九年级数学下册《解直角三角形》典型例题(含答案)

《解直角三角形》典型例题
例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形．
分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决．
解 （1）
； （2）由a b B =tan ，知 ； （3）由c a B =
cos ，知860cos 4cos =︒==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ．
例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵
∴ 设
,则
由勾股定理,得 ∴ ． ∴
． 解法二 133330tan =⨯=︒=b a
说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题．
例 3 设
中， 于D ，若 ，解三
角形ABC ．
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手．
解在Rt中，有：
∴
在Rt中，有
说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：
（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中
“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：
所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．
例4在中，，求．
分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；
（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．
解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有
；
在中，，且
，
∴；
于是，有，
则有
说明还可以这样求：
例5 如图，在电线杆上离地面高度5m 的C 点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线BC 和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．
分析 分别在两个直角三角形ADC 和BDC 中，利用正弦函数的定义，求出AC 和BC ．
解: 在Rt △ADC 中，331023560sin ==︒=DC
AC
在Rt △BDC 中，22
102
2545sin ==︒=DC BC
说明 本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握．。