_解直角三角形课件
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《解直角三角形》数学教学PPT课件(3篇)
b
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
解直角三角形-完整版PPT课件
解成时就已经倾斜， 其塔顶中心点偏离中心线2.1m。1972年地震之 后塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2m，而且 还以每年增加1cm的速度继续倾斜，随时都有 倒塌的危险。经过维修2001年使塔顶中心点偏 离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm。 问题：如果要你根据上述信息，用“塔身中心 线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的 倾斜程度，你能完成吗？
解直角三角形
1972年的情形：设塔顶中心店为B，塔身中心线与垂 直中心线的夹角为A，经过点B向垂直中心线引垂线， 垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C-90°，BC-5.2m， AB=54.5m，
SinA BC 5.2 0.0954 AB 54.5
利用计算器可得∠A≈5°28′。 类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中 心线的夹角。
解直角三角形
1972年的情形：设塔顶中心店为B，塔身中心线与垂 直中心线的夹角为A，经过点B向垂直中心线引垂线， 垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C-90°，BC-5.2m， AB=54.5m，
SinA BC 5.2 0.0954 AB 54.5
利用计算器可得∠A≈5°28′。 类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中 心线的夹角。
解直角三角形PPT课件
正切函数
已知一条直角边和一个锐角，可以利用正切函数求出另一条直角边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$，则可以 利用$tan A = frac{a}{b}$求出另一条直角边$b$。
多种方法综合运用
灵活运用勾股定理、正弦、余弦、正切定理及函数，根据题目给出的不同条件，选择合适的 方法进行求解。
注意观察题目中的特殊条件，如等腰直角三角形、含30°角的直角三角形等，这些特殊条件 可以帮助我们更快地找到解题思路。
解直角三角形PPT课 件
目录
CONTENTS
• 直角三角形基本概念与性质 • 勾股定理及其逆定理 • 三角函数定义与性质 • 解直角三角形方法与技巧 • 实际问题中解直角三角形应用举
例 • 总结回顾与拓展延伸
01
直角三角形基本概 念与性质
直角三角形的定义
01
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
02
直角三角形的两个锐角互余，即 它们的角度和为90度。
直角三角形各元素名称
01
02
03
直角边
直角三角形中两条与直角 相邻的边称为直角边，通 常用a和b表示。
斜边
直角三角形中直角所对的 边称为斜边，用c表示。
锐角
直角三角形中的两个锐角 分别用α和β表示。
直角三角形性质总结
勾股定理
在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即 c² = a² + b²。
勾股数及常见类型
勾股数定义
满足勾股定理的三个正整数称为勾股数。
常见类型
常见的勾股数有3-4-5、5-12-13、7-24-25等，还有一类特殊的勾股数，即费 马大定理中的整数解。
03
三角函数定义与性 质
已知一条直角边和一个锐角，可以利用正切函数求出另一条直角边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$，则可以 利用$tan A = frac{a}{b}$求出另一条直角边$b$。
多种方法综合运用
灵活运用勾股定理、正弦、余弦、正切定理及函数，根据题目给出的不同条件，选择合适的 方法进行求解。
注意观察题目中的特殊条件，如等腰直角三角形、含30°角的直角三角形等，这些特殊条件 可以帮助我们更快地找到解题思路。
解直角三角形PPT课 件
目录
CONTENTS
• 直角三角形基本概念与性质 • 勾股定理及其逆定理 • 三角函数定义与性质 • 解直角三角形方法与技巧 • 实际问题中解直角三角形应用举
例 • 总结回顾与拓展延伸
01
直角三角形基本概 念与性质
直角三角形的定义
01
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
02
直角三角形的两个锐角互余，即 它们的角度和为90度。
直角三角形各元素名称
01
02
03
直角边
直角三角形中两条与直角 相邻的边称为直角边，通 常用a和b表示。
斜边
直角三角形中直角所对的 边称为斜边，用c表示。
锐角
直角三角形中的两个锐角 分别用α和β表示。
直角三角形性质总结
勾股定理
在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即 c² = a² + b²。
勾股数及常见类型
勾股数定义
满足勾股定理的三个正整数称为勾股数。
常见类型
常见的勾股数有3-4-5、5-12-13、7-24-25等，还有一类特殊的勾股数，即费 马大定理中的整数解。
03
三角函数定义与性 质
解直角三角形-ppt课件
，∴
∴CH = ，
∴AH=
∴AB=2AH=
−
.
=
，∵∠B=30°，
=
，
26.3 解直角三角形
重 ■题型 解双直角三角形
难
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一
题
型
点，BD=10
，∠BDC=45°，sinA=
，求 AD 的长．
突
∴S
AB·AE= ×4×4 =8 ，
CD·DE= ×5 ×15=
四边形 ABDC=S△CDE-S△ABE=
，
．
（方法二）如图 2，过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，过点
B 作 BG⊥AF 于点 G，则∠ABG=30°，
∴AG=
AB=2，BG= − =2 ，
况讨论，求出不同情况下的答案.
26.3 解直角三角形
■方法：运用割补法求不规则图形的面积
方
法
割补法是求不规则图形面积问题的最常用方法，割补法
技
巧 包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二
点
拨 是通过作辅助线将原有图形补为规则图形；三是分割和补
形兼而有之.
26.3 解直角三角形
例 如图，在四边形 ABDC 中，∠ABD=120°，AB⊥AC，
＝
2
＝25
26.3 解直角三角形
变式衍生 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是 AB
《解直角三角形》教学课件
利用正弦、余弦函数的定 义和勾股定理，可以分别 求出斜边c和另一直角边b 的长度。
sin60°=a/c，即√3/2=4/c b=√(c²-a²)=√(4.62²-
，解得c≈4.62。
4²)≈2.31。
本题主要考察了解直角三 角形中已知一边一角求其 他元素的方法，通过正弦 、余弦函数的定义和勾股 定理进行求解。在实际应 用中，还可以利用正切等 三角函数进行求解。
加强公式应用训练
通过大量的练习题，让学生熟练掌握解直角三角形的相关公式，并 能够正确应用。
提高计算准确性
鼓励学生进行反复练习，提高计算速度和准确性。同时，教师可以 提供一些计算技巧和方法，帮助学生更好地进行计算。
提高计算准确性和效率策略
使用科学计算器
鼓励学生使用科学计算器进行计算，以提高计算效率和准确性。
《解直角三角形》教 学课件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 典型例题分析与解答 • 学生常见错误及纠正方法 • 拓展延伸：三角函数在解直角三角形中应
用 • 总结回顾与课堂互动环节
01
直角三角形基本概念与性质
直角三角形的定义
01
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
学生自我评价报告分享
学习成果展示
学生可以通过绘制思维导图、制作海报或写学习报告等方式 ，展示自己的学习成果，包括掌握的知识点、解题技巧和学 习心得等。
学习反思与改进
学生可以反思自己在学习过程中的不足和遇到的困难，提出 改进措施和学习计划，以便更好地掌握解直角三角形的相关 知识和技能。
教师点评及建议
典型例题三：综合应用问题
01
02
03
04
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
28.2.1解直角三角形课件(共16张PPT)
c b 20 34.9. sin B sin 35
A
c
b = 20
35°
B
aC
你还有其他方 法求出c吗？
【针对练】
如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝ ________米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
【解析】由tanC AB，得
BC
AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0 【答案】13.0
C
6
B
AB 2AC 2 2.
合作探究 达成目标
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
【解析】A 90-B 90-35 55.
tan B b a
a b 20 28.6 tan B tan 35
sin B b c
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
合作探究 达成目标
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形.
【解析】
tan A BC AC
6 2
3,
A
2
A 60.
B 90 A 30.
总结梳理 内化目标
1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关 联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时， 要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高 是常用的辅助线）．
2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系 ，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三 角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合 理运用.
A
c
b = 20
35°
B
aC
你还有其他方 法求出c吗？
【针对练】
如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝ ________米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
【解析】由tanC AB，得
BC
AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0 【答案】13.0
C
6
B
AB 2AC 2 2.
合作探究 达成目标
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
【解析】A 90-B 90-35 55.
tan B b a
a b 20 28.6 tan B tan 35
sin B b c
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
合作探究 达成目标
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形.
【解析】
tan A BC AC
6 2
3,
A
2
A 60.
B 90 A 30.
总结梳理 内化目标
1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关 联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时， 要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高 是常用的辅助线）．
2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系 ，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三 角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合 理运用.
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
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,
A 5 .5
A
在直角三角形中，我们把两个锐角、三条 边称为直角三角形的五个元素. 图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形 的五个元素.
（1）三边之间的关系 （2）两锐角之间的关系 （3）边角之间的关系
b
c
C
a
B
a b c
2 2
2
（勾股定理）
∠A＋∠B＝90°
sin A cos B
C
6
D
4 3
cos 1
6 4 3
3 2
1 30
0
A
1
2
B
AB
B 30
AC sin B
0
12
在 ABC 中， D 为 BC 边上一点， CD 12 ， ACD 的面积为 30
解：如图，作
S ACD
BD 6， AD 14 ，
3，求 AB 的长
30°
C
6
B
∵sinB=
AC AB
2 2 2
1 2
∴∠B=30° ∴∠A=60° ∴AB= 2
2
, ∠A=60°, ∠B=30°
例2. 在Rt△ABC中， ∠C＝90°， a=35,b=28， 解这个直 角三角形.（角的度数精确到1度，c的长 结果保留两位有效 数字）
温 馨 提 示
1.数形结合有利于分析问题； 2.选择关系式时，尽量应用原始数据，使计算更加精确；
察站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D ∵灯塔B在观察站A北偏西45°的方向
∴ ∠B=45° ∵sinB =
CD CB
B
10 45° D
C
5 2
10 2
北
sinB=10×sin45°= 10× ∴CD= BC· ∵在Rt△DAC中，
sin ∠DAC=
（3）由直角三角形的两锐角互余求另一锐角。
1 . 在 Rt ABC 中， C 90 ， 根据下列条件解直角三 角形
(2) a 4 3 , b 4
C b 4
A
a 4 3
c
B
2 .如图，在 Rt ABC 中， C 90 ， AC 6， A 的平分 线 AD 4 3，求 AB ， BC 的长
a c
,
cos A sin B
b c
,
tan A
a b
,
tan B
b a
,
思考：利用上面这些关系，必须已知几个元素，才能求得 其余元素呢？
一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素 （其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解.
A
1.在一个直角三角形中，已知一条边和一锐 角，或者已知两条边两个元素，才能求出其 b 他元素。
2
2
2 91
例3 .如图，△ABC中， ∠B=45°， ∠C=30°， AB=2，求AC的长. 解：过A作AD⊥BC于D，
A
∵ 在Rt △ABD中,∠B=45°,AB=2，
2
2
sinB =
30°
AD AB
45°
B
D
∴AD= AB×sinB
C
= 2×sin45°= 2
2 2
2
∵在Rt△ACD中，∠C=30° ∴AC=2AD= 2
E
10பைடு நூலகம்
10 2
北
45°
A
x1 5 5 3 , x 2 5 5 3 (舍去) ∴∠CAE≈15°
∴灯塔C处在观察站A的北偏西15° 的方向
C
A D
A
D
B
B
C
E
温 馨 提 示
解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如 在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角 三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题， 常通过作辅助线构造直角三角形来解.
3.解直角三角形时，应求出所有未知元素。
议一议
在直角三角形中， （1）已知a,b，怎样求∠A的度数？ (2) 已知a,c，怎样求∠A的度数？ （3）已知b,c，怎样求∠A的度数？
A c
b
你能总结一下已知两边解直角三角形的 方法吗？与同伴交流。
（1）利用勾股定理求第三边。
C
a
B
(2) 利用已知两边的比值所对应的三角函数值，求相应的锐角。
在 Rt ABE 中， AB AE
2
EB
2
(5 3 ) 5
2
2
10
在 ABC 中， D 为 BC 边上一点， CD 12 ， ACD 的面积为 30
BD 6， AD 14 ，
3，求 AB 的长
A
解：如图，作 AE CB 于点 E 1 S ACD CD AE 30 3 , 又 CD 12 2
本节课你学到了什么？
作业：《创》P82 [当] 5 A组 1
AE 5 3
14
5 3
B 6 D 11
在 Rt ADE 中， AD 14 ，
ED AD
2
12
E
C
AE
2
14 ( 5 3 )
2
2
11
BE ED BD 11 6 17
在 Rt ABE 中， AB AE
2
EB
2
( 5 3 ) 17
2
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西 450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察 站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
B
10
C
10 2
北
F
A
1 2
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观
C a
c
B
2.解直角三角形: 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程， 叫做解直角三角形．
AC 例1 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，
2 , BC
6，
解这个直角三角形. 解：∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ∴AB=
A C BC
2 2
A
2
2 2
2 2 ( 2) ( 6) 2 2
AE CB ，交 CB 的延长线于 E ，A 1 5 3 CD AE 30 3 , 又 CD 12 2
14
5
AE 5 3
E
B 6 D 12
C
在 Rt ADE 中， AD 14 ，
ED AD
2
AE
2
14 ( 5 3 )
2
2
11
BE ED BD 11 6 5
CD AC 10 2
5 2
2 2
=5 2
F
45°
1 2
A
∴ ∠ DAC=30° ∴∠CAF=∠BAF -∠DAC= 45°-30°=15° ∴灯塔C处在观察站A的北偏西15°的方向
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观 察站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E, 设CE=x ∵在Rt△BAE中，∠BAE=45° ∴AE=BE=10+x ∵在Rt△CAE中，AE2+CE2=AC2 ∴x2+(10+x)2=(10 2 )2 即：x2+10x-50=0 ∴sin ∠CAE=
CE AC
55 3 10 2
B
10
C
55 3
如图设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角 为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m. 根据以上条件,你能求出塔身中心
5.2
线与垂直中心线的夹角吗？
sin A BC AB 5 .2 54 . 5
54.5