解直角三角形典型例题

《解直角三角形》典型例题

例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形．

分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ；

（2）由a

b

B =

tan ，知 ；

（3）由c a B =

cos ，知860cos 4cos =︒

==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ．

例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴

设 ,则 由勾股定理,得

∴ ． ∴

．

解法二 13

3

330tan =⨯

=︒=b a

说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中，

于D ，若

，解

三角形ABC ．

分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是

的边，所以应先从Rt入手．

解在Rt中，有：

在Rt中，有

说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：

（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中

“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：

所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．

例4在中，，求．

分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；

（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．

解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有

；

在中，，且

，

∴；

于是，有

，

则有

说明还可以这样求：

例5 如图，在电线杆上离地面高度5m 的C 点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线BC 和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．

分析 分别在两个直角三角形ADC 和BDC 中，利用正弦函数的定义，求出AC 和BC ．

解: 在Rt △ADC 中，33

102

3

560sin =

=︒=

DC AC 在Rt △BDC 中，22

102

2

545sin =

=︒=

DC BC

说明 本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握．