人教版初三数学解直角三角形.ppt
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人教版数学九年级下册《 解直角三角形》PPT课件
∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，
人教版九年级下册数学课件：28.2.1 解直角三角形(共17张PPT)
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜 边AB＝6，求∠A的对边BC的长． B
BC 由 sin A 得 AB
BC AB sin A 6 sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97 所以 BC≈6×0.97≈5.8
A
α C
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m。
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的 角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6， 求锐角a的度数
由于
AC 2.4 cos a 0.4 AB 6
A
α
B
利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面 所成的角大约是66°
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
AC 6 3 解：cos CAD AD 4 3 2
A
CAD 30
因为AD平分∠BAC
6
C
4 3
D
CAB 60, B 30
B
AB 12, BC 6 3
A的对边 a A的邻边 b
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC 2 , BC 6
解这个直角三角形
A
解：
BC 6 tan A 3 AC 2
2
C
6
A 60
B
B 90 A 90 60 30
AB 2 AC 2 2
人教版九年级数学课件：28.2 解直角三角形(共28张PPT)
D
A
甲
乙
B
C
1、在实际问题数学化，运用仰角、俯角 概念解直角三角形时，要首先找出它 们所在的直角三角形，表示时注意 “水平线”；
2、认真分析题意，在原有的图形中寻找 或通过添加辅助线构造直角三角形来 解决问题；
3、再结合图形中的已知元素，解出要求 的未知元素。
A组：
A组：
3、为了测量铁塔的高度，在离铁塔底 部100米的C处，用测角仪测得塔顶 A的仰角为30°，已知测角仪的高 CD为1.2米，求铁塔的高度AB.
3、
28.2 解直角三角形第三课时
1、概念： （1）仰角：从下向上看，
视线与水平线的夹 角叫仰角。 （2）俯角：从上向下看， 视线与水平线的夹 角叫俯角。
2、由A看向B仰角为50°，则由B看向 A的俯角为 .
3、在飞行高度1000米高空的飞机上， 看到地面某标志物的俯角为30°， 那么飞机与标志物之间的距离是 米.（画图分析）
较长的对角线呢？
2、 “神舟”10号载人航天飞船发射成 功，当飞船完成变轨后，就在离地球 350km的圆形轨道上运行，当飞船运行 到地球表面上P点的正上方时，从飞船上 能直接看到的地球上最远的点在什么位 置？这样的最远点与P点的距离是多少？ (地球半径约为6400km)
2、 “神舟”10号载人航天飞船发射成功，当飞船完成变轨后， 就在离地球350km的圆形轨道上运行，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6400km)
28.2 解直角三角形第一课时
在Rt△ABC中,∠C=90°，三边为a，b，c， 1.三边之间关系： a2 +b2 =c2 (勾股定理) 2.锐角之间关系：∠A+∠B=90° 3.边角之间的关系： （锐角三角函数）
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
人教版九年级数学解直角三角形PPT课件优秀课件
分析：我们知道，在视线与水平线所
仰角
成的角中视线在水平线上方பைடு நூலகம்是仰角，
B
视线在水平线下方的是俯角，因此，
在图中，a=30°,β=60°
αD
Aβ
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
C
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水平线
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
coa sO Q640 00.95 OF64 0 30 50
a18
∴ PQ的长为
F
P Q
α O·
1864 03.1 0 4642 00.609
180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约
2009.6km
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例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
taanBD ,tanCD
AD AD
B D AtD a a n 1 2 ta 3 0 n 0
B
120 3 40 3 3
C D AtD an 12 t0 a6n 0
αD Aβ
12031203
B C B D C D 40 3 12 30
C
160327.17
答：这栋绿色楼圃中高小学教约育网为277.1m
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D
A
处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的
仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
解直角三角形(共30张)PPT课件
比例性质应用
利用相似三角形中对应边 之间的比例关系进行计算。
实际应用举例
测量问题
利用相似三角形原理解决 测量中的实际问题，如测 量建筑物高度、河宽等。
航海问题
在航海中，利用相似三角 形原理解决船只定位、航 向确定等问题。
物理问题
在物理实验中，利用相似 三角形原理解决光学、力 学等问题，如光的折射、 力的合成与分解等。
利用相似三角形求边长
通过已知边长和相似比，可以求出未知边长。
利用相似三角形求角度
通过已知角度和相似关系，可以求出未知角度。
利用相似三角形求面积
通过已知面积和相似比，可以求出未知面积。
相似比计算方法和技巧
01
02
03
直接计算法
根据已知条件直接计算相 似比。
间接计算法
通过引入辅助线或构造特 殊图形来计算相似比。
解直角三角形(共30张)PPT课 件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形在解直角三角形中作用
目录
• 复杂图形中解直角三角形策略探讨 • 拓展延伸：非直角三角形解法探讨
01
直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及特点
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
案例三
在三角形中解直角三角形问题。 通过作高线构造直角三角形，并
结合相似性质进行求解。
总结归纳与提高建议
总结归纳
在复杂图形中解直角三角形的关键在于构造直角三角形并利用 已知条件进行推理和计算。通过添加辅助线、利用相似性质和 三角函数关系等方法，可以有效地解决这类问题。
提高建议
为了更好地掌握解直角三角形的技巧和方法，建议多做相关练 习题并总结归纳经验。同时，也可以学习一些高级的数学知识 和技巧，如三角函数恒等式、极坐标等，以便更好地应对复杂 的数学问题。
人教版九年级数学下册§28.2解直角三角形PPT
2019/3/10
5．解：在Rt△ADE中，DE=3 2 ， ∠DAE=45°， DE ∴sin∠DAE= AD ，
∴AD=6． 又∵AD=AB， BC 在Rt△ABC中，sin∠BAC= AB ，
∴BC=AB· sin∠BAC=6· sin65°≈5.4． 答：点B到地面的垂直距离BC约为5.4米．
2019/3/10
4.（2006，盐城）如图，花丛中有一路灯杆 AB．在灯光下，小明在D• 点处的影长DE=3米， 沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的 影长GH=5米．• 如果小明的身高为1.7米，求路灯 杆AB的高度（精确到0.1米）．
2019/3/10
4．解：设AB=x米，BD=y米． 由△CDE∽△ABE得
设BC=x，则EC=BC=x． 在Rt△ACE中，AC= 3 x，
∵AB=AC-BC， 即20= 3 x-x． 解得x=10 3 +10．
∴BD=BC+CD=BC+EF =10 3+10+35≈45+10×1.732≈62.3（m）． 所以小山BD的高为62．3m．
2019/3/10
题型4 应用举例
2019/3/10
3．解：如图设BC=x， 在Rt△ADF中，AD=180，∠DAF=30°， ∴DF=90，AF=90 3 ． ∵∠BAC=∠ABC=45°， ∴AC=BC=x． ∴BE=BC-EC=x-90． 在Rt△BDE中，∠BDE=60°， 3 3 ∴DE= BE= （ 3 3 x-90）． FC=AC-AF=x-90 3 ． ∵DE=FC， 3 ∴ （ x-90）=x-90 ．
径，弦AC、BD相交于E，则
A．tan∠AED C．sin∠AED
人教版数学九年级下册 28.2.1 解直角三角形 课件(共27张PPT)
学习目标
1.了解并掌握解直角三角形的概念. 2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 3.学会解直角三角形.
课堂导入
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中 心点为 B，塔身中心线与垂直中心线 的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线 引垂线，垂足为点 C .在 Rt△ABC 中， ∠C =90°，BC =5.2 m，AB =54.5 m.
解这个直角三角形.
A
2
C
6
B
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，
b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A
c
b
35°
20
B
a
C
3.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 13，BC = 5， 试 求AB 的长.
随堂练习
D ∠A≠30° ,AC =2
1.解直角三角形时，已知其中的两个元素中，至少 有一个是边. 2.在解直角三角形时,先画出一个直角三角形，标明 已知元素，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边.
直角三角形中的边角关系
如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C
所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个
元素之间有如下关系：
B
1.三边之间的关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) =90°； c a
A bC
B ca A bC
新知探究 知识点2：解直角三角形的基本类型及解法
已知两边解直角三角形的方法
1.已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出 另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得 到一个锐角的正弦(或余弦)值，求出这个锐角，再 利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 2.已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边， 然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切 值，求出该锐角，再利用直角三角形中的两锐角互 余求出另一个锐角.
人教版九年级数学下册 28.2.1解直角三角形 (13张PPT)
A
b c
sin
B
b c
cos
B
a c
以上三点就是解直角三角形的依据。
tan
A
a b
tan
B
b a
例题讲解
探究一：什么是解直角三角形？依据是什么？
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 6，AC= 2，解这个直角三角形。
解： Q tan A BC 6 3
AC 2
A 60
B 90 A 90 60 30 AB 2AC 2 2
点拨：已知两边，用三角函数求出一角是突破口。
例题讲解
探究一：什么是解直角三角形？依据是什么？
例2：如图，在Rt△ABC中，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）。
解： A 90 B 90 35 55
1
（4）含30°角的直角三角形的三边比为 1: 3 : 2 ；含45°角的 sinα 2
直角三角形的三边比为 1:1: 2 。
cosα 3
2
45°
2 2
2 2
60°
3 2
1 2
tanα 3
133来自题探究活动1 应用新知，回顾引言
如图，始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜。1972年比萨发 生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之后，仍巍然屹立。可是，塔 顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每 年倾斜1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险。为此，意大利当局从 1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线 的距离比纠偏前减少了43.8cm，根据上面的信息，你能用“塔身中心线偏离 垂直中心线的角度”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
人教版九年级数学下册解直角三角形ppt课件
AD 4 2 2
∴∠ADC=45°, ∴∠ADB=180°-45°=135°.
5.(2018黑龙江大庆龙凤月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边 分别为a,b,c.根据下列条件解直角三角形. (1)已知a=5,∠B=60°; (2)已知a=5 2 ,b=5 6 .
解析 (1)∵∠C=90°,∠B=60°, ∴∠A=30°, ∵cos B=cos 60°= a = 1 ,a=5,∴c=10,
5
(1)求AB的长; (2)求cos∠BAD的值.
图28-2-1-6
解析 (1)在Rt△ADC中,∵∠C=90°,sin∠ADC= AC = 4,AD=5,∴AC=4.
AD 5
由勾股定理得CD= AD2 -AC2 =3, ∴BC=CD+DB=3+5=8, 在Rt△ABC中,∠C=90°, 由勾股定理得AB= AC2 BC2 = 42 82 =4 5 . (2)∵AD=BD, ∴∠BAD=∠ABD.
知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的定义与边角关系
2.解直角三角形的类型
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
已知条件
解法
两直角边 斜边、一直角边(如c,a) 一锐角与邻边(如∠A,b) 一锐角与对边(如∠A,a) 斜边与一锐角(如c,∠A)
由tan A= a,求∠A;∠B=90°-∠A;c= a2 b2
点O,AB⊥AC.若AB=8,tan∠ACB= 2,则BD的长是
.
3
图28-2-1-3
答案 20
解析 ∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB
⊥AC,AB=8,tan∠ACB= 2= AB ,∴AC= 3AB=12,∴OA=6,∴BO= OA2 AB2=
∴∠ADC=45°, ∴∠ADB=180°-45°=135°.
5.(2018黑龙江大庆龙凤月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边 分别为a,b,c.根据下列条件解直角三角形. (1)已知a=5,∠B=60°; (2)已知a=5 2 ,b=5 6 .
解析 (1)∵∠C=90°,∠B=60°, ∴∠A=30°, ∵cos B=cos 60°= a = 1 ,a=5,∴c=10,
5
(1)求AB的长; (2)求cos∠BAD的值.
图28-2-1-6
解析 (1)在Rt△ADC中,∵∠C=90°,sin∠ADC= AC = 4,AD=5,∴AC=4.
AD 5
由勾股定理得CD= AD2 -AC2 =3, ∴BC=CD+DB=3+5=8, 在Rt△ABC中,∠C=90°, 由勾股定理得AB= AC2 BC2 = 42 82 =4 5 . (2)∵AD=BD, ∴∠BAD=∠ABD.
知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的定义与边角关系
2.解直角三角形的类型
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
已知条件
解法
两直角边 斜边、一直角边(如c,a) 一锐角与邻边(如∠A,b) 一锐角与对边(如∠A,a) 斜边与一锐角(如c,∠A)
由tan A= a,求∠A;∠B=90°-∠A;c= a2 b2
点O,AB⊥AC.若AB=8,tan∠ACB= 2,则BD的长是
.
3
图28-2-1-3
答案 20
解析 ∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB
⊥AC,AB=8,tan∠ACB= 2= AB ,∴AC= 3AB=12,∴OA=6,∴BO= OA2 AB2=