多面体与球切、接的问题(一)

多面体与球切、接的问题（一）

纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一. 高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见.

首先明确定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.

1 球与柱体的切接

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形 态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关 问题.

1.1

球与正方体

如图所示，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 ，设正方体的棱长为 a ， E , F , H , G 为棱的中点， O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形 EFGH 和 a

其内切圆，则 OJ = r = ；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形 EFGH 和其外

2

接圆，则 GO = R =

2 a ；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形 ACAC 和其外接

2

1 1

圆，则 A 1O = R ' = 3

a .通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工 2

具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确 定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中

心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r =a .

（2）正方体的外接球，如图2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中

心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r = 3a .

（3）正方体的棱切球，如图3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与

AD

1

球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r = 2a .

例 1 棱长为1 的正方体ABCD -A

1

B

1

C

1

D

1

的8 个顶点都在球O 的表面上，E，F 分别是

棱AA

1

，DD

1

的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）

A．

2

2

B．1 C．1+

2

D．

2

思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面AA

1

DD

1

截面所得圆面的半径

R ==

2

2

, 得知直线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径.

2

1.2 球与长方体

例 2 自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MA, MB, MC ，求

MA2 +MB 2 +MC 2 的值．

思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．

2

例 3（全国卷 I 高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个

球的表面积为（ ）.

A. 16π

B. 20π

C. 24π

D. 32π

思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为 2， 可得长方体的长、宽、高分别为 2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.

2 球与锥体的切接

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和 内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或 者表面积等相关问题.

2.1 正四面体与球的切接问题

（1） 正四面体的内切球，如图 4. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四

面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为 a ，高为 h ；球的半径为 R ，这时有 4R = h

=

6 a ；（可

3

以利用体积桥证明）

（2）正四面体的外接球，如图5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有4R = 3h = 6a；（可用正四面体高h 减去内切球的半径得到）

（3）正四面体的棱切球，如图6. 位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体

的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有

4R = 3h = 2a, h =

6 a. 3