_解直角三角形课件
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2
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西 450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察 站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
B
10
C
10 2
北
F
A
1 2
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观
a c
,
cos A sin B
b c
,
tan A
a b
,
tan B
b a
,
思考：利用上面这些关系，必须已知几个元素，才能求得 其余元素呢？
一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素 （其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解.
A
1.在一个直角三角形中，已知一条边和一锐 角，或者已知两条边两个元素，才能求出其 b 他元素。
本节课你学到了什么？
作业：《创》P82 [当] 5 A组 1
AE CB ，交 CB 的延长线于 E ，A 1 5 3 CD AE 30 3 , 又 CD 12 2
14
5
AE 5 3
E
B 6 D 12
C
在 Rt ADE 中， AD 14 ，
ED AD
2
AE
2
14 ( 5 3 )
2
2
11
BE ED BD 11 6 5
在 Rt ABE 中， AB AE
2
EB
2
(5 3 ) 5
2
2
10
在 ABC 中， D 为 BC 边上一点， CD 12 ， ACD 的面积为 30
BD 6， AD 14 ，
3，求 AB 的长
A
解：如图，作 AE CB 于点 E 1 S ACD CD AE 30 3 , 又 CD 12 2
AE 5 3
14
5 3
B 6 D 11
在 Rt ADE 中， AD 14 ，
ED AD
2
12
E
C
AE
2
14 ( 5 3 )
2
2
11
BE ED BD 11 6 17
在 Rt ABE 中， AB AE
2
EB
2
( 5 3 ) 17
（3）由直角三角形的两锐角互余求另一锐角。
1 . 在 Rt ABC 中， C 90 ， 根据下列条件解直角三 角形
(2) a 4 3 , b 4
C b 4
A
a 4 3
c
B
2 .如图，在 Rt ABC 中， C 90 ， AC 6， A 的平分 线 AD 4 3，求 AB ， BC 的长
CD AC 10 2
5 2
2 2
=5 2
F
45°
1 2
A
∴ ∠ DAC=30° ∴∠CAF=∠BAF -∠DAC= 45°-30°=15° ∴灯塔C处在观察站A的北偏西15°的方向
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观 察站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E, 设CE=x ∵在Rt△BAE中，∠BAE=45° ∴AE=BE=10+x ∵在Rt△CAE中，AE2+CE2=AC2 ∴x2+(10+x)2=(10 2 )2 即：x2+10x-50=0 ∴sin ∠CAE=
CE AC
55 3 10 2
B
10
C
55 3
30°
C
6
B
∵sinB=
AC AB
2 2 2
wk.baidu.com
1 2
∴∠B=30° ∴∠A=60° ∴AB= 2
2
, ∠A=60°, ∠B=30°
例2. 在Rt△ABC中， ∠C＝90°， a=35,b=28， 解这个直 角三角形.（角的度数精确到1度，c的长 结果保留两位有效 数字）
温 馨 提 示
1.数形结合有利于分析问题； 2.选择关系式时，尽量应用原始数据，使计算更加精确；
2
2
2 91
例3 .如图，△ABC中， ∠B=45°， ∠C=30°， AB=2，求AC的长. 解：过A作AD⊥BC于D，
A
∵ 在Rt △ABD中,∠B=45°,AB=2，
2
2
sinB =
30°
AD AB
45°
B
D
∴AD= AB×sinB
C
= 2×sin45°= 2
2 2
2
∵在Rt△ACD中，∠C=30° ∴AC=2AD= 2
3.解直角三角形时，应求出所有未知元素。
议一议
在直角三角形中， （1）已知a,b，怎样求∠A的度数？ (2) 已知a,c，怎样求∠A的度数？ （3）已知b,c，怎样求∠A的度数？
A c
b
你能总结一下已知两边解直角三角形的 方法吗？与同伴交流。
（1）利用勾股定理求第三边。
C
a
B
(2) 利用已知两边的比值所对应的三角函数值，求相应的锐角。
C a
c
B
2.解直角三角形: 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程， 叫做解直角三角形．
AC 例1 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，
2 , BC
6，
解这个直角三角形. 解：∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ∴AB=
A C BC
2 2
A
2
2 2
2 2 ( 2) ( 6) 2 2
C
6
D
4 3
cos 1
6 4 3
3 2
1 30
0
A
1
2
B
AB
B 30
AC sin B
0
12
在 ABC 中， D 为 BC 边上一点， CD 12 ， ACD 的面积为 30
解：如图，作
S ACD
BD 6， AD 14 ，
3，求 AB 的长
察站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D ∵灯塔B在观察站A北偏西45°的方向
∴ ∠B=45° ∵sinB =
CD CB
B
10 45° D
C
5 2
10 2
北
sinB=10×sin45°= 10× ∴CD= BC· ∵在Rt△DAC中，
sin ∠DAC=
,
A 5 .5
A
在直角三角形中，我们把两个锐角、三条 边称为直角三角形的五个元素. 图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形 的五个元素.
（1）三边之间的关系 （2）两锐角之间的关系 （3）边角之间的关系
b
c
C
a
B
a b c
2 2
2
（勾股定理）
∠A＋∠B＝90°
sin A cos B
如图设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角 为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m. 根据以上条件,你能求出塔身中心
5.2
线与垂直中心线的夹角吗？
sin A BC AB 5 .2 54 . 5
54.5
E
10
10 2
北
45°
A
x1 5 5 3 , x 2 5 5 3 (舍去) ∴∠CAE≈15°
∴灯塔C处在观察站A的北偏西15° 的方向
C
A D
A
D
B
B
C
E
温 馨 提 示
解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如 在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角 三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题， 常通过作辅助线构造直角三角形来解.
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西 450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察 站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
B
10
C
10 2
北
F
A
1 2
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观
a c
,
cos A sin B
b c
,
tan A
a b
,
tan B
b a
,
思考：利用上面这些关系，必须已知几个元素，才能求得 其余元素呢？
一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素 （其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解.
A
1.在一个直角三角形中，已知一条边和一锐 角，或者已知两条边两个元素，才能求出其 b 他元素。
本节课你学到了什么？
作业：《创》P82 [当] 5 A组 1
AE CB ，交 CB 的延长线于 E ，A 1 5 3 CD AE 30 3 , 又 CD 12 2
14
5
AE 5 3
E
B 6 D 12
C
在 Rt ADE 中， AD 14 ，
ED AD
2
AE
2
14 ( 5 3 )
2
2
11
BE ED BD 11 6 5
在 Rt ABE 中， AB AE
2
EB
2
(5 3 ) 5
2
2
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在 ABC 中， D 为 BC 边上一点， CD 12 ， ACD 的面积为 30
BD 6， AD 14 ，
3，求 AB 的长
A
解：如图，作 AE CB 于点 E 1 S ACD CD AE 30 3 , 又 CD 12 2
AE 5 3
14
5 3
B 6 D 11
在 Rt ADE 中， AD 14 ，
ED AD
2
12
E
C
AE
2
14 ( 5 3 )
2
2
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BE ED BD 11 6 17
在 Rt ABE 中， AB AE
2
EB
2
( 5 3 ) 17
（3）由直角三角形的两锐角互余求另一锐角。
1 . 在 Rt ABC 中， C 90 ， 根据下列条件解直角三 角形
(2) a 4 3 , b 4
C b 4
A
a 4 3
c
B
2 .如图，在 Rt ABC 中， C 90 ， AC 6， A 的平分 线 AD 4 3，求 AB ， BC 的长
CD AC 10 2
5 2
2 2
=5 2
F
45°
1 2
A
∴ ∠ DAC=30° ∴∠CAF=∠BAF -∠DAC= 45°-30°=15° ∴灯塔C处在观察站A的北偏西15°的方向
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观 察站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E, 设CE=x ∵在Rt△BAE中，∠BAE=45° ∴AE=BE=10+x ∵在Rt△CAE中，AE2+CE2=AC2 ∴x2+(10+x)2=(10 2 )2 即：x2+10x-50=0 ∴sin ∠CAE=
CE AC
55 3 10 2
B
10
C
55 3
30°
C
6
B
∵sinB=
AC AB
2 2 2
wk.baidu.com
1 2
∴∠B=30° ∴∠A=60° ∴AB= 2
2
, ∠A=60°, ∠B=30°
例2. 在Rt△ABC中， ∠C＝90°， a=35,b=28， 解这个直 角三角形.（角的度数精确到1度，c的长 结果保留两位有效 数字）
温 馨 提 示
1.数形结合有利于分析问题； 2.选择关系式时，尽量应用原始数据，使计算更加精确；
2
2
2 91
例3 .如图，△ABC中， ∠B=45°， ∠C=30°， AB=2，求AC的长. 解：过A作AD⊥BC于D，
A
∵ 在Rt △ABD中,∠B=45°,AB=2，
2
2
sinB =
30°
AD AB
45°
B
D
∴AD= AB×sinB
C
= 2×sin45°= 2
2 2
2
∵在Rt△ACD中，∠C=30° ∴AC=2AD= 2
3.解直角三角形时，应求出所有未知元素。
议一议
在直角三角形中， （1）已知a,b，怎样求∠A的度数？ (2) 已知a,c，怎样求∠A的度数？ （3）已知b,c，怎样求∠A的度数？
A c
b
你能总结一下已知两边解直角三角形的 方法吗？与同伴交流。
（1）利用勾股定理求第三边。
C
a
B
(2) 利用已知两边的比值所对应的三角函数值，求相应的锐角。
C a
c
B
2.解直角三角形: 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程， 叫做解直角三角形．
AC 例1 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，
2 , BC
6，
解这个直角三角形. 解：∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ∴AB=
A C BC
2 2
A
2
2 2
2 2 ( 2) ( 6) 2 2
C
6
D
4 3
cos 1
6 4 3
3 2
1 30
0
A
1
2
B
AB
B 30
AC sin B
0
12
在 ABC 中， D 为 BC 边上一点， CD 12 ， ACD 的面积为 30
解：如图，作
S ACD
BD 6， AD 14 ，
3，求 AB 的长
察站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D ∵灯塔B在观察站A北偏西45°的方向
∴ ∠B=45° ∵sinB =
CD CB
B
10 45° D
C
5 2
10 2
北
sinB=10×sin45°= 10× ∴CD= BC· ∵在Rt△DAC中，
sin ∠DAC=
,
A 5 .5
A
在直角三角形中，我们把两个锐角、三条 边称为直角三角形的五个元素. 图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形 的五个元素.
（1）三边之间的关系 （2）两锐角之间的关系 （3）边角之间的关系
b
c
C
a
B
a b c
2 2
2
（勾股定理）
∠A＋∠B＝90°
sin A cos B
如图设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角 为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m. 根据以上条件,你能求出塔身中心
5.2
线与垂直中心线的夹角吗？
sin A BC AB 5 .2 54 . 5
54.5
E
10
10 2
北
45°
A
x1 5 5 3 , x 2 5 5 3 (舍去) ∴∠CAE≈15°
∴灯塔C处在观察站A的北偏西15° 的方向
C
A D
A
D
B
B
C
E
温 馨 提 示
解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如 在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角 三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题， 常通过作辅助线构造直角三角形来解.