(完整版)解直角三角形练习题(三)及答案
2019-2020学年度最新浙教版九年级数学下册单元考点练习《解直角三角形》及答案解析三
1.3 解直角三角形同步练习一、单选题1、如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA=，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm；②EB=1cm；③S菱形ABCD=15cm2A、3个B、2个C、1个D、0个2、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（）A、2B、4C、8D、83、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A、mB、4 mC、mD、8 m4、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝， BE=2，则tan∠DBE的值（）A、B、2C、D、5、如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（）A、B、C、D、6、在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是A、B、C、D、7、某水坝的坡度i＝1:，坡长AB＝20米，则坝的高度为( )A、10米B、20米C、40米D、20米8、一斜坡长为米，高度为1米，那么坡比为（）A、1：3B、1：C、1：D、1：9、如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，若∠a=75°，则b的值为 ( )A、3B、C、D、10、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC的最小值为A、B、C、D、211、在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=， cosB=， AC=40，则△ABC的面积是（）A、800B、800C、400D、40012、如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A、3B、4C、5D、613、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A、B、C、D、14、一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）A、75cm2B、（25+25）cm2C、（25+）cm2D、（25+）cm215、如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A、B、C、D、3二、填空题16、在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，若sinC=，则BC的长度为________17、已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是________．18、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5cm， AP＝8cm， AP平分∠DAB，交DC于点P，过点B作BE⊥AD于点E，BE交AP于点F，则tan∠BFP ＝________19、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=________20、如图，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD边上一点，沿AE折叠△ADE，使点D恰好落在BC边上的F处，M是AF的中点，连接BM，则sin∠ABM=________．三、解答题21、如图，矩形ABCD的对角线AC.BD相交于点O ，过点O作OE⊥AC交AD于E ，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．22、如图的斜边AB=5，cosA=（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线与AB，AC分别相交于D,E两点，求DE的长23、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB ，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3 ．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）24、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．25、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，点C是抛物线在第一象限内部分的一个动点，点D是OC的中点，连接BD并延长，交AC于点E.（1）说明：；（2）当点C、点A到y轴距离相等时，求点E坐标. （3）当的面积为时，求的值.答案部分一、单选题1、【答案】A2、【答案】B3、【答案】B4、【答案】B5、【答案】A6、【答案】C7、【答案】A8、【答案】A 9、【答案】C 10、【答案】B 11、【答案】D 12、【答案】B 13、【答案】A 14、【答案】C 15、【答案】B二、填空题16、【答案】10 17、【答案】18、【答案】19、【答案】20、【答案】三、解答题21、【答案】解：连接EC ，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC ，∠ABC=90°，利用勾股定理得：AC= =10，即OA=5，∵OE⊥AC ，∴AE=CE ，在Rt△EDC中，设EC=AE=x ，则有ED=AD-AE=8-x ， DC=AB=6，根据勾股定理得：x2=（8-x）2+62，解得：x= ，∴AE= ，在Rt△AOE中，sin∠OEA= ．22、【答案】解：（1）作图（2）因为直线垂直平分线段AC，所以CE=AE，又因为BC AC，所以DE//BC，所以DE=BC．因为在中，AB=5，cosA=，所以AC=ABcosA=,BC=4得DE=2．23、【答案】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB ，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i= ：3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，BD= 米，∴AD=BD-AB=（10 -10）米≈7.32米，∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．24、【答案】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ADE=∠B，在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，∴AB=13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC=AD+CD=12，∴，解得，∴．25、【答案】解：(1)令y=0,则有-x2+2x+8=0. 解得：x1=-2，x2=4∴OA=2，OB=4.过点O作OG∥AC交BE于G∴△CEG∽△OGD∴∵DC=DO∴CE=0G∵OG∥AC∴△BOG∽△BAE∴∵OB=4,OA=2∴;(2)由（1）知A（-2，0），且点C、点A到y轴的距离相等，∴C（2，8）设AC所在直线解析式为：y=kx+b把 A 、C两点坐标代入求得k=2，b=4所以y=2x+4分别过E、C作EF⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为F、H由△AEF∽△ACH可求EF=，OF=, ∴E点坐标为（，）（3）连接OE∵D是OC的中点，∴S△OCE=2S△CED∵S△OCE:S△AOC=CE:CA=2:5∴S△CED：S△AOC=1：5．∴S△AOC=5S△CED=8∴∴CH=8。
解直角三角形 试题及答案
向东航行 30 分钟后到达 C处,发现灯塔 B在它的南偏东 15°方向,则此时货轮与灯塔 B的距离为
km.
图 K23-8
10、 如图 K23-9,在一笔直的沿湖道路上有 A,B两个游船码头,观光岛屿 C在码头 A北偏东 60°的方向,在码头 B北偏 西
45°的方向,AC=4 km.游客小张准备从观光岛屿 C乘船沿 CA回到码头 A或沿 CB回到码头 B,设开往码头 A,B的游船
∵∠CNP=46°,∴∠PNA=44°,
∴PA=PN·sin∠PNA=60×0.6947≈41.68(海里).
6【答案】25
如图,过点 B作 BE⊥AE于点 E,
∵坡度 i=1∶ 3,
∴tanA=1∶ 3= 3,∴3∠A=30°,
∵AB=50 m,∴BE=1AB=25(m)
.
2
∴他升高了 25 m.
∴BD=CD·tan37°≈27.2×0.75=20.4(海里).
�� 3
答:还需航行的距离 BD的长为 20.4 海里.
12【答案】解:如图,过点 C作 CD⊥AB于点 D,
设 BD为 x海里,
在 Rt△ACD中,∠DAC=45°,
∴AD=DC=(x+5)海里,
4
在 Rt△BCD中,由 tan53°=����
126
米.
5【答案】B
如图,过点 P作 PA⊥MN于点 A,
MN=30×2=60(海里),
∵∠MNC=90°,∠CNP=46°,
∴∠MNP=∠MNC+∠CNP=136°,
∵∠BMP=68°,
∴∠PMN=90°-∠BMP=22°,
∴∠MPN=180°-∠PMN-∠PNM=22°,
完整版初中解直角三角形练习题
解直角三角形练习题一、真空题：0 sinA= ＝90 ，AB ＝3，BC＝4，则中，∠1、在Rt△ABCB0 AB90＝，2、在Rt △ABC中，∠C＝,5cmBC?3cm cosA= 则SinA=40＝ABC中，∠C＝90，SinA=,AB=10,则3、BCRt△5\00，sin53=0.8018α=cos1518,则α＝若sin4、α是锐角，若\0则cos3642=2cosB－1＝0则∠B＝、5∠B为锐角，且0，ba，，∠A，∠B，∠C所对的边分别为6、在△ABC中，∠C＝90 sinB= sinA= c，a＝9，b＝12，则0则cotA= 7、Rt△ABC中，∠C＝90 ，tanA=0.5,0ba?32 90 ，若tanA= 则C8、在Rt△ABC中，∠＝，则它的底角的正切值，底边长8cm9．等腰三角形中，腰长为5cm 是2A＝为锐角，且tan A+2tanA－3＝0则∠10、若∠A0，b＝△11、RtABC中，∠A＝60c=8，，则a＝32c?,面积中，若S＝,b＝3，则tanB= ABC12、在△3，AB＝6，∠B＝，AC＝BCABC13、在△中，AC：＝1：0，AC边上的中线BD＝5中，∠14、在△ABC B＝90，AB ＝BC＝8，则tanACB=1二、选择题的正弦、A2倍，那么锐角1、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大）余弦值（4倍2倍B、都扩大A、都扩大D、都缩小一半C、没有变化3），则∠A 2、若∠A为锐角，且cotA（＜0 0000 60DB、大于30、大于 C45、大于且小于60A、小于30）（△3、在RtABC中，已知a边及∠A，则斜边应为aa、 C、、AasinA B、 acosA D A sin A cos3），则顶角为（ 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2 ：0000、150120 D、60 B、90 C、A，则这个三角形是＝cosBsinA中，A，B为锐角，且有5、在△ABC ）（、直角三角形、等腰三角形BA 、锐角三角形C、钝角三角形D0）30则斜边上的高为的直角三角形，斜边为1cm，（、6有一个角是1133、DcmC、cm、B、Acm cm42422三、求下列各式的值02000202、sin60cos30sin1、－602sin30+cos 60 020032?| 2cos45|+ 45 4. 3. sin30－cos060cos30045?3cos2sin60 6. 5. 01?30sin5 000020202 45-tan7. 2sintan3030·+cos6030·cot30 8. sin四、解答下列各题0＝，＝中，∠△、在1RtABCC90，AB135＝，BC，sinA, cosA, tanA, cotA 求3120cosA, sinB, cosB ，若＝90求C2. 在Rt△ABC中，∠?sin A13A a, c＝C90与∠，b=17, ∠B=45,求△3. 在RtABC中，∠00中。
初中数学竞赛：解直角三角形(附练习题及答案)
初中数学竞赛：解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用：1．为线段、角的计算提供新的途径．解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突破纯粹几何关系的局限．2．解实际问题．测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形．【例题求解】【例1】如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC 上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝(24-)m，则电线杆AB的长62为．思路点拨延长AD交BC于E，作DF⊥BC于F，为解直角三角形创造条件．【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=24-，BC-1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( )A．60° B．67．5° C．75° D．无法确定思路点拨通过对内分割或向外补形，构造直角三角形．注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解．【例3】 如图，在△ABC 中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l ，D 为BC 边上一点，tan ∠ADC 是方程2)1(5)1(322=+-+x x x x 的一个较大的根?求CD 的长． 思路点拨 解方程求出 tan ∠ADC 的值，解Rt △ABC 求出AC 值，为解Rt △ADC 创造条件．【例4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB=3米，BC=0．5米 ，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米)思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路【例5】 如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：(1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?思路点拨 (1)设甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，则图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点A 的影子落在地面上某一点C ，求BC 即可．注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力．专题训练1．如图，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=31，BC=10，则AB 的长为 ． 2．如图，在矩形ABCD 中．E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若tan ∠AEH =34，四边形EFGH 的周长为40cm ，则矩形ABCD 的面积为 ．3．如图，旗杆AB ，在C 处测得旗杆顶A 的仰角为30°，向旗杆前北进10m ，达到D ，在D 处测得A 的仰角为45°，则旗杆的高为 ． 4．上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B 处船与小岛M 的距离为( )A ．20海里B ．20海里C ．315海里D ．3205．已知a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，若关于x 的方程02)(2=-+-+b c ax x c b 有两个相等的实根，且sinB ·cosA —cosB ·sinA ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是( )A ．24B ．34C ． 4D ．67．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，CD=1，已知AD 、BD 的长是关于x 的方程02=++q px x 的两根，且tanA —tanB=2，求p 、q 的值．8．如图，某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆，测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为30°、45°，在B 地测得C 地的仰角为60°．已知C 地比A 地高200米，则电缆BC 至少长多少米?(精确到0.1米)9．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CBD ＝30，则DCAD = ．10．如图，正方形ABCD 中，N 是DC 的中点．M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则tan ∠ABM ＝ ．11．在△ABC 中，AB=26-，BC=2，△ABC 的面积为l ，若∠B 是锐角，则∠C 的度数是 ．12．已知等腰三角形的三边长为 a 、b 、c ，且c a =，若关于x 的一元二次方程022=+-c bx x 的两根之差为2，则等腰三角形的一个底角是( )A ． 15°B ．30°C ．45°D ．60°13．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1和∠2的大小关系是( ) A ．∠1>∠2 B ．∠1<∠2 C ．∠1＝∠2 D ．无法确定14．如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 上一点，AE ⊥AF ，点E 在CB 的延长线上，EF 交AB 于点G ．(1)求证：DF ×FC ＝BG ×EC ；(2)当tan ∠DAF=31时，△AEF 的面积为10，问当tan ∠DAF=32时，△AEF 的面积是多少?15．在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)．参考答案。
解直角三角形基础题专题试题精选三附答案
解直角三角形基础题试题精选三附答案一．选择题（共15小题）1．（2015•庆阳）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（）A．45°B．60°C．75°D．105°2．（2015•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（）A．B．C．D．3．（2015•济宁）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米B．6米C．8米D．（3+）米4．（2014•呼伦贝尔）如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB=12米，则旗杆的高度为（）A．米B．6米C．米D．12米5．（2015•玉林）计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1 C．D．6．（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C． D．7．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米8．（2015•绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．（11﹣2）米B．（11﹣2）米C．（11﹣2）米D．（11﹣4）米9．（2015•海宁市模拟）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（）A．B．C．D．10．（2014•历下区二模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=，则AD的长为（）A．2 B．4 C．D．11．（2014•嘉定区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，那么tanA等于（）A．B．C．D．12．（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．20海里B．40海里C．海里D．海里13．（2014•渝北区自主招生）已知一直角三角形的两直角边的比为3：7，则最小角的正弦值是（）A．B．C．D．14．（2014•厦门）sin30°的值是（）A．B．C．D．115．（2013•乐山）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）16．（2015•揭西县一模）在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是．17．（2014•怀化）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角为．18．（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是．19．（2014•上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．20．（2014•本溪）在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是．21．（2014•滨州二模）如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，则tan∠OCA=．22．（2015•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．三．解答题（共8小题）23．（2014•南京校级二模）计算：﹣2cos30°+（）﹣2﹣|1﹣|．24．（2014•淮安）为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．25．（2014•赤峰）位于赤峰市宁城的“大明塔”是我国辽代的佛塔，距今已有1千多年的历史．如图，王强同学为测量大明塔的高度，在地面的点E处测得塔基BC上端C的仰角为30°，他又沿BE方向走了26米，到达点F处，测得塔顶端A的仰角为52°，已知塔基是以OB为半径的圆内接正八边形，B点在正八边形的一个顶点上，塔基半径OB=18米，塔基高BC=11米，求大明塔的高OA（结果保留到整数，≈1.73，tan52°≈1.28）．26．（2015•南宁模拟）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）27．（2014•乌鲁木齐）如图，在电线杆上的E处引拉线EC和EB固定电线杆，在离电线杆6米的A处安置测角仪（点A，C，F在一直线上），在D处测得电线杆上E处的仰角为37°，已知测角仪的高AD为1.5米，AC为3米，求拉线EC的长．（精确到0.1米）28．（2015•东台市一模）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．29．（2013•枣庄）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．30．（2011•兰州）已知a是锐角，且sin（a+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值．解直角三角形基础题试题精选三附答案参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2015•庆阳）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．分析：根据非负数的性质得出cosA=，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C 的度数．解答：解：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．2．（2015•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．解答：解：∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∴cosA==．故选D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3．（2015•济宁）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米B．6米C．8米D．（3+）米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．解答：解：设CD=x，则AD=2x，由勾股定理可得，AC==x，∵AC=3米，∴x=3，∴x=3米，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，BD==8米，∴BC=8﹣3=5米．故选A．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟练运用勾股定理是解题的关键．4．（2014•呼伦贝尔）如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB=12米，则旗杆的高度为（）A．米B．6米C．米D．12米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：此题可由仰角的正切值求得旗杆的高度．解答：解：由于AB=12（米），仰角α=60°，则BC=AB•tan60°=12（米），故选C．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．5．（2015•玉林）计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1 C．D．考点：特殊角的三角函数值．分析：首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．解答：解：∵cos45°=sin45°=，∴cos245°+sin245°===1．故选：B．点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．6．（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C． D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解答：解：如图：在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO==；AC==；则sinA===．故选：B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．7．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：压轴题．分析：图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．解答：解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，∵CD⊥AB于点D．∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD===100在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°∴DB=CD=100米，∴AB=AD+DB=100+100=100（+1）米．故选D．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．8．（2015•绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．（11﹣2）米B．（11﹣2）米C．（11﹣2）米D．（11﹣4）米考点：解直角三角形的应用．分析：出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减即可求得BC长．解答：解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，∴在直角△CPD中，DP=DC•cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米，∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，∴△PDC∽△PBO，∴=，∴PB===11米，∴BC=PB﹣PC=（11﹣4）米．故选：D．点评：本题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念．9．（2015•海宁市模拟）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（）A．B．C．D．考点：特殊角的三角函数值；等边三角形的判定与性质；作图—复杂作图．专题：探究型．分析：连接AB，先根据题意判断出△AOB的形状，再得出∠AOB的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．解答：解：连接AB，∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，∴OA=OB，∵以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=．故选C．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及等边三角形的判定与性质，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．10．（2014•历下区二模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=，则AD的长为（）A．2 B．4 C．D．考点：解直角三角形．分析：先由等腰直角三角形的性质得出BC=AC=6，再解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AD=AC﹣DC即可求解．解答：解：在等腰Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，∴BC=AC=6．在Rt△DBC中，∵∠C=90°，∴tan∠DBC==，∴DC=BC=4，∴AD=AC﹣DC=6﹣4=2．故选A．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．11．（2014•嘉定区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，那么tanA等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，正切=对边÷邻边，即tanA=．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，∴tanA==．故选C．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，用到的知识点有正切=对边÷邻边．12．（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．20海里B．40海里C．海里D．海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°，则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=30°．由BD∥CN，得出∠BCN=∠DBC=20°，那么∠ACB=∠ACN+∠BCN=30°=∠ABC，根据等角对等边得出AB=AC，由等腰三角形三线合一的性质得到CM=BC=20海里．然后在直角△ACM中，利用余弦函数的定义得出AC=，代入数据计算即可．解答：解：如图，作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°，则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=50°﹣20°=30°．∵BD∥CN，∴∠BCN=∠DBC=20°，∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°，∴∠ACB=∠ABC=30°，∴AB=AC，∵AM⊥BC于M，∴CM=BC=20海里．在直角△ACM中，∵∠AMC=90°，∠ACM=30°，∴AC===（海里）．故选D．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，余弦函数的定义，难度适中．求出CM=BC=20海里是解题的关键．13．（2014•渝北区自主招生）已知一直角三角形的两直角边的比为3：7，则最小角的正弦值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：计算题．分析：设BC=3x，则AC=7x，再利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义求解．解答：解：如图，BC：AC=3：7，设BC=3x，则AC=7x，所以AB==x，所以sinA===．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．14．（2014•厦门）sin30°的值是（）A．B．C．D．1考点：特殊角的三角函数值．分析：直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．解答：解：sin30°=．故选：A．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．15．（2013•乐山）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数的关系；坐标与图形性质．分析：过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE=3，PE=m，在Rt△POE中求出OP，继而可得sinα的值．解答：解：过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE=3，PE=m，在Rt△POE中，tanα==，解得：m=4，则OP==5，故sinα=．故选A．点评：本题考查了勾股定理及同角的三角函数关系，解答本题的关键是求出OP的长度．二．填空题（共7小题）16．（2015•揭西县一模）在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是2．考点：解直角三角形；菱形的性质．专题：应用题．分析：在直角三角形ADE中，cosA=，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE=．解答：解：设菱形ABCD边长为t，∵BE=2，∴AE=t﹣2，∵cosA=，∴，∴=，∴t=5，∴AE=5﹣2=3，∴DE==4，∴tan∠DBE===2．故答案为：2．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．17．（2014•怀化）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角为30°．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：直接利用正弦函数的定义求解即可．解答：解：由题意得：AB=4米，BC=2米，在Rt△ABC中，sinA===，故∠A=30°，故答案为：30°．点评：本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦函数的定义是解答本题的关键．18．（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是．考点：锐角三角函数的增减性．分析：根据余弦值的取值范围，列不等式求解．解答：解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的增减性．明确锐角三角函数的取值范围：正余弦的锐角三角函数值都是大于0而小于1，正余切的锐角三角函数值都是大于0．19．（2014•上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．解答：解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案为：26．点评：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．20．（2014•本溪）在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是75°．考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：由条件根据∠A的余弦值求得∠A的值，再根据三角形的内角和定理求∠C即可．解答：解：∵在△ABC中，cosA=，∴∠A=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．点评：本题主要考查特殊角的余弦值以及三角形的内角和定理，属基础题．21．（2014•滨州二模）如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，则tan∠OCA= 2．考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．分析：首先根据三角形内角和可得∠BAO=∠ACO，再根据正切定义计算出tan∠OCA．解答：解：∵∠1=∠2，∴∠BAO=∠ACO，∵A（2，0），B（0，4），∴tan∠OCA=tan∠BAO==2．故答案为：2．点评：此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正切定义：锐角A的对边a与邻边b 的比叫做∠A的正切．22．（2015•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．考点：解直角三角形．分析：先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．解答：解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．∴∠A=∠BCD．∴tan∠BCD=tan∠A===．故答案为．点评：本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．三．解答题（共8小题）23．（2014•南京校级二模）计算：﹣2cos30°+（）﹣2﹣|1﹣|．考点：特殊角的三角函数值；绝对值；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=3﹣2×+4﹣（﹣1），=3﹣+4﹣+1，=+5．点评：本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．24．（2014•淮安）为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B点作BD⊥AC于D．分别在Rt△ADB和Rt△CDB中，用BD表示出AD和CD，再根据AC=AD+CD=24m，列出方程求解即可．解答：解：过B点作BD⊥AC于D．∵∠ACB=45°，∠BAC=66.5°，∴在Rt△ADB中，AD=，在Rt△CDB中，CD=BD，∵AC=AD+CD=24m，∴+BD=24，解得BD≈17m．AB=≈18m．故这棵古杉树AB的长度大约为18m．点评：本题考查解三角形的实际应用，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形，利用三角函数求三角形的边．25．（2014•赤峰）位于赤峰市宁城的“大明塔”是我国辽代的佛塔，距今已有1千多年的历史．如图，王强同学为测量大明塔的高度，在地面的点E处测得塔基BC上端C的仰角为30°，他又沿BE方向走了26米，到达点F处，测得塔顶端A的仰角为52°，已知塔基是以OB为半径的圆内接正八边形，B点在正八边形的一个顶点上，塔基半径OB=18米，塔基高BC=11米，求大明塔的高OA（结果保留到整数，≈1.73，tan52°≈1.28）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：在直角△CBE中利用三角函数首先求得EC的长，则OF即可求解，然后在直角△AOF 中，利用三角函数即可求解．解答：解：∵在直角△CBE中，∠CEB=30°，BC=11，∴EC=22，则EB==11≈19，∵在直角△AOF中，∠AFO=52°，OF=18+19+26=63，∴OA=OF•tan∠AFO≈63×1.28=81（米）．答：大明塔高约81米．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．26．（2015•南宁模拟）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：（1）先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出=，设AH=5k，则PH=12k，AP=13k，求出k的值即可．（2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC 是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，然后设BC=x，得出AC=DH=x﹣14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°=，列出方程，求出x的值即可．解答：解：（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴=，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k，∴13k=26，解得k=2，∴AH=10，答：坡顶A到地面PO的距离为10米．（2）延长BC交PO于点D，∵BC⊥AC，AC∥PO，∴BD⊥PO，∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH，∵∠BPD=45°，∴PD=BD，设BC=x，则x+10=24+DH，∴AC=DH=x﹣14，在Rt△ABC中，tan76°=，即≈4.01．解得x≈19．答：古塔BC的高度约为19米．点评：此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．27．（2014•乌鲁木齐）如图，在电线杆上的E处引拉线EC和EB固定电线杆，在离电线杆6米的A处安置测角仪（点A，C，F在一直线上），在D处测得电线杆上E处的仰角为37°，已知测角仪的高AD为1.5米，AC为3米，求拉线EC的长．（精确到0.1米）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由题意可先过点D作DM⊥EF，垂足为M，在Rt△EMD中，可求出EM，进而EF=EM+MF，再在Rt△CEF中，求出CE的长．解答：解：过点D作DM⊥EF，垂足为M，由题意可知四边形ADMF为矩形，∴DM=AF=6，MF=DA=1.5，在Rt△EMD中，EM=DM•tan∠EDM=6tan37°，∴EF=EM+MF，DM=AF=6tan37°，∴EF=EM+MF=6tan37°+1.5．∵AC=3，∴CF=AF﹣AC=3，在Rt△CEF中，CE=≈6.7．答：拉线CE的长为6.7米．点评：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．28．（2015•东台市一模）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：设EC=x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出即可得出答案．解答：解：设EC=x，在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则BE==x，在Rt△ACE中，tan∠EAC=，则AE==x，∵AB+BE=AE，∴300+x=x，解得：x=1800，这座山的高度CD=DE﹣EC=3700﹣1800=1900（米）．答：这座山的高度是1900米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE及AE的表达式，属于基础题，要能将实际问题转化为数学计算．29．（2013•枣庄）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得，在Rt△ADC中，AD==≈36.33（米），…2分在Rt△BDC中，BD=≈12.11（米），…4分则AB=AD﹣BD=36.33﹣12.11=24.22≈24.2（米）…6分（2）超速．理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1×3600=43560（米/时），∴该车速度为43.56千米/小时，…9分∵大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．…10分点评：此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．30．（2011•兰州）已知a是锐角，且sin（a+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值．考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据特殊角的三角函数值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果．解答：解：∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．点评：本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．。
解直角三角形练习题(含答案)
28.2解直角三角形（3）一、选择题1. 一个人从山下沿 30°角的坡路登上山顶，共走了 500m,那么这山的高度是 . []m.A.230B.240C.250D.2602. 一个人从A 点出发向北偏东60°方向走了一段距离到达B 点r,再从B 点出发向南偏 东15°方向走了一段距离到C 点，则/ ABC 的度数为 []4.如图,一船向正北航行，看见正东有两个相距 10海里的灯塔，船航行半小时后，一个灯塔在船的东南，另一个灯塔在船的东 22° 30’南，则船的速度（精确到0.1米）是[.]米/时（tg 「22° 30' =0.4142） A.12.1 B.13.1 C.14.1 D.15.15. 一只船向正东航行，上午7时在灯塔A 的正北C 处,”上午9时到达塔的北偏东 60° B处，已知船的速度为每小时 20千米，那么AB 的距「离是[]千米.A.15B. ”75°「C.105 .D.453.为了求河对岸建筑物 30° ,在地平面上测得/ AB 的高,在地平”面上测得基线 CD=180米，在C 点测得A 点的仰角为 BCD=^「BDC=45 ° ,那么AB 的高是[] 米AABC上午11时到达灯塔的南 C 处,那么这船航行的速度是”[]千米/时.A.19.65B.20.65C.21.65D.22.657.如图：一“只船以每小时20千米的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船 的北偏东60° ,2小时后，船在C 处看见这个灯塔在船的北偏东 45 AC 的距离是 D.21+22^三、解答题6.如图：B 处有一船，向东航行，上午9时在灯塔A 的西南58.4千米的B,则灯塔B 到船的航海线 千米.二、填空题一只船向东航行 南，「这只船航行的速度,上午9点到一座灯塔的西南 68海里处,上午 .（答案可带根号）11点到达n 这座灯塔的正 B1.如图：已知一船以r每小时20海里的速度向正南行驶，上午10时在A处见灯塔P在正东,1小时后行至B处，观察灯塔P的方向是北60°东.求正午12时船行驶至C处距灯塔P 的距离.（答案可带根号）2.如图：东西方向的海岸线上有A、B两码头，相距100 （J3 1）千米，由码头A测得海上船K在北偏东30°，由码n头B测得船K在北偏西15°,求船K距海岸线AB的距离（已知tan75B参考答案一、选择题1. C2. B3. C4. C5. D6. B7. C二、填空题1772海里/时三、解答题1. 20(7米2. 50 J3千米。
历年初三数学中考解直角三角形练习题及答案
在Rt∆ADC中tanD=tan150=
评注： 利用含300角的直角三角形巧妙地构造出含150角的直角三角形，从而求出150角的三角函数值。利用此图还可以求出750的各三角函数值。
强化训练
一、填空题：
⒈ 在∆ABC中，若AC＝ 。BC＝ AB＝3，则cosA=____________.
∴AB＝4BD
在Rt∆ABD中，AD＝
∴ sinB=
cosB=
tanB=
cotB=
［例4］计算
分析：本题主要是考察特殊角的三角函数值和分母有理化知识
解：原式＝ .
= =
=
［例5］ 要求tan300的值.可构造如图19-5所示的直角三角形进行计算，作Rt∆ABC，使C=900，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝ ∠ABC＝300，所以 tan300=
在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan150的值。请你就此图添加辅助线，并求出tan150的值。
分析：只需找出一个150的角，并放入一个可求出各边长的直角三角形中。
解：延长CB至D，使BD＝AB。连结AD，如图19-6
A A
2 1
2 1
300
B C D B C
图19-5 图19-6
则BD＝2，D＝150
6、用计算器计算：sin56050/+cos39030/-tan46010/=_______
分析会用计算器求任意一个锐角的三角函数值，然后进行计算。原式＝0.5671.
7、已知方程4x2-2(m+1)x+m=0的两根恰为一个直角三角形两锐角的余弦，则m=______
分析设这个直角三角形的两个锐角分别为α、β，且α+β＝900。cosβ=sinα.由一元二次方程根与系数的关系得：cosα+cosβ= ，cosαcosβ=
解直角三角形精选题
解直角三角形精选题42道一．选择题（共17小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3B．2x﹣y2＝9C．3x﹣y2＝15D．4x﹣y2＝212．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为（）A．B．C．D．43．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）A．B．C．D．26．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为（）A．B．C．D．27．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是（）A．B．2C．D．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm10．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）A．B．C．D．211．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（）A．2B．C．D．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（）A．1B．2C．D．13．如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为（）A．B．C．D．14．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sin A 的值是（）A．B．C．D．15．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．16．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．17．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（）A．1B．2C．D．二．填空题（共17小题）18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．19．已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于．20．已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于．21．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝．22．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．23．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，连接AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．24．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为．26．△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是．27．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是．28．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是．29．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是cm2．30．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，点C关于直线AB的对称点为D，点E为边AC上不与点A，C重合的动点，过点D作BE的垂线交BC于点F，则的值为．32．如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC＝2，点P是AB 上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的序号）．33．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为．34．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为．三．解答题（共8小题）35．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．36．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．37．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．求BC的长．38．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tan C＝，BC＝12，求cos B的值．39．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．40．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sin B＝，tan A＝，AC＝，（1）求∠B的度数和AB的长．（2）求tan∠CDB的值．41．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cos A＝．（1）求CD的长；（2）求tan∠DBC的值．解直角三角形精选题42道参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3B．2x﹣y2＝9C．3x﹣y2＝15D．4x﹣y2＝21【解答】解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x，∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，∴AQ＝6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM＝QM＝CQ＝3，∴EM＝3y，∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2＝9，故选：B．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为（）A．B．C．D．4【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝，∴，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝，∴，故选：C．3．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝3，∵S△ABC＝AC•BD＝×3•BD＝×1×3，∴BD＝，∴sin∠BAC＝＝＝．故选：B．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，∴BD＝AD，∴CD+BD＝8，∵cos∠BDC＝＝，∴＝，解得：CD＝3，BD＝5，∴BC＝4．故选：A．5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：延长AD、BC，两线交于O，∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tan A＝＝，AB＝3，∴OB＝4，∵BC＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，∵∠ADC＝90°，∴∠ODC＝90°＝∠B，∵∠O＝∠O，∴△ODC∽△OBA，∴＝，∴＝，解得：DC＝，故选：C．6．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为（）A．B．C．D．2【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，∵tan C＝2＝，sin B＝＝，∴AD＝2DC，AB＝3AD，∵AB＝3，∴AD＝1，DC＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，故选：B．7．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin∠ACH＝＝，故选：D．8．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是（）A．B．2C．D．【解答】解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．法二：在求出AF＝4后∵tan∠BAD＝＝．∴＝．∴OF＝3．∴OD＝OF＝3．∴tan∠OBD＝＝．故选：A．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【解答】解：∵sin A＝＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，又∵AC2+BC2＝AB2，∴62+（4x）2＝（5x）2，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则BC＝4x＝8cm，故选：C．10．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H．∵∠BAC＝90°,BD＝DC,∴AD＝DB＝DC,∴∠B＝∠DAB,∵∠B＝∠ADE,∴∠DAB＝∠ADE,∴AB∥DE,∴∠DTC＝∠BAC＝90°,∵DT∥AB,BD＝DC,∴AT＝TC,∴EA＝EC＝ED,∴∠EDC＝∠ECD,∵EH⊥CD,∴CH＝DH,∵DE∥AB,∴∠EDC＝∠B,∴∠ECD＝∠B,∴cos∠ECH＝cos B＝,∴＝,∴＝＝2,故选：D．11．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（）A．2B．C．D．【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，∴∠AED＝∠ABK，∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，故选：B．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（）A．1B．2C．D．【解答】解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴＝＝，∵AB＝2BD，∴＝＝＝，在Rt△CDM中，由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，∴＝＝2，故选：B．13．如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．∵OC∥AD，∴∠A＝∠BOC，∴cos∠A＝cos∠BOC．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC＝＝，∴cos∠A＝cos∠BOC＝．又∵cos∠A＝，AB＝4，∴AD＝．故选：B．14．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sin A 的值是（）A．B．C．D．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵BC＝2，∴S△ABC＝BC×4＝4，∵AB＝＝4，∴CD＝＝，∵AC＝＝2，∴sin A＝＝＝，故选：A．15．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：法一、如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB＝＝＝3，∴cos∠ABC＝＝＝．故选：B．法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴cos∠ABC＝cos45°＝．故选：B．16．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tan B＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE＝x，DE＝，∴AE＝，∴tan∠CAD＝＝．故选：D．17．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（）A．1B．2C．D．【解答】解：连接格点MN、DM，如图所示：则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，∴∠CPN＝∠DNM，∴tan∠CPN＝tan∠DNM，∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，故选：B．二．填空题（共17小题）18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．【解答】解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．∴∠A＝∠BCD．∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝＝．故答案为．19．已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于4﹣4．【解答】解：作CH⊥AE于H，如图，∵AB＝AC＝8，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣30°）＝75°，∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD＝AB＝8，∠CAD＝∠BAC＝30°，∵∠ACB＝∠CAD+∠E，∴∠E＝75°﹣30°＝45°，在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°，∴CH＝AC＝4，AH＝CH＝4，∴DH＝AD﹣AH＝8﹣4，在Rt△CEH中，∵∠E＝45°，∴EH＝CH＝4，∴DE＝EH﹣DH＝4﹣（8﹣4）＝4﹣4．故答案为4﹣4．20．已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于15或10．【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝AB sin B＝5，BD＝AB cos B＝5，在Rt△ACD中，∵AC＝2，∴CD＝＝＝，则BC＝BD+CD＝6，∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×5＝15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD＝5，CD＝，则BC＝BD﹣CD＝4，∴S△ABC＝•BC•AD＝×4×5＝10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．21．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝．【解答】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，∴＝，∵AB＝2，∴AC＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝10，∴cos∠ADC＝＝．故答案为：．22．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．【解答】解：如图，连接AB．∵OA＝AB＝，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝，故答案为：．23．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，连接AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE•sin60°＝，∴E到直线BD的距离为，故答案为．24．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．【解答】解：给图中相关点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，∴AD＝＝a，∴cos（α+β）＝＝．故答案为：．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，∴AD＝BD＝CD＝AB，又∵CD＝3，∴AB＝6，∴cos∠DCB＝cos∠B＝＝＝，故答案为：．26．△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是21或15．【解答】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，在Rt△ABD中，∵AB＝12、∠B＝30°，∴AD＝AB＝6，BD＝AB cos B＝12×＝6，在Rt△ACD中，CD＝＝＝，∴BC＝BD+CD＝6+＝7，则S△ABC＝×BC×AD＝×7×6＝21；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，由①知，AD＝6、BD＝6、CD＝，则BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝×BC×AD＝×5×6＝15，故答案为：21或15．27．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是2．【解答】解：设菱形ABCD边长为t，∵BE＝2，∴AE＝t﹣2，∵cos A＝，∴，∴＝，∴t＝5，∴AE＝5﹣2＝3，∴DE＝＝4，∴tan∠DBE＝＝＝2．故答案为：2．28．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是（4，）．【解答】解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），∴OC＝，OB＝1，∴BC＝＝2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝＝2．∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，∴AG＝，BG＝3．∴OG＝1+3＝4，∴顶点A的坐标是（4，）．故答案为：（4，）．29．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是2cm2．【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，∴AC＝2cm．由题意可知BC∥ED，∴∠AFC＝∠ADE＝45°，∴AC＝CF＝2cm．故S△ACF＝×2×2＝2（cm2）．故答案为：2．30．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为2．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，∴∠A＝45°，在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD＝x，在Rt△BED中，tan∠DBE＝＝，∴BE＝5x，∴x+5x＝6，解得x＝，∴AD＝×＝2．故答案为：2．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，点C关于直线AB的对称点为D，点E为边AC上不与点A，C重合的动点，过点D作BE的垂线交BC于点F，则的值为．【解答】解：如图，设DF交AB于M，CD交AB于N，BE交DF于J．∵∠ACB＝90°，∴sin A＝＝，∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AC＝3k，∵C，D关于AB对称，∴CD⊥AB，CN＝DN，∵S△ABC＝×BC×AC＝×AB×CN，∴CN＝DN＝k，∴CD＝k，∵∠FCD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，∴∠DCF＝∠A，∵DF⊥BE，CD⊥AB，∴∠BJM＝∠DNM＝90°，∵∠BMJ＝∠DMN，∴∠D＝∠ABE，∴△DCF∽△BAE，∴＝＝＝．32．如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC＝2，点P是AB 上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是①③④（填写正确结论的序号）．【解答】解：∵D是AB中点∴AD＝BD∵△ACD是等边三角形，E是AD中点∴AD＝CD，∠ADC＝60°＝∠ACD，CE⊥AB，∠DCE＝30°∴CD＝BD∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝故①③正确，②错误∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°∴∠ACB＝90°若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，∴四边形PMCN是矩形∴MN＝CP∵d12+d22＝MN2＝CP2∴当CP为最小值，d12+d22的值最小∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小此时：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB∴CP＝∴d12+d22＝MN2＝CP2＝3即d12+d22的最小值为3故④正确故答案为①③④33．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为2或14．【解答】解：过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，∴BD＝AD＝4，在Rt△BDC中，BC＝5，∴CD＝＝3，①△ABC是钝角三角形时，AC＝AD﹣CD＝1，∴S△ABC＝AC•BD＝＝2；②△ABC是锐角三角形时，AC＝AD+CD＝7，∴S△ABC＝AC•BD＝×7×4＝14，故答案为：2或14．34．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为9．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．在Rt△ABH中，tan B＝＝，∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，∴k＝2，∴AH＝6，BH＝8，∵BC＝12，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠B，在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，∵CD＝5，∴DE＝3，CE＝4，∴AE＝＝＝6，∴AD＝AE+DE＝9．故答案为：9．三．解答题（共8小题）35．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．【解答】解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6；（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝．解法二：∵BF为AD边上的中线，∴F是AD中点，∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC，∴FE是△ACD的中位线，∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．36．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB 于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，∴CD＝5，由勾股定理得：AD＝＝12，∵E是AD的中点，∴ED＝AD＝6，∴tan∠DCE＝＝；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：∵BC＝8，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵DG∥CF，∴＝＝，＝＝1，∴AF＝FG，设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x∴＝．37．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．求BC的长．【解答】解：在Rt△ABD中，∵，又∵AD＝1，∴AB＝3，∵BD2＝AB2﹣AD2，∴．在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1．∴BC＝BD+DC＝+1．38．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tan C＝，BC＝12，求cos B的值．【解答】解：∵tan C＝＝＝，∴CD＝4．∴BD＝12﹣4＝8．在Rt△ABD中，AB＝＝10．∴cos B＝＝．39．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+，答：AB的长是3+．40．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sin B＝，tan A＝，AC＝，（1）求∠B的度数和AB的长．（2）求tan∠CDB的值．【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，在Rt△ACE中，∵tan A＝＝，∴AE＝2x，∴AC＝＝x，∴x＝，解得x＝1，∴CE＝1，AE＝2，在Rt△BCE中，∵sin B＝，∴∠B＝45°，∴△BCE为等腰直角三角形，∴BE＝CE＝1，∴AB＝AE+BE＝3，答：∠B的度数为45°，AB的值为3；（2）∵CD为中线，∴BD＝AB＝1.5，∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5，∴tan∠CDE＝＝＝2，即tan∠CDB的值为2．41．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC×tan60°＝10，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cos A＝．（1）求CD的长；（2）求tan∠DBC的值．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cos A＝，∴AD＝＝10，∴＝＝8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD＝DE＝8；（2）由（1）AD＝10，DC＝8，∴AC＝AD+DC＝18，在△ADE与△ABC中，∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴，即＝，∴BC＝24，∴．。
人教版九年级数学下册28.2： 解直角三角形及其应 用同步练习(附答案)
人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）A．225m B．275m C．300m D．315m4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．27．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米二．填空题（共7小题）13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为米．（结果保留根号）14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠P AB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB ＝80米，则河两岸之间的距离约为米．（≈1.73，结果精确到0.1米）15．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）三．解答题（共3小题）20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）参考答案一．选择题（共12小题）1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝3sinα（m）．故选：A．3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）A．225m B．275m C．300m D．315m【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．在Rt△ECB中，tan53°＝，即＝，在Rt△AEC中，tan37°＝，即＝，解得x＝180，y＝135，∴AC＝＝＝300（m），故选：C．4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴＝，∵BC＝AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB＝BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；故选：C．5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．∴甲楼高为（36﹣10）米．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．2【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．7．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选：D．8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米【解答】解：作AD⊥BC于点D，则BD＝0.3＝，∵cosα＝，∴cosα＝，解得，AB＝米，故选：B．11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选：D．12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．故选：B．二．填空题（共7小题）13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为4﹣4米．（结果保留根号）【解答】解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM+AB＝12米，∠MBC＝30°，∴CM＝MB•tan30°＝12×＝4，在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，∴∠MAD＝∠MDA＝45°，∴MD＝AM＝4米，∴CD＝CM﹣DM＝（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠P AB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB ＝80米，则河两岸之间的距离约为54.6米．（≈1.73，结果精确到0.1米）【解答】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥P A于点D，∵∠PBC＝75°，∠P AB＝30°，∴∠DPB＝45°，∵AB＝80，∴BD＝40，AD＝40，∴PD＝DB＝40，∴AP＝AD+PD＝40+40，∵a∥b，∴∠EP A＝∠P AB＝30°，∴AE＝AP＝20+20≈54.6，故答案为：54.615．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车没有超速（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）【解答】解：作AD⊥直线l于D，在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝100，在Rt△ADB中，tan∠ACD＝，则CD＝＝100≈173.2，∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），小汽车的速度为：0.0732÷＝52.704（千米/小时），∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，∴小汽车没有超速，故答案为：没有超速．16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为3m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，则BC＝CD•tan∠BDC＝10，在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），故答案为：3．17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为262m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【解答】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴EC＝AD＝62，在Rt△AEC中，tan∠EAC＝，则AE＝≈＝200，在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，∴BE＝AE＝200，∴BC＝200+62＝262（m），则该建筑的高度BC为262m，故答案为：262．18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为566米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈566（米）故答案是：566．三．解答题（共3小题）20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）【解答】解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，设DC＝3x，∵tanθ＝，∴CP＝4x，由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝5，则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，设MF＝ym，则ME＝（y+15）m，在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，则DF＝＝y，在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，则PE＝＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝20，解得，y＝7.5+10，∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8，答：古塔的高度ME约为39.8m．21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵CD＝2，tan∠CMD＝，∴MD＝6，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝x﹣2，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝3+3≈8.2m。
解直角三角形测试题与答案
解直角三角形测试题与答案一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1、在直角三角形中，若一个锐角为 30°，斜边与较小直角边的和为 12，则斜边的长为（）A 4B 6C 8D 10答案：C解析：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
设较小直角边为 x，则斜边为 2x，由题意得 2x ＋ x ＝ 12，解得 x ＝ 4，所以斜边为 8。
2、已知在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA ＝，则 tanB 的值为（）A B C D答案：A解析：因为 sinA ＝，所以设 BC ＝ 3x，AB ＝ 5x，则 AC ＝ 4x。
所以 tanB ＝。
3、在△ABC 中，∠C ＝ 90°，AB ＝ 15，sinA ＝，则 BC 等于（）A 9B 12C 10D 6答案：B解析：因为 sinA ＝，所以 BC ＝ AB×sinA ＝ 15×＝ 9。
4、如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ 4，AB ＝ 5，则cosB 的值是（）A B C D答案：A解析：因为在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ 4，AB ＝ 5，所以BC ＝ 3。
所以 cosB ＝。
5、一个直角三角形的两条直角边分别为 6 和 8，则其斜边上的高为（）A 48B 5C 3D 10答案：A解析：根据勾股定理可得斜边为 10，设斜边上的高为 h，根据面积相等可得 ×6×8 ＝ ×10×h，解得 h ＝ 48。
6、在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，若 sinA ＝，则 cosA 的值为（）A B C D答案：B解析：因为 sin²A ＋ cos²A ＝ 1，sinA ＝，所以 cosA ＝。
7、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，CD⊥AB 于点 D，若AC ＝，BC ＝ 2，则 sin∠ACD 的值为（）A B C D答案：A解析：因为∠ACB ＝ 90°，AC ＝，BC ＝ 2，所以 AB ＝ 3。
2023年中考数学一轮专题练习 解直角三角形的实际应用3(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习 ——解直角三角形的实际应用（解答题部分）一、解答题（本大题共18小题）1. （湖北省宜昌市2022年）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足5372α︒≤≤︒．如图，现有一架长4m 的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上．(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A 与地面距离的最大值；(2)当梯子底端B 距离墙面1.64m 时，计算ABO ∠等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？（参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈，sin 660.91︒≈，cos660.41︒≈，tan66 2.25︒≈）2. （湖南省常德市2022年）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道50AF =米，弧形跳台的跨度7FG =米，顶端E 到BD 的距离为40米，HG BC ∥，40AFH ∠=︒，25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒．求此大跳台最高点A 距地面BD 的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 250.42︒≈，cos250.91︒≈，tan 250.47︒≈，sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈）3. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度，如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A 点观测杆顶E 的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C 处，在D 点观测旗杆顶端E 的仰角为60°，求旗杆EF 的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据： 1.732）4. （江苏省连云港市2022年）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A 处测得阿育王塔最高点C 的仰角45CAE ∠=︒，再沿正对阿育王塔方向前进至B 处测得最高点C 的仰角53CBE ∠=︒，10m AB =；小亮在点G 处竖立标杆FG ，小亮的所在位置点D 、标杆顶F 、最高点C 在一条直线上， 1.5m FG =，2m GD =．（注：结果精确到0.01m ，参考数据：sin530.799︒≈，cos530.602︒≈，tan53 1.327︒≈）(1)求阿育王塔的高度CE ；(2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED ．5. （江苏省宿迁市2022年）如图，某学习小组在教学楼AB 的顶部观测信号塔CD 底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB 的高度为20m ，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．6. （江苏省泰州市2022年）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN ，MN 与墙面AB 所成的角∠MNB =118°，厂房高AB = 8 m ，房顶AM 与水平地面平行，小强在点M 的正下方C 处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D 到他的距离CD 是多少?（结果精确到0.1 m ，参考数据：sin34°≈0.56， tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）7. （辽宁省铁岭市、葫芦岛市2022年）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD 的高度，如图，DC AM ⊥于点E ，在A 处测得大树底端C 的仰角为15︒，沿水平地面前进30米到达B 处，测得大树顶端D 的仰角为53︒，测得山坡坡角30CBM ∠=︒（图中各点均在同一平面内）．(1)求斜坡BC 的长；(2)求这棵大树CD 的高度（结果取整数）．（参考数据：sin 53︒≈45，cos 53︒≈35，tan 53︒≈43）8. （辽宁省营口市2022年）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58︒，沿着山坡向上走75米i=（坡度是到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22︒，已知斜坡AB的坡度3:4指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C︒≈︒≈）均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan220.4,tan58 1.69. （山东省聊城市2022年）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：︒≈，cos760.24︒≈，sin760.97︒≈，sin26.60.45︒≈，tan26.60.50︒≈，cos26.60.89︒≈）tan76 4.0110. （山东省烟台市2022年）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）（参考数据表）11. （山西省2022年）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：,,）．︒≈︒≈︒≈sin700.94cos700.34tan70 1.7312. （重庆市2022年（B卷））湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1 1.732）；(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）13. （重庆市2022年）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的AC=米．点E在点A的正北方人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，200BD=米．点B在点A的北偏东30，点D在点E 向．点B，D在点C的正北方向，100的北偏东45︒．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：≈，1.4141.732）14. （浙江省台州市2022年）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）15. （浙江省宁波市2022年）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB 可伸缩（最长可伸至20m ），且可绕点B 转动，其底部B 离地面的距离BC 为2m ，当云梯顶端A 在建筑物EF 所在直线上时，底部B 到EF 的距离BD 为9m ．(1)若∠ABD =53°，求此时云梯AB 的长．(2)如图2，若在建筑物底部E 的正上方19m 处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）16. （浙江省金华市2022年）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF 为吸热塔，在地平线EG 上的点B ，B '处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点(),A A '旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F 处．已知1m,8m,AB A B EB EB ='==''=，在点A 观测点F 的仰角为45︒．（1）点F 的高度EF 为 m ．（2）设,DAB D A B αβ''∠'=∠=，则α与β的数量关系是 ．17. （浙江省嘉兴市2022年）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2．已知10cm AD BE ==，5cm CD CE ==，AD CD ⊥，BE CE ⊥，40DCE ∠=︒．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin 200.34︒≈，cos200.94︒≈，tan 200.36︒≈，sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）(1)连结DE ，求线段DE 的长．(2)求点A ，B 之间的距离．18. （四川省广安市2022年）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A 处向正北方向走了450米，到达菜园B 处锄草，再从B 处沿正西方向到达果园C 处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D 处进行手工制作，最后从D 处回到门口A 处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.75参考答案1. 【答案】(1)梯子顶端A 与地面的距离的最大值3.8米(2)66ABO ∠=︒，人能安全使用这架梯子【分析】（1）AB 的长度固定，当∠ABO 越大，OA 的高度越大，当72α=︒时，AO 取最大值，此时，根据∠ABO 的正弦三角函数计算出OA 长度即可；（2）根据AB =4，OB =1.64，利用∠ABO 的余弦函数值，即可求出∠ABO 的大小，从而得到答案．(1)∵5372α︒≤≤︒当72α=︒时，AO 取最大值，在Rt AOB 中，sin AO ABO AB∠=， ∴sin 4sin7240.95 3.8AO AB ABO =∠=︒≈⨯=，所以梯子顶端A 与地面的距离的最大值3.8米．(2)在Rt AOB 中，cos BO ABO AB∠=， cos 1.6440.41ABO ∠=÷=，cos660.41︒≈， ∴66ABO ∠=︒，∵5372α︒≤≤︒，∴人能安全使用这架梯子．2. 【答案】70【分析】过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形，可得HB MN =，在Rt AHF △中，求得AH ，根据,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB ===∠∠∠，7FG =，求得FM ，进而求得MN ，根据AB AH HB AH MN =+=+即可求解．【详解】如图，过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形，HB MN ∴=，50AF =，40AFH ∠=︒，在Rt AHF △中，sin 500.6432AH AF AFH =⋅∠≈⨯=米，HG BC ∥，EGF ECB ∴∠=∠25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒，7FG =,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB ===∠∠∠ 70.470.73EM EM ∴+=， 解得2EM ≈，顶端E 到BD 的距离为40米，即40EN =米40238MN EN EM ∴=-=-=米．323870AB AH HB AH MN ∴=+=+=+=米．3. 【答案】旗杆EF 的高度约为18.9米．【分析】过点D 作DG ⊥EF 于点G ，设EG =x ，则EF =1.58+x ．分别在Rt △AEG 和Rt △DEG 中，利用三角函数解直角三角形可得AG 、DG ，利用AD =20列出方程，进而得到EF 的长度．【详解】 解：过点D 作DG ⊥EF 于点G ，设EG =x ，由题意可知：∠EAG =30°，∠EDG =60°，AD =20米，GF =1.58米．在Rt △AEG 中，tan ∠EAG =EG AG ，∴AG ，在Rt △DEG 中，tan ∠EDG =EG DG，∴DG =，∴=20， 解得：x ≈17.3，∵EF =1.58+x =18.9(米)．答：旗杆EF 的高度约为18.9米．4. 【答案】(1)40.58m(2)54.11m【分析】（1）在Rt CEB 中，由tan 5310CE CE BE CE ︒==-，解方程即可求解． （2）证明Rt FGD Rt CED △∽△，根据相似三角形的性质即可求解．(1)在Rt CAE 中，∵45CAE ∠=︒，∴CE AE =．∵10AB =，∴1010BE AE CE =-=-．在Rt CEB 中，由tan 5310CE CE BE CE ︒==-， 得()tan5310CE CE ︒-=，解得40.58CE ≈．经检验40.58CE ≈是方程的解答：阿育王塔的高度约为40.58m ．(2)由题意知Rt FGD Rt CED △∽△， ∴FG GD CE ED =， 即 1.5240.58ED=， ∴54.11ED ≈．经检验54.11ED ≈是方程的解答：小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11m ．5. 【答案】（20）m ．【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的长，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度．【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，∵tan∠DAE＝DE AE，∴20tan tan30DEAEDAE===∠︒，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE AE=m，∴CD＝CE＋DE＝（20）m，∴信号塔的高度为（20）m．6. 【答案】11.8m【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．【详解】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：∵C 点在M 点正下方，∴CM ⊥CD ，即∠MCD=90°，∵房顶AM 与水平地面平行，AB 为墙面，∴四边形AMCB 为矩形，∴MC=AB =8，AB ∥CM ，∴∠NMC =180°-∠BNM=180°-118°=62°，∵地面上的点D 经过平面镜MN 反射后落在点C ，结合物理学知识可知：∴∠NME =90°，∴∠EMD =∠EMC =90°-∠NMC =90°-62°=28°，∴∠CMD =56°，在Rt △CMD 中，tan CD CMD CM ，代入数据：1.488CD ， ∴11.8411.8CD m ，即水平地面上最远处D 到小强的距离CD 是11.8m ．7. 【答案】(1)斜坡BC 的长为30米(2)这棵大树CD 的高度约为20米【分析】（1）根据题意可得：15CAE ∠=︒，AB =30米，根据三角形的外角性质可求出15ACB ∠=︒，从而得出AB =BC =30米，即可得出答案． （2）在Rt CBE 中，利用锐角三角函数的定义求出CE ，BE 的长，然后在Rt DEB 中，利用锐角三角函数的定义求出DE 的长，最后进行计算即可解答．(1)解：由题意得15CAE ∠=︒，AB ＝30米，∵CBE ∠是ABC 的一个外角，∴15ACB CBE CAE ∠=∠-∠=︒，∴15ACB CAE ∠=∠=︒，∴AB ＝BC ＝30米，∴斜坡BC 的长为30米；(2) 解：在Rt CBE 中，30CBE ∠=︒，BC ＝30米，∴1152CE BC ==（米）， ∴BE =在Rt DEB 中，53DBE ∠=︒，∴DE =BE tan 53︒43≈=米)，∴DC ＝DE ﹣CE ＝1520≈（米），∴这棵大树CD 的高度约为20米．8. 【答案】大楼MN 的高度为92米【分析】过点B 分别作BE ⊥AC ，BF ⊥MN ，垂足分别为E 、F ，通过解直角三角形表示出BF 、AN 、AE 的长度，利用BF =NE 进行求解即可．【详解】过点B 分别作BE ⊥AC ，BF ⊥MN ，垂足分别为E 、F ，90BEA BFN BFM MNA ∴∠=∠=∠=∠=︒∴四边形BENF 为矩形，,BE AN BF NE ∴==设MN x =，在Rt ABE △中，斜坡AB 的坡度3:4i =，即34BE AE =， 3sin 5BE BAE AB ∴∠== 75AB =45,60BE AE ∴==45FN ∴=45MF x ∴=-在Rt AMN △中，tan ,58MN MAN MAN AN∠=∠=︒ tan 58 1.6x AN ∴︒=≈58AN x ∴≈ 5608NE AN AE x ∴=+=+ 在Rt BMF △中，tan ,22MF MBF MBF BF ∠=∠=︒ 45tan 220.4x BF-∴︒=≈ 5(45)2BF x ∴≈- 5560(45)82x x ∴+=- 解得92x =，所以，大楼MN 的高度为92米．9. 【答案】古槐的高度约为13米【分析】过点A 作AM ⊥EH 于M ，过点C 作CN ⊥EH 于N ，在Rt △AME 中，根据锐角三角函数求出AM =12米，进而求出CN =8米，再在Rt △ENC 中，根据锐角三角函数求出EN =32.08米，即可求出答案．【详解】解：过点A 作AM ⊥EH 于M ，过点C 作CN ⊥EH 于N ，由题意知，AM =BH ，CN =DH ，AB =MH ，在Rt AME 中，∠EAM =26.6°， ∴tan EAM EM AM ∠=， ∴453912tan tan 26.60.5EM EH MH AM EAM --==≈=∠︒米， ∴BH =AM =12米，∵BD =20，∴DH =BD -BH =8米，∴CN =8米，在Rt ENC 中，∠ECN =76°， ∴EN tan ECN CN∠=， ∴tan 8 4.0132.08EN CN ECN =⋅∠≈⨯=米，∴12.9213CD NH EH EN ==-=≈（米），即古槐的高度约为13米．10. 【答案】不得小于11度【分析】根据题意可得DF ＝15AB ＝0.15米，然后根据斜坡AC 的坡比为1：2，可求出BC ，CD 的长，从而求出EB 的长，最后在Rt △AEB 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：DF ＝15AB ＝0.15（米）， ∵斜坡AC 的坡比为1：2， ∴AB BC ＝12，DF CD ＝12， ∴BC ＝2AB ＝1.5（米），CD ＝2DF ＝0.3（米），∵ED ＝2.55米，∴EB ＝ED +BC ﹣CD ＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），在Rt △AEB 中，tan ∠AEB ＝AB EB ＝0.753.75＝15， 查表可得，∠AEB ≈11.310°≈11°，∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于11度．11. 【答案】58m【分析】延长AB 和CD 分别与直线OF 交于点G 和点H ，则90AGO EHO ∠=∠=︒，再根据图形应用三角函数即可求解．【详解】解：延长AB 和CD 分别与直线OF 交于点G 和点H ，则90AGO EHO ∠=∠=︒．又∵90GAC ∠=︒，∴四边形ACHG 是矩形．∴GH AC =．由题意，得60,24,70,30,60AG OF AOG EOF EFH ==∠=︒∠=︒∠=︒．在Rt AGO △中，90,tan AG AGO AOG OG ∠=︒∠=， ∴606021.822tan tan 70 2.75AG OG AOG ==≈≈≈∠︒﹒ ∵EFH ∠是EOF △的外角，∴603030FEO EFH EOF ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∴EOF FEO ∠=∠．∴24EF OF ==．在Rt EHF 中，90,cos FH EHF EFH EF∠=︒∠= ∴cos 24cos6012FH EF EFH =⋅∠=⨯︒=．∴()22241258m AC GH GO OF FH ==++=++≈．答：楼AB 与CD 之间的距离AC 的长约为58m ．12. 【答案】(1)湖岸A 与码头C 的距离为1559米(2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船【分析】（1）过点A 作CB 垂线，交CB 延长线于点D ，设BD x =，则2AB x =，AD =，900CD x =+，在Rt ACD △中，tan CD CAD AD∠=，即可求出450x =，根据Rt ACD △中，sin CD CAD AC∠=即可求出湖岸A 与码头C 的距离；（2）设快艇将游客送上救援船时间为t 分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程= BC AC +，列出方程，求出时间t ，再和5分钟进行比较即可求解．(1)解：过点A 作CB 垂线，交CB 延长线于点D ，如图所示，由题意可得：60NAB ∠=︒，30NAC ∠=︒，900CB =米，则60CAD ∠=︒，30BAD ∠=︒ 设BD x =，则2AB x =，AD =，900CD x =+，在Rt ACD △中，tan CD CAD AD ∠=，∴=，解得450x =， 在Rt ACD △中，sin CD CAD AC ∠=，∴900 1.7321558.81559AC ===⨯=≈（米）， ∴湖岸A 与码头C 的距离为1559米；(2)解：设快艇将游客送上救援船时间为t 分钟，由题意可得：1504009001559t t +=+，4.475t ≈＜，∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．13. 【答案】(1)283米(2)经过点B 到达点D 较近【分析】（1）过E 作BC 的垂线，垂足为H ，可得四边形ACHE 是矩形，从而得到200EH AC ==米，再证得△DEH 为等腰直角三角形，即可求解；（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解．(1)解：过E作BC的垂线，垂足为H，∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四边形ACHE是矩形，∴200==米，EH AC根据题意得：∠D=45°，∴△DEH为等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，∴283DE=（米）；(2)解：根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，在Rt ABC中，∴2400==米，AB AC∴经过点B到达点D，总路程为AB+BD=500米，∴BC=∴100200100==+-=-=（米），AE CH BC BD DH∴经过点E到达点D，总路程为100529500≈>，∴经过点B到达点D较近．14. 【答案】梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．【分析】根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC的长．【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，∴BC=AB⋅sin75°≈3×0.97=2.91≈2.9(m)．答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．15. 【答案】(1)15m(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；（2）根据题意可得DE =BC =2m ，从而求出AD =17m ，然后在Rt △ABD 中，利用锐角三角函数的定义求出AB 的长，进行比较即可解答．(1)解：在Rt △ABD 中，∠ABD =53°，BD =9m ，∴AB =9cos530.6BD ≈︒=15（m ）， ∴此时云梯AB 的长为15m ；(2)解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由：由题意得：DE =BC =2m ，∵AE =19m ，∴AD =AE -DE =19-2=17（m ），在Rt △ABD 中，BD =9m ，∴AB ===m ），∵＜20m ，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．16. 【答案】 9 ； 7.5αβ-=︒【分析】（1）过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ，证明四边形ABEG 是矩形，解直角三角形AFG ，确定FG ，EG 的长度即可．（2）根据光的反射原理画出光路图，清楚光线是平行线，运用解直角三角形思想，平行线的性质求解即可．【详解】（1）过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ．∵∠ABE =∠BEG =∠EGA =90°，∴四边形ABEG 是矩形，∴EG =AB =1m ，AG =EB =8m ，∵∠AFG =45°，∴FG =AG =EB =8m ，∴EF =FG +EG =9(m )．故答案为：9；（2）7.5αβ-=︒．理由如下：∵∠A 'B 'E =∠B 'EG =∠EG A '=90°，∴四边形A 'B 'EG 是矩形，∴EG =A 'B '=1m ，A 'G =E B '=，∴tan ∠A 'FG =A G FG '= ∴∠A 'FG =60°，∠F A 'G =30°，根据光的反射原理，不妨设∠FAN =2m ，∠F A 'M =2n ，∵ 光线是平行的，∴AN ∥A 'M ，∴∠GAN =∠G A 'M ，∴45°+2m =30°+2n ，解得n -m =7.5°，根据光路图，得90,90DAB m D A B n αβ'∠==-∠==-''，∴9090m n n m αβ-=--+=-，故7.5αβ-=︒，故答案为：7.5αβ-=︒ ．17. 【答案】(1)3.4cm(2)22.2cm【分析】（1）过点C 作CF DE ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质可得DF EF =，20DCF ECF ∠=∠=︒，再利用锐角三角函数，即可求解；（2）连结AB ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l ，可得对称轴l 经过点C ．从而得到四边形DGCE 是矩形，进而得到DE =CG ，然后过点D 作DG AB ⊥于点G ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，可得1202GDC CEH DCE ∠=∠=∠=︒，从而得到2020DAB GDC EBH CEH ∠=∠=︒∠=∠=︒，，再利用锐角三角函数，即可求解．(1)解：如图2，过点C 作CF DE ⊥于点F ，∵CD CE =，∴DF EF =，CF 平分DCE ∠．∴20DCF ECF ∠=∠=︒，∴sin 2050.34 1.7DF CD ︒=⋅≈⨯=，∴2 3.4cm DE DF ==．(2)解：如图3，连结AB ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l ，∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形， ∴对称轴l 经过点C ．∴AB l ⊥，DE l ⊥，∴AB ∥DE ．过点D 作DG AB ⊥于点G ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ， ∵DG ⊥AB ，HE ⊥AB ，∴∠EDG =∠DGH =∠EHG =90°，∴四边形DGCE 是矩形，∴DE =HG ，∴DG ∥l ， EH ∥l ， ∴1202GDC CEH DCE ∠=∠=∠=︒， ∵AD CD ⊥，BE ⊥CE ，∴2020DAB GDC EBH CEH ∠=∠=︒∠=∠=︒，， ∴cos 20100.949.4,cos 20100.949.4AG AD BH BE =⋅︒≈⨯==⋅︒≈⨯=， ∴22.2cm AB BH AG DE =++=．18. 【答案】菜园与果园之间的距离为630米【分析】过点D 作EF AB ⊥，交AB 于点E ，则CF BC ⊥，四边形BCFE 是矩形，在Rt CDF △中，求得180DF =，CF =240，进而求得AE =210，在Rt ADE △中，利用正切进行求解即可．【详解】解：如图，过点D 作EF AB ⊥，交AB 于点E ，则CF BC ⊥，∵∠B =90°，∴四边形BCFE 是矩形， CF BE ∴=，BC =EF ，在Rt CDF △中，sin 3000.6180,cos 3000.8240DF CD FCD CF CD FCD =⋅∠≈⨯==⋅∠≈⨯=， ∴BE =240，∴AE =AB -BE =210，在Rt ADE △中，65DAE ∠=︒，tan =DE A AE ， tan 210tan 65450DE AE A ∴=⋅=⨯︒≈米． ∴BC =EF =DF +DE =180+450=630 答：菜园与果园之间的距离630米．。
解直角三角形测试题与答案
解直角三角形测试题与答案一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1、在直角三角形中，各边的长度都扩大 3 倍，则锐角 A 的三角函数值（）A 也扩大 3 倍B 缩小为原来的 1/3C 都不变D 有的扩大，有的缩小答案：C解析：三角函数值只与角的大小有关，与边的长度无关。
各边长度扩大 3 倍，角的大小不变，所以三角函数值都不变。
2、在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，sin A ＝ 3/5，则 cos B 的值为（）A 3/5B 4/5C 3/4D 4/3答案：A解析：因为在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝ 90°，所以 cos B ＝ sinA ＝ 3/5。
3、若∠A 是锐角，且 cos A ＝ 3/5，则（）A 0°＜∠A ＜ 30°B 30°＜∠A ＜ 45°C 45°＜∠A ＜ 60°D 60°＜∠A ＜ 90°答案：B解析：因为 cos 30°＝√3/2 ≈ 0866，cos 45°＝√2/2 ≈ 0707，cos A ＝ 3/5 ＝ 06，所以 30°＜∠A ＜ 45°。
4、在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，如果 AB ＝ 2，BC ＝ 1，则 sin B 的值是（）A 1/2B √5/5C √3/3D √5/2答案：D解析：在 Rt△ABC 中，AC ＝√（AB² BC²) ＝√（2² 1²) ＝√3，所以 sin B ＝ AC/AB ＝√3/2 ＝√5/2 。
5、如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB，cos A ＝ 3/5，BE ＝ 2，则tan∠DBE 的值是（）A 1/2B 2C 5/2D 5/3答案：B解析：因为 cos A ＝ 3/5，设 AD ＝ 5x，AE ＝ 3x，则 DE ＝ 4x。
解直角三角形练习题(三)及答案
１１解直角三角形一、填空题：1. 若∠A 是锐角，cosA ＝23，则∠A ＝ 。
2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝21，则sinA ＝ ；3. 求值：12sin 60cos 4522︒⨯︒+2sin30°－tan60°＋cot45=__________。
4. 在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵树间的斜坡距离为 米。
5. 已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为32，那么该等腰三角形的腰长等于 。
6. 如图：某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、B 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为 米。
（精确到1米，3取1.732）7. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE ＝2AE ，已知AD ＝33，tan ∠BCE ＝33，那么CE ＝ 。
8. 正方形ABCD 的边长为1。
如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D落在BC 延长线上的点D '处，那么tan ∠BA D '＝ 。
二、选择题1. 在△ABC 中，已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ） A 、SinA ＝45 B 、cosA ＝53 C 、tanA ＝43 D 、cotA ＝54 2. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则6cosB 等于 （ ） （A ）3 （B ）2 （C ）33 （D ） 32 3. 为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角为α,则楼房BC 的高为（ ）EDCBA四川03/3600 第10题图E DC BA黑龙江03/10ABCα２２450 1200第8题图DCB A重庆03/ 8 A ．30tan α米 B ．30tan α米 C ．30sin α米 D ．30sin α米4. 从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为（ ）（A ）23（B ）32 （C ）2 （D ）225．如图：在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝51，则AD 的长为（ ） A 、2 B 、2 C 、1 D 、226.已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，∠C ＝120°，AB ＝8，则CD 的长为（ ） A 、638 B 、64 C 、238 D 、24 三、解答题1. （6分）人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只，正以24海里／小时的速度向正东方向航行．为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问⑴需要几小时才能追上？（点B 为追上时的位置）⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．参考数据：sin66．8°≈ 0．9191 cos 66．8°≈ 0．393 sin67．4°≈ 0．9231 cos 67．4°≈ 0．3846 sin68．4°≈ 0．9298 cos 68．4°≈ 0．368lsin70．6°≈ 0．9432 cos70．6°≈ 0．33222. 如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶AD=4m ，坝高AE=6 m ，斜坡AB 的坡比2:1=i ，∠C=60°，求斜坡AB 、CD 的长。
(附答案)《解直角三角形》典型例题
《解直角三角形》典型例题例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ；（2）由abB =tan ，知 ；（3）由c a B =cos ，知860cos 4cos =︒==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ．例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形．解法一 ∵ ∴设 ,则由勾股定理,得∴ ．∴．解法二 133330tan =⨯=︒=b a说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中，于D ，若，解三角形ABC ．分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手．解在Rt中，有：∴在Rt中，有说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．例4在中，，求．分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有；在中，，且，∴；于是，有，则有说明还可以这样求：例5 如图，在电线杆上离地面高度5m 的C 点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线BC 和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．分析 分别在两个直角三角形ADC 和BDC 中，利用正弦函数的定义，求出AC 和BC ．解: 在Rt △ADC 中，331023560sin ==︒=DC AC 在Rt △BDC 中，221022545sin ==︒=DC BC说明 本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握．学习要有三心:一信心；二决心；三恒心.知识+方法=能力,能力+勤奋=效率,效率×时间=成绩. 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来.。
解直角三角形测试题及答案-精品.pdf
《解直角三角形》整章测试一、选择题（每小题3分，共24分）1.在Rt △ABC 中，∠C=90，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（）（A ）154(B)14(C)15 (D)４2.计算：2)130(tan ＝（）(Ａ)331(B)13 (Ｃ)133（D ）１－33.在ABC 中，,A B 都是锐角，且sinA ＝21，cosB ＝23，则ABC 的形状（）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）锐角三角形（D ）不能确定4.如图，在Rt ABC △中，3tan 2B，23BC ，则AC 等于（）（A ）3（B ）4（C ）43（D ）65.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）(A)（53332）m (B)（3532）m (C) 533m (D)4m6．因为1sin 302，1sin 2102，所以s i n 210s i n (1803；因为2s i n 452，2sin 2252，所以s i n 225s i n (1804，由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有sin(180)sin，由此可知：sin 240（）（A ）12(B)22(C)32(D)37．如图，客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得灯塔A 的方位角为北偏东80，测得C 处的方位角为南偏东25，航行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20，则C 到A 的距离是（）(A)156km (B)152km(C)15(62)km(D)5(632)km北东ABC8.如图，在Rt ABC △中，906cm A AC ，，8cm AB ，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则sin DBE 的值为（）(A)13(B)310(C)37373(D)1010二、填空题（每小题3分，共24分）9．计算sin 60tan 45cos30的值是．10. 用“>”或“<”号填空：1sin 50cos4020．（可用计算器计算）11.在Rt ABC △中，90C ，:3:4BC AC ，则cos A．12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC，则梯子AB 的长度为米．13.如图，一轮船由南向北航行到O 处时，发现与轮船相距40海里的A 岛在北偏东33方向．已知A 岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学计算器）14. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6cm ，3sin 5A，则菱形ABCD 的面积是__________2cm ．15.根据指令[s,A]（s ≥0,0°≤A ＜360°）机器人在平面上能完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点（－3，3），应下的指令是．16. 有古诗“葭生池中”今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深、葭长各几何？（1丈=10尺）回答：水深，葭长 .17.（本题8分）计算：242(2cos 45sin 60)4．18.（本题10分）某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A B ，两点间的距离时用了以下三种测量方法，如下图所示．图中a b c ，，表示长度，表示角度．请你分别求出AB 的长度（用含有a b c ，，，字母的式子表示）．（1）______AB （2）______AB（3）______AB （1AC Bab（2ACBa（3AC B aDEcbA BCDEABC19.（本题10分）小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）．20.（本题12分）海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．21.（本题12分）如图，AC 是某市环城路的一段，AE ，BF ，CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A ，B ，C ．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上，AB＝2km ，∠DAC ＝15°．（1）求B ，D 之间的距离；（2）求C ，D 之间的距离．四、附加题（本题20分）22. 现代家居设计的“推拉式”钢窗，运用了轨道滑行技术，纱窗装卸时利用了平行四边形的不稳定性，操作步骤如下：（1）将矩形纱窗转化成平行四边形纱窗后，纱窗上边框嵌入窗框的上轨道槽（如图1）．（2）将平行四边形纱窗的下边框对准窗框的下轨道槽（如图2）．（3）将平行四边形纱窗还原成矩形纱窗，同时下边框嵌入窗框的下轨道槽（如图3）．在装卸纱窗的过程中，如图所示的值不得小于81，否则纱窗受损．现将高96cm 的矩形纱窗恰好安装在上、下槽深分别为0.9cm ，高96cm （上、下槽底间的距离）的窗框上．试求合理安装纱窗时的最大整数值．（下表提供的数据可供使用）sin810.987sin820.990sin830.993sin840.995cos90.987cos80.990cos70.993cos60.995A BC中山路文化路D和平路45°15°30°环城路E F图1 图2 图3第25章《解直角三角形》整章测试答案：一、1～8 BABA ACDD 二、9.0 10. > 11. 3512. 4 13.没有 14. 6015.32,22516. 12尺，13尺三、17.解：23262(2)224原式66222218.解：（1）22ABba（2）tan AB a （3）ac ABb．19．解：分两种情况：（1）当ACB 为钝角时，BD 是高，90ADB．在Rt BCD △中，40BC，30BD221600900107CD BCBD．在Rt ABD △中，50AB，2240AD ABBD．40107ACAD CD，新课标第一网211(40107)30(6001507)(m )22ABCS AC BD△．（2）当ACB 为锐角时，BD 是高，90ADBBDC，在Rt ABD △中，5030ABBD，，2240ADABBD．同理221600900107CD BC BD ，(40107)AC AD CD ，211(40107)30(6001507)(m )22ABCS AC BD△．综上所述：2(6001507)(m )ABCS △.20．解：有触礁危险．理由：过点P 作PD ⊥AC 于D ．设PD 为x ，在Rt △PBD 中，∠PBD=90°－45°＝45°．∴BD ＝PD ＝x ．在Rt △PAD 中，∵∠PAD ＝90°－60°＝30°，∴x ．x AD 330tan ∵BD ，ABAD ∴x ．x 123∴)13(61312x．∵，＜18)13(6∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．21. 解：（1）由题意得，∠EA D =45°，∠FBD=30°．∴∠EAC=∠EAD +∠DA C =45°+15°=60°．∵ AE ∥BF ∥CD ，∴∠FBC=∠EAC =60°．∴ ∠DBC=30°．又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB ，∴ ∠ADB=15°．∴∠DAB=∠ADB ．∴ BD=AB=2．即B ，D 之间的距离为2km ．（2）过B 作BO ⊥DC ，交其延长线于点O ，在Rt △DBO 中，BD=2，∠DBO=60°．∴ DO=2×sin60°=2×323,BO=2×cos60°=1．在Rt △CBO 中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°＝33，∴ CD=DO －CO=332333（km ）．即C ，D 之间的距离为332km ．22. 解：能够合理装上平行四边形纱窗时的最大高度：960.995.1（cm ）能够合理装上平行四边形纱窗时的高：96sin或96cos(90)·°当81°时，纱窗高：96sin 81960.98794.75295.1°∴此时纱窗能装进去，当82°时，纱窗高：96sin82960.99095.0495.1°∴此时纱窗能装进去．当83°时，纱窗高：96sin83960.99395.32895.1°∴此时纱窗装不进去．因此能合理装上纱窗时的最大值是82°.。
解直角三角形练习题及答案
解直角三角形一、选择题1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．22 (D)．222、如果α是锐角，且54cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）25163、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513（B ）1213 （C ）1013（D ）5124、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( )（A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）．（A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot =6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α,AB = 4, 则AD 的长为（ ）．（A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）5167、某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( )（A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）51210、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． （A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）1 二、填空题11、如图，在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝22，则BC＝ wABCDE︒15020米30米CBA12、如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。
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解直角三角形
一、
填空题：
1. 若∠A 是锐角，cosA ＝
2
3
，则∠A ＝ 。
2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝2
1
，则sinA ＝ ；
3.
求值：1sin 60cos 4522
︒⨯
︒+2sin30°－tan60°＋cot45=__________。
4. 在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵
树间的斜坡距离为 米。
5. 已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为3
2，那么该
等腰三角形的腰长等于 。
6. 如图：某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB
的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、B 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为 米。
（精确到1米，
3取1.732）
7. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE ＝2AE ，已知
AD ＝33，tan ∠BCE ＝
3
3，那么CE ＝ 。
8. 正方形ABCD 的边长为1。
如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D
落在BC 延长线上的点D '处，那么tan ∠BA D '＝ 。
二、选择题
1. 在△ABC 中，已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ） A 、SinA ＝
45 B 、cosA ＝53 C 、tanA ＝43 D 、cotA ＝5
4 2. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则6cosB 等于 （ ） （A ）3 （B ）2 （C ）33 （D ） 32 3. 为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角
为α,则楼房BC 的高为（ ）
E
D
C
B
A
四川03/3
D
A
B
C
α
450 1200
第8题图D
C
B A
重庆03/ 8 A ．30tan α米 B ．
30tan α米 C ．30sin α米 D ．
30sin α
米
4. 从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为（ ）
（A ）2
3
（B ）32 （C ）2 （D ）22
5．如图：在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝5
1，则AD 的长为（ ） A 、2 B 、
2 C 、1 D 、22
6.已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，∠C ＝120°，AB ＝8，则CD 的长为（ ） A 、
638 B 、64 C 、23
8 D 、24 三、解答题
1. （6分）人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点
有一涉嫌走私船只，正以24海里／小时的速度向正东方
向航行．为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问⑴需要几小时才能追上？（点B 为追上时的位置）⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．
参考数据：sin66．8°≈ 0．9191 cos 66．8°≈ 0．393 sin67．4°≈ 0．9231 cos 67．4°≈ 0．3846 sin68．4°≈ 0．9298 cos 68．4°≈ 0．368l
sin70．6°≈ 0．9432 cos70．6°≈ 0．3322
2. 如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶AD=4m ，坝高AE=6 m ，斜坡AB 的坡比2:1=i ，
∠C=60°，求斜坡AB 、CD 的长。
C
B
2:1=i 重庆03/ 11
D
C
B
A
青岛03/20
3. （本题满分8分）（1）如图1，在△ABC 中，∠B 、∠C 均为锐角，其对边分别为b 、c,
求证：
B b sin =C
c
sin ； （2）在△ABC 中，AB=3，AC=2，∠B =450
,问满足这样的△ABC 有几个?在图2中作出来(不写作法,不述理由)并利用(1)的结论求出∠ACB 的大小。
4. 如图，在△ABC 中，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D ，AC ＝36，BD ＝3。
（1）请根据下面求cosA 的解答过程，在横线上填上适当的结论，使解答正确完整：
∵CD⊥AB ∠ACB＝90°
∴AC ＝ cosA ， ＝AC·cosA 由已知AC ＝______，BD ＝3
A
B
C
A B
C
（图1） （图2）
19题图
∴36＝AB cosA ＝（AD ＋
BD ）cosA ＝（36cosA ＋3）cosA
设t ＝cosA ，则t ＞0，且上式可化为322t ＋___________＝0，则此解得cosA ＝t ＝2
3.
（2）求BC 的长及△ABC 的面积。
D
C
B
A
5. 如图是五角星，已知AC ＝a ，求五角星外接圆的直径（结果用含三角函数的式子表示）。
答案：
一、填空题： 1. 2－
7
38
; 2. 30°; 3.
55
; 4. 10;
5. 6或6212-;
6. 43；
7.
2；
8. 23
二、选择题 BBAABA 二、解答题 1．
2．
解：∵斜坡AB 的坡比2:1=i ，
∵AE ：BE=1:2，又AE=6 m ∴BE=12 m
∴AB=222261261265+=+= （m ）
作DF ⊥BC 于F ，则得矩形AEFD ，有DF=AE=6 m ，∵∠C=60° ∴CD=DF ·sin60°= m 答：斜坡AB 、CD 的长分别是65 m ，33 m 。
3．
4．
（1） AB ，AD ，t －32。
（2）解：在Rt △ABC 中，BC=AC ·tanA=36·3＝6 S △ABC =1
1832
AC BC ⋅= 5． 【解】
分
中在分
分的五等分点
是圆分
则分连结于并延长交圆连10186182
1
53618051
39010
00
K K K K K K ΘK K K K cos cos ,,,,,,,,a
CAF AC AF a AC ACF Rt CAD CAF CAD O E D C B A ACF CF F O AO =
∠=
∴=∆=∠=∠∴=⨯=∠∴=∠。