基本概念和定理，设计一些简单题目，让学生迅速巩固知识。
2.提高练习：设计一些综合性较强的题目，让学生在解决问题的过程中，提高自己的思维能力和解题技巧。
3.个性化练习：针对学生的个体差异，提供不同难度的题目，让每个学生都能在练习中得到提升。
4.反馈评价：教师对学生的练习情况进行及时反馈，鼓励学生优点，指出不足，并提出改进建议。
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已具备了一定的数学基础和思维能力。在本节课之前，学生已经学习了三角形的性质、全等三角形的判定以及平行线的性质等内容，这为学习相似三角形的判定奠定了基础。然而，由于相似三角形的判定涉及抽象的逻辑推理和空间想象能力，部分学生对这部分内容的理解和掌握可能会存在困难。
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本节课是九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时，通过本节课的学习，学生应当掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握平行线分线段成比例定理，能够准确运用该定理分析解决实际问题。
2.学会运用比例关系证明相似三角形，掌握相似三角形的判定方法。
3.能够运用相似三角形的性质，解决与相似三角形有关的问题。
（二）过程与方法
在本节课的教学过程中，学生将通过以下方法培养数学思维能力：
相似三角形的判定数学教学教案【优秀10篇】
相似三角形的判定数学教学教案【优秀10篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《相似三角形的判定》说课稿(附教学设计)
《相似三角形的判定》说课稿尊敬的各位评委老师，大家好！今天我说课的内容是人教版初中数学九年级下册《相似三角形的判定》第二课时的内容。
我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学程序四个方面来对本课进行说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用在这之前，学生学习了全等三角形的相关知识，相似三角形是全等三角形的拓广和发展，而相似三角形的判定是相似三角形的主要内容之一，相似三角形的判定是进一步对相似三角形的本质和定义进行的的全面研究，也是学习《锐角三角函数》和《投影与视图》的重要工具，可见这部分内容在教材中具有承上启下的地位。
2、教学目标知识与技能：掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定定理，并会运用它们解决相关问题数学思考：经历探索两个三角形相似条件的过程，体验画图操作、观察猜想、分析归纳的过程；在定理论证中，体会转化思想的应用解决问题：会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理情感目标：通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发他们探索知识的兴趣，体验数学探索与创造的快乐二、说教学重、难点重点：掌握判定定理并学会应用定理判定两个三角形相似难点：探究三角形相似的条件和运用判定定理解决问题三、说教学方法针对初三学生的年龄特点和心理特征，以及他们的知识水平，根据教学目标，本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多媒体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态。
四、说学法这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程。
在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想。
五、说教学过程本课我遵循“教学、学习、探究”同步协调的原则，教学过程将按如下流程展开：一、复习引入1、复习提问：我们已掌握的判定三角形相似的方法有哪些？2、回顾三角形全等的判定方法，然后教师拿出两个大小不等的，但其中一个三角形各边与另一个三角形各边的比相等的三角板，让学生来观察并提问，用前面两种方法能否判定这两个三角形相似呢？学生讨论，教师点评后指出，根据定义所涉及的条件多，根据预备定理要求图形特殊，因此，我们能否探求出条件更简单的判定方法呢？引入课题。
学案34：作平行线构造相似三角形
作平行线构造相似三角形班级： 姓名： 学号： 命题人：陈莉 审核人：徐先华 NO ：34 学习目标：1．会添加辅助线构造X 型和A 型相似三角形并进行简单计算与证明2．从复杂的图形中找出一个恰当的点并过这点作恰当的平行线达到解题目的。
学习过程：课前复习1、E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，AE ：EC=1：3，则BF ：FG=2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为DC 中点，直线BE 交AC 于F ，交AD 的延长线于G ； 求证：EF·BG=BF·EG课中探究一、合作探究：3、如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上一点，AE ：BE ＝1：2，AD 与CE 交于点P ，求AD ：PD 的值4、 如图，的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：CEBDCF BFA B CD EFGＣ ＤＢ Ａ Ｅ Ｐ C B D AG F EB AC FD ECC C二、当堂检测：5、△ABC中，D在AC上，且AD：DC=1：2，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，则BF：FC=课后延伸5、如图，在△ABC中，D为BC的中点，F为AB上任一点，CF交AD于E，求证：AEED=2AFBF6、如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AC上一点，BE交AD于P，且CD=mBD，CE=nAE（1）如图1，当m=1，n=1时，PEPB=（）（2）如图2，当m=2，n=1时，求证：PE=PBBFCＡDE。
合理添加平行线构造相似三角形.完美版PPT
H(1)试找出图中的相似三角形? 结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF
⊿BCF∽ ⊿BAC. ∴tan∠CAD＝∠ABC=
⊿ADE∽ 合理添加平行线构造相似三角形
BD=CD
⊿ABC
∽
⊿DBH
(2)若AE:AC=1:2,则DE:BC=_______;
(2)若AE:AC=1:2,则DE:BC=1：___2____;
BF=4
结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF
2、CD²=AD×BD BC²=BD×AB AC²=AD×AB
用一用
（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上 的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m，
问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
（1）∵⊿BDA∽⊿BAC
yA
∴∠CAD＝∠ABC ∴tan∠CAD＝∠ABC= ∵BC=4
3 4
B(-3,0) O
D
∴AC=BC·tan ∠ABC=3 ∴CD=AC·tan ∠CAD=3×
3=
4
9 4
C(1,0) x ∴OD=OC+CD=1+ 9 = 1 3
合理添加平行线构造相似三角 形
问题
给你一个△ABC和平行于BC边的一条直 线MN；
你能用直线MN去截AB与AC边，使截得 的 三角形与原三角形相似吗？
基本图形1
A型
E M
（及两边的延长线）
平行于三角形一边的直线和其他两 边相交，所构成的三角形与原三角 形相似。
A D
N
B M
2024中考数学总复习冲刺专题：《作平行线构造相似三角形》通用版
《作平行线构造相似三角形》一、知识技能梳理相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛：可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值。
作平行线构造成比例线段及相似三角形是常见的添加辅助线的规律，其本质是构造“A ”型或“X ”型图形。
二、学习过程模块一：作平行线构造双A 型例1.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD=DC ，31=AC AE ，求FDAF的值。
解法1：过点D 作DG ∥BE ，交AC 于点G易证1==BD CDEG CG ，设CD=EG=m ，则EC=2m 又AC AE 31=∴mEG AE ==∴1==EGAEFD AF 解法2：过点E 作EG ∥AD ，交BC 于点G易证32==AC EC AD EG ，设EG=4m ，则AD=6m 又BD DG DC DG ==31∴43==BG BD EG FD ∴m EG FD 343==∴mFD AF 3==∴1=FDAF例2．如图，E 是AC 的中点，直线EH 交AD 于点H ，交CD 的延长线于点B ，且BC=3BD 。
求DHAH的值。
解法1：过点E 作AD 的平行线过点E 作EN ∥AD 交CD 于点N 易得△CEN ∽△CAD ，△BDH ∽△BNE ∴21===CD CN AD EN CA CE ∵BC=3BD，∴DN CD BD ==21∴21==BN BD EN DN ∴41221EN EN AD DH =∴3=DHAH解法2：过点A 作BE 的平行线过点A 作AQ ∥BE 交CB 的延长线于点Q ∴1,===BQBCAE CE BD BQ AD AH ∵BC=3BD ,∴BDBC BQ 3==∴3=DHAH练习11．如图，点O 是四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，∠BAD 与∠ACB 互补，＝，AD ＝6，AB ＝7，AC ＝5，则BC 的长为．【解答】解：过点O 作OM ∥AD 交AB 于M∴＝，∴AM＝×7＝，BM＝×7＝，∵△BOM∽△BDA，∴，∴OM＝，∵∠BAD+∠OMA＝180°，∠BAD+∠ACB＝180°，∴∠OMA＝∠ACB，∴△AMO∽△ACB，∴，∴BC＝2．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：过点E作EH∥AD交BC于H，则＝，∵BE是△ABC的中线，∴CE＝EA，∴CH＝HD，∵EH∥AD，∴＝＝3，∴＝，故选：B．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为．【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，则＝＝，∵＝，∴DF ＝2EC ，∴DO ＝2OC ，∴DO ＝DC ，∴S △ADO ＝S △ADC ，S △BDO ＝S △BDC ，∴S △ABO ＝S △ABC ，∵∠ACB ＝90°，∴C 在以AB 为直径的圆上，设圆心为G ，当CG ⊥AB 时，△ABC 的面积最大为：4×2＝4，此时△ABO 的面积最大为：×4＝．故答案为：．模块二：作平行线构造双X 型例1.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD=DC ，31=AC AE ，求FDAF的值。
相似三角形优秀教案 相似三角形教案
相似三角形优秀教案相似三角形教案相似三角形教案(好)一、知识概述(一)相似三角形1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．温馨提示：①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．温馨提示：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示：①有平行线时，用上节学习的预备定理；②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示：①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．(三)三角形的重心1、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．2、三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．二、重点难点疑点突破1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△AD E绕点A旋转某一角度而形成的．温馨提示：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．三、解题方法技巧点拨1、寻找相似三角形的个数例1、(吉林)将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：(1)图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；(2)图中有相似(不包括全等)三角形吗？如果有，就把它们一一写出来．分析：(1)在△ABC内，有五个三角形，加上△ABC与△AFG，共有七个三角形．(2)这是依据相似三角形判定定理来解决的计数问题．由于“不包括全等”，图中还剩五个非直角三角形，考虑到题设中两个三角形摆放的随意性，∠1不一定等于∠2，而∠B=∠C=45°，∠3、∠4都为钝角，又排除△ABD与△ACE相似，还剩三个三角形，这三个三角形相似．解：(1)共有七个三角形，它们是△ABD、△ABE、△ADE、△ADC、△AEC、△ABC 与△AFG．(2)有相似三角形，它们是△ABE∽△DAE，△DAE∽△DCA，△ABE∽△DCA(或△ABE∽△DAE∽△DCA)．点拨：①解决这类计数问题，一定要依据图形与定理，全面、周密思考，做到不重不漏，这类题有利于发散思维的培养和创新意识的形成；②有兴趣的同学可继续探索一下本题中BD、DE、EC三条线段有何关系？2、画符合要求的相似三角形例2、(上海)在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．（1）（2）分析：设单位正方形的边长为1，则△ABC的三边为，从而根据相似三角形判定定理2或3可画△A1B1C1，易得点拨：在4×4的正方形方格中，满足题设的△A1B1C1只能画出以上三个，若正方形方格数不加限制，则和△ABC相似且不全等的三角形可以画无数个．3、相似三角形的判定例3、(1)如图，O是△ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC；(2)如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF，写出图中所有相似三角形，并证明．分析：(1)根据题设，观察图形易见，DE、EF、FD分别是△AOB、△BOC、△COA的中位线，利用三角形的中位线性质可证△DEF与△ABC的三边对应成比例；(2)由于正方形的四条边相等，且BE=CE，DF=3CF，设出正方形边长后，图中所有线段都能求出，故可从三边是否成比例判定哪些三角形相似．点拨：①第(1)题，若点O在△ABC外，其他条件不变，结论仍成立；②第(2)题也可用判定定理2，先证△ABE∽△ECF，得出∠AEF=90°后，再证其中任意三角形与△AEF相似，显然，以上证法较简便．4、直角三角形相似的判定例4、求证：若一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高与另一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高成比例，那么这两个直角三角形相似．已知：如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，CD、C′D′分别是两个三角形斜边上的高，且CD︰C′D′=AC︰A′C′．求证：△ABC∽△A′B′C′．分析：判定直角三角形相似的方法除使用一般三角形的判定方法外，还可使用“斜边和一直角边对应成比例的两直角三角形相似”这一定理．证明△ABC∽△A′B′C′，只要再证一锐角对应相等即可．证明：∵CD、C′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高，∴△ACD、△A′C′D′是直角三角形．5、三角形重心问题例5、已知△ABC的重心G到BC边上的距离为5，那么BC边上的高为()A．5 B．12C．10 D．15解析：因为G为△ABC的重心，所以DG︰DA=1︰3，因为GE⊥BC，AF⊥BC，所以GE∥AF，所以GE︰AF=DG︰DA=1︰3，因为GE=5，所以AF=15．6、相似三角形的综合运用例6、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．求证：(1)△ADF∽△EDB；(2)CD2=DE·DF．分析：(1)△ADF与△EDB都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等即可；(2)注意到CD是斜边AB的中线，AD=BD=CD，由结论(1)不难得出结论(2)．证明：(1)∵DF⊥AB，∴∠ADF=∠BDE=90°，又∵∠F＋∠A=∠B＋∠A，∴∠F=∠B，∴△ADF∽△EDB．(2)由(1)得，∴AD·BD=DE·DF．又∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴AD=BD=CD．故CD2=DE·DF．点拨：本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等．这是一道阶梯型问题，第(2)题根据(1)得出有关比例式，然后使用“等线代换”使问题简捷获证．其实第(2)题也可这样思考：把它转化为比例式，证明这三条线段所在的△CDE∽△FDC．请同学们完成这一证明．例7、如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求证：．分析：待证式中的四条线段不是在两个三角形中，无法直接根据两个三角形相似得出，需要插入一个“中间比”，由题设易证△ABE∽△ACF，△BDE∽△CDF，从中不难找到这个中间比．证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠3=∠4=90°，∴△ABE∽△ACF，点拨：①当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时，一般可寻找“中间比”帮忙；例8、如图，在正方形ABCD中，M、N分别是AB、BC上的点，BM=BN，BP⊥MC 于点P．求证：(1)△PBN∽△PCD；(2)PN⊥PD．分析：要证PN⊥PD，即证∠DPN=90°，由已知∠BPC=90°，而∠BPC与∠DPN有公共部分∠CPN，因此只要证明∠4=∠5即可．这就必须先证明出结论(1)．在△PBN 与△PCD中，易证∠1=∠3，以下只要证明夹∠1、∠3的两边对应成比例．证明：(1)在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°．∵BP⊥MC，∴△PBM∽△PCB．点拨：要注意观察出图中存在的“母子相似三角形”基本图形，从而充分利用它得出∠1=∠2及△PBM∽△PCB等重要结论相似三角形教案相似三角形教案①回忆两个三角形相似的概念，巩固两个三角形相似的性质与判定。
教育论文-教学设计《相似三角形的判定》
教学设计《相似三角形的判定》【内容简介】培养学生的创新精神和创新能力是创新教育的根本任务。
本节课内容具有承上启下的作用，通过立足于学生的认识结构来确定教学的起点和目标，由图形的以静化动，让学生将线段进行转化,提炼其中的图形，通过观察、思考，猜想、交流、验证等教学活动，渗透了数学的类比思想和化归思想，让学生学会自主交流与学习，自主探索，合作探究以培养学生的创新精神和创新能力。
整个过程蕴含了“提炼图形——提出问题——平移转化——解决问题”的探究思路。
【关键词】自主探索合作探究发散思维演绎推理类比迁移循序渐进一、教学内容解析1、内容平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2、内容解析定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”承接于平行线段成比例的基本事实，又可用于证明其他的判定方法。
此定理在三角形相似的判定中处于基础地位，为其他三角形相似判定的证明作了铺垫。
在平行线线段成比例的基本事实中，关注后的两个三角形是否相似，当比例线段中有一条线段与其他三条线段不在同一个三角形的边上时，需将一条线段平移到另一条线段上，此过程蕴含了“提炼图形——提出问题——平移转化——解决问题” 的探究思路。
二、教学目标1.会证明“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”。
2.能用上述判定定理解决简单问题三、教学重点、难点DE教学重点：相似三角形判定定理的探索及应用教学难点：判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形的证明”四、学情分析在平行线分线段成比例的基本事实中，学生明确了平行线、截得的线段对应成比例的基本事实，利用几何画板将直线平移构成两条相交直线，提炼出三角形，提出问题，而所所得的两三角形是否相似，导入课题，提出问题引导学生思考问题，解决问题，反思解决问题的关键之处，突破重难点。
五、教学媒体与资源《几何画板》、多媒体教学一体机六、教学过程1、观察猜想，提出问题引入：图 1 中 l 3∥l 4∥l 5，l 1 与 l 2 分别与 l 3，l 4，l 5 相交，图中“哪些线段对应成比例”？若将左图中的 l 1 平移到如图 2 的位置，构造出两个三角形，这两个三角形相似吗？利用定义来证明三角形相似较麻烦，为了寻找判定三角形相似的更简便方法，我们应用平行线段成比例的基本事实，来探究判定两个三角形相似的简便方法。
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《添加平行线构造相似三角形》教学设计【教材分析】相似三角形是初中数学的重要内容之一，作为一种基本图形,在求解、推证角及线段的数量关系中应用十分广泛.在利用相似三角形解决此类问题时，常常需要添加辅助线-平行线来构造相似，从而构造出特殊位置关系的角或实现某些线段比的良性转化，为解题架桥铺路.【教学目标】1、知识与技能：①会运用相似三角形的判定和性质解决(A型、X型)线段比和线段长的问题；②能运用平行线构造相似三角形的方法解决与比例线段相关的计算与证明问题.2、过程与方法：①经历用运动的观点探究几何图形变化规律的过程，体验利用平行线构造相似三角形的一般方法；②在解决问题的过程中，引导学生添加适当的平行线构造相似三角形，解决与比例线段有关的计算和证明问题，培养学生探求新知和运用所学知识解决问题的能力．3、情感态度与价值观：学会与同学交流合作，培养学生合作交流的能力，体验数学活动充满探索与创造，增强探求新知的兴趣.【教学重点】添加适当的平行线构造相似三角形,解决与比例线段有关的计算与证明问题.【教学难点】添加适当的平行线构造相似三角形的方法.【教学准备】多媒体、白板、彩笔、三角尺、课件.【学情分析】学生已学习了相似三角形的性质以及判定，会直接利用平行得相似，解决基本（A型、X型）平行型题，而在解决复杂的几何问题时，要根据已知条件、图形特征等来添加适当的平行线构造相似来解决，而学生在构造相似时，对如何添加适当的平行线产生困惑，尤其是在解决灵活性较强的题目时，仅仅根据平时做过的题及熟悉的辅助线的做法，还是不能顺利解决.但学生具有求知欲高、模仿能力强、思维多依赖于具体直观形象的特点，并且初步具备了从现有知识区向最近发展区迁移的能力，因此要借助多媒体、白板、直观演示等有效的调动学生的思维，激发他们自主学习的热情，提高学习效率.【教学方法】采用探究式的教学模式，通过启发、指导等方法，并以多媒体、白板辅助教学，意在形成轻松、和谐、民主的教学氛围，从而培养学生的探究能力、激活学生的创新意识.把信息技术与课堂教学有机地整合起来，增强教学的直观性、趣味性，借助于交互式电子白板，使学生更直观的感受到如何添加平行线构造相似三角形，通过动感将抽象内容具体化，启发、帮助学生运用化归思想解决问题，利于发挥学生学习主体作用，学生表现更多的参与协作，丰富学生对数学情境的感性认识、激发学生的求知欲，调动学习的积极性.【学法指导】充分引导学生积极思维，鼓励学生进行合作学习，引导学生认真审题弄清已知条件和所求结论.若题目中涉及线段比时，先看所提线段所在的三角形是否相似，若不相似则需要构造相似．构造相似时，可考虑固定一个三角形，为了使问题简单，使固定的三角形包含题中所提线段越多越好，然后根据平行线构造相似，进而快速解决与比例线段有关的问题.在解决问题的过程中，鼓励学生充分动手操作，演示，猜想，证明及计算，帮助学生更好地体会图形变换、构造图形、类比、转化、分类讨论等数学思想方法.【教学过程】一、出示目标师：今天的学习目标是（投影出示）生：观看大屏幕，明确学习目标1．会利用平行得相似，解决求线段比、线段长的问题；2．经历动线问题的探究过程，体验利用平行线构造相似三角形的一般方法；3．能够根据题目添加适当的平行线，构造相似三角形，解决比例线段的有关计算和证明问题．二、引入课题师:前面我们学过了相似三角形，在平面几何问题中，常常用相似三角形的知识来解决与比例线段有关的计算与证明问题.下面，我们先来看一组练习题.（投影出示）课前热身（1）如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2，则DE：BC= ．（2）如图，ED∥BC，AB=4，AE=1，ED=2，则BC= ．生：思考后回答师：巡视后抽生回答问题.生：(1）DE：BC=3:5师：理论依据是什么?生：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似,∴△ADE∽△ABC ∴AD:AB=DE:BC 又∵AD=3，DB=2 ∴AD:AB=3:5∴DE：BC=3:5生:(2)BC=8.师：为什么?生:由ED∥BC得，∠D=∠C ∠E=∠B两角分别相等的两个三角形相似，又由相似三角形的对应边成比例，进一步可求出AE的长.师：刚才我们利用平行得出了相似，进而解决了线段的比、求线段长的问题. 但当不能直接找到相似三角形时，需要添加平行线来解决.这节课我们就来学习<添加平行线构造相似三角形>.（板书课题）三、合作探究师：我们来看一组思考题（白板动画演示)：思考题（1）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，过点D作直线MN，当直线MN绕点D旋转时，与△ABC的边平行的直线有几条？生：两条师：哪两条？生：图1和图2师：得到的三角形与原三角形有何关系?生：图1中△ADE∽△ABC 图2中△DBE∽△ABC师：为什么？生：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 师：非常好！接着来看思考题(2)思考题（2）如图，△ABC中，D是AB边延长线上的一点，过点D作直线MN，当直线MN绕着点D旋转时，与△ABC的边平行的直线有几条?生：两条师：哪两条？生：图3和图4师：得到的三角形与原三角形有何关系?生：图3中△ADE∽△ABC 图4中△DBE∽△ABC师：为什么？生：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例.又∠DBE=∠ABC师：非常好！接下来我们来探究当问题(2)中的两种情形同时出现时的问题，来看大屏幕（投影出示）思考题（3）如图，△ABC中，D是AB边延长线上的一点，过点D作直线MN，当直线MN绕着点D旋转时，与△ABC的边平行的直线有两条.若分别记作M1N1、MN，直线M1N1交CA的延长线于点E；直线MN交BC的延长线于点F，若AE:AC=1:2,则BC:BF=_______.生：思考并回答（3）（结合学案）师：口述要点，若AE:AC=1:2，则BC:BF=_____.生: 2：3师：说明理由？生:∵ED∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC 又∵AE:AC=1:2∴AD:AB=1:2 ∴AB:BD=2:3 ∵DF∥EC ∴BC:BF=BA:BD ∴BC:BF=2:3师：说出△ADE与△ABC相似的理由？生：∵DE∥BC ∴∠DAE=∠BAC（或∠AED=∠ACB）∴△ADE∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）师：△ABC∽△DBF的理由是什么？生：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 师：很好！师：我们通过对动线问题的探究体验了利用平行线构造相似三角形的一般方法，解决了线段的比的问题.下面，我们进一步探究添加平行线构造相似三角形的方法.我们再来看一组探究题.看屏幕上的这道探究题（1）（边说边出示）.探究题（1）如图，△ABC中，E是AC的中点，D是BC上一点，AD、BE相交于P.若E是AB的中点，求 EP:PB =生: 阅读并思考师: 哪位同学能解决这个问题?生：（上台展示）讲述解题的思路与方法(连接DE，由中位线性质定理得，ED//AB直接得结论)师: 很好！师: 该生从相似出发，找出了一种简单又直接的方法（追问）还有其他方法吗？生：过点E作EF//CB交AD于点F，可得△EFP∽△BDP，进而得EP:PB的值师:非常好！接着看屏幕上的探究题（2）.（边说边出示）探究题（2）（2015朝阳一模改编)如图，△ABC中，E是AC的中点，D是 BC 上一点，AD、BE相交于P.若CD:DB=1:2，求 EP:PB =生：审题思考师：提出问题1.△AEP和△BDP相似吗？2.题目中有其他相似三角形吗？3.能构造涉及EP和PB(或EB）的相似三角形吗？4.利用平行线构造相似三角形的基本图形，能动手试试吗？生：小组交流，各抒己见，共同探究解题方法师：巡回指导（予以启发、引导、点拨）师生互动：结合图形分析解题思路与方法共同分析：要得到EP:PB的比值，需要找到EP所在的△AEP，PB所在的△PBA和△PBD.不妨以固定△PBD为例来探究添加平行线构造相似三角形的思路与方法.固定△PBD，观察△PBD与EP所组成的图形，构造一个三角形包含EP边且与△PBD相似，不难想到过点E作EF//BC,交AD于点F,就可以了.师: 哪个学生能试着解决这个问题?生：讲述解题的思路与方法解：过点E作EF//BC,交AD于点F则△EPF∽△BPD △AEF∽△ACD由△AEF∽△ACD可得,AE:AC=EF:CD又∵E为AC的中点∴EF:CD=1:2由△EPF∽△BPD可得,EF:BD=EP:PB又由CD:DB=1:2且EF:CD=1:2可得∴EF:BD=1:4 ∴EP:PB =1:4师：在白板上勾画并写出要点，给学生以肯定与鼓励（提示：根据已知条件中的比值，可用设辅助未知数法）(播放解题过程)师:非常好!师:还有其他添加辅助线的方法吗?生：再次分析也可交流讨论师：有新的思路和方法了吗?生：思考交流后，上台展示(方法二)师：（边播放边倾听必要时给予指点)生：过点F作FM//AC,交BC于点M师：还有其他添加辅助线的方法吗?生：有，过点E作EF//AD,交CB于点F过点C作CF//EB,交AD的延长线于点F还有其他添加平行线的方法（预设所生成的问题）师：非常好！（归纳添加平行线构造相似三角形的一般方法）在利用相似三角形处理求线段比的问题时，我们首先应想办法在图中标出所提线段．再看所提线段所在的三角形是否相似，若相似可直接求得；若不相似则需要构造相似三角形，构造相似三角形时，先固定一个三角形（为了使问题简单，使固定的三角形包含题中所提线段越多越好），然后添加平行线构造相似.师：接着我们来看屏幕上的探究题（3）（边说边出示）探究题（3）如图，△ABC中，E是AC的中点，D是 BC上一点，AD、BE相交于P.若CD:DB=1: n，试猜想EP:PB= ，并证明你的猜想.生：独立思考师：巡回指导生：小组合作交流师：提问：①题目中有哪些条件？②需要解决什么问题？③如何在已知和未知之间架起桥梁？提示：①可类比前面两题的思路与方法；②涉及比例问题，常用设辅助未知数法，比如可设CD=k,DB=nk③思考感悟构造相似三角形的一般思路与方法师：巡回指导生：回答问题并讲述解题思路与方法师：给予肯定并鼓励师：刚才我们又一次探究了添加平行线构造相似三角形的一般方法，解决了线段比的问题.四、课堂检测师：下面检测一下学习效果（投影出示）生：结合学案解答课堂检测一、选择题如图,在口ABCD中，E是CD延长线上一点，BE与AD交于点F，则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题（感触中考）(2014•北京)22.阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小腾发现，过点C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于点E ，通过构造△ACE ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．请回答：∠ACE 的度数为 ，AC 的长为 ．师：抽生上台展示（实物投影+白板）生：小组组长安排批阅师：巡查并个别指导，共性问题引导解决五、课堂总结师：这节课你有哪些收获与感悟？生：思考感悟师生：本节课我们先从平行得相似的简单练习入手，解决了基本相似型的线段比和线段长的问题；接着由动态过程中的平行问题得相似，为构造相似三角形提供思路；然后通过探究练习，对题目中不能直接找到相似三角形的问题进行探究，寻找解决问题的思路与方法（考虑如何在已知和未知之间架起桥梁，通常是先标出所求线段比中包含的两条线段，并以其中一条线段为边固定一个三角形，以另一线段另一端点作平行线，再利用平行得相似,由相似所得的对应线段成比例关系,得出所求线段比），进而解决求线段比、线段长的问题.在解题的过程中，我们用到了类比法、构造法和转化思想，并通过一题多思、一题多解，巩固所学知识，训练思维，开拓视野.六、布置作业必做题：1、P42 课本复习巩固5题 ；拓广探索14题.选做题： 2、若点D 为BC 中点,ED 交AB 于点F,且EF:FD=2:3,则AF:FB= .3、阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD=1：2，AD 与BE 相交于点P ，求AP:PD 的值．小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的值为 ．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC=1：2：3 ．（1）求 的值；（2）若CD=2，则BP= .附：板书设计APPD APPD。